文档内容
拔高点突破 03 立体几何中的常考压轴小题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：球与截面面积问题................................................................................................................2
题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题........................................................................3
题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题........................................................................4
题型四：立体几何中的交线问题........................................................................................................6
题型五：空间线段以及线段之和最值问题........................................................................................7
题型六：空间角问题............................................................................................................................9
题型七：立体几何装液体问题..........................................................................................................10
03 过关测试.........................................................................................................................................12立体几何中的常考压轴小题往往聚焦于空间几何体的性质、体积计算、空间角的求解及与球相关的综
合问题。解题时，需熟练掌握多面体（如棱柱、棱锥）和旋转体（如圆柱、圆锥）的结构特征，灵活运用
空间向量、三垂线定理等工具解决空间角问题。此外，与球相关的题型常要求通过几何关系求出球的半径，
进而解决表面积、体积等问题。解题时还需注意几何体的翻折、展开等变化过程中的不变性与不变量，以
及平行、垂直等位置关系的论证。总之，立体几何压轴小题考验的是空间想象能力和综合运用知识解决问
题的能力。
题型一：球与截面面积问题
【典例1-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知三棱锥 为 中点，
为直二面角，且 为二面角 的平面角，三棱锥 的外接球 表面积为
，则平面 被球 截得的截面面积及直线 与平面 所成角的正切值分别为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（多选题）（2024·江苏泰州·模拟预测）在正三棱柱 中 ，
的重心为 ，以 为球心的球与平面 相切．若点 在该球面上，则下列说法正确的有
（ ）
A．存在点 和实数 ，使得
B．三棱锥 体积的最大值为
C．若直线 与平面 所成的角为 ，则 的最大值为
D．若 ，则所有满足条件的点 形成的轨迹的长度为【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知某圆柱的高与底面圆的直径均为4，则该圆柱的外接球的体
积为 ； 是圆柱下底面圆的直径， 是圆柱上底面圆周上一点．记该圆柱的内切球为球 ，则平面
截球 所得截面面积的取值范围为 ．
【变式1-2】（2024·高三·山东·期末）已知三棱锥 的四个顶点都在球 的表面上， 平面
， ， ， ， ，则：（1）球 的表面积为 ；（2）若 是 的中点，
过点 作球 的截面，则截面面积的最小值是 ．
题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题
【典例2-1】已知正方体 的棱长为 ， 是空间中任意一点.给出下列四个结论：
①若点 在线段 上运动，则总有 ；
②若点 在线段 上运动，则三棱锥 体积为定值；
③若点 在线段 上运动，则直线 与平面 所成角为定值；
④若点 满足 ，则过点 ， ， 三点的正方体截面面积的取值范围为 .
其中所有正确结论的序号为 .
【典例2-2】如图，正方体 的棱长为1，线段 上有两个动点 ，且 ，给
出下列三个结论：
①
② 的面积与 的面积相等
③三棱锥 的体积为定值
其中，所有正确结论是 ．
【变式2-1】（多选题）（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）如图，在长方体 中，，点 为线段 上动点（包括端点），则下列结论正确的是（ ）
A．当点 为 中点时， 平面
B．当点 为 中点时，直线 与直线 所角的余弦值为
C．当点 在线段 上运动时，三棱锥 的体积是定值
D．点 到直线 距离的最小值为
【变式2-2】（多选题）（2024·高三·广东深圳·开学考试）如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将
沿直线AM翻折成 ，连接 ，N为 的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是
（ ）
A．不存在某个位置，使得
B．翻折过程中，CN的长是定值
C．若 ，则
D．若 ，当三棱锥 的体积最大时，其外接球的表面积是
题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题
【典例 3-1】（多选题）已知边长为 2 的等边三角形 ，点 均在平面 的上方，
，且 与平面 所成角分别为 ，则下列说法中正确的是（ ）A．四面体 的体积为定值
B． 面积的最小值为
C．四面体 体积的最大值为1
D．当四面体 的体积最大时，其外接球的表面积为
【典例3-2】（多选题）（2024·广东惠州·三模）在四面体 中， ，
， ， ， 分别是棱 ， ， 上的动点，且满足 均与面 平
行，则（ ）
A．直线 与平面 所成的角的余弦值为
B．四面体 被平面 所截得的截面周长为定值1
C．三角形 的面积的最大值为
D．四面体 的内切球的表面积为
【变式3-1】（多选题）（2024·山西吕梁·三模）已知正方体 的棱长为 是空间中
的一动点，下列结论正确的是（ ）
A．若点 在正方形 内部，异面直线 与 所成角为 ，则 的范围为
B．平面 平面
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则平面 截正方体 所得截面面积的最大
值为
【变式3-2】（多选题）（2024·河北秦皇岛·三模）在长方形 中， ， ，点 在线段
上（不包含端点），沿 将 折起，使二面角 的大小为 ， ，则（ ）
A．存在某个位置，使得
B．存在某个位置，使得直线 平面
C．四棱锥 体积的最大值为D．当 时，线段 长度的最小值为
【变式3-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）如图， 为圆锥 的底面圆 的直径，点 是圆 上异
于 ， 的动点， ，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥 的侧面积为
B．三棱锥 的体积的最大值为
C． 的取值范围是
D．若 ， 为线段 上的动点，则 的最小值为
题型四：立体几何中的交线问题
【典例4-1】（2024·福建福州·三模）如图，在圆台OO 中， ，点C是底面圆周上异于A、B
1
的一点， ，点D是BC的中点，l为平面 与平面 的交线，则交线l与平面 所成角的
大小为（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】已知在正方体 中， ，点 ， ， 分别在棱 ， 和 上，
且 ， ， ，记平面 与侧面 ，底面 的交线分别为 ， ，则（ ）A． 的长度为 B． 的长度为
C． 的长度为 D． 的长度为
【变式4-1】（2024·安徽·一模）安徽徽州古城与四川阆中古城､山西平遥古城､云南丽江古城被称为中
国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体 .已知该正方体中，
点 分别是棱 的中点，过 三点的平面与平面 的交线为 ，则直线 与直线 所成
角为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在正方体 中， 为 中点，过
的截面 与平面 的交线为 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
题型五：空间线段以及线段之和最值问题
【典例5-1】在正方体 中， 为棱 的中点， 分别为 上的动点，
则 的最小值为 ．【典例5-2】在棱长为4的正方体 中， 分别为线段 上的动点，点 为侧
面 的中心，则 的周长的最小值为 .
【变式5-1】正三棱柱 的底面边长是4，侧棱长是6， ， 分别为 ， 的中点，
若 是侧面 上一点，且 平面 ，则线段 的最小值为 ．
【变式5-2】如图，棱长为1的正方体 中， 为线段 的中点， ， 分别为线段
和棱 上的动点，则 的最小值为 ．
【变式5-3】如图，已知正方体 的棱长为4，点 在棱 上，且 ，在侧面
内作边长为1的正方形 ， 是侧面 内的动点，且点 到平面 的距离等于线段
的长．当点 运动时， 的最小值是 ．
题型六：空间角问题
【典例6-1】如图，斜三棱柱 中，底面 是正三角形， 分别是侧棱
上的点，且 ，设直线 与平面 所成的角分别为 ，平面 与底
面 所成的锐二面角为 ，则（ ）A．
B．
C．
D．
【典例6-2】设三棱锥 的底面是正三角形，侧棱长均相等， 是棱 上的点（不含端点），
记直线 与直线 所成角为 ，直线 与平面 所成角为 ，二面角 的平面角为 ，则
A． B．
C． D．
【变式6-1】如图，已知正三棱柱 ，E，F分别是棱 上的点．记 与
所成的角为 ， 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2024·浙江·二模）已知三棱柱 的所有棱长均相等，侧棱 平面 ，
过 作平面 与 平行，设平面 与平面 的交线为 ，记直线 与直线 所成锐角分别
为 ，则这三个角的大小关系为（ ）A． B．
C． D．
题型七：立体几何装液体问题
【典例7-1】（多选题）（2024·山东菏泽·一模）透明塑料制成的正方体密闭容器 的
体积为 注入体积为 的液体.如图，将容器下底面的顶点 置于地面上，再将容器倾斜.随着倾
斜度的不同，则下列说法正确的是（ ）
A．液面始终与地面平行
B． 时，液面始终是平行四边形
C．当 时，有液体的部分可呈正三棱锥
D．当液面与正方体的对角线 垂直时，液面面积最大值为
【典例7-2】（多选题）向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为x（ ）的液体，旋转容器，下列说法正确的是（ ）
A．当 时，容器被液面分割而成的两个几何体完全相同
B．不管注入多少液体，液面都可以成正三角形形状
C．液面可以是正六边形，其面积为
D．当液面恰好经过正方体的某条体对角线时，液面边界周长的最小值为
【变式7-1】（2024·湖北宜昌·一模）已知一个放置在水平桌面上的密闭直三棱柱 容器，
如图1，ΔABC为正三角形， ， ，里面装有体积为 的液体，现将该棱柱绕 旋转至图2.
在旋转过程中，以下命题中正确的个数是（ ）
①液面刚好同时经过 ， ， 三点；
②当平面 与液面成直二面角时，液面与水平桌面的距离为 ；
③当液面与水平桌面的距离为 时， 与液面所成角的正弦值为 .
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式7-2】（2024·广西南宁·模拟预测）一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方
体的棱长为1，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为（
）
A． B． C． D．
【变式7-3】一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动
该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体的体积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．1．（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥 ，底面 是边长为2的正三角形，且 平面
为 的中点， 为平面 内一动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．2
A B C D
2．在棱长为1的正方体 中， 分别为 的中点，则点 为正方形 内一
1 1 1 1
点，当 平面 时， 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．在长方体 中，已知 ， ， ，点 为底面 内一点，若 和底
面A B C D 所成角与二面角 的大小相等，点 在底面A B C D 的投影为点 ，则三棱锥
1 1 1 1 1 1 1 1
体积的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
4．在棱长为2的正方体 中，P，Q，R分别为线段 ， ， 上的动点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
5．（2024·四川成都·三模）六氟化硫，化学式为 ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气
体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面
都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面
体 的棱长为 ，下列说法中正确的个数有（ ）
①异面直线 与 所成的角为45°；
②此八面体的外接球与内切球的体积之比为 ；
③若点 为棱 上的动点，则 的最小值为 ；④若点 为四边形 的中心，点 为此八面体表面上动点，且 ，则动点 的轨迹长度为
.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2024·浙江杭州·模拟预测）以半径为1的球的球心 为原点建立空间直角坐标系，与球 相切的平面
分别与 轴交于 三点， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．18 D．
7．如图，若P是棱长为2的正方体 的表面上一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．当P在平面 内运动时，四棱锥 的体积变化
B．当P在线段 上运动时， 与 所成角的取值范围是
C．使直线 与平面 所成的角为45°的点P的轨迹长度为
D．若F是棱 的中点，当P在底面 内运动，且满足 平面 时， 长度的最小值是
8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知正四棱锥 的8条棱长均相等， 为顶点 在底面的射影，则
（ ）
A．侧棱 与底面 所成角的大小为
B．设 ， 为正方形 边上的两点，则二面角 的值大于
C．侧面 与底面 所成角的大小为
D．设 为正方形 上的点，则直线 与底面所成角的最大值为
9．（2024·山西吕梁·三模）在四面体 中， 与 互相垂直， ，且
，则四面体体积的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．4.5
10．（2024·山东·模拟预测）已知圆台上、下底面的半径分别为3和5，母线长为4， 为上底面圆的一
条直径， 是下底面圆周上的一个动点，则 面积的最大值为（ ）A． B． C． D．
11．（2024·浙江·模拟预测）正四面体 ， 为棱 的中点，过点 作平面 的平行平面，该平
面与平面 、平面 的交线分别为 ，则 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·全国·一模）已知三棱锥 为正三棱锥，且 ， ，点 、 是线段 、
的中点，平面 与平面 没有公共点，且 平面 ，若 是平面 与平面 的交线，则直线 与
直线 所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·湖南湘潭·三模）在棱长为1的正方体 中，E为 的中点，过点A．C．E的
截面与平面 的交线为m，则异面直线m与 所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
14．（多选题）（2024·河南·模拟预测）已知四面体 的顶点 ， ， ， 均在球 的球面上，
是边长为2的等边三角形， ，棱 ， ， 的中点分别为 ， ， ，过 ， ，
三点的平面截四面体所得截面四边形的对角线互相垂直，则（ ）
A．
B． 与 所成角不可能为90°
C．直线 与平面 所成的角为30°
D．球 的表面积为
15．（多选题）（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）在棱长为2的正方体 中，M为
边的中点，下列结论正确的有（ ）
A． 与 所成角的余弦值为
B．过三点A、M、 的截面面积为
C．四面体 的内切球的表面积为
D．E是 边的中点，F是 边的中点，过E、M、F三点的截面是六边形．
16．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知平面 平面 ，且均与球 相交，得截面圆 与截面
圆 为线段 的中点，且 ，线段 与 分别为圆 与圆 的直径，则（ ）A．若 为等边三角形，则球的体积为
B．若 为圆 上 的中点， ，且 ，则 与 所成角的余弦值为
C．若 ，且 ，则
D．若 ，且 与 所成的角为 ，则球 的表面积为 或
17．（多选题）（2024·江苏泰州·模拟预测）在正方体 中，P为线段 上的动点，
则（ ）
A． 平面 B． 平面ACD
1
C．直线AP与 所成角的取值范围是 D．三棱锥 的体积为定值
18．（多选题）（2024·贵州贵阳·模拟预测）在正三棱柱 中， ，点P满足
，其中 ，则（ ）
A．当 时， 最小值为
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时，平面AB P⊥平面
1
D．若 ，则P的轨迹长度为
19．（多选题）（2024·湖北黄冈·二模）如图，在棱长为2的正方体 中， 为棱
的中点，点 满足 ， 则下列说法中正确的是（ ）
A． 平面
B．若 平面 ，则动点 的轨迹是一条线段
C．若 ，则四面体 的体积为定值
D．若 为正方形 的中心，则三棱锥 外接球的体积为20．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知正方体 的棱长为 分别为棱
的中点，动点 在线段 上，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线 与平面 所成角为
B．直线 与直线 所成角的余弦值为
C．三棱锥 的体积为定值
D．点 在正方体内部或正方体的表面上，且 平面 ，则动点 的轨迹所形成的区域面积为
21．（多选题）（2024·江苏南京·二模）在棱长为1的正方体 中， 、 分别为 、
的中点，点 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则三棱锥 外接球的表面积为
B．若 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为
C．若 ，则 面积的最小值为
D．若存在实数 使得 ，则 的最小值为
22．（多选题）（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体 中，M为平
面ABCD内一动点，则（ ）
A．若M在线段AB上，则 的最小值为
B．平面 被正方体内切球所截，则截面面积为
C．若 与AB所成的角为 ，则点M的轨迹为椭圆
D．对于给定的点M，过M有且仅有3条直线与直线 ， 所成角为
23．（2024·山东青岛·三模）已知长方体 中， ，点 为矩形A B C D 内一动点，记二面角 的平面角为 ，直线 与平面 所成的角为 ，若 ，
1 1 1 1
则三棱锥 体积的最小值为 .
24．（2024·安徽·三模）已知四棱锥 的底面 为矩形，其中 ，点
平面 ，点M，N分别在线段 ， 上（不含端点位置），其中 ，则四面体 的体
积最大值为 .
