文档内容
南京市教学研究室
新教材考点补充和新题型示例
目录
附录1：2025届高三数学一些记号、概念的补充..................................................................................................2
1．导数概念................................................................................................................................................................2
2．存在性命题............................................................................................................................................................2
3．投影、投影向量的概念........................................................................................................................................2
4．两个平面的夹角：人教版新教材 选择性必修一 新增概念........................................................................3
5．概率统计中几个概念表示....................................................................................................................................4
6．利用直方图、表计算中位数、众数....................................................................................................................4
7．残差分析................................................................................................................................................................5
8．决定系数R2...........................................................................................................................................................7
附录2：任子朝——新题型示例.............................................................................................................................13
附录3：统计概率——说理问题.............................................................................................................................17
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附录 1：2025 届高三数学一些记号、概念的补充
1．导数概念
f(x ＋Δx)－f(x ) f(x ＋Δx)－f(x )
“当Δx→0时， 0 0 →A”，记作lim 0 0 ＝A．
Δx Δx→0 Δx
2．存在性命题
含有存在量词的命题，叫做特称命题，也称为存在性命题．
3．投影、投影向量的概念
→ → →
3.1 投影、投影向量：对于平面内任意两个非零向量a，b，设OA＝a，OB＝b，过点A作OB所在直线的
垂线，垂足为点A ，
1
我们将上述由向量a得到向量OA 的变换称为向量a向向量b投影，
1
向量OA 为a在b方向上的投影向量.
1
记＜a，b＞＝θ，则a在b方向上的投影向量为|a|cosθ b ＝ a·b b．
|b| |b|2
3.2 空间距离的计算公式
(1)点面距离
→
设P是平面α外一点，A为平面α内任意一点，n为平面α的法向量，则点P到平面α的距离d＝
|AP·n|
．
|n|
向量方法研究空间距离的一般方法：
第一步，确定法向量；
第二步，确定参考向量；
第三步，确定参考向量到法向量的投影向量；
第四步，求投影向量的长度．
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(2)点线距离：
方法1：设P是直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l确定的平面内，取一个
→
直线l的法向量n，则点P到直线l的距离d＝
|AP·n|
．
|n|
方法2：设P是直线l外一点，A是l上任意一点，e为直线l的方向向量，则点P到直线l的距离d
→
→
→ → → → → AP·e → (AP·e)2
＝|AP|sin＜AP，e＞＝|AP| 1－cos2＜AP，e＞＝|AP| 1－( )2＝ |AP|2－
→
|AP||e|
|e|2
(3)异面直线间的距离
设A，P分别为异面直线a，b上的点，n是与直线a，b都垂直的向量，则异面直线
→
a，b间的距离
|AP·n|
．
|n|
3.3 三余弦定理/最小角定理(苏教版选择性必修二P45T6)
已知平面的一条斜线和它在平面内的射影的夹角为θ ，平面内的一条直线和这条斜线在平面内的射影
1
的夹角为θ ．设斜线和平面内这条直线的夹角为为θ，则cosθ＝cosθ cosθ ．
2 1 2
4．两个平面的夹角：人教版新教材 选择性必修一 新增概念
如图所示，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平
面α与平面β的夹角．
类似于两条异面直线所成的角，若平面α，β的法向量分别为n ，n ，则平面α与平面β的夹角即为向量
1 2
n ，n 的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos＜n ，n ＞|＝|n 1 ·n 2|＝|n 1 ·n 2 |．
1 2 1 2
|n ||n | |n ||n |
1 2 1 2
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5．概率统计中几个概念表示
随机变量X的均值(数学期望)表示为E(X)或 ；
随机变量X的方差记为D(X)或 ，有时也记为Var(X)；
随机变量X的标准差记为 D(X)或 ；
n(ad－bc)2 n(ad－bc)2
独立性检验中，统计量可以表示为χ2＝ 或K2＝ ．
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d) (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
6．利用直方图、表计算中位数、众数
例1 根据频率分布直方图估计众数、中位数
对某小区100户居民月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图如图，则估计此样本的众数、
中位数分别为( )
A．2.25，2.5 B．2.25，2.02 C．2，2.5 D．2.5，2.25
0.50
0.44
0.30
0.16
0.08
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 用水量（吨）
【答案】B
【解析】由图可知，前五组的频率依次为0.04，0.08，0.15，0.22，0.25，因此，前5组的频次依次为4，8，
15，22，25，而以后的各组的频数均低于25，根据众数的定义，众数是频数最多的数，在第5组中用组中
值表示该组的值，故估计此样本的众数为2.25．
根据中位数的定义，在样本中有50%个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数．因
此，在频率直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，也即位于中位数两侧的数据的频率之
和均为0.5．因为前4组的频率之和0.04＋0.08＋0.15＋0.22＝0.49＜0.5，前5组的频率之和大于0.5，所以
中位数应该在第5组内．
在直方图中，无法知道每个组内的数据是如何分布的，我们通常假设它们在组内是均匀分布的，故若
设中位数为x，则0.49＋(x－2)×0.5＝0.5，解得x＝2.02．
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所以估计中位数为2.02，故选B．
练习 一组数据的频率分布表如下：
分组 频数 频率
[80，85) 1 0.01
[85，90) 2 0.02
[90，95) 4 0.04
[95，100) 14 0.14
[100，105) 24 0.24
[105，110) 15 0.15
[110，115) 12 0.12
[115，120) 9 0.09
[120，125) 11 0.11
[125，130) 6 0.06
[130，135) 2 0.02
合计 100 1
试估计这组数据的众数和中位数．
100＋105 0.05 320
【答案】估计这组数据的众数为 ＝102.5，中位数为105＋ ×5＝ ．
2 0.15 3
7．残差分析
^
对于数据组(x，y)(i＝1，2，3，…，n)，如果由线性回归方程得到的对应于自变量x 的估计值是y，那
i i i i
么我们将
^
y － y (i＝1，2，3，…，n)
i i
称为相应于点(x，y)的残差(residual)，记为 ．以自变量x 或因变量y 为横坐标，对应的残差 为纵
i i i i i i
坐标作点，我们将由此所作的图形称为残差图．
通常情况下，残差图中的点列集中于靠近横轴的较为狭窄的区域内，且横轴上下分布比较均匀时，这
种模型的拟合效果较好．
例题 ：下面给出了根据我国2012~2018年水果人均占有量y(单位：kg)和年份代码x绘制的散点图和线性
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回归方程的残差图．(2012~2018年的年份代码x分别为1~7)
(1)根据散点图分析y与x之间的相关关系；
7 7
(2)根据散点图相应数据计算得∑y＝1074，∑xy＝4517，求y关于x的线性回归方程；
i i i
i＝1 i＝1
(3)根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果．(精确到0.01)
n － －
∑， (x－x)(y－y)
^ ^ ^ ^ i i
附：回归方程y＝bx＋a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝ i＝1 ＝
n －
∑(x－x)2
i
i＝1
n －－
∑， xy－nx y
i i
i＝1 ，
n －
∑x2－nx 2
i
i＝1
^ － ^－
a＝y －bx．
解：(1)从散点图可以看出，这些点的分布整体上在一条直线附近，且当x由小变大时，y也由小变大，
所以y与x之间具有线性相关关系，且是正相关．
－ 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7 － 7 1074
(2)由题意可知，x ＝ ＝4，y ＝∑y＝ ，
i
7 i＝1 7
7
∑x2＝12＋22＋32＋42＋52＋62＋72＝140，
i
i＝1
7 －－ 1074
∑， xy－7x y 4517－7×4×
^ i i 221
所以b＝ i＝1 ＝ 7 ＝ ≈7.89，
7 － 140－7×42 28
∑x2－7x2
i
i＝1
^ － ^－ 1074
所以a＝y －bx＝ －7.89×4≈121.87，
7
^
所以y关于x的线性回归方程为y＝7.89x＋121.87．
(3)答案示例1：由残差图可以看出，图中各点比较均匀地分布在数值0所在直线附近，带状区域很窄，
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说明对应的回归直线拟合效果较好．
答案示例2：由题中所给的残差图知历年数据的残差均在－2到2之间，说明线性回归方程的拟合
效果较好．
【说明】本题是一道关于线性回归方程的残差分析的问题，着重考查数据分析、数学建模、直观想象与数
学运算素养．其中，第(1)问利用散点图判断相关关系，考查识图能力；第(2)问利用公式计算线性
回归方程，考查计算能力；第(3)问利用残差图分析线性回归方程的拟合效果，考查表达能力．
8．决定系数 R2
【问题】人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”．表1给出了1968年之前男子短跑
100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据．试依据这些成对数据，建立男子短跑100m世界纪录关于纪
录产生年份的经验回归方．
表1
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
年份 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968
记录/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95
以成对数据中的世界纪录产生年份为横坐标，世界纪录为纵坐标作散点图，得到图1．
图1
在图1中，散点看上去大致分布在一条直线附近，似乎可用一元线性回归模型建立经验回归方程．
用Y表示男子短跑100m的世界纪录，t表示纪录产生的年份，利用一元线性回归模型
Y＝bt＋a＋e，
E(e)＝0，D(e)＝σ2
来刻画世界纪录和世界纪录产生年份之间的关系．根据最小二乘法，由表中的数据得到经验回归方程为
^
y ＝－0.02033743t＋49.76913031．①
1
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将经验回归直线叠加到散点图，得到图2．
图2
【观察】
从图2中可以看到，经验回归方程①较好地刻画了散点的变化趋势．请再仔细观察图形，你能看出其
中存在的问题吗?
以经验回归直线为参照，可以发现经验回归方程的不足之处，以及散点的更为精细的分布特征．例如，
第一个世界纪录所对应的散点远离经验回归直线，并且前后两时间段中 的散点都在经验回归直线的上方，
中间时间段的散点都在经验回归直线的下方．这说明散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，而是围
绕着经验回归直线有一定的变化规律，即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征．
【思考】
你能对模型进行修改，以使其更好地反映散点的分布特征吗?
仔细观察图2，可以发现散点更趋向于落在中间下凸且递减的某条曲线附近．回顾已有的函数知识，
可以发现函数y＝－lnx的图象具有类似的形状特征．注意到100m短跑的第一个世界纪录产生于1896年，
因此可以认为散点是集中在曲线
y＝f(t)＝c ＋c ln(t－1895)
1 2
的周围，其中c 和c 为未知的参数，且c ＜0．
1 2 2
用上述函数刻画数据变化的趋势，这是一个非线性经验回归函数，其中c ，c 是待 定参数．现在问
1 2
题转化为如何利用成对数据估计参数c 和c ．
1 2
为了利用一元线性回归模型估计参数c 和c ，我们引进一个中间变量x，x＝ln(t－1895)．通过x＝ln(t
1 2
－1895)，将年份变量数据进行变换，得到新的成对数据 (精确到0.01)，如表3所示．
表3
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
x 0.00 2.83 3.26 3.56 3.71 4.11 4.17 4.29
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Y/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95
如果表3对应的散点图呈现出很强的线性相关特征，我们就可以借助一元线性回 归模型和新的成对
数据，对参数c 和c 作出估计，进而可以得到Y关于t的非线性经验回归方程．
1 2
在直角坐标系中画出表3中成对数据的散点图，如图3所示，散点的分布 呈现出很强的线性相关特
征．
图3
因此，用一元线性回归模型
Y＝c x＋c ＋μ，
2 1
E(μ)＝0，D(μ)＝σ2
拟合表3中的成对数据，得到经验回归方程
^
y ＝－0.4264398x＋11.8012653．(*)
2
再在图3中画出(*)式所对应的经验回归直线，得到图4．
图4
图4表明，经验回归方程(*)对于表2中的成对数据具有非常好的拟合精度．将图4与图2进行对比，
可以发现x和Y之间的线性相关程度比原始样本数据的线性相关程度强得多．
将x＝ln(t－1895)代入(*)式，得到由创纪录年份预报世界纪录的经验回归方程
^
y ＝－0.4264398ln(t－1895)＋11.8012653．②
2
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在同一直角坐标系中画出成对数据散点图、非线性经验回归方程②的图象(蓝色)以及经验回归方程①
的图象(红色)，如图5所示．我们发现，散点图中各散点都非常 靠近②的图象，表明非线性经验回归方程
②对于原始数据的拟合效果远远好于经验回归方程①．
下面通过残差来比较这两个经验回归方程对数据刻画的好坏．在表1中，用t 表示编号为i的年份数
i
据，用y 表示编号为i的纪录数据，则经验回归方程①和②的残差计算公式分别为
i
^
e＝y＋0.02033743t－49.76913031，i＝1，2，…，8；
i i i
^
u＝y＋0.4264398ln(t－1895)－11.8012653，i＝1，2，…，8．
i i i
图5
两个经验回归方程的残差 (精确到0.001)如表8.27所示．观察各项残差的绝对值，发现经验回归方程
②远远小于①，即经验回归方程②的拟合效果要远远好于①．
表4
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
t 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968
^ 0.591 －0.284 －0.301 －0.218 －0.196 0.111 0.092 0.205
e
^ －0.001 0.007 －0.012 0.015 －0.018 0.052 －0.021 －0.022
u
在一般情况下，直接比较两个模型的残差比较困难，因为在某些散点上一个模型的残差的绝对值比另
一个模型的小，而另一些散点的情况则相反．可以通过比较残差的平方和来比较两个模型的效果．由
8 ^ 8 ^
Q ＝∑(e)2≈0.669，Q ＝∑(μ)2≈0.004，
1 i 2 i
i＝1 i＝1
可知Q 小于Q ．因此在残差平方和最小的标准下，非线性回归模型
2 1
Y＝c ln(t－1985)＋c ＋μ，
2 1
E(μ)＝0，D(μ)＝σ2
的拟合效果要优于一元线性回归模型的拟合效果．
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也可以用决定系数R2来比较两个模型的拟合效果，R2的计算公式为
n ^
∑， (y－y)2
i i
R2＝1－ i＝1
n －
∑(y－y)2
i
i＝1
n － n －
在R2表达式中，∑(yi－y)2 与经验回归方程无关，残差平方和∑(yi－y)2与经验回归方程有关．因
i＝1 i＝1
此R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟
合效果越差．
由表4容易算出经验回归方程①和②的R2分别约为0.7325和0.9983，因此经 验回归方程②的刻画效
果比经验回归方程①的好很多．
另外，我们还可以用新的观测数据来检验模型的拟合效果．事实上，我们还有1968 年之后的男子短
跑100m世界纪录数据，如表5所示
表5
编号 9 10 11 12 13 14
t 1983 1988 1991 1991 1994 1996
Y/s 9.93 9.92 9.90 9.86 9.85 9.84
编号 15 16 17 18 19 20
t 1999 2005 2007 2008 2008 2009
Y/s 9.79 9.77 9.74 9.72 9.69 9.58
在散点图6中，绘制表5中的散点 (绿色)，再添加经验回归方程①所对应 的经验回归直线 (红色)，
以及经验回归方程②所对应的经验回归曲线 (蓝色)，得到图6．显然绿色散点分布在蓝色经验回归曲线的
附近，远离红色经验回归直线，表明经验回归方程②对于新数据的预报效果远远好于①．
图6
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例题 某兴趣小组研究光照时长x(h)和向日葵种子发芽数量y(颗)之间的关系，采集5组数据，作如图所示
的散点图．若去掉D(10，2)后，下列说法正确的是( )
A．相关系数r变小 B．决定系数R2变小
C．残差平方和变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
【答案】D
【解析】从图中可以看出D(10，2)较其他点偏离直线远，故去掉D(10，2)后，回归效果更好．
对于选项A，相关系数|r|越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉D(10，2)后，相关系数r变大，
故A错误；
对于选项B，决定系数R2越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉D(10，2)后，决定系数R2变大，
故B错误；
对于选项C，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，若去掉D(10，2)后，残差平方和变小，故C错
误；
对于选项D，若去掉D(10，2)后，解释变量x与预报变量y的相关性变强，且是正相关，故D正确．
故选D．
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附录 2：任子朝——新题型示例
例1 多项选择题：
某城市为促进家庭节约用电，计划制定阶梯电价，阶梯电价按年月均用电量从低到高分为一、二、三、
四档，属于第一档电价的家庭约占10，属于第二档电价的家庭约占40，属于第三档电价的家庭约占
30，属于第四档电价的家庭约占20．为确定各档之间的界限，从该市的家庭中抽查了部分家庭，调查
了他们上一年度的年月均用电量(单位：千瓦时)，由调查结果得如图的直方图．
由此直方图可以做出的合理判断是( )
A．年月均用电量不超过80千瓦时的家庭属于第一档
B．年月均用电量低于200千瓦时，且超过80千瓦时的家庭属于第二档
C．年月均用电量超过240千瓦时的家庭属于第四档
D．该市家庭的年月均用电量的平均数大于年月均用电量的中位数
【答案】ACD
【解析】根据频率分布直方图，得：
对于A，年月均用电量不超过80千瓦时的家庭频率是0.0025×40＝0.1，属于第一档，是正确的；
对于B，年月均用电量低于200千瓦时，且超过80千瓦时的家庭的频率是
0.0040×40＋0.0060×40＋0.0045×40＝0.58＞0.40，属于第二档，是错误的；
对于C，年月均用电量超过240千瓦时的家庭的频率是0.0020×40＋0.0010×40×3＝0.20，属于
第四档，是正确的；
对于D，由频率分布直方图知，该组数据多集中在200以前的小数据，所以中位数应较小，平均
数因受极大值的影响，平均数应大于中位数，是正确的．
综上，判断正确的是ACD．
【说明】本题考查了频率分布直方图的应用，解题时应根据频率分布直方图，结合题意进行解答．
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例2 逻辑题：
甲、乙、丙、丁四人商量去看电影．
甲说：乙去我才去；
乙说：丙去我才去；
丙说：甲不去我就不去；
丁说：乙不去我就不去．
最后有人去看电影，有人没去看电影，则不去的人是 ．
【答案】丁
【解析】由题意，丙去，则甲乙去，丁不去，符合题意，故答案为丁．
【说明】本题着重考查逻辑推理素养，体现分类讨论的思想．
例3 数据分析题：
为了比较两种复合材料制造的轴承(分别称为类型I轴承和类型II轴承)的使用寿命，检验了两种类
型轴承各30个，它们的使用寿命(单位：百万圈)如下表：
类型I
6.2 6.4 8.3 8.6 9.4 9.8 10.3 10.6 11.2 11.4 11.6 11.6 11.7 11.8 11.8
12.2 12.3 12.3 12.5 12.5 12.6 12.7 12.8 13.3 13.3 13.4 13.6 13.8 14.2 14.5
类型Ⅱ
8.4 8.5 8.7 9.2 9.2 9.5 9.7 9.7 9.8 9.8 10.1 10.2 10.3 10.3 10.4
10.6 10.8 10.9 11.2 11.2 11.3 11.5 11.5 11.6 11.8 12.3 12.4 12.7 13.1 13.4
根据上述表中的数据回答下列问题：
(1)对于类型I轴承，应该用平均数还是中位数度量其寿命分布的中心?说明理由；
(2)若需要使用寿命尽可能大的轴承，从中位数或平均数的角度判断：应选哪种轴承?说明理由；
(3)若需要使用寿命的波动性尽可能小的轴承，应选哪种轴承?说明理由．
解：(1)由于类型I轴承的使用寿命数据中的6.2，6.4与其他数据有明显的差异，所以应该用中位数度量其
寿命分布的中心．
(2)由上表可知，
类型I轴承的使用寿命按由小到大排序，排在15，16位是11.8，12.2，故中位数为12；
类型II轴承的使用寿命按由小到大排序，排在15，16位是10.4，10.6，故中位数为10.5．
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因为12＞10.5，所以应选类型I轴承．
(3)由上表可以大致看出类型I轴承的使用寿命的标准差大于类型II轴承的使用寿命的标准差，表明类
型II轴承稳定性较好，波动性较小，所以应选类型II轴承．
【说明】本题考查了样本的数字特征，着重考查了数据分析素养，考查了分析与解决问题的能力．
例4 判断题：
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则总有a＋b＞c．由正弦定理得sinA＋sinB＞sinC．由
导数公式：(sinx)'＝cosx，可以得到结论：对任意△ABC，有cosA＋cosB＞cosC．上述结论是否正确?
如果不正确，请举出反例，并指出推导过程中的错误．
解：上述结论不正确．
π π π
例如：当A＝ ，B＝ ，C＝ 时，cosA＋cosB＜cosC．
2 3 6
错误：求导运算不保证不等式关系不变．即用了一个错误的结论“由f(x)＞g(x)，得出f'(x)＞g'(x)”．
【说明】本题考查了类比推理，需要注意的是类比推理的结论不一定正确．若要说明结论成立，需要进行
证明；若要说明结论不成立，则需举出反例．
例5 开放题：
类似于圆的切线，将与椭圆只有一个公共点的直线称为椭圆的切线．
x2 y2
已知椭圆C： ＋ ＝1的中心为O，右顶点为 A，在线段OA上任意选定一点M(m，0)(0＜m＜2)，
4 2
过点M作与x轴垂直的直线交C于P，Q两点．
(Ⅰ)设m＝1，在OM的延长线上求一点N，使得|OM|，|OA|，|ON|成等比数列，并证明直线 PN，
QN都是C的切线；
x2 y2
(Ⅱ)通过解答(Ⅰ)，猜想求过椭圆 ＋ ＝1上一点G(x ，y )(x ≠0，y ≠0)的切线方程的一种方法，
0 0 0 0
a2 b2
再加以证明．
解：(Ⅰ)由已知条件得：|OM|＝1，|OA|＝2，
3 6
设P(1，y)，则y2＝ ，所以P(1，± )．
2 2
因为|OM|，|OA|，|ON|成等比数列，
|OA|2
所以|OA|2＝|OM||ON|，即|ON|＝ ＝4，所以N(4，0)．
|OM|
6 x2 y2
直线PN的方程为：y＝± (x－4)代入椭圆C： ＋ ＝1，
6 4 2
15南京市教学研究室
整理得：x2－2x＋1＝0．
因为Δ＝4－4＝0，
所以直线PN与C相切．
a2
(Ⅱ)在x轴上取点N( ，0)，连结GN，则直线GN为点G处的切线方程．
x
0
证明：设直线GN的方程为：y＝k(x－ a2 )(其中k＝ y 0 ＝ x 0 y 0 )，
x 0 x 0 － a2 x 0 2－a2
x
0
a2 x2 y2
把y＝k(x－ )代入 ＋ ＝1(a＞b＞0)，
x a2 b2
0
2a4b2 a6k2
整理得：(b2＋a2k2)x2－ x＋ －a2b2＝0，
x x 2
0 0
判别式Δ＝(a4－a2x 2)k2－b2x 2 (1)，
0 0
x 2 y 2
因为点G在椭圆C上，所以 0 ＋ 0 ＝1(2)
a2 b2
又k＝ y 0 ＝ x 0 y 0 (3)
x 0 － a2 x 0 2－a2
x
0
把(2)(3)代入(1)得：判别式Δ＝(a4－a2x 2)( x 0 y 0 )2－b2x 2＝ x 0 2(a2y 0 2＋ b2x 0 2－a2b2) ＝0，
0 0
x 0 2－a2 a2－ x 0 2
所以直线GN为所求的切线．
【说明】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，注意直线方程与椭圆方
程联立，运用判别式Δ＝0，考查化简整理的运算求解能力，具有一定的开放性．
16南京市教学研究室
附录 3：统计概率——说理问题
1．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案
如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一
轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就
停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠
治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未
治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别
记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
(1)求X的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认
i
为甲药比乙药更有效”的概率，则p ＝0，p ＝1，p＝ap ＋bp＋cp (i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－
0 8 i i－1 i i＋1
1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8．
(i)证明：{p －p}(i＝0，1，2…，7)为等比数列；
i＋1 i
(ii)求P ，并根据P 的值解释这种试验方案的合理性．
4 4
【答案】见解析
【解析】 (1)解：X的所有可能取值为－1，0，1．
P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)，
所以X的分布列为：
X －1 0 1
P (1－α)β αβ＋(1－α)(1－β) α(1－β)
(2)(i)证明：因为α＝0.5，β＝0.8，
所以由(1)得，a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1．
因此p＝0.4p ＋0.5p＋0.1p (i＝1，2，…，7)，
i i－1 i i＋1
故0.1(p －p)＝0.4(p－p )，即(p －p)＝4(p－p )，
i＋1 i i i－1 i＋1 i i i－1
又因为p －p ＝p ≠0，
1 0 1
所以{p －p}(i＝0，1，2，…，7)为公比为4，首项为p 的等比数列；
i＋1 i 1
(ii)解：由(i)可得，p ＝(p －p )＋(p －p )＋…＋(p －p )＝p 1 (1－48)＝48－1 p ，
8 8 7 7 6 1 0 1
1－4 3
因为p ＝1，∴p ＝ 3
8 1
48－1
17南京市教学研究室
所以P ＝(p －p )＋(p －p )＋(p －p )＋(p －p )＝44－1 p ＝ 1 ．
4 4 3 3 2 2 1 1 0 1
3 257
P 表示最终认为甲药更有效的概率．
4
由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为0.8 时，认为甲药更有效的概率为 P ＝
4
1 ≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
257
2．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1
代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表
示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝p(i＝0，1，2，3)．
i
(1)已知p ＝0.4，p ＝0.3，p ＝0.2，p ＝0.1，求E(X)；
0 1 2 3
(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p ＋p x＋p x2＋p x3＝x
0 1 2 3
的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)＞1时，p＜1；
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．
解：(1)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1．
(2)解法1：p ＋p x＋p x2＋p x3－x＝0，x＞0．令f(x)＝p ＋p x＋p x2＋p x3－x，f'(x)＝p ＋2p x＋3p x2
0 1 2 3 0 1 2 3 1 2 3
－1，f''(x)＝2p ＋6p x≥0，所以f'(x)在(0，＋∞)上单调递增．
2 3
①当E(X)＝p ＋2p ＋3p ≤1时，当x∈(0，1]时，f'(x)≤f'(1)＝p ＋2p ＋3p －1≤0，所以f(x)在(0，1]
1 2 3 1 2 3
上单调递减，注意到f(1)＝0，所以f(x)在x∈(0，1]上有唯一零点x＝1，即p＝1．
②当E(X)＝p ＋2p ＋3p ＞1时，注意到f'(0)＝p －1＜0，f'(1)＝p ＋2p ＋3p －1＞0，f'(x)在(0，＋
1 2 3 1 1 2 3
∞)上单调递增，所以存在唯一x ∈(0，1)，使得f'(x )＝0．
0 0
当0＜x＜x 时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；当x ＜x＜1时，f'(x)＞0，f(x)单调递增．
0 0
因为f(0)＝p ＞0，f(1)＝0，所以f(x )＜f(1)＝0，所以f(x)在(0，x )上有唯一零点x ，所以p＝x ＜1．
0 0 0 1 1
解法2：由题意知p ＋p ＋p ＋p ＝1，E(X)＝p ＋2p ＋3p．
0 1 2 3 1 2
由p ＋p x＋p x2＋p x3＝x，得p ＋p x2＋p x3－(1－p )x＝0，即p ＋p x2＋p x3－(p ＋p ＋p )x＝0，
0 1 2 3 0 2 3 1 0 2 3 0 2 3
整理得p (1－x)＋p x(x－1)＋p x(x－1)(x＋1)＝0，所以(x－1)[p x2＋(p ＋p )x－p ]＝0．
0 2 3 3 2 3 0
p ＋p
令f(x)＝p x2＋(p ＋p )x－p ，f(x)的对称轴为x＝－ 2 3＜0．
3 2 3 0
2p
3
注意到f(0)＝－p ＜0，f(1)＝2p ＋p －p ＝p ＋2p ＋3p －1＝E(X)－1．
0 3 2 0 1 2 3
当E(X)≤1时，f(1)≤0，f(x)的正实根x ≥1，原方程的最小正实根p＝1；
0
当E(X)＞1时，f(1)＞0，f(x)的正实根x ＜1，原方程的最小正实根p＝x ＜1．
0 0
(3)当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝，当1个
微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能．
18南京市教学研究室
3．最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为p(0＜p＜1)．现对该产品进行
独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次．记X为试验结
束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为a(a＞0)元．
(1)①写出X的分布列；
1
②证明：E(X)＜ ；
p
(2)某公司意向投资该产品．若p＝0.25，且试验成功则获利5a元，则该公司如何决策投资，并说明理
由．
(3)结合生活中的具体案例谈谈该模型的应用．
解：(1)①当1≤X≤9时，P(X＝i)＝(1－p)i－1p，i＝1，2，…，9．
当X ＝10时，P(X＝10)＝(1－p)9．
(1－p)i－1p ，i＝1，2，…，9，
所以P(X＝i)＝
(1－p)9 ，i＝10．
9 9
②E(X)＝∑i(1－p)i－1p＋10(1－p)9＝p∑i(1－p)i－1＋10(1－p)9．
i＝1 i＝1
9
令S＝∑i(1－p)i－1，则E(X)＝pS＋10(1－p)9．
i＝1
则S＝1＋2(1－p)＋3(1－p)2＋…＋8(1－p)7＋9(1－p)8，(1－p)S＝(1－p)＋2(1－p)2＋…＋7(1－p)7＋8(1
－p)8＋9(1－p)9，
1－(1－p)9
两式相减，得pS＝1＋(1－p)＋(1－p)2＋…＋(1－p)7＋(1－p)8－9(1－p)9 ＝ －9(1－p)9，
p
1－(1－p)9 1
所以E(X)＝ ＋(1－p)9＝ [1－(1－p)10]．
p p
因为0＜p＜1，所以0＜1－(1－p)10＜1，
1
所以E(X)＜ ．
p
(2)当p＝0.25时，由(1)得E(X)＜4，则a×E(X)＜4a＜5a，
即试验结束后的平均成本小于试验成功的获利，
所以该公司可以考虑投资该产品．
(3)例如：一个投资公司可以根据一个产品成功的概率及成本收入提供是否可以投资的依据．
4．人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理
论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然
后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本
原理，我们可以设计如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，
19南京市教学研究室
其中甲袋中有9个红球和1个白球；乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从
该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到
1
甲袋或乙袋的概率均为 (先验概率)．
2
(1)求首次试验结束的概率；
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整．
①求选到的袋子为甲袋的概率；
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原
来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率
更大．
(3)结合上述模型谈谈该模型的价值．
解：设“选到甲袋”为事件A ，“选到乙袋”为事件A ，“摸到红球”为事件B ，“摸到白球”为事件B ，
1 2 1 2
1 9 1 2 11
(1)P(B )＝P(A )P(B |A )＋P(A )P(B |A )＝ × ＋ × ＝ ．
1 1 1 1 2 1 2
2 10 2 10 20
11
答：首次试验结束的概率为 ．
20
(2)①因为B ，B 是对立事件，
1 2
9
所以P(B )＝1－P(B )＝ ．
2 1
20
1 1
×
所以P(A |B )＝ P(A 1 B 2 ) ＝ P(B 2 |A 1 )P(A 1 ) ＝ 10 2 ＝ 1 ，
1 2
P(B 2 ) P(B 2 ) 9 9
20
1
答：选到的袋子为甲袋的概率为 ．
9
1 8
②若选择方案一，则原来袋子是甲袋的概率为 ，是乙袋的概率为 ，
9 9
所以方案一中取到红球的概率
1 9 8 2 5
P ＝P(A )P(B |A )＋ P(A )P(B |A )＝ × ＋ × ＝ ．
1 1 1 1 2 1 2
9 10 9 10 18
8 1
若选择方案二，则另一个袋子是甲袋的概率为 ，是乙袋的概率为 ，
9 9
所以方案二中取到红球的概率
8 9 1 2 37
P ＝P(A )P(B |A )＋ P(A )P(B |A )＝ × ＋ × ＝ ．
2 1 1 1 2 1 2
9 10 9 10 45
37 5
因为 ＞ ，所以选择方案二第二次试验结束的概率更大．
45 18
(3)这个原理说明我们对事物的可能性会随着观察而不断变化，不断调整它们在我们心中的可能性．
20南京市教学研究室
例如，根据该模型的原理，我们能根据结果来调整对某些事物判断的概率，并不断根据结果来优化判
断，从而做出更好的决策．
5．进行独立重复试验，每次成功的概率为p(0＜p＜1)，失败的概率为1－p，将试验进行到恰好出现r次
成功时结束试验，以X表示试验次数，则称X服从以r，p为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记为X~NB(r，
p)．
1
(1)若X~NB(3， )，求P(X＝5)；
3
1
(2)若X~NB(2， )，n∈N*，n≥2．
2
n
①求∑P(X＝i)；
i＝2
3
②要使得在n次内结束试验的概率不小于 ，求n的最小值．
4
(3)结合上述模型谈谈该模型蕴含的道理．
1
解：(1)因为X~NB(3， )，
3
1 1 4 1 8
所以P(X＝5)＝C2(1－ )2×( )3＝6× × ＝ ．
4
3 3 9 27 81
(2)①方法1
1
因为X~NB(2， )，
2
1 1 1
所以P(X＝i)＝C1
i－1
×(1－ )i－2×( )2＝(i－1)·( )i．
2 2 2
n 1 1 1
记S＝∑P(X＝i)＝1×( )2＋2×( )3＋…＋(n－1)·( )n，
i＝2 2 2 2
1 1 1 1
则 S＝1×( )3＋2×( )4＋…＋(n－1)·( )n＋1 ，
2 2 2 2
1 1 1 1 1
两式相减，得 S＝( )2＋( )3＋…＋( )n－(n－1)·( )n＋1
2 2 2 2 2
1 1
( )2[1－( )n－1]
＝ 2 2 －(n－1)·( 1 )n＋1＝ 1 －( 1 )n－(n－1)·( 1 )n＋1
1 2 2 2 2
1－
2
2n－n－1
＝ ，
2n＋1
2n－n－1 n 2n－n－1
所以S＝ ，即 ∑P(X＝i)＝ ．
2n i＝2 2n
方法2
n
∑ P(X＝i)＝P(X≤n)，
i＝2
21南京市教学研究室
事件“X≤n”的对立事件为“n次试验中，成功了0次或1次”．
1 1
“n次试验中，成功了0次”的概率p ＝(1－ )n＝ ；
1
2 2n
1 1 n
“n次试验中，成功了1次”的概率p ＝C1×(1－ )n－1× ＝ ．
2 n 2 2 2n
1 n 2n－n－1
所以P(X≤n)＝1－ － ＝ ，
2n 2n 2n
n 2n－n－1
即∑ P(X＝i)＝ ．
i＝2 2n
n 2n－n－1
②n次内结束试验的概率即为P(X≤n)，即∑P(X＝i)＝ ，
i＝2 2n
2n－n－1 3
所以 ≥ ，
2n 4
n＋1 1
即 ≤ ．
2n 4
n＋1 n＋2 n＋1 n
记f(n)＝ ，因为f(n＋1)－f(n)＝ － ＝－ ＜0，
2n 2n＋1 2n 2n＋1
所以f(n)为递减数列．
5 1 3 1
因为f(4)＝ ＞ ，f(5)＝ ＜ ，
16 4 16 4
n＋1 1
故使得不等式 ≤ 成立的最小正整数n为5，
2n 4
所以n的最小值为5．
(3)如果一件事情需要经过一定次数成功才能最终成功，我们就可以增加试验的次数，这样成功的概
率会越来越大．如果要想最终成功的概率超过某个值，那么至少需要一定数量的试验次数．
22
