文档内容
专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）
题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值
题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值
题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值
题型四 构造一元二次方程求代数式的值
题型五 由两根关系求方程字母系数
题型六 根与系数关系的新定义问题
题型七 一元二次方程根与系数关系多结论问题
题型八 一元二次方程根与系数的关系综合
如果一元二次方程 （ ）的两根为 那么，就有
比较等式两边对应项的系数，得
①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．
因此，给定一元二次方程 就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数 满足①与②，
那么这两数 必是一个一元二次方程 的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．
利用根与系数的关系，我们可以不求方程 的根，而知其根的正、负性．
在 的条件下，我们有如下结论：
当 时，方程的两根必一正一负．若 ，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若 ，则此
方程的正根小于负根的绝对值．
当 时，方程的两根同正或同负．若 ，则此方程的两根均为正根；若 ，则此方程的两根
均为负根．
⑴ 韦达定理（根与系数的关系）：
如果 的两根是 ， ，则 ， ．(隐含的条件： )
⑵ 若 ， 是 的两根(其中 )，且 为实数，当 时，一般地：
① ，
② 且 ，
③ 且 ，
特殊地：当 时，上述就转化为 有两异根、两正根、两负根的条件．
⑶ 以两个数 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是： ．⑷ 其他：
① 若有理系数一元二次方程有一根 ，则必有一根 ( ， 为有理数)．
② 若 ，则方程 必有实数根．
③ 若 ，方程 不一定有实数根．
④ 若 ，则 必有一根 ．
⑤ 若 ，则 必有一根 ．
⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面：
① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；
② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；
③ 已知方程的两根，求作方程；
④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；
⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一
元二次方程的两根，以便利用韦达定理；
⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的 ．一些考试中，往往利用这一
点设置陷阱．
【经典例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】
【例1】（2024·天津河北·一模）若 是方程 的两根，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．
1．（23-24九年级上·河南周口·期末）已知元二次方程 的两根分别为m，n，则 的
值是（ ）
A． B．2 C．16 D．
2．（23-24八年级下·全国·假期作业）一元二次方程 的两个实数根分别为 和 ，则
．
3．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知关于 的一元二次方程 ．(1)若方程有两个实数根，求 的取值范围；
(2)在（1）中，设 ， 是该方程的两个根，且 ，求 的值．
【经典例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】
【例2】（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知 是方程 的两个实数根，则 的值
（ ）
A． B．1 C．0 D．2
1．（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）若m，n为方程 的两个实数根，则
（ ）
A． B． C．7.5 D．-1.8
2．（2024·四川泸州·中考真题）已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则
的值是 ．
3．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知 是关于x的一元二次方程 的两实
数根．
(1)求m的取值范围．
(2)若 ，求m的值．
(3)求 的最小值．【经典例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】
【例3】（23-24九年级上·广东揭阳·期中）已知 ， 是方程 的两个实根，则
的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．21
1．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知一元二次方程 的两根分别为 ，则
的值为（ ）
A．0 B．7 C．13 D．6
2．（22-23九年级上·黑龙江大庆·期末）已知方程 的两个根分别是 ，则 =
．
3．（2024·四川南充·三模）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
(1)求实数 的取值范围，
(2)当 时，设方程的两个实数根分别为 ，求 的值．
【经典例题四 构造一元二次方程求代数式的值】
【例4】（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）已知 ， 是不为0的实数，且 ，若 ， ，
则 的值为（ ）
A．23 B．15 C．10 D．51．（23-24九年级上·四川乐山·期中）已知 ， ，且 ，则 的值为
（ ）．
A． B． C．5 D．
2．（2024·四川内江·二模）已知实数 ， 满足 ， ，则 ．
3．（23-24八年级下·广西贺州·期中）阅读材料：
材料：关于x的一元二次方程 的两个实数根 ， 和系数a，b，c有如下关系：
， ；
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)类比：一元二次方程 的两个实数根为m，n，则 ； ；
(2)应用：已知一元二次方程 的两个实数根为m，n，求 的值；
(3)提升：已知实数s，t满足 ， 且 ，求 的值．
【经典例题五 由两根关系求方程字母系数】
【例5】（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知关于 的一元二次方程 的两个实
数根分别为 ，且 ，则 的值是（ ）
A． 或 B． 或2 C．2 D．
1．（23-24九年级上·河南郑州·期中）若一元二次方程 有两个不相等的实数根 ，且 ，则 的值是（ ）
A． B．3 C． 或3 D．1或3
2．（2024·内蒙古乌兰察布·二模）设 、 是一元二次方程 的两个根，且 ，则
．
3．（22-23八年级下·福建福州·期中）关于 的一元二次方程 ．
(1)如果方程有实数根，求 的取值范围；
(2)如果 是这个方程的两个根，且 ，求 的值．
【经典例题六 根与系数关系的新定义问题】
【例6】（2022·湖北荆州·三模）定义 为方程 的特征数．若特征数为
的方程的两实数根的平方和为12，则k的值为（ ）
A． 或4 B． C． D． 或1
1．（23-24九年级上·河南新乡·期末）对于实数 ， 定义运算“ ”为 ，例如：
，则关于 的方程 的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
2．（23-24九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）①设 是方程 的两个根，则
．②对于实数a，b定义一种新运算“ ”： ，例如， ，则方程
的解是 ．
3．（23-24九年级上·湖北十堰·期中）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且
其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程 的
两个根是 和 ，则方程 是“倍根方程”．
(1)根据上述定义，通过计算，判断一元二次方程 是不是“倍根方程”；
(2)若一元二次方程 是“倍根方程”，求c的值；
(3)若关于x的一元二次方程 是“倍根方程”，求a、b、c之间的关系．
【经典例题七 一元二次方程根与系数关系多结论问题】
【例8】（22-23九年级上·福建宁德·期中）对于一元二次方程 ，下列说法：
①若 ，则 ；
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
③若 是方程 的一个根，则一定有 成立；
④若 是一元二次方程 的根，则 ，
其中正确的（ ）
A．只有①② B．只有①③④ C．只有②③ D．只有①②④1．（23-24九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）对于一元二次方程 （ ），下列说法：
①若 ，则 ；
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
③若方程的两根互为相反数，则 ，
④若 是方程 的一个根，则一定有 成立；
其中正确的（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知一元二次方程 ．下列说法：
若 ，则方程一定有两个不相等的实数根；
若 ，则 一定是这个方程的实数根；
若 ，则方程一定有两个不相等的实数根；
若 的两个根为 和 ，则 是方 的根，
其中正确的是 （填序号）
3．（22-23九年级上·广东广州·开学考试）如果关于x的一元二次方程 有下列说法：
①若 ，则 ；②若方程两根为 和2，则 ；③若方程 有两个不相
等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；④若 ，则方程有两个不相等的实根．
其中结论正确的是有 ．
【经典例题八 一元二次方程根与系数的关系综合】
【例8】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程 .
(1)当 时，解这个方程；
(2)试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由；(3) ， 是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且 ，求n的值.
1．（2024八年级下·浙江·专题练习）有一个定理：若 、 是一元二次方程 ， 、 、
为系数且为常数）的两个实数根，则 、 ，这个定理叫做韦达定理．如： 、 是方
程 的两个实数根，则 、 ．若 ， 是方程 的两个实
根．试求：
(1) 与 的值（用含有 的代数式表示）；
(2) 的值（用含有 的代数式表示）；
(3)若 ，试求 的值．
2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若x 、x 是方程 的两个实数根，若
₁ ₂
满足 ，则称此类方程为“差积方程”．例如： 是差积方程．
(1)判断方程 是否为“差积方程”？并验证；
(2)若方程 是“差积方程”，直接写出m的值；(3)当方程( 为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系．
3．（23-24八年级下·山东泰安·期中）阅读材料：如果关于x的一元二次方程 有两个
实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程 就是一个连根
方程．
(1)问题解决：请你判断方程 是否是连根方程；
(2)问题拓展：若关于x的一元二次方程 （m是常数）是连根方程，求m的值；
(3)方法总结：如果关于x的一元二次方程 （b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间
的关系式．1．（浙江省杭州市钱塘区养正实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）已知关于x的一元二
次方程 ，有下列结论：①当 时，方程有两个不相等的实数根；②当 时，方程不可
能有两个异号的实数根；③当 时，方程的两个实数根不可能都小于1．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024年天津市和平区中考三模数学试题）若 ， 是方程 的两个根，则 的
值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．（2024年四川省乐山市犍为县中考适应性考试数学试题）已知一元二次方程 的两个实数
根为 ，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B．7 C． D．1
4．（2024年湖北省大冶市五月中考模拟数学试题）设 分别为一元二次方程 的两个
实数根，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024年湖北省荆楚联盟中考二模数学试题）已知关于x的一元二次方程 有
两个实数根 和 ，且 ，m的值为（ ）
A． 或1 B． 或0 C． D．16．（2024年浙江省杭州市西湖区公益中学中考三模数学试题）已知a、b为实数，且满足 ，
，则 ．
7．（2024年广东省佛山市禅城区中考三模数学试题）关于x的方程 的两根都是正整数且
，则方程的两根是 ．
8．（2024年内蒙古自治区乌兰察布市初中学业水平考试调研试卷（二）九年级数学试题）设 、 是一
元二次方程 的两个根，且 ，则 ．
9．（2024年山东省临沂市河东区中考二模数学试题）关于 的一元二次方程 的两实数根
分别为 ， ，且 ，则 的值为 ．
10．（2024年四川省泸州市叙永县九年级中考适应性训练数学试题）已知m，n满足 ，
（m，n是实数，且mn），则 的值为 ．
11．（浙江省杭州市上城区钱学森学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）关于 的方程
．
(1)已知 ， 异号，试说明此方程根的情况；
(2)若该方程的根是 ， ，试求方程 的根．
12．（2024年甘肃省天水市秦安县秦安县兴丰中学联片教研三模数学试题）已知关于 的方程
有两个不相等的实数根 ， ．(1)求 的取值范围；
(2)若 ，求 的值．
13．（安徽省六安市霍邱县2023-2024学年八年级下学期月考数学试题）已知关于 的一元二次方程
有两个不相等的实数根 ， ．
(1)求 的取值范围；
(2)若 ， 满足 ，求 的值．
14．（山东省烟台市莱山区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）已知关于 的一元二次方程
有两个实数根 ， ．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若方程的两实数根 ， 满足 ，求 的值．
15．（山东省泰安市岱岳区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）阅读材料：如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方
程”，如方程 就是一个连根方程．
(1)问题解决：请你判断方程 是否是连根方程；
(2)问题拓展：若关于x的一元二次方程 （m是常数）是连根方程，求m的值；
(3)方法总结：如果关于x的一元二次方程 （b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间
的关系式．
