专题03三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型解读与提分精练（人教版）（学生版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_常见几何模型全归纳-V13_2025版

专题03.三角形中的倒角模型-燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、 风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法 的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点， 因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在 几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解 每一个题型，做到活学活用！ .................................................................................................................................................2 模型1.飞镖模型（燕尾）模型.................................................................................................................2 模型2.风筝（鹰爪）模型......................................................................................................................24 模型3.角内（外）翻模型......................................................................................................................36 ...............................................................................................................................................48 模型1.飞镖模型（燕尾）模型飞镖（燕尾）模型看起来特别简单，在复杂几何图形倒角时往往有巧妙的作用。因为模型像飞镖 （回旋镖）或燕尾，所以我们称为飞镖（燕尾）模型。 图1 图2 图3 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：① ；② 。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中， ；在△CDQ中， 。 即： ，故 。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O= （∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO= ∠ABC；∠ADO= ∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A= ∠ABC+ ∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O= （∠A+∠C）。 拓展模型2：条件：如图3，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O= （∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型： = + + ，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO= ∠DCB，∠DAO= ∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO= （∠DCB-∠DAB）= （∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO，∴∠D-∠O= （∠D+∠B）,即∠O= （∠D-∠B） 例1．（2023·山西晋城·七年级校联考期末）阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．如图 1的四边形 ，这种形似飞镖的四边形，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上就是凹四边形，同 学们通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即如图1， ． “智慧小组”通过互学证明了 这个结论： 方法一：如图2，连接 ，则在 中， ， 即 ， 又：在 中， ， ∴ ， 即 ． “创新小组”想出了另外一种方法 方法二：如图3，连接 并延长至F， ∵ 和 分别是 和 的一个外角， …… …… 任务：(1)填空：“智慧小组”用的“方法一”主要依据的一个数学定理是______； (2)根据“创新小组”用的“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分．例2．（2023·广东河源·八年级校考期末）（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究 与 、 、 的数量关系并给出证明；（2）模型应用：如图2， 平分 ， 平分 ， ， ，请直接写出 的度数． 例3．（2023·浙江杭州·八年级专题练习）（2018十三中开学考）已知，在 中，∠A=60°， （1）如图①，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC= ； （2）如图②，∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点O ，O ，则 ； 1 2 （3）如图③，∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O ，O ，…， （内部有 个点），则 1 2 ； （4）如图③，∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O ，O ，…， ，若 ，求n的值． 1 2变式1．（2023春·河南南阳·七年级校考阶段练习）互动学习课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究. 小亮：已知，如图①，在ABC中，点D是ABC内一点，连接BD，CD，试探究BDC与A、1、2 之间的关系． 小红：以用三角形内角和定理去解决．小明：外角的相关结论也能解决． (1)请你在横线上补全小红的探究过程： ∵BDCDBCBCD180（___________________） ∴BDC 180DBCBCD（等式性质） ∵A1________DBCBCD180， ∴A12180________BCD． ∴BDCA12．（________________） (2)请你按照小明的思路完成探究过程． (3)利用探究的结果填空．如图②，BDC125，BC25，则A_______．变式2．（2023·成都市·七年级专题练习）如图， 平分 ， 平分 ， 与 交于点 ， 若 ， ，则 （ ） A．80° B．75° C．60° D．45° 变式3.（2023·浙江·八年级假期作业）如图所示，在 中， ， 在 上， ， 是 上的任意一点，求证 ． 模型2.风筝（鹰爪）模型 图1 图21）鹰爪模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 2）鹰爪模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 例1．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD中， 、 、 分别为 、 、 的外角 判断下列大小关系何者正确？（ ） A． B． C． D． 例2．（2023·山东青岛·八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于 如何 证明这个定理呢？我们知道，平角是 ，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去， 请根据如下条件，证明定理． （1）【定理证明】 已知： 如图①，求证： ． （2）【定理推论】如图②，在 中，有 ，点D是 延长线上一点，由平角的定 义可得 ，所以 _______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点D、E分别是 的边 延长线上一点． （3）若 ， ，则 _______．（4）若 ，则 _______． 【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形 的边 延长线上一点． （5）若 ， ，则 _________． （6）分别作 和 的平分线 ，如图⑤，若 ，则 和 的关系为 __________． （7）分别作 和 的平分线，交于点O，如图⑥，求出 ， 和 的数量关系，说明理由． 例3．（2023·河南鹤壁·七年级统考期末） 中， ，点D，E分别是 边AC，BC上的点， 点P是一动点，令 ， ， ． 初探：(1)如图1，若点P在线段AB上，且 ，则 _____________； (2)如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1，∠2， 之间的关系为_____________； (3)如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，则∠1，∠2， 之间的关系为_____________； 再探：(4)如图4，若点P运动到 的内部，写出此时∠1，∠2， 之间的关系，并说明理由．变式1．（2023·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）如图，将 沿 折叠，使点 A落在 的 内部的点 M处，当 ， 时，求 的度数； （2）如图，将 沿 折叠，使点 A 落在 的外部的点 M 处．求图中 ， ， 之间的数量关系；（3）如图 ，将 、 一起沿 折叠，使点 A、点B的对应点 M、N 分别 落在射线 的左右两侧， ， ， 、 的数量关系 ． (直接写结果，不需要过 程） 模型3.角内（外）翻模型 图3 图4条件：如图 3，将三角形纸片 ABC 沿 EF 边折叠，当点 C 落在四边形 ABFE 内部时，结论： 2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 例1.（2023春·广东·七年级专题练习）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分 ∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（ ） A．90° B．100° C．110° D．120° 例2．（2023·山西临汾·七年级统考期末）如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的 位置，若∠1−∠2=60°，则∠B的度数是 ． 例3．（2023春·江苏宿迁·七年级校考期中）（1）如图1，将 纸片沿 折叠，使点 落在四边形 内点 的位置．则 之间的数量关系为：_______； （2）如图2，若将（1）中“点 落在四边形 内点 的位置”变为“点 落在四边形 外点的位置”，则此时 之间的数量关系为：_________； （3）如图3，将四边形纸片 （ ， 与 不平行）沿 折叠成图3的形状，若 ， ，求 的度数； （4）在图3中作出 的平分线 ，试判断射线 的位置关系，当点 在 边 上向点 移动时（不与点 重合）， 的大小随之改变（其它条件不变），上述 ， 的位置关系改变吗？为什么？ 变式1．（2023春·江苏镇江·七年级校考阶段练习）如图， 中， ，将 沿 翻折后， 点A落在 边上的点 处，如果 ，那么 的度数为 ． 变式2．（2022秋·河北廊坊·八年级校考期中）如图，将三角形纸片 沿 折叠，当点A落在四边形 的外部时，测量得 ， ，则 为（ ） A． B． C． D．1．（2023·广东广州·八年级统考期中）如图，∠1，∠2，∠3，∠4满足的关系式是（ ） A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3 C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠3 2．（2023春·河南洛阳·七年级统考期末）如图，在五边形 中，若去掉一个 的角后得到一个六边 形 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图1， 中，点E和点F分别为 上的点，把 纸片沿 折叠，使得点A落在 的外部 处， ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏·模拟预测）如图，将四边形纸片 沿 折叠，使点 落在四边形 外点 的位 置，点 落在四边形 内点 的位置，若 ， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 5．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图△ABC中，将边BC沿虚线翻折，若∠1+∠2＝110°，则∠A的 度数是 度． 6．（2023春·山东潍坊·七年级统考期末）在 中， ， ，将 、 按照如图所示折叠，若 ，则 ° 7．（2023·天津·八年级校考期中）如图， 中， ，将 沿 翻折后，点A落在 边上 的点 处．如果 ，那么 的度数为 ． 8．（22-23八年级上·浙江台州·开学考试）如图，点 在 上，点 在 上， 平分 ，交 于 ， 平分 ，交 于 ， 、 相交于 ， 、 相交于 ，若 ， ，则 的度数为 ． 9．（2023·河北保定·统考模拟预测）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且 ∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将 ∠BCD （填“增大”或“减小”） °．10．（2023秋·山东·八年级专题练习）已知，在 中，点E在边 上，点D是 上一个动点，将 沿E、D所在直线进行翻折得到 ．(1)如图，若 ，则 ______； (2)在图中细心的小明发现了 ， ， 之间的关系，请您替小明写出这个数量关系并证明． 11．（2023春·山东烟台·七年级统考期中）例题再现：（1）如图1，五角星的顶角分别是 ，则 _________（直接写出答案）； 知识链接：n边形的内角和等于 ．变式拓展：（2）如图2，将该五角星剪掉一个顶角 ． ①求 的度数；②若 ，求 的度数．12．（23-24七年级下·山东滨州·期末）如图所示的图形，像我们常见的符号−−箭号．我们不妨把这样图 形叫做“箭头四角形”． (1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图1中 与 ， ， 之间的关系，并说明理由； (2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 ， 恰好经过点 ， ，若 ，则 ___________ ；②如图3， ， 的二等分线（即角平分线） ， 相交于点 ，若 ， ，求 的度数． 13．（23-24七年级下·山东威海·期末）[实验探究]（1）将一副三角板如图1摆放，使三角板 的两条 直角边分别经过点 ，点 ，且 ，则 ______；（2）在图1的基础上，三角板 保持不动，将三角板 旋转得到图2，使三角板 的两条直角边依然分别经过点 ，点 ，则 ______．[猜想证明]如图3，试猜想 之间的关系，并证明． [结论应用]请直接利用以上的结论，解决问题：如图4， 与 的角平分线交于点 ，若 ， ，求 的度数． 14.（2023·湖北·七年级期末）三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度．在下图 中，E位于线段CA上，D位于线段BE上． （1）说明为什么 ．（2）说明为什么 ． （3） 与 ，哪一个更大？证明你的答案； （4） 与 ，哪一个更大？证明你的答案． 15．（2023·江苏盐城·七年级校联考期中）如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和 ∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β．（1）如图1，若α+β=100°，求∠MBC+∠NDC的度数； （2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD=40°，请直接写出α、β所满足的数量关系式； （3）如图2，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．16．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，将 纸片沿 折叠，使点 落在四边形 内点 的位置，(1)探索 与 之间的数量关系，并说明理由． (2)如果点 落在四边形 外点 的位置， 与 、 之间的数量关系有何变化，请说明理由． 17．（2023·云南保山·八年级校考期中）已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD． （1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；（2）如图2，若存在一点P，使得PB平 分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；（3）如图3，在 （2）的条件下， 将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．18．（2023·广东·八年级校考阶段练习）（1）如图①∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系？为什么？ （2）把图① ABC沿DE折叠，得到图②，填空： ∠1+∠2 △∠B+∠C（填“＞”“＜”“＝”），当∠A＝60°时，∠B+∠C+∠1+∠2＝ （3）如图③，是由图①的 ABC沿DE折叠得到的，猜想∠BDA+∠CEA与∠A的关系，并证明你的猜想． △ 19．（2023春·江苏泰州·七年级校联考期中）已知，在 中， ，点 在 上，过点 的 一条直线与直线 、 分别交于点 、 ．(1)如图1， ，则 ______°． (2)如图2，猜想 、 、 之间的数量关系，并加以证明； (3)如图3，直接写出 、 、 之间的数量关系______．