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第五章 分 式与分式方程
5.2 分式的运算
第 1 课时 分式的乘除
【素养目标】
1.理解并掌握分式的乘法、除法法则．
2.运用乘、除法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题．
3.经历探索分式的乘、除运算法则的过程，渗透类比转化的思想，会用数学的思维思考
现实世界．让学生在学知识的同时学到方法，受到思维训练．
重点：掌握分式的乘、除运算法则．
难点：掌握分子、分母为多项式的分式的乘除运算．
【复习导入】
1. 分式的基本性质是什么 ?
2.上述性质如何用等式表示 ?
【合作探究】
探究点1：分式的乘法与除法
问题1: 一个水平放置的长方体容器的容积为250, 底面面积为50，当容器内的水深占
4
容积高的 时， 水面的高度为多少？
9
变式1: 一个水平放置的长方体容器的容积为V，底面为S ，当容器内的水深占容积高
m
的 时，水面的高度为多少？
n
问题2：大拖拉机 3 天耕地 10hm2 ，小拖拉机 4 天耕地 9hm2 ，大拖拉机的工作
效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？
变式2：大拖拉机 m 天耕地 a 公顷，小拖拉机 n 天耕地 b 公顷，大拖拉机的工作
效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？
第 1 页[合作探究]
观察分数的乘除法则，你能说出分式的乘除法则吗？
[知识要点]
乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的
分母.
除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
上述法则用式子表示为：
[典例精析]
例1 计算：
4x y 6y2
(1) · ; (2)3xy2÷ .
3y 2x3 x
例2 计算：
[归纳总结]
计算分式乘除的一般步骤：
(1) 因式分解：将分式的分子、分母中的多项式因式分解；
(2) 化除为乘：将除法转化为乘法并计算；
(3) 约分：将结果的分子、分母中相同的因式进行约分；
(4) 整理结果：将分式的分子、分母中剩下的因式分别相乘，并整理出最后结果．
注意：若分式的乘除运算中出现了整式，可以把整式看作“分母为1”的式子进行计算．
[练一练]
1.计算：
(1) 4x y ; (2) ab3 −5a2b2 .
· ÷
3y 2x3 2c2 4cd
第 2 页2.计算：
注意事项：
1.分式的除法运算可以转化为乘法运算；
2.分子或分母是多项式时，可以把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；
注意：按照法则进行分式乘除运算，结果一定要化成最简分式.
[练一练]
3. 先化简，再求值 x2+2x+1 x2+x ，其中 .
÷ x = 2
x2−1 x−1
总结：根据分式乘除法则将式子先进行计算化简，再代入求值.同时注意字母的取值要
使分式有意义！
探究点2：分式的乘方
问题1: an 中的 a 可以是数，也可以是整式，那 a 可不可以是一个分式呢？
a 2 a 3 a 10
问题2: ( ) = ? ( ) = ?( ) = ?
b b b
[尝试·交流]
a n an
( )
与 有什么关系？
b bn
[典例精析]
第 3 页例3 计算 ( a2b ) 2
÷
2a
⋅
( c ) 2 .
−cd 3 d 3 2a
[对应训练]
1.下列计算正确的是( )
A. (b3 ) 2 = b6 B. (−3b ) 2 = −9b2
2a 2a2 2a 4a2
2y 3 8y3 3x 2 9x2
C. ( ) = D. ( ) =
−3x −27x3 x−a x2 −a2
[尝试·交流]
购买西瓜时，人们总是希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好，假如我们把西瓜都看
成球形，并且西瓜瓤的分布是均匀的，西瓜皮的厚度都是 d ，已知球的体积公式为
4
V= πR3 (其中 R 为球的半径)，那么
3
(1) 西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少?
(2) 西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少?
(3) 你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算?
[典例精析]
例4 老王家种植两块正方形土地，边长分别为 a 米和 b 米(a≠b)，老李家种植一块长
方形土地，长为 2a 米，宽为 b 米．他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王
家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？
第 4 页[练一练]
4.一条船往返于水路相距 100 km 的 A，B 两地之间，已知水流的速度是每小时 2
km，船在静水中的速度是每小时 x km (x＞2)，那么船在往返一次过程中，顺流航行的
时间与逆流航行的时间比是______.
当堂反馈
1
1.计算a3 ∙ ( )2的结果是( )
a
A.a B.a5 C.a6 D.a9
m－1 m－1
2.化简 ÷ 的结果是( )
m m2
1 1
A.m B. C.m－1 D.
m m－1
a－1 b2－a2
3.计算 ∙ 的结果是( )
a－b 1－a
A.a＋b B.－a＋b
C.a－b D.－a－b
3x 1
4.已知 ÷M＝ ，则M＝ .
x2－y2 x＋y
2m m
5.当m＝3，n＝1时，4m2n÷(－ )2 ∙ 的值为 .
n n3
6.计算：
6b2
(1)3ab2÷ ；
a
x x2＋x
(2) ∙ ；
x2－1 x2
a b
(3)(－ )2 ∙ ( )2÷(－2ab)2.
b a2
第 5 页参考答案
【复习导入】
1. 分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.
2. b b 赘 m b b m (m ≠ 0).
= ， =
a a赘m a a m
【合作探究】
探究点1：分式的乘法与除法
250 4 20 V m
问题1: × = 变式1: ×
50 9 9 S n
10 9 10 4 10×4 40 a b
问题2: ÷ = × = = 变式2: ÷
3 4 3 9 3×9 27 m n
[合作探究]
250 4 20 V m
× = ×
50 9 9 S n
10 9 10 4 10×4 40 a b
÷ = × = = ÷
3 4 3 9 3×9 27 m n
[典例精析]
例1 解：
例2 解：
分子、分母是多项式时，先分解因式
第 6 页4x y 4xy 2
[练一练]1.解：(1) · = =
3y 2x3 6x3y 3x2
ab3 −5a2b2 ab3 4cd 4ab3cd 2bd
(2) ÷ = ⋅ =− =−
2c2 4cd 2c2 −5a2b2 10a2b2c2 5ac2
2.解：(1)原式
(2)原式
(x+1) 2 x−1 1 1
[练一练]3.解： 原式 = × = .当x = 2时，原式= .
(x+1)(x−1) x(x+1) x 2
探究点2：分式的乘方
a 2 a a a2 a 3 a a a a3 a 10 a a a a10
问题2: ( ) = ⋅ = ，( ) = ⋅ ⋅ = ，( ) = ⋅ ⋅ …⋅ = .
b b b b2 b b b b b3 b b b b b10
[尝试·交流] 当 为正整数时， (a) n an .
n =
b bn
[典例精析]例3 解： 原式 a4b2 2a c2 a2b2 d3 c2 ab2
= ÷ ⋅ = ⋅ = .
c2d6 d3 4a2 c2d3 2d2 4d2 8d3
[对应训练]1.C
4
[尝试·交流]解：(1)西瓜瓤的体积是 V= π(R－d) 3 ，
3
4
整个西瓜的体积是V= πR3 .
3
(2)
V
(3) 当 d＝1 cm，R＝10 cm 时， 1=72.9% ；
V
V
当 d＝1 cm，R＝15 cm 时， 1≈81.3%.
V
所以当皮厚度都是 1 cm时，买大西瓜合算(答案不唯一).
[典例精析]例4 解：设花生的总产量是 1，则
[练一练]4.
第 7 页当堂反馈
1.A 2. A 3. A
3x
4. 5. 3
x－y
a2
6.(1)原式＝ .
2
1
(2)原式＝ .
x－1
1
(3)原式＝ .
4a4b2
第 8 页
