文档内容
微专题：抛物线的弦长问题
【考点梳理】
1、直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
2、有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝
x＋x＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
1 2
3、抛物线相关的弦长或面积问题，一般设出直线方程，与抛物线联立，得到两根之和，两根之积，根据题干条件
得到等量关系，用一个变量表达出弦长或面积，求出最值或取值范围.
【题型归纳】
题型一：求直线与抛物线相交所得弦的弦长
1．过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线于 两点，若 的中点 的横坐标为2，则线段 的长为
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．直线 过抛物线 的焦点 ，且与 交于 两点，则 （ ）
A．6 B．8 C．2 D．4
3．入射光线由点 出发，沿 轴反方向射向抛物线 ： 上一点 ，反射光线 与抛物线 交于点
，则 的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
题型二：由弦长求参数
4．已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ，过点 的直线与 交于A， 两点，且 ，
设直线 的斜率为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知 为抛物线 的焦点， 为 上任意一点，且点 到点 距离的最小值为 ．若
直线过 交 于 ， 两点，且 ，则线段 中点的横坐标为（ ）
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6．已知直线l过点 ，且垂直于x轴．若l被抛物线 截得的线段长为 ，则抛物线的焦点坐标为
（ ）
A． B． C． D．
题型三：抛物线中的三角形或四边形面积问题
7．已知抛物线 ： ，点 为抛物线上任意一点，过点 向圆 ： 作切线，切点分别为 ，
，则四边形 的面积的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．如图，已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 且斜率为1的直线交 于 ， 两点，线段 的中
点为 ，其垂直平分线交 轴于点 ， 轴于点 ．若四边形 的面积等于7，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知 为抛物线 的焦点，过 作两条互相垂直的直线 ， ，直线 与 交于 ， 两点，直线 与
交于 ， 两点，则当 取得最小值时，四边形 的面积为（ ）
A．32 B．16 C．24 D．8
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【双基达标】
10．直线 与抛物线 交于 ， 两点，则 （ ）
A． B． C． D．
11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，
平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 ，O为坐标原点，
一条平行于x轴的光线 从点 射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线 射出，经
过点N．下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则 平分
C．若 ，则 D．若 ，延长AO交直线 于点D，则D，B，N三点共线
12．已知抛物线 的焦点为F，P为抛物线上一点，过点P向抛物线的准线作垂线，垂足为N.若 ，
则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
13．过抛物线C：y2=4x的焦点F分别作斜率为k、k 的直线l、l，直线l 与C交于A、B两点，直线l 与C交于
1 2 1 2 1 2
D、E两点，若|k·k|=2，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）
1 2
A．10 B．12 C．14 D．16
14．已知抛物线 的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法
正确的是（ ）
A．若O为线段PQ中点，则PF＝1 B．若PF＝4，则OP＝2
C．存在直线l，使得PF⊥QF D．△PFQ面积的最小值为2
15．在平面直角坐标系 中，抛物线 的准线为 与 轴交于点 ，过点 作抛物线的一条切线，切
点为 ，则 的面积为（ ）
A． B． C．4 D．
16．过抛物线 的焦点F作倾斜角为30°的直线交抛物线于A、B两点，则 （ ）．
A．16 B．6 C．12 D．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司17．抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射加热的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线
入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，
抛物面的焦点在它的主光轴上.如图所示的太阳灶中，焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为 ，若灶口直径
是灶深 的4倍，则 （ ）
A． B． C． D．
18．设 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上一点．若 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
19．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线 交于A(点A在第一象限)， 两点，且 ，
则 ( 为坐标原点)的面积是( )
A． B． C．2 D．4
20．已知抛物线 的焦点为F，过F且倾斜角为 的直线l与抛物线相交于A，B两点， ，过
A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q．下列说法正确的是( )
A．
B． (O为坐标原点)的面积为
C．
D．若 ，P是抛物线上一动点，则 的最小值为
21．已知直线 过抛物线 ： 的焦点且与 交于 ， 两点，线段 的中点关于 轴的对称点在直线
上，则 （ ）
第 4 页
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22．已知抛物线 的焦点为F，点 ，过点F的直线与此抛物线C交于A，B两点，若
，且 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
23．设F是抛物线 的焦点，经过点F且斜率为1的直线与C交于A，B两点．若 （O为坐
标原点）的面积为 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
24．已知 是抛物线 的焦点， 是抛物线 的准线，点 ，连接 交抛物线 于 点，
，则 的面积为（ ）
A．4 B．9
C． D．
25．已知直线 过抛物线 ： 的焦点，且与该抛物线交于 两点.若线段 的长为16， 的
中点到 轴距离为6，则 （ 为坐标原点）的面积是（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．已知 为抛物线 ： 的焦点，过 做两条互相垂直的直线 ， ，直线 与 交于 、 两点直线 与
交于 、 两点，则 的最小值为（ ）
A．24 B．28 C．32 D．40
27．设抛物线 的焦点为F，准线为 ，过焦点的直线分别交抛物线于A，B两点，分别过A，B
作 的垂线，垂足为 ， .若 ，且 的面积为 ，则抛物线C的方程为（ ）
第 5 页
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28．设抛物线 的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心， 为半径的圆交l于M，
N两点．若 ，且 的面积为24，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
29．过抛物线E：y2＝2x焦点的直线交E于A，B两点，线段AB中点M到y轴距离为1，则|AB|＝（ ）
A．2 B． C．3 D．4
30．若正三角形的顶点都在抛物线 上，其中一个顶点恰为坐标原点，则这个三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
31．直线 与抛物线 交于A，B两点，F为抛物线W的焦点．若 ，则 的
面积为（ ）
A． B． C． D．
32．设抛物线 的焦点为F，抛物线C上的两点A，B位于x轴的两侧，且 （O为坐标原点），
若 与 的面积分别为 和 ， 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
33．已知抛物线 的焦点为 ，过点 且倾斜角为锐角的直线 与 交于 、 两点，过线段
的中点 且垂直于 的直线与 的准线交于点 ，若 ，则 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
34．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，
平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 ，O为坐标原
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司点，一条平行于x轴的光线 从点 射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线 射
出，经过点Q．下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 平分 D．若 ，延长 交直线 于点M，则M，B，Q三点共线
35．已知点 为坐标原点，直线 与抛物线 相交于 两点，则（ ）
A． B．
C． 的面积为 D．线段 的中点到直线 的距离为2
36．如图，已知椭圆 ，过抛物线 焦点 的直线交抛物线于 、 两点，连 、 并
延长分别交 于 、 两点，连接 ， 与 的面积分别记为 、 ．则下列说法正确的是
（ ）
A．若记直线 、 的斜率分别为 、 ，则 的大小是定值
B． 的面积 是定值
C．线段 、 长度的平方和 是定值
D．设 ，则
37．过抛物线 的焦点 的直线与 相交于 ， 两点.若 的最小值为 ，则
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A．抛物线 的方程为
B． 的中点到准线 的距离的最小值为3
C．
D．当直线 的倾斜角为 时， 为 的一个四等分点
三、填空题
38．抛物线 的焦点为F，准线是l，O是坐标原点，P在抛物线上满足 ，连接FP并延
长交准线l与Q点，若 的面积为 ，则抛物线C的方程是______．
39．设O为坐标原点，抛物线 的焦点为F，P为抛物线上一点，若 ，则 的面积为
____________．
40．已知点F为抛物线 的焦点，点M为C上一点，点N为C的准线上一点，若 为等边三角形，
则 的面积为___________.
41．直线 过抛物线 的焦点F，且与C交于A，B两点，则 ___________.
42．已知抛物线 ： （ ）的焦点 到准线的距离为4，过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，
若 ，则 ______．
43．已知过抛物线 的焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，直线OA（O为坐标原点）与抛物线C
的准线相交于点D，则△ 面积的最小值为_________．
44．已知直线 过抛物线 的焦点，且与 的对称轴垂直， 与 交于 ， 两点， ， 为 的准线上一
点，则 的面积为________．
45．设抛物线 上一点P到其焦点F的距离为 ，O为坐标原点，则△POF的面积为___________.
四、解答题
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司46．已知直线l：y＝kx和l：y＝kx与抛物线y2＝2px（p＞0）分别相交于A，B两点（异于原点O）与直线l：y
1 1 2 2
＝2x+p分别相交于P，Q两点，且 ．
(1)求线段AB的中点M的轨迹方程；
(2)求△POQ面积的最小值．
47．已知抛物线 的焦点为F， 为抛物线C上的点，且 .
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线 与抛物线C相交于A，B两点，求弦长 .
48．已知抛物线 的准线方程为 ，过其焦点 的直线 交抛物线 于 两点，线段 的中
点为 坐标原点为 且直线OM的斜率为 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)求 的面积.
49．已知双曲线C ： ，抛物线C ： （ ），F为C 的焦点，过F垂直于x轴的直线l被抛
1 2 2
物线C 截得的弦长等于双曲线C 的实轴长．
2 1
(1)求抛物线C 的方程；
2
(2)过焦点F作互相垂直的两条直线，与抛物线C 分别相交于点A、B和C、D，点P、Q分别为AB、CD的中点，
2
求△FPQ面积的最小值．
50．已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为6．
(1)求抛物线 的方程；
(2)设 为抛物线 的焦点，直线 与抛物线 交于 ， 两点，求 的面积．
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1．C
【分析】结合抛物线的弦长公式求得正确答案.
【详解】设点 的横坐标分别为 ，则 .
由过抛物线的焦点的弦长公式知： .
故选：C
2．B
【分析】联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点坐标，结合焦点弦长公式求解即可
【详解】因为抛物线 的焦点坐标为 ，
又直线 过抛物线 的焦点F，所以 ，抛物线 的方程为 ，由 ，得
，所以 ，所以 ．
故选：B
3．B
【分析】根据抛物线的光学性质，结合抛物线的焦点弦公式求解即可
【详解】易得 的纵坐标为 ，代入 可得 .根据抛物线的光学性质可得，因为入射光线由点
出发，沿 轴反方向射向抛物线，故反射光线 经过抛物线 的焦点 ，故 的斜率为
.设 ，则直线 的方程为 ，联立 可得 ，故
故选：B
4．A
【分析】设直线 的方程为 ， ，与抛物线方程联立，利用韦达定理求得 ，
再根据弦长公式求得 ，再求出交点坐标，根据斜率公式即可得解.
【详解】解：抛物线 的焦点为 ，准线 ， ，
设直线 的方程为 ， ，
联立 ，消 得 ，
则 ，
故 ，
解得 ，
当 时，则 ，解得 或4，
第 10 页故两交点坐标为 ，
点 与交点 所在直线得斜率为 ，
点 与交点 所在直线得斜率为 ，
当 时，则 ，解得 或1，
故两交点坐标为 ，
点 与交点 所在直线得斜率为 ，
点 与交点 所在直线得斜率为 ，
所以 .
故选：A.
5．B
【分析】设 ，由 表示为关于 的函数，结合二次函数的性质可得 的值，利用弦长公式即可得结果.
【详解】设 ，则满足 ，
则
即当 时， 的最小值为 ，
解得 （舍负），
即抛物线 ，焦点 ，
设 ， ，
则 ，即 ，
即线段 中点的横坐标为3，
故选：B.
6．A
【分析】将 代入 可得交点坐标，结合弦长为 可得 ，进而得到抛物线的焦点坐标即可
【详解】当 时， ，显然 ，解得 ，故 ，解得 ，故抛物线
，焦点坐标为
故选：A
第 11 页7．C
【分析】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接 ，则 ，而 ，
所以当 最小时，四边形 的面积最小，再抛物线的定义转化为点 到抛物线的准线的距离的最小值，结
合抛物线的性质可求得结果
【详解】如图，连接 ，圆 ： ，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，
则 ．
又 ，所以当四边形 的面积最小时， 最小．
过点 向抛物线的准线 作垂线，垂足为 ，则 ，
当点 与坐标原点重合时， 最小，此时 ．
故 ．
故选：C
8．C
【分析】设 ， ， ，求出 ，作 轴于点 ，根据四边形 的面积等于7
得到 ，解方程即得解.
【详解】解：易知 ，直线 的方程为 ，四边形 为梯形，且 ．
设 ， ， ，则 ，
所以 ，所以 ．
作 轴于点 ，则 ．
因为直线 的斜率为1，所以 为等腰直角三角形，故 ，所以 ，
，
第 12 页所以四边形 的面积为 ，解得 ，
故抛物线 的方程为 .
故选：C．
9．A
【分析】由两条直线垂直，以及 取得最小值时 ，有 与 ， 与 关于 轴对称，可得直线
的斜率为1，进而可求出直线 的方程，与抛物线联立写出韦达定理和弦长公式，再由相互垂直的四边形面
积公式求值即可．
【详解】因为 ，要使 最小，而 ，
由抛物线的对称性可得 与 ， 与 关于 轴对称，所以可得直线 的斜率为1，又过抛物线的焦点 ，
所以直线 的方程为： ，
，整理可得 ， ， ，
所以可得 ，
所以 ．
故选： ．
10．D
【分析】焦点弦长度等于 .
【详解】抛物线 的焦点为 在直线 上，故 是抛物线的焦点弦，则
第 13 页由 得： ，
所以， ，
所以，
故选：D.
11．D
【分析】根据 求出焦点为 、 点坐标，可得直线 的方程与抛物线方程联立得 点坐标，由两点间的距离公
式求出 可判断AC；
时可得 ， ．由 可判断B；
求出 点坐标可判断D.
【详解】如图，若 ，则 ，C的焦点为 ，因为 ，所以 ，
直线 的方程为 ，整理得 ，与抛物线方程联立得
，解得 或 ，所以 ，
所以 ，选项A错误；
时，因为 ，所以 ．又 ，
，所以 不平分 ，选项B不正确；
第 14 页若 ，则 ，C的焦点为 ，因为 ，所以 ，
直线 的方程为 ，所以 ，
所以 ，选项C错误；
若 ，则 ，C的焦点为 ，因为 ，所以 ，
直线 的方程为 ，所以 ，直线 的方程为 ，延长 交直线 于点D，所以则
，
所以D，B，N三点共线，选项D正确；
故选： D.
12．C
【分析】根据抛物线定义及 得到 为等边三角形，求出边长为4，计算出面积.
【详解】如图，根据抛物线定义，可知PF=PN，OF=AO=2，又因为 ，所以三角形PNF为等边三角形，
点F作FM⊥PN于点M，则M为PN的中点，且MN=AF=2，所以PN=4，由勾股定理得： ，所
以 的面积为 .
故选：C
第 15 页13．B
【分析】设出l 的方程为 ，与抛物线联立后得到两根之和，两根之积，用弦长公式表达出
1
，同理表达出 ，利用基本不等式求出 的最小值.
【详解】抛物线C：y2=4x的焦点F为 ，直线l 的方程为 ，
1
则联立后得到 ，设 ，
， ，则 ，
同理设 可得： ，
因为|k·k|=2，所以 ，
1 2
当且仅当 ，即 或 时，等号成立，
故选：B
14．D
【分析】对于A：利用焦半径公式求出 ,直接判断；
对于B：由 求出 ,直接求出 ，即可判断;
对于C：设 ,由O、P、Q三点共线求出 ，计算出 ,即可判断;
对于D：直接求出 ,利用基本不等式求出△PFQ面积的最小值.
【详解】抛物线 的准线为 ,焦点F(1,0).
对于A：若O为PQ中点,所以xp=1,所以 ,故A错误；
对于B：若 ,则 ,所以 .故B错误;
对于C：设 ,由O、P、Q三点共线，可得 ，所以 , ,所以
第 16 页,所以FP与FQ不垂直,故C错误;
对于D： ,当且仅当 ,即 时取等号，所以△PFQ
面积的最小值为2.故D正确.
故选：D.
15．A
【分析】由题可得 ，可设切线 ，联立抛物线方程可得 ，即求.
【详解】∵抛物线 的准线为 ，
∴ ，设过点 作抛物线的一条切线方程为 ，
由 ，得 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，解得 ，即 ，
∴ 的面积为 .
故选：A.
16．A
【分析】求出抛物线的焦点坐标 ，用点斜式设出直线方程： ，与抛物线方程联解得一个关于
的一元二次方程，利用根与系数的关系结合曲线的弦长的公式，可以求出线段 的长度．
【详解】解：根据抛物线 方程得：焦点坐标 ，
直线 的斜率为 ，
由直线方程的点斜式方程，设 ，
将直线方程代入到抛物线方程中，得： ，
第 17 页整理得： ，
设 ， ， ， ，
由一元二次方程根与系数的关系得： ， ，所以弦长 ．
故选：A．
17．A
【分析】根据题意可设抛物线为 ，由焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为 ，可得抛物线方程.
设 ，再根据灶口直径 是灶深 的4倍，可列出关于 的等式，即可求出 ，进而求出 .
【详解】设抛物线为 ，由焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为 知， ，即抛物线
方程为 .设 ，则点 .由于灶口直径 是灶深 的4倍，故
.故 .
故选：A.
18．D
【分析】先由抛物线方程求出点 的坐标 ，准线方程为 ，再由 可求得点 的横坐标为4，从而可
求出点 的纵坐标，进而可求出 的面积
【详解】由题意可得点 的坐标 ，准线方程为 ，
因为 为抛物线上一点， ，
所以点 的横坐标为4，
当 时， ，所以 ，
所以 的面积为 ，
故选：D
19．B
【分析】由题意可得 ，设直线 的方程为 ，联立直线方程和抛物线方程，得到根与系数的关系，
结合 即可求出A、B纵坐标， .
【详解】由题意可得 ，设直线 的方程为 ．
联立 整理得 ．
设 ， ，则 ， ， ．
∵ ，∴ ，则 ，解得 ，从而 ，
故 的面积是 ．
第 18 页20．A
【分析】设l的方程，和抛物线方程联立，得到根与系数关系，求出 ，根据 求出p的值.
A：用导数求出切线斜率，验证两斜率之积是否为－1；
B：利用三角形面积公式即可求解；
C：根据抛物线焦点弦的几何性质可判断；
D：数形结合，利用抛物线的定义转化 为P到准线的距离即可求出最值.
【详解】∵l过点F且倾斜角为 ，
∴直线l的方为 ，与抛物线方程联立，得 ，
设 ，则 ， ，
∴ ， ，
又 ，∴ ，∴ ；
不妨设 ，当 时， ，
∴过A的切线斜率为 ，
同理可得过B的切线斜率为 ，
∴ ，∴ ，故A正确；
第 19 页，故B错误； ，故C错误；
设点M到准线的距离为d，若 ，则 ，则D错误．
故选：A．
21．D
【分析】设 两点的横坐标分别为 ，由对称性求出 ，再结合抛物线的定义得出弦长.
【详解】因为抛物线 ： ，所以
设 两点的横坐标分别为
因为线段 的中点关于 轴的对称点在直线 上
所以线段 的中点的横坐标为 ，则 ，即
故
故选：D
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用抛物线的定义求出弦长 .
22．B
【分析】设直线 的方程为 ，联立方程组求得 ，根据斜率公式，得到
，得到 ，进而求得 ，作 ， ，求得 ，得到
，结合弦长公式，列出方程，即可求解.
【详解】设直线 的方程为 ，
第 20 页联立方程组 ，整理得 ，
可得 ，
则
，所以 ,
因为 ，且 为锐角，可得 ，
设 ，如图所示，作 ，交 轴于点 ，
由题意，可得点 在抛物线的准线上，作准线为 ，作 ，垂直为 ，
则 ，所以 ，所以 ，
可得 ，
因为 ，即 ，解得 .
故选：B.
23．B
【分析】设直线方程，联立抛物线方程消元，利用韦达定理可得 ，然后数形结合可知
，计算可得.
【详解】由题知，直线AB方程为： ，即
代入 ，整理得
设 ，则
所以，
解得 .
第 21 页故选：B
24．D
【分析】根据题意求得抛物线的方程为 和焦点为 ，由 ，得到 为 的中点，得到
，代入抛物线方程，求得 ，进而求得 的面积.
【详解】由直线 是抛物线 的准线，可得 ，即 ，
所以抛物线的方程为 ，其焦点为 ，
因为 ，可得
可得 三点共线，且 为 的中点，
又因为 ， ，所以 ，
将点 代入抛物线 ，可得 ，
所以 的面积为 .
故选：D.
25．B
【分析】设 ， 的坐标，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，可得 的表达式，再由 的
中点到 轴的距离是6可得 ， 的横坐标之和，进而可得 的值，求出抛物线的方程，设直线 的方程，与抛物
线联立，结合韦达定理可求出三角形 的面积．
【详解】设 ， ， ， ，
由抛物线的定义可得 ，
又因为 的中点到 轴的距离是6，所以 ，
所以 ，
第 22 页所以抛物线的方程为： ，
设直线 的方程 ，
联立直线与抛物线的方程： ，整理可得 ，
，
所以 ，
解得 ，所以 的方程为： ，
.
故选：B
26．C
【分析】设直线 的方程为 ，可以先利用方程联立，利用弦长公式，借助韦达定理求出 ，由于直
线 ，求 时只需要将k换成 即可，然后利用基本不等式求最值即得．
【详解】由题意知，抛物线 的焦点 ，
因为 ，所以直线 ， 斜率存在，且均不为0．
设直线 的方程为 ，
代入到 中，化简得 ．
则 ， ．
所以
．
因为 ，故 的斜率为 ，
同理可得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 是取等号，
故 的最小值是32，
故选：C．
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线中的弦长问题和取值范围问题，涉及利用不等式求最值，难
度较大.
27．B
第 23 页【分析】由题，设直线 的方程为 ， ，进而与抛物线方程联立得
①， ②，再结合 得 ③，进而得 ，最后根据 的面积
求解即可得 ，进而得答案.
【详解】解：由题知， ，准线 的方程为 ，
因为 ，故直线 斜率存在，
设直线 的方程为 ， ，
所以联立方程 得 ，
所以 ①， ②
因为 ， ③，
所以，由①②③得： ， ，即 ，
因为 的面积为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即抛物线C的方程为 .
故选：B
28．C
【分析】画出图形，由题意可得 ， ，然后由结合抛物线的定义与
三角形面积即可求解
【详解】因为以F为圆心， 为半径的圆交l于M，N两点，
第 24 页所以 ，
结合抛物线的定义，可知点A到准线的距离为 ．
又因为 ， ，
所以 的面积为 ，
解得 ．
故选：C
29．C
【解析】设焦点为F，过A，B，M分别作准线 的垂线，垂足为A′，B′，M′，求出 ，即得解.
【详解】
设焦点为F，过A，B，M分别作准线 的垂线，垂足为A′，B′，M′，
则有|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，|AA′|+|BB′|＝2|MM′|，
∵M到y轴距离为1，
∴ ，
∴|AB|＝|AF|+|BF|＝2|MM′|＝3．
故选：C．
第 25 页【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
30．A
【解析】设三角形其中一个顶点为 ，根据三角形为正三角形，由 求得x即可.
【详解】设三角形其中一个顶点为 ，
因为三角形是正三角形，
所以 ，即 ，
解得 ，
所以三角形的两个顶点为 ，
所以三角形的面积为 ，
故选：A
31．B
【分析】联立直线与抛物线的方程，求出交点坐标，结合弦长为5求出p的值，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，联立方程组 ，整理得 ，解得 或 ，
不妨设 ，则 ，解得 ，
所以 .
故选：B.
32．B
【分析】根据数量积求得 ，结合图形用坐标表示出面积，然后由基本不等式可得.
【详解】点A，B位于x轴的两侧，且在抛物线 上，
不妨设 ，
由题知 ，解得， 或 （舍去），
第 26 页记l为抛物线的准线，交x轴于点D，过A、B作l的垂线，垂足分别为M、N，
由抛物线定义可知： ，
则
所以
又 ，所以
当且仅当 ，即 时，取等号.
故选：B
33．C
【分析】设直线 的方程为 ，其中 ，设点 、 、 ，将直线 的方程与抛
物线 的方程联立，列出韦达定理，求出 、 ，根据条件 可求得 的值，即可得出直线 的
斜率.
【详解】抛物线 的焦点为 ，设直线 的方程为 ，其中 ，
设点 、 、 ，
联立 可得 ， ， ，
所以， ，
第 27 页， ，
直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
所以， ，
因为 ，则 ，因为 ，解得 ，
因此，直线 的斜率为 .
故选：C.
34．ACD
【分析】运用数形结合的思想，将问题转化为解析几何问题，再结合抛物线的性质及几何图形特点逐项验证结果
即可得出答案.
【详解】如图，若 ，则 ，C的焦点为 ，
则 ，选项A正确；
延长 交直线 于点M，则 ，M，B，Q三点共线，选项D正确；
若 ，则 ，C的焦点为 ，直线 ，可得 ，选项B
不正确；
时，因为 ，所以 ．又 ，所以 平分 ，选项C
正确．
故选：ACD.
35．AC
【分析】先判断直线过焦点，联立方程组 结合韦达定理得两根关系，再根据选项一一判断即可．
【详解】设 ，抛物线 ，则 ，焦点为 ，则直线 过焦点；
联立方程组 消去 得 ， 则 ，
第 28 页所以 ，故A正确；
由 ，所以 与 不垂直，B错；
原点到直线 的距离为 ，所以 的面积为 ，则C正确；
因为线段 的中点到直线 的距离为 ，故D错
故选：AC
【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x
1
＋x＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
2
36．ABD
【分析】设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合斜率公式可判断A选项；利用三
角形的面积公式可判断B选项；利用弦长公式可判断C选项；利用三角形的面积公式结合基本不等式可判断D选
项.
【详解】对于A选项，抛物线 的焦点为 ，
若直线 与 轴重合，则该直线与抛物线 只有一个公共点，不合乎题意，
所以，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ， ，则 ，
，A对；
对于B选项，设 ，则 ，
联立 可得 ，解得 ，
不妨设点 在第三象限，则 ，
设点 在第四象限，同理可得 ，
点 到直线 的距离为 ， ，
所以， ，B对；
第 29 页对于C选项，
，C错；
对于D选项，
，
当且仅当 时，等号成立，D对.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
37．ABD
【分析】A选项：考虑直线 的斜率不存在与斜率存在两种情况，分别用含 的式子表达出 ，利用 的最
小值为 求出 的值，B选项结合A选项求出的 的值即可判断当斜率不存在的时候， 的中点到准线 的距离的
最小值为3；C选项利用韦达定理求出 的值，作出判断；D选项，求出当直线 的倾斜角为 时的 与
的值，进行判断.
【详解】当直线 的斜率不存在时，
因为直线 过抛物线 的焦点 ，所以 的方程为： ，
由 可得 ，此时 ，
当直线 的斜率存在时，
设 的方程为： ， ， ，
由 可得： ，
所以 ， ，
所以 ，
对于A：由以上证明可知：当直线 的斜率不存在时， ，可得 ，
第 30 页所以抛物线 的方程为 ，故选项A正确；
对于B：当直线 的斜率不存在时， 的中点到准线 的距离为 ，
当直线 的斜率存在时， 的中点横坐标为 ，此时 的中点到准线 的距离 ，
故选项B正确；
对于C：当直线 的斜率不存在时， ， ，
此时 ，故选项C不正确；
对于D：当直线 的倾斜角为 时，直线 的方程为： ，
由 可得： ，即 ，
不妨设 ， ，
所以 ， ，
所以 ，所以 为 的一个四等分点，故选项D正确；
故选：ABD
38．
【分析】先根据 确定出 点坐标，再根据 求出 点的纵坐标，即可求解.
【详解】由题可知，抛物线的准线 的方程为 ，则焦点 到准线的距离为 ,
已知 ，所以P在线段OF的中垂线上，如图，
第 31 页设 ，则
可知 ，
即
,
解得 ，
所有抛物线C的方程是 .
故答案为：
39．
【分析】根据抛物线定义求出点 坐标，即可求出面积.
【详解】由题可得 ，设 ，
则由抛物线定义可得 ，解得 ，代入抛物线方程可得 ，
所以 .
故答案为： .
40．
【分析】利用抛物线的性质，结合正三角形的性质和面积公式进行求解即可.
【详解】由题意知 ，则 与准线垂直，又 为正三角形，所以 与准线所成的锐角为 ，由
抛物线标准方程可知：焦点 到准线的距离为 ，
所以 ，所以 的面积为 .
第 32 页故答案为：
41．8
【分析】由题意，求出 ，然后联立直线与抛物线方程，由韦达定理及 即可求解.
【详解】解：因为抛物线 的焦点坐标为 ，
又直线 过抛物线 的焦点F，
所以 ，抛物线 的方程为 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以 .
故答案为：8.
42．15
【分析】易得抛物线方程为 ，根据 ，求得点P的坐标，进而得到直线l的方程，与抛物线方程联立，
再利用抛物线定义求解.
【详解】解：因为抛物线的焦点 到准线的距离为4，
所以 ，则抛物线 ： ，
设点 的坐标为 ， 的坐标为 ，
因为 ，
所以 ，则 ，
则 ，
所以直线 的方程为 ，
代入抛物线方程可得 ，
故 ，则 ，
第 33 页所以 ．
故答案为：15
43．
【分析】令 ： ， ，根据已知条件求 坐标且可得 轴，由
，进而用参数k表示 ，再得到△ 面积关于k的函数式，应用换元法、导数求面积最小
值.
【详解】由题设，直线 斜率不为0，令 ： ，联立抛物线，
∴ ，不妨设 ，
∴ ， ，又抛物线准线方程为 ，直线 ，
∴ ，又 ，则 ，
∴ ，即 轴，
综上， ， ，
而 ，则 ，
由 ，则 ，
∴ ，令 ，
∴ ，令 ，则 ，
第 34 页当 时， ，则 递增；当 时， ，则 递减；
∴ ，故最小值为 ，此时 (由对称性 最小值也成立).
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：设直线 及交点坐标，联立抛物线，结合直线与准线、抛物线交点求证 轴，根据
，进而得到面积关于参数的函数式，应用导数求其最小值.
44．
【分析】先设出抛物线方程，写出准线方程和焦点坐标，利用 得到抛物线方程，再利用三角形的面积公
式进行求解.
【详解】设抛物线 的方程为 ，
则焦点为 ，准线方程为 ，
由题意，得 ， ， ，
所以 ，解得 ，
所以 .
故答案为： .
45． ##
【分析】根据抛物线的定义，结合三角形面积公式进行求解即可.
【详解】设 ，
由抛物线的标准方程可知该抛物线的准线方程为： ，焦点 ，
由抛物线的定义可知： ，代入抛物线标准方程中得：
，
因此△POF的面积为： ，
故答案为：
46．(1)
(2)
第 35 页【分析】（1）联立方程，求出 ， ，表达出线段AB的中点M的坐标，消去参数，求出轨
迹方程；（2）设直线 ，与抛物线 联立，求出两根之和，两根之积，表达出弦长，进而表达
出面积，换元后，求出最小值.
(1)
联立 ，解得： ，
把 代入 得： ，
所以 ，
同理可得： ，
则线段AB的中点M的坐标为 ，
因为 ，
所以 ，
消去 得：
所以线段AB的中点M的轨迹方程为
(2)
设 ，
则直线 ，与 联立得： ，
则 ，所以 ，
同理可得： ，
则 ，
其中 ，解得： ，
设直线 ，与抛物线 联立得： ，
第 36 页则 ，又 ，所以 ，
则 ，
，
所以 ，
点O到直线PQ的距离为 ，
所以△POQ面积为 ，
令 ，则 ，
所以 ，
当 ，即 时，△POQ面积取得最小值，最小值为 .
【点睛】抛物线相关的弦长或面积问题，一般设出直线方程，与抛物线联立，得到两根之和，两根之积，根据题
干条件得到等量关系，用一个变量表达出弦长或面积，求出最值或取值范围.
47．（1） ；（2） .
【分析】（1）根据抛物线定义可得 ，从而得到抛物线C的方程；
（2）设 ，联立抛物线方程，消去 ，可得 的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求
值．
【详解】（1） ，
所以 ，即抛物线C的方程 .
（2）设 ，
由 得
所以 ，
所以
.
【点睛】方法点睛：计算抛物线弦长的方法，
(1)若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB|＝x＋x＋p＝ (α为弦AB的倾斜角)．
1 2
第 37 页(2)若直线不过抛物线的焦点，则用|AB|＝ ·|x－x|求解．
1 2
48．(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据抛物线的准线方程，即可容易求得抛物线方程；
（2）设出直线 的方程，联立抛物线方程，利用OM的斜率为 ，结合韦达定理，即可求得直线 的方程，再用
面积公式即可求得结果.
(1)
由准线方程为 知， ，故 ；
则抛物线方程为 .
(2)
由题知直线 的斜率显然不为0，又其过点
故设直线l的方程为 ， ，
联立抛物线方程 ，化简得
则 ，
由线段 的中点为 知 ， ，
，代入韦达定理知， ，
整理得： ，解得 ，
故直线 的方程为
则
.
故 的面积为 .
49．(1) ；
(2)16.
【分析】（1）由题设有直线l为 ，联立抛物线求相交弦长有 ，即可写出抛物线方程.
（2）由题意，可设直线AB为 且 ，联立抛物线应用韦达定理求 、 坐标，再由两点距离公式求
、 ，进而得到 关于k的表达式，结合基本不等式求最小值，注意等号成立条件.
第 38 页(1)
由题意，双曲线实轴长 ，直线l方程为 ，
由 ，得 ，则过F垂直于x轴的直线l被抛物线C 的弦长为2p，
2
所以 ，故抛物线 的方程为 .
(2)
因为 ，若直线AB、CD分别与两坐标轴垂直，则其中有一条与抛物线只有一个交点，不合题意；
所以，直线AB，CD的斜率均存在且不为0，
设直线AB的斜率为 ，则直线AB的方程为
联立 ，得 ，则 ，
设 ，则 ．
设 ，则 ，则 即 ，同理得 ，
故 ， ，又 ，
所以
当且仅当 ，即 时等号成立，故△FPQ面积的最小值为16．
50．(1)
(2)
【分析】（1）根据焦半径公式可求 ，从而可求抛物线的方程.
（2）求出 的长度后可求 的面积.
(1)
第 39 页因为 ，所以 ，
故抛物线方程为： .
(2)
设 ，且 ，
由 可得 ，故 或 ，
故 ，故 ，故 ，
而 到直线 的距离为 ，
故 的面积为 ．
第 40 页第 41 页
