文档内容
微专题：平面向量的基本概念
【考点梳理】
1. 向量的有关概念
名称 定义 说明
向量 在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量 平面向量是自由向量
有向 具有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线 有向线段包含三个要素：起点、方
线段 段表示，也可用字母a，b，c，…表示 向、长度
向量 向量AB的大小称为向量AB的长度(或称模)，记作|
向量的模是数量
的模 AB|
零向量 长度为0 的向量叫做零向量，记作0
单位向量 长度等于 1 个单位长度 的向量，叫做单位向量 a是非零向量，则±是单位向量
平行向
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向
量(共线 规定：零向量与任意向量平行
量也叫做共线向量
向量)
相等 两向量可以相等也可以不相等，但
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
向量 不能比较大小
相反 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相
0的相反向量仍是0
向量 反向量，记作－a
【题型归纳】
题型一：平面向量的概念与表示
1．下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．
C．若 ，则 与 的方向相反
D．若 ，则
2．下列结论正确的是（ ）
A．平行向量的方向都相同
B．零向量与任意向量都不平行
C．长度相等且共线的向量是相等向量
D．平面内任一非零向量都可以用两个不共线的向量表示
3．下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．
C． 与 的方向相反 D．若 ，则
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司题型二：向量的模
4．设 是单位向量， ， ， ，则四边形 是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
5．已知P在 所在平面内，满足 ，则P是 的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
6．下列命题中，正确的是 （ ）
A．若 ， ，则
B．若 则 或
C．对于任意向量 ， ，有
D．对于任意向量 ， ，有
题型三：零向量与单位向量
7．若 ， 是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列说法正确的是（ ）
A．若向量 与 共线且 与 不为零向量，则存在实数 ，使得
B．零向量是没有方向的向量
C．任意两个单位向量的方向相同
D．同向的两个向量可以比较大小
9．下列关于零向量的说法正确的是（ ）
A．零向量没有大小 B．零向量没有方向
C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线
题型四：相等向量
10．如图，在平行四边形 中，下列结论正确的是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
11．在四边形 中，若 ，则（ ）
A．四边形 是矩形 B．四边形 是菱形
C．四边形 是正方形 D．四边形 是平行四边形
12．如图，在正六边形ABCDEF中，与向量 相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
题型五：平行向量（共线向量）
13．与向量 平行的单位向量是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
14．下列说法正确的是（ ）
A．向量 与向量 是相等向量
B．与实数类似，对于两个向量 ， 有 ， ， 三种关系
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行
D．若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合
15．给出下列四个命题，其中正确的命题有（ ）
A．时间、距离都是向量
B．两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同
C．所有的单位向量都相等
D．共线向量一定在同一直线上
【双基达标】
16．下列说法正确的是（ ）
A．向量就是有向线段 B．单位向量都是相等向量
C．若 ，则 D．零向量与任意向量平行
17．下列五个命题，共中正确命题序号是（ ）
A．单位向量都相等 B．对于任意向量 ， 必有
C．若向量 ， 共线，则 D．若 ，则 与 的方向相同或相反
18．下列说法中，正确的是（ ）
①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；
③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
19．如图，设 是正六边形 的中心，则与 不相等的向量为（ ）
A． B． C． D．
20．下列说法中正确的个数是（ ）
①单位向量都平行；②若两个单位向量共线，则这两个向量相等；
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④有相同起点的两个非零向量不平行；
⑤方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．2 B．3 C．4 D．5
21．已知向量 ， 是单位向量，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
22．给出下列命题：①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同的两个相等的非零向量的终
点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线.其中正确的是（
）
A．①② B．② C．②③ D．③④
23．已知向量 ， ( 为单位向量)，则向量 与向量 （ ）
A．不共线 B．方向相反
C．方向相同 D．
24．向量 ，将 按向量 平移后得到向量 ，则 的坐标形式为（ ）
A． B．
C． D．
25．下列说法错误的是（ ）
A．向量 的长度与向量 的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等
26．已知单位向量 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
27．已知 、 为非零向量，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．即非充分又非必要条件
28．在四边形 中， ，且 ，那么四边形 为（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．长方形 D．正方形
29．如图，AB为半圆的直径，点C为 的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若 ，则
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
30．已知边长为1的正方形 ，设 ， ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【高分突破】
一、单选题
31．已知命题 在△ 中，若 ， 则 ；命题 向量 与向量 相等的充要条件是 且
.下列四个命题是真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
32．在平行四边形 中， 等于（ ）
A． B． C． D．
33．下图中与向量 相等的向量是（ ）
A． ， ， ， B． ， C． D．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司34． 中， 、 、 分别是内角 、 、 的对边，若 且 ，则
的形状是（ ）
A．有一个角是 的等腰三角形
B．等边三角形
C．三边均不相等的直角三角形
D．等腰直角三角形
35．以下选项中，都是向量的是（ ）
A．正弦线、海拔 B．质量、摩擦力
C．△ABC的三边、体积 D．余弦线、速度
36．下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．零向量的长度是0
C．长度相等的向量叫相等向量
D．共线向量是在同一条直线上的向量
37．已知平面四边形ABCD满足 ，则四边形ABCD是（ ）
A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
38．下列说法正确的是（ ）
A．向量 与向量 的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量没有方向
D．向量的模是一个正实数
39．如果平面向量 ， ，那么下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C． ， 的夹角为180°
D．向量 在 方向上的投影为
40．下列说法正确的是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．向量 就是 所在的直线平行于 所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．若 ，则
D．共线向量是在一条直线上的向量
二、多选题
41．下列命题中不正确的是（ ）
A．两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同
B．若非零向量 与 共线，则A、B、C、D四点共线
C．若非零向量 与 共线，则
D．四边形ABCD是平行四边形，则必有
42．下列有关向量命题，不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．已知 ，且 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 且
43．有下列说法，其中错误的说法为
A．若 // // ，则 //
B．若 ， ， 分别表示 ， 的面积，则
C．两个非零向量 ， ，若 ，则 与 共线且反向
D．若 // ，则存在唯一实数 使得
44．对于任意的平面向量 下列说法错误的是（ ）
A．若 且 ，则
B．
C．若 ，且 ，则
D．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司三、填空题
45．已知正方形ABCD的边长为1，则 ______．
46．已知四边形 中， ，且 ，则四边形ABCD的形状是___________.
47．如图， 、 、 分别是 的边 、 、 的中点，写出与 共线（平行）的向量.
48．下列关于向量的命题，序号正确的是_____.
①零向量平行于任意向量；
②对于非零向量 ，若 ，则 ；
③对于非零向量 ，若 ，则 ；
④对于非零向量 ，若 ，则 与 所在直线一定重合.
49．给出下列命题：
①若 同向，则有 ；
② 与 表示的意义相同；
③若 不共线，则有 ；
④ 恒成立；
⑤对任意两个向量 ，总有 ；
⑥若三向量 满足 ，则此三向量围成一个三角形．
其中正确的命题是__________ 填序号
50．已知 的外心为 ，若 ，且 ，则 ___________.
四、解答题
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司51．如图的方格由若干个边长为1的小正方形组成，方格中有定点A，点C为小正方形的顶点，且 ，画
出所有的向量 .
52．在平面直角坐标系 中，点 ，直线 轴，垂足为H， ，圆N过点O，与l的公共点的
轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)过M的直线与 交于A，B两点，若 ，求 ．
53．已知 是平面内两个不共线的非零向量， ，且 三点共线.
(1)求实数 的值；
(2)若 ，求 的坐标；
(3)已知点 ，在（2）的条件下，若 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点 的坐标.
54．判断下列命题是否正确，并说明理由．
①若向量 与 同向，且| |>| |，则 > ；
②若向量 ，则 与 的长度相等且方向相同或相反；
③对于任意| |＝| |，且 与 的方向相同，则 ＝ ；
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司④向量 与向量 平行，则向量 与 方向相同或相反．
55．已知向量 与 的夹角为120°，且 ， ，求：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【解析】
【分析】
对于A：利用向量不能比较大小直接判断；对于B：利用向量的线性运算法则直接判断；对于C：由
，可以得到 与 的方向相同或 与 中有零向量.对于D： 的方向不确定.即可判断.
【详解】
对于A：因为向量不能比较大小，所以A错误；
对于B： .故B正确；
对于C：若 ，则 与 的方向相同或 与 中有零向量.故C错误；
对于D：若 ，但 的方向不确定.故D错误.
故选：B
2．D
【解析】
【分析】
选项A. 根据平行向量的定义，考虑方向可判断；选项B. 由零向量与任意向量都平行可判断；选项C. 当方向相
反时不成立，可判断；选项D. 由平面向量向量的基本定理可判断.
【详解】
选项A. 根据平行向量的定义，其方向可能相反，故不正确.
选项B. 由零向量与任意向量都平行，故不正确.
选项C. 长度相等且共线的向量,若方向相反，则不是相等向量，故不正确.
选项D. 由平面向量向量的基本定理有：平面内任一非零向量都可以用两个不共线的向量表示，正确.
故选：D
3．B
【解析】
【分析】
利用平面向量的定义可判断AD选项；利用平面向量的线性运算可判断B选项；利用平面向量的加法可判断C选
项.
【详解】
对于A选项，由于任意两个向量不能比大小，故A错；
对于B选项， ，故B对；
对于C选项， 与 的方向相同，故C错；
对于D选项，若 ，但 、 、 的方向不确定，故D错.
故选：B.
4．B
【解析】
【分析】
第 12 页由题知 ，进而得 ， ，再根据菱形的定义即可得答案.
【详解】
解：因为 ， ，
所以 ，即 ， ，
所以四边形 是平行四边形，
因为 ，即 ，
所以四边形 是菱形.
故选：B
5．A
【解析】
【分析】
由向量模的定义结合三角形的四心定义判断．
【详解】
表示 到 三点距离相等， 为外心．
故选：A．
6．D
【解析】
【分析】
A. 由 时判断；B.举例判断； C.由非零向量 ， 方向相反判断；D.利用平面向量三角形法则判断.
【详解】
A. 当 时，满足 ， ，但 不一定平行，故错误；
B.当 时，满足 ，但 ， 不成立，故错误；
C.若非零向量 ， 方向相反，则 ，故错误；
D.当 ， 中有零向量时， ，当 ， 为非零向量时，若 ， 共线且方向相同时，则 ，
当 ， 为非零向量时，若 ， 共线且方向相反时，则 ，当 ， 为非零向量时，且 ， 不共线时，
如图所示： ， ，综上： ，故正确.
故选：D
7．B
【解析】
【分析】
根据单位向量的概念，以及向量的模与数量积的计算公式，逐项判定，即可求解.
第 13 页【详解】
对于A中，两个单位向量的方向不一定相同，所以A不正确；
对于B中，由 ，又由 ，所以 ，所以B正确；
对于C中，两个单位向量的方向不一定共线，所以C不正确；
对于D中，由 ，所以 D不正确.
故选：B.
8．A
【解析】
【分析】
根据向量得实际背景及基本概念，依次判断各项正误.
【详解】
∵ 与 为非零向量，且共线，∴存在实数 ，使得 ，A正确；
零向量的长度为0，方向是任意的，故B错误；
任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故C错误；
不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比较大小，故D错误.
故选：A.
9．D
【解析】
【分析】
根据零向量的定义和性质即可判断.
【详解】
根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误；
两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误；
零向量与任意向量共线，D正确．
故选：D.
10．C
【解析】
【分析】
利用相等向量可判断A选项；利用平面向量的加法可判断BD选项；利用平面向量的减法可判断C选项.
【详解】
对于A选项， ，A错；
对于B选项， ，B错；
对于C选项， ，C对；
对于D选项， ，D错.
故选：C.
11．D
【解析】
第 14 页【分析】
根据平面向量加法的运算法则及向量相等的充要条件判断即可；
【详解】
解： ， ，
， 且 ， 四边形 是平行四边形．
故选：D．
12．B
【解析】
【分析】
由相等向量的定义可知.
【详解】
由图可知六边形ABCDEF是正六边形，所以ED=AB，与 方向相同的只有 ；而 , , 与 长度相等，
方向不同，所以选项A,C,D,均错误；
故选：B
13．D
【解析】
【分析】
与向量 平行的单位向量是 ，即可求解.
【详解】
因为与向量 平行的单位向量是 ， ,
所以 ,
故选：D
14．D
【解析】
【分析】
根据向量的基本概念辨析可知.
【详解】
解：对于A，向量 与向量 是相反向量，所以A错误；
对于B，因为向量是有方向和大小的量，所以两个向量不能比较大小，所以B错误；
对于C，当两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或共线，所以C错误；
对于D，由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，有向量所在的直线可以平行，也可以重合，所以D
正确.
故选：D
15．B
第 15 页【解析】
【分析】
根据向量的基本概念和定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】
对 ：时间和距离没有方向，不是向量，故 错误；
对 ：两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，故 正确；
对 ：所有的单位向量，模长都相等，但方向不一定相同，故 错误；
对 ：共线向量可以在同一直线上，也可以不在同一直线上，故 错误.
故选：B.
16．D
【解析】
【分析】
根据向量的有关概念确定正确选项.
【详解】
向量不是有向线段，故A错误；单位向量长度都为1，但方向不确定，故B错误；向量的模可以比较大小，但向量
不能比较大小，故C错误；规定：零向量与任意向量平行，故D正确.
故选：D
17．B
【解析】
【分析】
对于A：利用单位向量的定义进行否定；
对于B：对 ， 同向、反向、不共线，分别讨论；
对于C：用共线向量的夹角为0或π，进行判断
对于D：利用零向量的方向是任意的进行判断.
【详解】
对于A：单位向量的模都相等，方向不一定相同，故A错误；
对于B：利用向量加法的平行四边形法则，可知对于任意向量 ， ：若 ， 同向，必有 ；若 ，
反向，必有 ；若 ， 不共线，向量加法的三角形法则，必有 .综上所述：对于任意向
量 ， 必有 ，故B正确；
对于C：若向量 ， 共线，则 ， 的夹角为0或π，所以 ，故C错误；
对于D：若 ，则 与 的方向相同或相反，这种说法是错误的，因为零向量与所有的非零向量都平行，但零向
量的方向是任意的.
故选：B
18．D
【解析】
【分析】
根据零向量、单位向量的性质即可判断各项的正误.
第 16 页【详解】
①长度为0的向量都是零向量，正确；
②零向量的方向任意，故错误；
③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；
④任意向量与零向量都共线，正确；
故选：D
19．D
【解析】
【分析】
由正六边形的性质结合平面向量相等的概念即可得解.
【详解】
由题意， ， .
故选：D.
20．A
【解析】
【分析】
根据向量的定义判断．
【详解】
①错误，因为单位向量的方向可以既不相同又不相反；
②错误，因为两个单位向量共线，则这两个向量的方向有可能相反；
③正确，因为零向量与任意向量共线，所以若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④错误，有相同起点的两个非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量；
⑤正确，方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量的方向是相反的，所以这两个向量是共线向量．
正确的有两个．
故选：A．
21．C
【解析】
【分析】
根据单位向量的概念进行分析即可.
【详解】
单位向量的模长都为 ，方向不一定相同，所以 正确，
故选：C．
22．B
【解析】
【分析】
利用向量的有关概念判断.
【详解】
①起点相同，方向相同，但大小不一定相同，所以两个非零向量的终点不一定相同，故错误；
②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同，故正确；
第 17 页③两个平行的非零向量的方向相同或相反，故错误；
④两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故错误.
故选：B
23．B
【解析】
【分析】
根据两者之间的数乘关系可判断两者之间的关系.
【详解】
因为 ， ，所以 ，
故向量 与向量 共线反向.
故选：B.
24．C
【解析】
【分析】
由向量平移可知， 与 方向相同且长度相等，即可得 的坐标.
【详解】
因为平移后， 与 方向相同且长度相等，故 .
故选：C
25．D
【解析】
【分析】
向量有方向、有大小，平行包含同向与反向两种情况.向量相等意味着模相等且方向相同，根据定义判断选项.
【详解】
A.向量 与向量 的方向相反，长度相等，故A正确；
B.规定零向量与任意非零向量平行，故B正确；
C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；
D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正确.
【点睛】
本题主要考查向量的基本概念及共线（平行）向量和相等向量的概念，属于基础概念题型.
26．C
【解析】
【分析】
利用向量的有关概念及单位向量的定义依次判断即得.
【详解】
对于A，向量 ， 为单位向量，向量 ， 的方向不一定相同，A错误；
对于B，向量 ， 为单位向量，但向量 ， 不一定为相反向量，B错误；
对于C，向量 ， 为单位向量，则 ，C正确；
第 18 页对于D，向量 ， 为单位向量，向量 ， 的方向不一定相同或相反，即 与 不一定平行，D错误.
故选：C.
27．A
【解析】
【分析】
利用充分条件、必要条件的定义结合相等向量的定义判断即可得出结论.
【详解】
由题意知，
充分性：若 ，则 、 方向相同且 ，充分性成立；
必要性：若 ，但 、 的方向不一定相同，即 、 不一定相等，必要性不成立.
因此，“ ”是“ ”充分而不必要条件.
故选：A.
28．B
【解析】
【分析】
由向量相等可知四边形 为平行四边形，由向量模长相等可知邻边长相等，知四边形为菱形.
【详解】
解： ， ， 四边形 为平行四边形，
又 ， 平行四边形 为菱形.
故选：B.
29．D
【解析】
【分析】
根据题意可得出 ，然后根据向量的运算得出 ，从而可求出答案.
【详解】
因为点C为 的中点， ，所以 ，
所以
，
因为点M为线段AB上的一点，所以 ，所以 ，
所以 的取值范围是 ,
故选：D.
30．B
第 19 页【解析】
【分析】
根据向量加法的平行四边形法则，结合正方形的性质可得答案.
【详解】
因为 是边长为1的正方形， ，
所以
又 ，所以
故选：B
31．A
【解析】
【分析】
根据条件分别判断命题 和命题 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可.
【详解】
命题 ：在△ 中，若 ，由于余弦函数在 上单调递减，则 ，故命题 为真命题；
命题 向量 与向量 相等的充要条件是向量 与向量 大小相等，方向相同，则命题 是假命题，
则 为真命题，
故选： .
32．A
【解析】
【分析】
直接利用向量加法法则和相等向量即可求出答案.
【详解】
画出图形，如图所示：
.
故选：A.
33．D
【解析】
【分析】
由相等向量的定义求解即可
【详解】
由相等向量的定义可知：
第 20 页两个向量的长度要相等，方向要相同，
结合图形可知 满足条件，
故选：D
34．D
【解析】
【分析】
由 推导可得 的平分线垂直于边BC，进而可得 ，再由给定面积导出 得解.
【详解】
如图所示，在边 、 上分别取点 、 ，使 、 ，
以 、 为邻边作平行四边形 ，则 ，显然 ，
因此平行四边形 为菱形， 平分 ，而 ，则有 ，即 ，
于是得 是等腰三角形，即 ，令直线AF交BC于点O，则O是BC边的中点， ，
而 ，因此有 ，从而得 ，
所以 是等腰直角三角形.
故选：D
35．D
【解析】
【分析】
根据向量的定义判断．
【详解】
表示三角函数值的正切线、余弦线、正弦线既有大小，又有方向，都是向量．海拔、质量、△ABC的三边和体积
均只有大小，没有方向，不是向量．速度既有大小又有方向，是向量，
故选：D．
36．B
【解析】
第 21 页【分析】
根据向量的相关概念逐一判断即可.
【详解】
A： 仅表示 与 的大小相等，但是方向不确定，
故 未必成立，所以A错误；
B：根据零向量的定义可判断B正确；
C：长度相等的向量方向不一定相同，故C错误；
D：共线向量不一定在同一条直线上，也可平行，故D错误.
故选：B.
37．B
【解析】
【分析】
根据平面向量相等的概念，即可证明 ，且 ，由此即可得结论.
【详解】
在四边形ABCD中， ，所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形．
故选：B
38．A
【解析】
【分析】
根据向量的概念、零向量的定义及向量模的性质，即可判断各选项的正误.
【详解】
A： 与 的长度相等，方向相反，正确；
B：两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；
C：零向量的方向任意，故错误；
D：向量的模是一个非负实数，故错误.
故选：A
39．D
【解析】
【分析】
直接利用向量的坐标运算，向量的模，向量的夹角运算，向量在另一个向量上的投影的应用判定选项的结论．
【详解】
解：因为 ， ，所以 ，
对于A，因为 ，所以 ，故A正确；
对于B，因为 ，故 ，故B正确；
对于C，因为 ，所以 与 的夹角为180°，故C正确；
第 22 页对于D， 在 方向上的投影为： ， ，故D错误.
故选：D.
40．C
【解析】
【分析】
根据共线向量的定义可判断A，D；由相等向量的定义可判断B，C；进而可得正确选项.
【详解】
对于A：根据共线向量的定义可知向量 就是 所在的直线与 所在的直线平行或重合，故选项A不正
确；
对于B：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故选项B不正确；
对于C：若 ，则 ，故选项C正确；
对于D：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量，零向量与任意向量共线，故选项D不正确；
故选：C.
41．ABC
【解析】
【分析】
根据相等向量,相反向量,共线向量的概念逐一分析可得.
【详解】
A中，相等向量的始点相同，则终点一定也相同，所以A中命题不正确；
B中，向量 与 共线，只能说明 、 所在直线平行或在同一条直线上，所以B中命题不正确；
C中，向量 与 共线，说明 与 方向相同或相反， 与 不一定相等，所以C中命题不正确；
D中，因为四边形ABCD是平行四边形，所以 与 是相反向量，所以 ，所以D中命题正确.
故选:ABC
【点睛】
本题考查了相等向量,相反向量,共线向量的概念,属于基础题.
42．AB
【解析】
根据向量的模，数量积，向量相等的概念判断各选项．
【详解】
向量由两个要素方向和长度描述，A错；若 ，且与 垂直，结果成立，但 不一定等于 ，B错；相等向量模
相等，方向相同，D选项对．
故选：AB．
43．AD
【解析】
【分析】
对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
第 23 页A. 若 // // ，则 // ，如果 ， 都是非零向量， ，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，所以该
选项是错误的；
B. 如图，D,E分别是AC,BC的中点，
，
所以 则 ,所以该选项是正确的；
C. 两个非零向量 ， ，若 ，则 与 共线且反向，所以该选项是正确的；
D. 若 // ，如果 是非零向量， ，则不存在实数 使得 ，所以该选项是错误的.
故选A,D
【点睛】
本题主要考查平面向量的运算，考查向量的平行及性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
44．ACD
【解析】
【分析】
对于A，注意 ；对于B，根据平面向量数乘的分配律即可判断；对于C，若 和 ， 都垂直即可判断；对于
D，根据数量积定义即可判断．
【详解】
对于A， ，命题不成立；
对于B，这是平面向量数乘的分配律，显然成立；
对于C，若 和 ， 都垂直，显然 ， 至少在模的方面没有特定关系，所以命题不成立；对于D， 与
分别是一个和 ， 共线的向量，显然命题 不一定成立．
故选：ACD．
45．
【解析】
【分析】
利用向量的运算法则和模的计算公式即可得出．
【详解】
第 24 页解：解：如图所示：
， ，
．
故答案为： ．
46．等腰梯形
【解析】
【分析】
由 ，得到 且 ，得出 是梯形，再根据 ，得到四边形 是等腰
梯形.
【详解】
由题意，向量 ，可得 且 ，
即线段 平行于线段 ，且线段 的长度是线段 长度的一半，
所以四边形 是梯形，
又因为 ，所以梯形 的两个腰相等，所以四边形 是等腰梯形.
故答案为：等腰梯形.
47． ， ， ， ， ， ， .
【解析】
【分析】
根据题意，找出与 方向相同和方向相反的向量即可.
【详解】
根据非零向量共线的定义，与 方向相同和方向相反的向量有 ， ， ， ， ， ， .
故答案为： ， ， ， ， ， ， .
48．①③
【解析】
【分析】
根据平行向量和共线向量的定义可判断①②④；根据相等向量和相反向量的定义可判断③.
【详解】
因为零向量与任一向量平行，所以①正确；
对于非零向量 ，若 ，则 和 是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，
第 25 页故 不一定等于 ，故②错误；
对于非零向量 ，若 ，则 与 是相等向量或相反向量，故 ，故③正确；
对于非零向量 ，若 ，则 和 是平行向量，也是共线向量，但 与 所在直线不一定重合.
故选：①③
49．①⑤
【解析】
【分析】
根据向量的模、共线向量的基本概念以及向量加法的法则，逐一分析即可．
【详解】
对于①，若 同向，则 与 同向，所以 ，故 正确；
对于②， 与 前者表示向量，后者表示向量模的和，表示的意义不相同，故②不正确；
对于③，若 不共线，则有 ，故③不正确；
对于④，若 ，则 ，故④不正确；
对于⑤，对任意两个向量 ，总有 ，故⑤正确；
对于⑥，若三向量 满足 ，若 中有零向量，则此三向量不能围成一个三角形，故⑥不正确．
故答案为：①⑤．
50．60°##
【解析】
【分析】
根据向量的运算，结合条件 ，可知O为BC的中点，再结合 ，可得 为等边三角形，
由此可求答案.
【详解】
设 的边BC的中点为D,
则 ,又 ，
即O,D两点重合，O为BC的中点，即BC为外接圆直径，
则 ,又 ，
故 为等边三角形，故 ,即 ，
第 26 页故答案为：60°
51．见解析
【解析】
利用向量模长的几何意义，即可画出图形.
【详解】
∵ ，∴C点落在以A为圆心，以 为半径的圆上，又∵点C为小正方形的顶点，
根据该条件不难找出满足条件的点C，解析所有的向量 ，如图所示：
【点睛】
本题考查了向量模长的几何意义，轨迹问题，属于基础题.
52．(1) ；
(2) .
【解析】
【分析】
(1)设出圆N与l的公共点坐标，再探求出点N的坐标，并由圆的性质列出方程化简即得.
(2)设出直线AB的方程，与 的方程联立，结合已知条件并借助韦达定理计算作答.
(1)
设 为圆N与l的公共点，而直线 轴，垂足为H，则 ，
又 ， ，于是得 ，因O，P在圆N上，即 ，
则有 ，化简整理得： ，
所以 的方程为 .
(2)
显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为 ， ，
第 27 页由 消去x并整理得： ，则 ， ．
因为 ，则点A到x轴距离是点B到x轴距离的2倍，即 ，
由 解得 或 ，则有 ，
因此有 ，
所以 .
53．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）求出 ， 共线可得；
（2）由向量加法的坐标表示计算．
（3）由向量相等的坐标表示计算．
(1)
由已知 ，又 ，
三点共线，则 共线，
所以存在实数 使得 ，即 ，
不共线，所以 ，解得 ；
(2)
，
；
(3)
由题意 ，所以 ，
，得
所以 点坐标为 ．
54．①不正确；②不正确；③正确；④不正确，理由见解析.
【解析】
第 28 页【分析】
根据向量的概念判断①，根据向量模的概念判断②，根据向量相等判断③根据共线向量判断④.
【详解】
①不正确．因为向量是不同于数量的一种量．
它由两个因素来确定，即大小与方向，
所以两个向量不能比较大小，故①不正确．
②不正确．由| |＝| |只能判断两向量长度相等，并不能判断方向．
③正确．因为| |＝| |，且a与b同向．由两向量相等的条件可得 ＝ .
④不正确．因为向量 与向量 若有一个是零向量，则其方向不确定．
55．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）先根据已知条件求出 ，再结合向量的模运算和向量的运算律即可求解.
（2）先根据已知条件求出 ，再结合向量的模运算和向量的运算律即可求解.
（3）先根据已知条件求出 ，再结合向量运算律求出 ，最后求向量的摸.
(1)
由题意可知， ，
， .
因为 ，
所以 .
(2)
因为 ，
所以 .
(3)
因为 ，
所以 .
第 29 页第 30 页
