文档内容
微专题：利用定义求双曲线中线段和、差的最值
【考点梳理】
利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：
（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；
（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.
【典例剖析】
典例1．已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，过双曲线 右焦点 的直线
与双曲线 相交于 ， 两点，弦 的中点为 ，点 是双曲线 右支上的动点，点 是以点 为圆心，
为半径的圆上的动点，点 是圆 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
典例2．已知 是双曲线 的左焦点，点 ， 是双曲线右支上的动点，则 的最小值为
（ ）
A．9 B．5 C．8 D．4
典例3．过双曲线 的右支上的一点P分别向圆 和圆 作切线，切点分
别为M，N，则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
典例4．已知双曲线 的左焦点为 ，点 在双曲线 的右支上， ，当 的周长最小时，
的面积为（ ）
A． B．9 C． D．4
【双基达标】
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司5．设F是双曲线 的左焦点， ，P是双曲线右支上的动点，则 的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．9
6．设双曲线 的左、右焦点分别为 ，若点P在双曲线上，且 为锐角三角形，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线 ： 的左、右焦点分别是 ， ，点 关于 ， 对称的点分别是 ， ，线段 的
中点在双曲线 的右支上，则 （ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
8．伦敦奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图
所示的双曲线屋顶的一段近似看成离心率为 的双曲线 上支的一部分，点F是C的下焦点，
若点P为C上支上的动点，则 与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．已知双曲线 的两个焦点分别为 ， ， 为坐标原点，若 为 上异干顶点的任意一点，
则 与 的周长之差为（ ）
A．8 B．16 C． 或8 D． 或16
10．已知双曲线 的一条渐近线为直线 ， 的右顶点坐标为 ．若点 是双曲线 右支上
的动点，点 的坐标为 ，则 的最小值为（ ）
A． B．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
11．已知 为双曲线 的左､右焦点，点 在双曲线的右支上，点 是平面内一定点.若
对任意实数 ，直线 与双曲线 的渐近线平行，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．设双曲线 ： 的左焦点和右焦点分别是 ， ，点 是 右支上的一点，则 的最小值
为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
13．已知点 是双曲线 的左焦点，定点 ， 是双曲线右支上动点，则 的最小值为
（ ）.
A．7 B．8 C．9 D．10
14．已知 ， 分别是双曲线 的左，右焦点，动点 在双曲线的左支上，点 为圆
上一动点，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C． D．
15．已知 分别是双曲线 的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆
上一动点，则 的最小值为（ ）
A．6 B．7 C． D．5
16．双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点P为C的左支上任意一点，直线l是双曲线
的一条渐近线， ，垂足为Q．当 的最小值为3时， 的中点在双曲线C上，则C的方程为
（ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
17．已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点 ， 在 轴上，中心在原点，点 的坐标为 ， 为双曲线
右支上一动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
18．已知 ， 是圆 上的点，点 在双曲线 的右支上，则 的最小值为
（ ）
A．9 B． C．8 D．7
19．已知双曲线 的左焦点为 ，M为C右支上任意一点，D的坐标为 ，则 的最大值
为（ ）．
A．3 B．1 C． D．
20．设 是双曲线 的右支上的点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
【高分突破】
一、单选题
21．已知 是双曲线 的左焦点， ， 是双曲线右支上的动点，则 的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
22．已知 ， 是双曲线 ： 的两个焦点，点 在直线 上，则 的最小值为
（ ）
A． B．6 C． D．5
23．已知 是双曲线 的左右焦点，点 在双曲线的右支上，点 是平面内一定点，
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司若对任何实数 ，直线 与双曲线 至多有一个公共点，则 的最小值（ ）
A． B． C． D．
24．已知 ，B是圆 上的点，点P在双曲线 的右支上，则 的最小
值为（ ）
A．9 B． C．10 D．12
25．已知椭圆 的一个焦点为F，双曲线 的左、右焦点，分别为 ， ，点P是双曲线左支上
一点，则 周长的最小值为（ ）
A．5 B． C．10 D．14
26．设 是双曲线 的右支上的点，则代数式 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
27．已知双曲线 的左焦点为F，点M在双曲线C的右支上， ，当 的周长最小时，
的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
28．已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，实轴长为4，点 为其右支上一点，点 在
以 为圆心、半径为1的圆上，若 的最小值为8，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
29．已知双曲线 的右焦点为 ，点A坐标为 ，点P双曲线左支上的动点，且
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司的周长不小于14，则双曲线C的离心率可能为（ ）
A． B．2 C． D．3
30．已知双曲线 ： 和点 ， ， 分别为双曲线的左、右焦点， 为双曲线上在第一象限内的
点，点 为 的内心，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为25 B．
C． D．若 ， ，则
31．双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 为 的左支上任意一点，直线 是双曲线的
一条渐近线， ，垂足为 .当 的最小值为3时， 的中点在双曲线 上，则（ ）
A． 的方程为 B． 的离心率为
C． 的渐近线方程为 D． 的方程为
32．双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 为 的左支上任意一点，直线 是双曲线的一条
渐近线， ，垂足为 .当 的最小值为3时，双曲线的离心率为 ，则下列正确的是（ ）
A． 的方程为 B． 的准线方程为
C． 的渐近线方程为 D． 的方程为
33．已知点 在双曲线 的左支上， ， 是该双曲线的右焦点，当 的周长取得最小值时，
下列说法正确的是（ ）
A． 为直角三角形 B． 的周长为2
C． 的坐标为 D． 的面积为
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司34．已知双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，点 的坐标为（0，1），点 为双曲线 左
支上的动点，且 的周长不小于14，则双曲线 的离心率可能为
A． B． C． D．3
三、填空题
35．已知 ， 分别是双曲线 ： 的左，右焦点，动点 在双曲线的左支上，点 为圆 ：
上一动点，则 的最小值为______．
36．设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线 交双曲线左支于 ， 两点，则 的
最小值为______．
37．若 是双曲线 的右支上的一点, 分别是圆 和 上的点,则
的最大值为_____________.
38．.已知双曲线 的一条渐近线的方程为 ，左、右焦点分别为 ， ，直线
过定点P，且 在双曲线C上，M为双曲线上的动点，则 的最小
值为____________.
39．已知双曲线的方程为 ，如图所示，点 ， 是圆 上的点，点 为其圆心，
点 在双曲线的右支上，则 的最小值为______
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司40．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 ，且线段 的中
点在 的渐近线上，当点 在 的右支上运动时， 的最小值为6，则双曲线 的实轴长为______.
41．过双曲线 的右支上一点 ，分别向圆 和圆 作切线，切点分别
为 ， ，则 的最小值为__________.
42．已知双曲线 ： ， ， 是其左右焦点.圆 ： ，点 为双曲线 右支上的动点，
点 为圆 上的动点，则 的最小值是________.
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司四、解答题
43．设圆 与圆 ，动圆C与圆 外切，与圆 内切．
(1)求动圆C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点 ，P为L上动点，求 最小值．
44．已知以原点 为中心的双曲线的一条准线方程为 ，离心率 ．
（Ⅰ）求该双曲线的方程；
（Ⅱ）如图，点 的坐标为 ， 是圆 上的点，点 在双曲线右支上，求 的最
小值，并求此时 点的坐标
45．已知 是双曲线 的右焦点， 是 左支上一点， ，当 周长最小时，求 的
面积．
46．如图所示， 地在 地的正东方向 处， 地在 地的北偏东30°方向 处，河流的沿岸 （曲线）上
任意一点到 的距离比到 的距离远 ．现要在曲线 上选一处 建一座码头，向 ， 两地转运货物．经测
算，从 到 ， 两地修建公路的费用都是 万元/ ，求修建这两条公路的最低总费用．
47．设圆C与两圆 ， 中的一个内切，另一个外切．
（1）求C的圆心轨迹L的方程；
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）已知点 ， ，且P为L上动点，求 的最大值及此时点P的坐标．
48．已知点A(3, 2), F(2, 0)，点P在双曲线x2－ ＝1上．
(1)当|PA|＋ |PF|最小时，求点P的坐标；
(2)求|PA|＋|PF|的最小值．
第 10 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【分析】由已知可得 ，设 ， ，由点差法可得 ，可得 ，可求 ，
圆 表示圆心为 ，半径为 ， ，计算可求最小值．
【详解】由双曲线 知渐近线方程为 ，
又双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，
， ， 双曲线方程为 ，
设 ， ，
， ，
，
又弦 的中点为 ，
， ，设 ，
，解得 ， ，解得 ，
所以双曲线的方程为 ，
由圆 的方程可得 ，
圆心为 ，半径为 ，
．
当且仅当 ， ， 三点共线时取等号．
故选：D．
2．A
【分析】根据双曲线的定义转化为 可求解.
【详解】设右焦点为 ，则 ，依题意，有 ，
，（当 在线段 上时，取等号）．
故 的最小值为9.
故选：A.
3．B
【分析】由切线 ，展开根据双曲线的定义以及双曲线的性质即可求解.
【详解】设双曲线的左、右焦点分别为 ，
第 11 页．
故选：B
4．A
【分析】设 的右焦点为 ，根据双曲线的定义可得当 ， ， 三点共线时， 的周长最小，然后联立
直线 和双曲线的方程，求出点 的纵坐标即可.
【详解】设 的右焦点为 ，由题意可得 ， ，因为 ，
所以 ， .
的周长为 ，
即当 ， ， 三点共线时， 的周长最小，
此时直线 的方程为 ，联立方程组 .解得 或 ，
即此时 的纵坐标为 ，故 的面积为 .
故选：A
5．B
【分析】由双曲线的的定义可得 ，于是将问题转化为求 的最小值，由
得出答案.
【详解】设双曲线的由焦点为 ，且点A在双曲线的两支之间.
由双曲线的定义可得 ,即
所以
当且仅当 三点共线时，取得等号.
故选：B
6．D
第 12 页【分析】由题意画出图形，不妨设 在第一象限， 点在 与 之间运动，求出 和 为直角时
的值，可得 为锐角三角形时 的取值范围．
【详解】 为锐角三角形，不妨设 在第一象限， 点在 与 之间运动，如图，
当 在 处， ，又
由 ， ，
可得 ，
此时 ；
当 在 处， ， ，
易知 则
此时
∴ 为锐角三角形，则 的取值范围是 ，
故选：D．
【点晴】关键点点晴：本题的关键在于求出 和 为直角时 的值.
7．C
【解析】由题意画出图形，设线段 的中点为 ，则由对称性可得 ， ， 分别是线段 ， ， 的中
点，再结合双曲线的定义可求得结果
【详解】如图，设线段 的中点为 ．由双曲线的定义可得 ．
由对称性可得 ， ， 分别是线段 ， ， 的中点，
则 ， ，
故 ．
故选：C
第 13 页8．D
【分析】先根据已知条件求出双曲线方程，则可求出焦点坐标和渐近线方程，上焦点为 ，则由双曲线的
定义可得 ，由双曲线的对称性取一条渐近线 ，设 到 的距离为 ，则将问题
转化为求出 ，而 的最小值为 到渐近线 的距离，从而可求得答案
【详解】因为双曲线 的离心率为 ，
所以 ，解得 ，则
双曲线方程为 ， ，
所以下焦点 ，渐近线方程为 ，
设上焦点为 ，则 ，
由双曲线的对称性，不妨取一条渐近线为 ，设 到 的距离为 ，则
与P到C的一条渐近线的距离之和为
，
因为 的最小值为 到渐近线 的距离 ，
所以 的最小值为 ，即 与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为5，
故选：D
9．D
【分析】将双曲线转化成标准方程，得到 ，根据双曲线的定义得出结论.
【详解】 的方程可化为 ，所以 ，
易知 与 周长差的绝对值为 ，
故 与 的周长之差为 或16.
故选：D.
10．C
【分析】求出双曲线的标准方程，双曲线的右准线方程，右焦点坐标，确定 在双曲线的外部，利用圆锥曲线的
统一定义把 转化为 到右焦点 的距离，然后易得最小值．
第 14 页【详解】设双曲线方程为 ，则 ，所以 ，
双曲线方程为 ， 得 ， ，因此 在双曲线外部（不含焦点的部分），
又 ，所以 ， ，即双曲线的右准线是 ，记双曲线的右焦点为 ，则
，
，所以当 是线段 与双曲线的交点时， 取得最小值，最小值不
，
所以 的最小值是 ．
故选：C．
11．A
【分析】根据双曲线的性质可得直线 与双曲线的渐近线方程为 ，重合或平行，即可求出 ，
再利用双曲线的定义转化可求最小值.
【详解】∵双曲线C： ，∴双曲线的渐近线方程为 ，
∵对任意实数m，直线 与双曲线C的渐近线平行，
∴直线 与双曲线的渐近线方程为 平行，
∴ ，∴ ，∴ 为 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 .
故选：A.
12．C
【分析】根据双曲线的方程求出 的值，由双曲线的定义可得 ，由双曲线的性质
可知 ，利用函数的单调性即可求得最小值.
【详解】由双曲线 ： 可得
， ，所以 ，
所以 ， ，
由双曲线的定义可得 ，所以 ，
第 15 页所以 ，
由双曲线的性质可知： ，令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以当 时，取得最小值 ，此时点 为双曲线的右顶点 ，
即 的最小值为 ，
故选：C.
13．C
【分析】设双曲线的右焦点为M，作出图形，根据双曲线的定义可得 ，可得出
，利用A、P、M三点共线时 取得最小值即可得解.
【详解】∵ 是双曲线 的左焦点，
∴ ， ， ， ，
设双曲线的右焦点为M，则 ，
由双曲线的定义可得 ，则 ，
所以 ，
当且仅当A、P、M三点共线时，等号成立，
因此， 的最小值为9.
故选：C.
第 16 页【点睛】关键点点睛：利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：
（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；
（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.
14．A
【分析】求得双曲线的 ， ， ，可得焦点坐标，求得圆 的圆心和半径，运用双曲线的定义和圆的性质，结合
三点共线取得最值的性质，即可得到所求最小值.
【详解】双曲线 中
， ， ， ，
， ，
圆 半径为 ， ，
，
(当且仅当 ， ， 共线
且 在 ， 之间时取等号)，
，
当且仅当 是线段 与双曲线的交点时取等号.
的最小值是7.
故选：
【点睛】本题考查双曲线的定义和方程､性质，以及圆的方程和性质，考查三点共线取得最值的性质，考查运算能
力，属于中档题.
15．A
【分析】由双曲线的定义及三角形的几何性质可求解.
【详解】如图，圆 的圆心为 ，半径为1， ， ，当 ， ，
三点共线时， 最小，最小值为 ，而 ，所以 ．
故选：A
第 17 页16．A
【解析】由双曲线定义 得到 ，再利用焦点到渐近线的距离
为 求得 设出渐近线方程求得 的中点坐标代入双曲线方程联解求得 的解.
【详解】解： ，
，
又 ， ，
双曲线的渐近线方程为： ，
即 ，
焦点到渐近线的距离为 ，
即 的最小值为b，
即 ，
不妨设直线OQ为： ，
，
点 ， ， 的中点为 ，
将其代入双曲线C的方程，得： ，
即 ，
解得：
又 ， ，
，
故双曲线C的方程为 ．
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用双曲线定义及焦点到渐近线的距离为 .
17．D
第 18 页【解析】先画出图像，再结合双曲线第一定义 ，三角形三边关系 ，当点 为
与双曲线的交点时， 取到最小值
【详解】如图，由双曲线第一定义得 ①，
又由三角形三边关系可得 ②（当点 为 与双曲线的交点时取到等号），①+②得：
，故 ，
由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8可得， ，则 ， ， ，
则
故选：D
【点睛】本题考查利用双曲线第一定义求解到两定点之间距离问题，数形结合与转化思想，属于中档题
18．C
【分析】根据题意作出示意图，利用双曲线的定义以及圆外的点到圆上点的最近距离计算方法，求解出
的最小值.
【详解】如图所示：设圆心为 ，双曲线右焦点为 ，且 ， ，
所以 ，当且仅当 ， ， 三点共线时取得等号．
故选：C.
【点睛】本题考查根据双曲线的定义求解线段和的最小值，难度一般.（1）求解和椭圆、双曲线有关的长度和的最
值问题，都可以通过相应的圆锥曲线的定义去分析问题；（2）圆外一定点到圆上点的距离的最值，可通过连接圆
外的点与圆心来分析求解.
19．D
第 19 页【分析】 ，计算即可求得结果.
【详解】双曲线的实半轴长为 ，右焦点为 ，
所以 ，
当且仅当M， ，D三点共线时取等号．
故选：D.
20．C
【分析】代数式 可化为 ，表示点 到点 的
距离与点 到点 的距离之差，根据双曲线定义可得 ，即可求解．
【详解】代数式 可化为 ，
表示点 到点 的距离与点 到点 的距离之差，
又双曲线 的左右焦点分别为 ， ， ，
根据双曲线定义可得 ，
，
是双曲线 的右支上的点，
则 ,当且仅当 共线时取等号，
，
故选： ．
21．A
【分析】由双曲线方程求出 ，再根据点 在双曲线的两支之间，结合 可求得答案
【详解】由 ，得 ，则 ，
所以左焦点为 ，右焦点 ，
则由双曲线的定义得 ，
因为点 在双曲线的两支之间，
所以 ，
所以 ，当且仅当 三点共线时取等号，
所以 的最小值为9，
故选：A
22．C
【分析】根据双曲线方程求出 ， 的坐标，设点 关于 对称的点为 ，求出点 的坐标，
则 ，由两点间距离公式计算 即可求解.
第 20 页【详解】由双曲线 ： 可得： ， ，所以 ，可得 ，
所以 ， ，
设点 关于 对称的点为 ，
由 可得 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 三点共线时等号成立，
，
所以 的最小值为 ，
故选：C.
23．C
【分析】根据直线 与双曲线公共点个数可知其与双曲线渐近线平行或重合，由此可求得 ；利用双曲
线定义可得 ，可知当 三点共线时取得最小值.
【详解】由双曲线方程可之其渐近线方程为： ；
直线 与双曲线 至多有一个公共点， 与双曲线渐近线重合或平行， ，解
得： ；
双曲线 ，则 ， ，
第 21 页由双曲线定义知： ，
（当且仅当 三点共线时取等号），
又 ， .
故选：C.
24．C
【解析】求出C的坐标，则点A， 是双曲线的焦点，利用双曲线的定义，可得： ，推出
即可.
【详解】设点 ，点B在圆上，则 ，
由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点，
设 为双曲线右焦点，所以由双曲线定义知 ，
所以 ，
故选：C．
【点睛】方法点睛：（1）求解和椭圆、双曲线有关的长度和的最值问题，都可以通过相应的圆锥曲线的定义去分
析问题；
（2）圆外一定点到圆上点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.
25．D
【分析】先确定相关点的坐标，然后运用双曲线的定义转化边的关系，最后根据三点共线即可求得最小值.
【详解】根据椭圆方程，不妨设 ，根据双曲线方程，可知 ，从而可知 ，
由双曲线定义可知 ，即 ，
所以 周长 ，
要使其周长最小，即求 的最小值，显然当 三点共线时， 有最小值，且最小值是 ，
第 22 页因此， 周长为 .
故选:D
26．B
【分析】设 ,所求式表示 ,利用双曲线的定义进行转化后，利用距离三角不等式即可求得最
小值.
【详解】 ，
设 ,上式表示 ,由于双曲线 的左焦点为 ,
双曲线的实轴 , ,
,
,当 在 的延长线与双曲线右支的交点处时取到等号，所以
的最小值为 .
故选：B
27．D
【分析】设双曲线 的右焦点为 ，由双曲线的定义可表示出 ，从而推出当 ， ， 按此顺序三点共
线时， 的周长最小，写出此时直线 的方程，并将其与双曲线的方程联立，解得 的值，最后由
，得解．
第 23 页【详解】解：设双曲线 的右焦点为 ，则 ， ， ，又 ，所以 ，
由双曲线的定义知， ，
所以 ，
所以 的周长为 ，
即当 在 即 与双曲线的交点处时， 的周长最小，此时直线 的方程为 ，
联立 ，即 ，解得 ，即 ，
故 的面积为 ．
故选：D．
28．D
【解析】设设 ，由 ，可得 ，当且仅当 ， 和
四点共线时取得最小值，进而可得 ，设 即可求出 的值，进而可求出 的值，由 可得
渐近线方程.
【详解】设 ，由双曲线的定义可知： ，
所以 ，
当 在圆心 和 连线上时， 最小，
，
所以 ，解得 ，
设 ，则 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
第 24 页所以双曲线的渐进线为： ，
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由双曲线的定义可得 ，利用 共线
时 求出 .
29．ABC
【解析】 的周长不小于14，即周长的最小值不小于14，可得 的最小值不小于 9，
的最小值不小于 9，分析出当 ， ， 三点共线时， 取最小值 ，可得 的范
围，从而可得答案.
【详解】由右焦点为 ，点 的坐标为 ， ，
的周长不小于14，即周长的最小值不小于14，
可得 的最小值不小于 9
又 为双曲线的左焦点，可得 ，
，
当 ， ， 三点共线时， 取最小值
所以 ，即 ，因为 ，
可得 ．
故选： ．
【点睛】求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉
及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于 的不等式，从而求出
的范围
30．BC
【分析】首先根据双曲线方程求出焦点坐标，根据双曲线的定义判断A，设 的内切圆的半径为 ，利用面
积公式及双曲线的定义计算即可判断B，设 在 上的垂足为 ，根据切线长定理可得 ，即可
得到 的坐标，记渐近线 的倾斜角为 ，则 ，记 则 ，利用临界值求出
，即可求出 的取值范围，即可判断C，延长 交 于点 ，由角平分线定理得到
第 25 页，即可求出 、 ，即可判断D；
【详解】解：因为双曲线 ： ，所以 ， ， ，则 、 ，双曲线的
渐近线为 ，因为 ，所以 ，所以 ，
当且仅当 、 、 在同一直线且 在 之间时取等号，故A错误；
设 的内切圆的半径为 ，则 ，故B正确；
设 在 上的垂足为 ，根据双曲线的定义及切线长定理可得 ，又
，所以 ，所以 ，记渐近线 的倾斜角为 ，则 ，记 ，
则 ，当 ，即 ，解得 ，所以 ，则
，所以 ，故C正确；
延长 交 于点 ，由 解得 ，由角平分线定理可知 ，所以 ，
又由角平分线定理知 ，过点 作 交 、 分别于点 、 点，则 ，所以
，所以 ，因为 ，所以 又 ，解得 ，所以 ，
故D错误；
故选：BC
第 26 页31．BCD
【解析】由双曲线定义 得到 ，再利用焦点到渐近线的距离
为 求得 设渐近线方程求得 的中点坐标代入双曲线方程联解求得 得解.
【详解】因为 ，所以
因为焦点到渐近线的距离为 ，所以 的最小值为 ，所以 不妨设直线 为 ，因为
，所以点 ， ， 的中点为 .将其代入双曲线 的方程，得
，即 ，解得 又因为 ，所以 ，故双曲线
的方程为 ，离心率为 ，渐近线方程为
故选：BCD
【点睛】本题考查双曲线的标准方程及几何性质，利用双曲线定义及焦点到渐近线的距离为 是解题的关键.
32．BCD
【分析】由双曲线的定义，把 转换到 ，最小值为 到渐近线的距离，由此可得 的关系式，再结合
离心率可得双曲线方程．然后写出准线方程的渐近线方程属选项．
【详解】取一条渐近线方程为 ，
因为 在左支上，所以 ，
，当 在 的延长线上时， 取得最小值，所以 ，
即 ，又 ，所以 ，
，
所以双曲线方程为 ，准线方程是 ，渐近线方程为 ．
故选：BCD．
33．ACD
【分析】利用双曲线的定义结合当 、 、 三点共线，可求得 的周长，可判断B选项；求出 的三
边边长，利用勾股定理可判断A选项；将直线 与双曲线的方程联立，求出点 的坐标，可判断C选项；利用三
角形的面积公式可判断D选项.
【详解】如图1，设双曲线的左焦点为 ，由题知 ， ，
易知点 、 ，则 ，
第 27 页的周长为 ，
当且仅当 、 、 三点共线时（如图2），等号成立，所以 ，
因为 ， ，则 ，则 为直角三角形，A对，B错；
，则 的方程为 ，联立 ，解得 ，
所以 的坐标为 ，C对；
，D对.
故选：ACD.
34．AC
【分析】根据双曲线的定义，将 的周长的最小值转化为求 的最小值，即可求出离心率的范围，
观察选项即可判断.
【详解】设双曲线 的左焦点为 ,则 ,即 ，故
.由题意可得 ，所以
，所以 .则双曲线C的离心率 .因为 .所以双曲线C的离
心率的取值范围为 .
故选：AC
【点睛】本题主要考查双曲线的定义、离心率及一动点到两定点的距离之和的最小值，属于基础题.
35．
【分析】求出双曲线的焦点坐标，应用双曲线的定义和圆的性质，结合三点共线时取得最值，即可得到
的最小值.
【详解】双曲线 中
第 28 页， ， ， ， ，
圆 半径为 ， ，
，
(当且仅当 共线且 在 之间时取等号)，
，
当且仅当 是线段 与双曲线的交点时取等号．
的最小值是7．
故答案为：7.
36．22
【分析】由双曲线的定义可得 ， ，据此 ，再由 两
点的位置特征可得 是双曲线的通径时， 最小，从而可得答案.
【详解】根据双曲线 ，得 ， ，
由双曲线的定义可得： ①，
②，
①+②可得： ，
由于过双曲线的左焦点 的直线交双曲线的左支于 ， 两点，
可得 ，即有 ．
则 ，当 是双曲线的通径时 最小，
故 .
故答案为：22
37．
【分析】由题设知 ， ， ，即可得到
，从而计算可得．
【详解】解：双曲线 中，
， ， ，
， ，
因为 分别是圆 和 上的点，所以 ，
第 29 页，
， ，
，
所以
故答案为： ．
38．
【分析】先求出定点P(4，1)和双曲线的方程，利用双曲线的定义把 转化为 ，
利用几何法求出最小值.
【详解】将直线 ，变形为 ，可得 ，解得： ，
所以定点为P(4，1).
由双曲线 的一条渐近线的方程为 ，及 在双曲线上，可得：
解得： ，
所以 ，
所以左、右焦点分别为 ， .
第 30 页如图示，要求 的最小值，点M需在双曲线的右支上.
由双曲线的定义可得： ，
所以 ，
所以 .
所以当 三点共线时，即M落在点G处， 最小，
所以 的最小值为 .
故答案为：
【点睛】距离的计算方法有两类：
（1）几何法：利用几何图形求最值；
（2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值.
39． .
【分析】设点 的坐标为 ，得到点 是双曲线的焦点，根据题意和双曲线的定义，化简得到
，结合圆的方程，得到 ，进而求得 的最小值.
【详解】由双曲线 ，可得 ，则 ，
如图所示，设点 的坐标为 ，则点 是双曲线的焦点，
根据双曲线的定义，可得 ，
所以 ，
又由 是圆 上的点，圆的圆心为 ，半径为 ，
所以 ，所以 ，
当点 在线段 上时，取得等号，即 的最小值为 .
故答案为： .
第 31 页40．2
【分析】结合双曲线的定义可得 ， 三点共线时，取等号，进而可得 ，结合题
意可得 ，由此解方程组可得结果.
【详解】因为 ，当 三点共线时，取等号，此时 ，
的中点坐标为 ，代入渐近线方程得 ，所以 ，故 ，则 ，因此双曲线 的
实轴长为2，
故答案为：2.
41．13.
【分析】根据双曲线和圆的方程可确定双曲线焦点与圆的圆心重合，利用勾股定理表示出切线长，将问题转化为
的最小值的求解问题，利用双曲线定义和三角形三边关系可求得最小值.
【详解】由 ，得 ，所以双曲线的焦点坐标为 ，
由圆的方程知：圆 圆心的坐标为 ，半径 ，
圆 的圆心坐标为 ，半径 ，
分别为两圆切线，
， ，
，
为双曲线右支上的点，且双曲线焦点为 ， ，
第 32 页又 （当 为双曲线右顶点时取等号），
，
即 最小值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查双曲线中的最值问题的求解问题，涉及到双曲线定义的应用、圆的切线长的求解等知识；关键
是能够将问题转化为双曲线上的点到焦点的距离之和的最值的求解问题.
42． ##
【分析】利用双曲线定义，将 的最小值问题转化为 的最小值问题，然后结合图形可解.
【详解】由题设知， ， ， ，圆 的半径
由点 为双曲线 右支上的动点知
∴
∴ .
故答案为：
43．(1)动圆C的圆心轨迹L的方程为 ；
(2) 最小值为 ．
【分析】（1）根据已知条件先求出两圆的圆心和半径，设圆 圆心坐标为 ，半径的为 ，由题设条件知
，所以圆心 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支；
所以轨迹方程可求；
（2）根据双曲线的定义知，把 转化为 ，当三点共线时，有最小值．
第 33 页(1)
两圆的半径都是2，圆心分别为 ，设圆 圆心坐标为 ，半径为 ，由题设条件知
，
所以圆心 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支；
则 ，所以轨迹为 ；
(2)
根据双曲线的定义知， ，
而 ，所以最小值等于 ．
44．（Ⅰ） ；（Ⅱ） ，
【详解】解：（Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在 轴上，故可设双曲线的方程为 ，设
，由准线方程为 得 ，由 ，得 解得 从而 ， 该双曲线的
方程为 ；
（Ⅱ）设点D的坐标为 ，则点A、D为双曲线的焦点， ，
所以 ， 是圆 上的点，其圆心为 ，半径为1，故
从而
当 在线段CD上时取等号，此时 的最小值为
直线CD的方程为 ，因点M在双曲线右支上，故
由方程组 解得 ，所以 点的坐标为 ；
45．
【分析】根据双曲线的定义可得 三点共线时， 周长最小，求出直线 的方程，与双曲线方程联立，
即可求得 点坐标，则由 即可求解.
【详解】由双曲线 可得： ， ， ，
设双曲线的左焦点为 ，由双曲线定义知， ，
所以 的周长为
由于 是定值，要使 的周长最小，则 最小，
第 34 页即 共线，
因为 ， ，
所以直线 的方程为 ，
由 ，整理得 ，
解得 或 (舍)，
所以 点的纵坐标为 ，
所以 .
所以当 周长最小时， 的面积为 .
46． 万元．
【分析】根据题意求得点 的轨迹是双曲线 的右支，结合双曲线的性质和两点之间线段最短可得
，计算即可得解.
【详解】如图所示，以 的中点 为原点， 所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系 ，则 ，
， ．连接 ， ．
∵ ，
∴点 的轨迹是双曲线 的右支．
第 35 页∵ ，
当 ， ， 三点共线时等号成立，
又总费用为（ ）万元，
∴ ，
∴修建这两条公路的最低总费用为 万元．
47．（1） ；（2） ；最大值2.
【分析】（1）设出圆心坐标，根据相切关系建立等式，结合双曲线的定义可求轨迹方程；
（2）求出直线 的方程，联立双曲线方程求出交点坐标，结合几何性质可求结果.
【详解】（1）设圆C的圆心坐标为 ， ，由题意，
或 ，
所以
所以圆心 的轨迹是以原点为中心，焦点在 轴上, 且实轴为4，焦距为 的双曲线，
，
故 的圆心轨迹 的方程为 .
（2）过点 的直线 方程为 ，代入 ，
解得 .
故直线 与 的交点为 .
因为 在线段 外， 在线段 上，故 ，
.
若点 不在 上，则 ， 若点 在 处，则 ；
综上所述， 只在点 处取到最大值2，此时点 的坐标为
.
【点睛】本题主要考查利用双曲线的定义求解轨迹方程及双曲线中的最值问题，侧重考查了数学运算的核心素养.
48．(1) ；
(2) ；
第 36 页【分析】（1）若 表示P到 的距离，应用点线距离、两点距离公式及点在双曲线上可得 ，
进而可得|PA|＋ |PF|＝|PA|＋d，即可确定目标式最小时P的位置，再求P的坐标.
（2）根据双曲线定义有|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF′|－2，只需求出|PA|＋|PF′|最小值即可得结果.
(1)
若 在第一象限即 、 ，则P到 的距离为 ，又P到 的距离为
，
由P在双曲线x2－ ＝1上，则 ，
所以 ，故
所以|PA|＋ |PF|＝|PA|＋ ·2d＝|PA|＋d，从而|PA|＋ |PF|的最小值为点A到直线 的距离．
将y＝2代入双曲线的方程中得 ，即|PA|＋d ≥ 3－ ＝ ，此时 .
(2)
设双曲线的左焦点为 .
由双曲线的定义知|PF|＝|PF′|－2a＝|PF′|－2, 又F′(－2, 0)，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF′|－2 ≥ |AF′|－2＝ .
所求|PA|＋|PF|的最小值为 .
第 37 页第 38 页
