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微专题：双曲线的离心率
【考点梳理】
求双曲线离心率或其范围的常用方法：①求a及b或c的值，由e＝＝＝1＋求e；②列出含有a，b，c的齐次
式(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
【题型归纳】
题型一：求双曲线的离心率
1．设双曲线 的左､右焦点分别为 为坐标原点，若双曲线上存在点 满足
，则双曲线的离心率为（ ）
A．6 B．3 C． D．
2．已知 ， 分别为双曲线 （ ）的左、右焦点， ， 是 右支上的两点，且直线
经过点 ．若 ，以 为直径的圆经过点 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知 为双曲线 的右顶点， 为双曲线右支上一点，若点 关于双曲线中心 的对称点为
，设直线 、 的倾斜角分别为 、 ，且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型二：求双曲线的离心率的取值范围
4．已知双曲线 （ ， ）的左右焦点分别为 ， ，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一
象限上的一点， 的平分线与x轴交于Q，若 ，则双曲线的离心率范围为（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
5．已知双曲线 ， ， 是实轴顶点，F是右焦点， 是虚轴端点，若在线段BF上（不
含端点）存在不同的两点 ，使得 构成以 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的
取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
6．已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线左支上的任意一点，若 的最
小值为 ，则双曲线离心率 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三：根据离心率求双曲线的标准方程
7．双曲线 的离心率为 ，且过 ，则双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为5，双曲线 的左顶
点为 ，离心率为 ，若双曲线的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知双曲线 的离心率为 ，则双曲线的虚轴长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司题型四：由双曲线的离心率求参数的取值范围
10．已知双曲线 （ ， ）的两条渐近线与抛物线 （ ）的准线分别相交于点A，B
两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2， 的面积为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知双曲线 及双曲线 ，且 的离心率为 ，若直线 与
双曲线 、 都无交点，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
12．双曲线 的离心率为 ，则实数m的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【双基达标】
13．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过点 的直线 与 的左、右两支分别交于
点 ，若 是边长为 的等边三角形，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
14．已知双曲线 ， 的左右焦点记为 ， ，直线 过 且与该双曲线的一条渐近线平行，记
与双曲线的交点为P，若所得 的内切圆半径恰为 ，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
15．已知双曲线 的左焦点为 ， ，点 在双曲线的右支上， ，
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
16．已知抛物线 上一点 到焦点的距离为3，准线为l，若l与双曲线 的
两条渐近线所围成的三角形面积为 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．
17．设双曲线C： 的左，右焦点分别是 ， ，点M是C上的点，若 是等腰直角三角形，则
C的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．
18．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，P是双曲线上一点，且 （
为坐标原点），若 内切圆的半径为 ，则C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
19．已知 是双曲线 的左焦点，圆 与双曲线在第一象限的交点为 ，若 的中点在
双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．
20．已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ，左、右顶点分别为 ， 为双曲线的
左支上一点，且直线 与 的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线 的离心率为
B．若 ，且 ，则
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．以线段 ， 为直径的两个圆外切
D．若点 到 的一条渐近线的距离为 ，则 的实轴长为4
21．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双
曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点 、 的椭圆 与双曲线
构成，现一光线从左焦点 发出，依次经 与 反射，又回到了点 ，历时 秒；若将装置中的 去掉，如图
②，此光线从点 发出，经 两次反射后又回到了点 ，历时 秒；若 ，则 与 的离心率之比为（ ）
A． B． C． D．
22．已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 ，则双曲线C的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
23．已知双曲线 的一条渐近线与直线 平行，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
24．已知双曲线 ： 的右焦点为 ，过点 作直线 与 交于 ， 两点，若满足 的
直线 有且仅有1条，则双曲线 的离心率为（ ）
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D． 或
25．已知双曲线 ： 与直线 交于 ， 两点，点 为 上一动点，记直线 ， 的斜
率分别为 ， ， 的左､右焦点分别为 ， .若 ，且 的焦点到渐近线的距离为1，则（ ）
A．
B． 的离心率为
C．若 ，则 的面积为2
D．若 的面积为 ，则 为钝角三角形
【高分突破】
一、单选题
26．若双曲线 的一条渐近线方程 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
27．设 ， 是双曲线 的左、右焦点， 是坐标原点，过 作 的一条渐近线的垂线，
垂足为 .若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
28．如图，已知双曲线 的左右焦点分别为 、 ， ， 是双曲线右支上的一点，
，直线 与 轴交于点 ， 的内切圆半径为 ，则双曲线的离心率是（ ）
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
29．双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点 发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经
过左焦点 . 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的
轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为 ， 为其左、右焦点，若从右焦点 发出
的光线经双曲线上的点 和点 反射后，满足 ， ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
30．已知双曲线 的右焦点为 ，以 为圆心，以 为半径的圆与双曲线 的一条渐近线交
于 ， 两点，若 ( 为坐标原点)，则双曲线 的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司31．如图，O是坐标原点，P是双曲线 右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分
别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且 ，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
32．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表
面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双
曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
33．已知 ， 分别为双曲线 的左，右焦点，双曲线 上的点A满足 ，且
的中点在 轴上，则双曲线 的离心率为( )
A． B． C．2 D．
34．已知 是双曲线 的左焦点， 为右顶点， 是双曲线 上的点， 轴，若
，则双曲线 的离心率为（ ）
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
35．已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过 的直线 交双曲线的右支于 ， 两点.点
满足 ，且 ，若 ，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
36．已知双曲线 的一个焦点坐标为 ，当 取最小值时，双曲线的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
37．过原点的直线 与双曲线 ( )交于 两点， 是双曲线的左焦点，过 作 轴的垂线，交
双曲线于 两点，若在线段 上存在点 ，使得 ，则双曲线离心率的最小值是( )
A． B． C． D．
38．第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬
奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为
一体，呈现出新时代的中国新形象､新梦想.会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的
英姿.中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦､赛场､冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五
环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正､坦诚的运动员精神在比赛场上相见.其中奥运五环
的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，
设五个圆的圆心分别为O
1
，O
2
，O
3
，O
4
，O
5
，若双曲线C以O
1
，O
3
为焦点､以直线O
2
O
4
为一条渐近线，则C的离
心率为（ ）
A． B． C． D．2
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司39．已知双曲线C： （ ， ）的一条渐近线方程为 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
40．已知双曲线C： 的一条渐近线方程为 ，则C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
41．已知双曲线的方程为 ，则下列说法错误的是（ ）
A．离心率 为 B．渐近线方程为
C．焦点为 D．焦点到渐近线的距离为
42．设 、 分别是双曲线 的左、右焦点，且 ，则下列结论正确的有（ ）
A． B．当 时，C的离心率是2
C． 到渐近线的距离随着n的增大而减小 D．当 时，C的实轴长是虚轴长的两倍
43．定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．以下关于共轭双曲线的结
论正确的是（ ）
A．与 共轭的双曲线是
B．互为共轭的双曲线渐近线不相同
C．互为共轭的双曲线的离心率为 、 则
D．互为共轭的双曲线的 个焦点在同一圆上
44．已知双曲线 ，则（ ）
A．双曲线 的焦点在 轴上
第 10 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司B．双曲线 的焦距等于
C．双曲线 的焦点到其渐近线的距离等于
D．双曲线 的离心率的取值范围为
45．已知双曲线两渐近线的夹角为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
46．已知点 ､ 是双曲线 的左､右焦点，以线段 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点
为 ，若 ，则（ ）
A． 与双曲线的实轴长相等 B． 的面积为
C．双曲线的离心率为 D．直线 是双曲线的一条渐近线
三、填空题
47．已知双曲线 (a，b>0)的左、右焦点分别为F，F，过点F 且倾斜角为 的直线l与双曲线的左、右
1 2 1
支分别交于点A，B.且|AF|=|BF|，则该双曲线的离心率为____________.
2 2
48．双曲线 的渐近线与圆 相切，则双曲线E的离心率为______．
49．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，设过 的直线 与 的右支相交于 两点，
且 ， ，则双曲线 的离心率是______.
50．双曲线 的离心率 __________.
第 11 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司51．设双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ，以 为圆心的圆恰好与双曲线 的两渐近
线相切，且该圆过线段 的中点，则双曲线 的离心率是_____．
52．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 (a＞0，b＞0)的右焦点为F．若以F为圆心，a为半径的圆
交该双曲线的一条渐近线于A，B两点，且AB＝2b，则该双曲线的离心率为_______．
四、解答题
53．已知双曲线 （ ， ）的左、右顶点分别为 、 ，离心率为2，过点
斜率不为0的直线l与 交于P、Q两点．
(1)求双曲线 的渐近线方程；
(2)记直线 、 的斜率分别为 、 ，求证： 为定值．
54．设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，且 ，一条渐近线的倾斜角为60°．
（1）求双曲线C的标准方程和离心率；
（2）求分别以 ， 为左、右顶点，短轴长等于双曲线虚轴长的椭圆的标准方程．
55．已知双曲线C的离心率 ，左焦点 到其渐近线的距离为 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设T是y轴上的点，过T作两直线分别交双曲线C的左支于P、Q两点和A、B两点，若 ，P、Q两点
的中点为M，A、B两点的中点为N，O为坐标原点，求两直线OM和ON的斜率之和．
56．求解下列问题：
(1)求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
(2)求焦点在 轴上，焦距是16， 的双曲线的标准方程．
第 12 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司57．已知双曲线C： （a> 0，b> 0）的离心率为 ，实轴长为2.
(1)求双曲线的焦点到渐近线的距离；
(2)若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为 ，求m的值.
58．在平面直角坐标系中，点 ､ 分别为双曲线 的左､右焦点，双曲线 的离心率为2，
点 在双曲线 上.不在x轴上的动点P与动点Q关于原点O对称，且四边形 的周长为 .
(1)求动点P的轨迹方程；
(2) ，直线l： 与x轴交于点B，过点B的直线与P的轨迹交于M､N两点，直线AM､AN与直线l
交于S､T，求 的值.
第 13 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【分析】判断M点位置，过点 作 轴的垂线，垂足为A，可得 ， ，设 ，利用勾股定
理表示出 ，可得 ，结合双曲线定义可得 ，即可求得a,c的关系，进而求得离心率.
【详解】因为 ,则 ， M在双曲线右支上，
过点 作 轴的垂线，垂足为A，则A为 的中点，
所以 ， ，
设 ，则 ，故在 中， .
在Rt 中， ，则 ，即 .
因为 ，则 ，所以 ，即 ，
所以 ，
故选：C.
2．A
【分析】由以 为直径的圆经过点 得 ，结合双曲线的定义及勾股定理可得解.
【详解】由题意得 ，设 ，则 ， ， ， ，
在 中，由勾股定理得 ，解得 ，
则 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，化简得 ，
所以 的离心率 ，
故选：A.
第 14 页3．D
【分析】设出 坐标，根据题意得 ，代入斜率公式，由 点在双曲线上，消元整理得到 的关系，
进一步求得双曲线的离心率.
【详解】设 ，则 ，因为 ，即 ，
由 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
即 ，得 ，所以 ，即
又 ，所以 ，即 ，
所以 ，故双曲线的离心率为 ．
故选：D.
4．B
【分析】根据角平分线的性质得出 ， ，利用三角形的三边关系以及双曲线的性质即可求解.
【详解】设双曲线的半焦距为 ， 离心率为 ，
由 ，则 ， ，
因为 是 的平分线，
所以 ,
又因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，即 ，
所以双曲线的离心率取值范围为 .
故选：B
5．B
【分析】将题意转化为以 ， 为直径的圆与线段BF有两个不同的交点，再数形结合列不等式化简求解即可.
【详解】以 ， 为直径的圆与线段BF有两个不同的交点，
所以 ， ，
解得 ；
第 15 页且圆心 到直线BF： 的距离 ，
化简得 ，
所以 ， ，
又 ，解得 ，
所以双曲线离心率的取值范围是 ．
故选：B
6．C
【分析】由双曲线定义 ，变形后由基本不等式得最小值，从而得 ，再利用双曲线中
的范围有 ，由此结合可得离心率的范围．
【详解】 ， 是左、右焦点， 为双曲线左支上的任意一点，所以 ，代入 得
，当且仅当 时取等号，即 ，又点
是双曲线左支上任意一点，所以 ，即 ， .
故选：C．
7．D
【分析】根据离心率为 得到双曲线方程为 ，再代点的坐标到双曲线方程即得解.
【详解】解：由双曲线离心率为 ，得 ，所以 所以 ，
所以双曲线方程为 ，
将 代入 得 .
所以双曲线的方程为 .
故选：D
8．C
【分析】由抛物线的定义可求出 的值，进而确定点 的坐标，再结合双曲母的的几何性与两条直线的垂直关系，
可求出 的值，从而可求出双曲线的方程
【详解】设抛物线的焦点为 ，则抛物线的定义可得 ，解得 ，
所以抛物线的方程为 ，
第 16 页因为点 在抛物线上，
所以 ，得 ，
所以 ，
由题意得 ，双曲线的渐近线方程为 ，
因为离心率为 ，所以 ，
所以 ，得 ，
因为双曲线的一条渐近线与直线 垂直，
所以 ，得 ，
所以由 ，得 ，
所以双曲线的方程为 ，即 ，
故选：C
9．C
【分析】由 求出 ，再分析求解即可.
【详解】由题意得 ，解得 ，所以双曲线的虚轴长为 .
故选：C .
10．B
【分析】由公式 可得渐近线斜率，数形结合根据三角形面积列方程可得.
【详解】如图，记抛物线的准线与x轴交于点D，
由题知， ，解得
所以 ，
因为 ，所以
所以 ，解得
故选：B
第 17 页11．B
【分析】利用双曲线 的离心率可求得 的值，分析可知两双曲线的渐近线重合，再结合两双曲线的焦点位置可
得出 的值.
【详解】由题意可知，双曲线 的离心率为 ，可得 ，
因为双曲线 的渐近线方程为 ，
双曲线 的渐近线方程为 ，
所以，双曲线 、 的渐近线重合，且双曲线 的焦点在 轴上，双曲线 的焦点在 轴上，
因为直线 与双曲线 、 都无交点，则 .
故选：B.
12．B
【分析】由双曲线方程求得a，b，进而由离心率求解．
【详解】解：由双曲线 ，
得a2＝m，b2＝4，
∴a ，c ，
则e ，
解得m＝2．
故选：B．
13．B
【分析】由双曲线定义可推导得 ，求得 ；在 中，利用余弦定理可求得 ，进而得到 ，
由 可求得离心率.
第 18 页【详解】
， ，
又 ， ，解得： ， ，
在 中，由余弦定理得： ，
解得： ，即 ， ，
双曲线 的离心率 .
故选：B.
14．A
【分析】根据给定条件探求出 的内切圆圆心坐标，再借助点到直线距离公式计算作答.
【详解】令双曲线 的半焦距为c，则 ，由对称性不妨令与 平行的渐近线为 ，
直线 方程为： ，即 ，
令 的内切圆 与 三边相切的切点分别为A，B，C，令点 ，如图，
由切线长定理及双曲线定义得：
，
即 ，而 轴，圆 半径为 ，则有 ，
点 到直线 的距离： ，整理得 ，即 ，而 ，解得 ，
所以双曲线的离心率为2.
第 19 页故选：A
【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式 ；
②根据给定条件得到关于a，b，c的齐次式，再转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范
围).
15．A
【分析】由题可得 ，根据双曲线定义建立关系可求.
【详解】根据 可得 ，又 .
设 ，则 ， ，
所以 ，则 .
故选：A.
16．C
【分析】先由已知结合抛物线的定义求出 ，从而可得抛物线的准线方程，则可求出准线l与两条渐近线的交
点分别为 ，然后由题意可得 ，进而可求出双曲线的离心率
【详解】依题意，抛物线 准线 ，
由抛物线定义知 ，解得 ，则准线 ，
双曲线C的两条渐近线为 ，于是得准线l与两条渐近线的交点分别为 ，原点为O，
则 面积 ，
双曲线C的半焦距为c，离心率为e，则有 ，解得 ．
故选：C
17．D
【分析】根据题意得到 或 ，进而得到 ，构造出关于 的齐次式，解出答案.
【详解】显然， 或 ，不妨令 ，将 代入双曲线方程， ，解得：
，由等腰直角三角形可得 ，则 ，方程两边同除以 得： ，解得：
，因为 ，所以离心率为 .
故选：D
18．C
【分析】由 分析可得 ，根据内切圆性质结合双曲线定义分析可得切点D为双曲线的
第 20 页右顶点，在 中，由勾股定理列式求解.
【详解】 ，即为 ，即为 ，可得 ．所以 ．
根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，如图所示，由题意设 的内切圆切三边分别于G，D，E三
点，则 ， ， ．
又 ，所以 ．
设 ，则 ，所以 ，
所以切点D为双曲线的右顶点，所以 ，
．
在 中，由勾股定理得 ，
整理得 ，即 ，解得 ，
又因为 ，所以C的离心率为 ，
故选：C．
19．A
【分析】根据双曲线的几何性质和平面几何性质，建立关于a,b,c的方程，从而可求得双曲线的离心率得选项.
【详解】由题意可设右焦点为 ，因为 ，且圆 ： ，所以点 在以焦距为直径的圆上，
则 ，
设 的中点为点 ，则 为 的中位线，所以 ，则 ，又点 在渐近线上，
所以 ，且 ，则 ， ，所以 ，所以 ，
则在 中，可得， ，即 ，解得 ，所以 ，
故选：A．
第 21 页【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 的方程或
不等式，利用 和 转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．
20．C
【分析】设 ，则 ，根据两点坐标求斜率的方法求得 ，再由 求出
结果，即可判断A选项；由 ，得 ，根据双曲线的定义可得 ，根据题意得出
和 ，可得出 的值，即可判断B选项；设 的中点为 ， 为原点，则 为
的中位线，所以 ，根据两个圆的位置关系即可判断C选项；由点
到 的一条渐近线的距离为 ，得出 ，而 得出 的值，即可得出 的实轴长，即可判断D选项.
【详解】解：对于A，设 ，则 ，
因为 ，直线 与 的斜率之积等于3，
所以 ，得 ，故A错误；
对于B，因为 ，所以 ，
而 为双曲线的左支上一点，根据双曲线的定义可得 ，
又因为 ，且 ，
所以 ，则 ，
由 ，可得 ，
即 ，解得： ，故B错误；
对于C，设 的中点为 ， 为原点，则 为 的中位线，
所以 ，
则以线段 为直径的圆，圆心为 ，半径 ，
第 22 页以线段 为直径的圆，圆心为 ，半径 ，
所以 ，故两个圆外切，故C正确；
对于D，因为点 到 的一条渐近线的距离为 ，所以 ，
又由前面的推理可知 ，所以 ，故 的实轴长为 ，故D错误.
故选：C.
21．A
【分析】设 ，设椭圆 的长轴长为 ，双曲线 的实轴长为 ，设光速为 ，推导出 ，利用
椭圆和双曲线的定义可得出 ，由此可计算得出 与 的离心率之比.
【详解】设 ，设椭圆 的长轴长为 ，双曲线 的实轴长为 ，
在图②中， 的周长为 ，
所以， ，可得 ，
在图①中，由双曲线的定义可得 ，由椭圆的定义可得 ，
，则 ，
即 ，
由题意可知， 的周长为 ，即 ，
所以， .
因此， 与 的离心率之比为 .
第 23 页故选：A.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得 、 的值，根据离心率的定义求解离心率 的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于 、 的齐次方程，然后转化为关于 的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
22．B
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出 ，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为 ，由双曲线的定义可得 ，
所以 ， ；
因为 ,由余弦定理可得 ，
整理可得 ，
所以 ，即 .
故选：B
23．D
【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率
【详解】双曲线的渐近线为 ，易知 与直线 平行，
所以 .
故选：D.
24．A
【分析】依题可知直线 的斜率为0或斜率不存在，然后分类讨论，计算 ，并进行验证，最后可得结果.
【详解】若直线 的斜率存在且不为0，根据双曲线的对称性，
此时满足 的直线 的个数为偶数，所以直线 的斜率为0或斜率不存在.
当直线 的斜率为0时， ， 为双曲线的左､右顶点，
由 ，得双曲线 的方程为： ，
易得，过点 的通径长为 ，满足条件，
此时双曲线 的离心率 ；
当直线 的斜率不存在时，此时 为双曲线过点 的通径，
第 24 页则 ，解得 或 ，
当 时，实轴长为1，因为 ，所以满足 的直线有3条；
当 时，实轴长为4，因为 ，所以满足 的直线也有3条.
综.上所述，双曲线 的离心率为 .
故选:A.
25．D
【分析】设点A(x，y)，B(-x，-y)，P(x，y)，利用点差法求解直线的斜率，得到a、b关系，
1 1 1 1 0 0
通过点到直线的距离求解c，求出a，b，即可推出离心率，判断A，B的正误；
设P在双曲线的右支上，记 则 ，利用 ，转化求解三角形的面积，判断C；
设P(x，y)，通过三角形的面积求解P的坐标，结合双曲线的定义以及余弦定理，判断三 角形的形状，判断D.
0 0
【详解】设点A(x，y)，B(-x，-y)，P(x，y)
1 1 1 1 0 0
则 ，且 ，两式相减得 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
故双曲线C的渐近线方程
因为焦点(c，0)到渐近线 的距离为1，
所以 ， ，所以 ， ，离心率为 ，故A，B错误．
对于C，不妨设P在右支上, 记 则
因为 , 所以
解得 或 (舍去）, 所以 的面积为
，故C不正确；
对于D，设P(x，y)，因为 ，所以 ，
0 0
将 带入C： ，得 ，即
由于对称性，不妨取P得坐标为( ，2)，则 ，
因为
第 25 页所以∠PFF 为钝角，所以 PFF 为钝角三角形，故D正确
2 1 1 2
故选：D
26．B
【分析】由渐近线方程可得 ，从而根据双曲线的离心率公式 即可求解.
【详解】解：因为双曲线 的一条渐近线方程 ，
所以 ，
所以该双曲线的离心率为 ，
故选：B.
27．D
【解析】双曲线的渐近线方程为 ,则 ， ，可得 ，在 和 中，分别求出
和 ，利用 ，
可得 结合 ， 即可求解.
【详解】由题可得双曲线的渐近线方程为 ，
， ， ，
因为 ，所以 ，
在 中， ，
中， ，
因为 ，所以 ，
所以
可得 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
故选：D
【点睛】本题主要考查了利用双曲线的性质求双曲线的离心率，属于中档题.
28．D
【分析】根据给定条件结合直角三角形内切圆半径与边长的关系求出双曲线实半轴长a，再利用离心率公式计算作
第 26 页答.
【详解】依题意， ， 的内切圆半径 ，由直角三角形内切圆性质知：
，由双曲线对称性知， ，
于是得 ，即 ，又双曲线半焦距c=2，
所以双曲线的离心率 .
故选：D
【点睛】结论点睛：二直角边长为a，b，斜边长为c的直角三角形内切圆半径 .
29．C
【分析】连接 ，已知条件为 ， ，设 ，由双曲线定义表示出 ，用已
知正切值求出 ，再由双曲线定义得 ，这样可由勾股定理求出 （用 表示），然后在 中，应用勾
股定理得出 的关系，求得离心率．
【详解】易知 共线， 共线，如图，
设 ， ，则 ，
由 得， ，
又 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
由 得 ，
因为 ，故解得 ，
则 ，
在 中， ，即 ，所以 ．
故选：C．
第 27 页30．A
【分析】设双曲线的一条渐近线方程为 ， 为 的中点，可得 ，由 ，可知 为 的
三等分点，用两种方式表示 ，可得关于 的方程组，结合 即可得到双曲线 的离心率.
【详解】设双曲线的一条渐近线方程为 ， 为 的中点，可得 ，
由 到渐近线 的距离为 ，
所以 ，又 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，整理可得： ，
即 ，所以 ，可得 ，所以 ，
所以双曲线 的离心率为 ，
故选：A.
31．B
【分析】令双曲线E的左焦点为 ，连线即得 ，设 ，借助双曲线定义及直角 用a表示出|
PF|， ，再借助 即可得解.
第 28 页【详解】如图，令双曲线E的左焦点为 ，连接 ，
由对称性可知，点 是线段 中点，则四边形 是平行四边形，而QF⊥FR，于是有 是矩形，
设 ，则 ， ， ，
在 中， ，解得 或m＝0（舍去），
从而有 ， 中， ，整理得 ， ，
所以双曲线E的离心率为 ．
故选：B
32．D
【分析】设出双曲线方程，通过做标准品和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分，且AB＝BC＝CD，推出点在
双曲线上，然后求出离心率即可.
【详解】设双曲线的方程为 ，
则 ，因为AB＝BC＝CD，
所以 ，所以 ，
因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，
所以 在双曲线上，
代入 可得 ，解得 ，
所以双曲线的离心率为 .
故选：D
33．B
【分析】由“ ， 的中点在 轴上”可知 ，可知 ，根据几何关系列出关于a和
c的齐次式，构造离心率即可得答案﹒
【详解】设 ， ，双曲线 上的点A满足 ， 的中点 在 轴上，可得
，∴ ，
即有 轴，A的横坐标为 ，如图所示：
第 29 页令 ，可得 ，
在直角三角形 中， ，
可得 ，
即为 ，
即 ， ，
解得 ，或 (不合题意，舍去)；
双曲线的离心率是 ．
故选：B．
34．C
【分析】根据条件可得 与 ，进而可得 ， ， 的关系，可得解.
【详解】由已知得 ，
设点 ，由 轴，
则 ，代入双曲线方程可得 ，
即 ，
又 ，所以 ，
即 ，
整理可得 ，
故 ，
解得 或 （舍），
故选：C.
35．C
【分析】根据给定条件可得AM垂直平分 ，再结合双曲线定义及三角形余弦定理列式计算作答.
第 30 页【详解】因 ，则点 是线段 中点，由 得 ，即AM垂直平分 ，
则有 ， ，而 ，则 ，
又 ，令双曲线 的半焦距为c，在 中， ， ，
由余弦定理得： ，即 ，
化简得 ，
所以双曲线的离心率是 .
故选：C
36．C
【分析】由焦点坐标可得 ，由 ，利用基本不等式取等条件可确定当 取最
小值时 ，由此可得双曲线离心率.
【详解】由题意得： ；
（当且仅当 时取等号），
当 取最小值时，双曲线的离心率为 .
故选：C.
37．B
【分析】作出图像，利用 进行转化，根据图像求出 最大值，结合题设列出关
于a、b的不等式，求出 最小值，从而根据 求出离心率最小值.
【详解】
如图所示，
，
由图可知 ， ，
第 31 页∴ ，
若在线段 上存在点 ，使得 ，
则
，
.
故选：B.
38．A
【分析】建立直角坐标系，结合图形可得渐近线斜率，再根据公式 可得.
【详解】
如图建立直角坐标系，过 向x轴引垂线，垂足为A，易知 ，
故选：A
39．C
【分析】根据渐近线方程，求得 ，结合离心率公式即可求得结果.
【详解】渐近线方程可化为 ，故 ，
故离心率为 .
故选： .
40．D
【分析】先根据双曲线的标准方程求得渐近线方程，根据其中一条渐近线的方程求得a和b的关系，进而求得a和
c的关系，则离心率可得．
【详解】∵C的一条渐近线方程为 ，∴ ，从而 ， .
第 32 页故选:D.
41．CD
【分析】根据双曲线的方程可以求出焦点，渐近线以及离心率等内容，逐一判断
【详解】由方程可知 ， ， ，
则焦点为 ，故C错误，渐近线方程为 ，即 ，故B正确；
离心率为 ，故A正确；焦点 到渐近线 的距离为 ．故D错误
故选：CD．
42．AC
【分析】由已知条件值 ，根据 ， ， ，可计算 的值，进而可判断选项A；直
接计算 可判断选项B；计算 到渐近线的距离用 表示，即可判断选项C；当 时求出 得值，可得
的关系可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】对于选项A：由双曲线的方程可得 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，可得： ，故选项A正确；
对于选项B：当 时，双曲线 ，此时 ， ，
所以离心率 ，故选项B不正确；
对于选项C： 中，由选项A知： ， ， ，的渐近线方程为 ，
不妨取焦点 ，则 到渐近线的距离 ，
所以 到渐近线的距离随着n的增大而减小，故选项C正确；
对于选项D：当 时， ， ，
所以实轴长为 ，虚轴长为 ，不满足C的实轴长是虚轴长的两倍，故选项D不正确；
故选：AC
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由已知条件得出 ， ，再利用双曲线的性质可求 ，
关键点是准确记忆双曲线中的概念，焦点到渐近线的距离等于 .
43．CD
【分析】由共轭双曲线的定义可判断A选项的正误；利用双曲线的渐近线方程可判断B选项的正误；利用双曲线
的离心率公式以及基本不等式可判断C选项的正误；求出两双曲线的焦点坐标以及圆的方程，可判断D选项的正
误.
第 33 页【详解】对于A选项，由共轭双曲线的定义可知，与 共轭的双曲线是
，A错；
对于B选项，双曲线 的渐近线方程为 ，
双曲线 的渐近线方程为 ，B错；
对于C选项，设 ，双曲线 的离心率为 ，
双曲线 的离心率为 ，
所以， ，当且仅当 时，等号成立，C对；
对于D选项，设 ，双曲线 的焦点坐标为 ，
双曲线 的焦点坐标为 ，这四个焦点都在圆 上，D对.
故选：CD.
44．ACD
【分析】根据双曲线的简单几何性质，对各选项逐一分析即可得答案.
【详解】解：对A：因为 ，所以 ， ，
所以双曲线 表示焦点在 轴上的双曲线，故选项A正确；
对B：由A知 ，所以 ，所以 ，
所以双曲线 的焦距等于 ，故选项B错误；
对C：设焦点在 轴上的双曲线 的方程为 ，焦点坐标为 ，则渐近线方程为 ，
即 ，
所以焦点到渐近线的距离 ，
所以双曲线 的焦点到其渐近线的距离等于 ，故选项C正确；
对D：双曲线 的离心率 ，
因为 ，所以 ，所以 ，故选项D正确.
故选：ACD.
第 34 页45．AD
【分析】设双曲线的方程为 得渐近线方程为 ，根据双曲线的对称性可得 的倾斜角为
或 ，即可得 的值，由公式 即可求解.
【详解】设双曲线的方程为 ，渐近线方程为： ，
根据双曲线的对称性可知： 的倾斜角为 或
当 的倾斜角为 时，可得 ，
所以 ，
当 的倾斜角为 ，可得 ，
所以 ，
所以离心率为 或 ，
故选：AD.
46．BCD
【分析】结合双曲线的定义和条件可得 ，然后 ，然后逐一判断即可.
【详解】由双曲线的定义可得 ，
因为 ，所以 ，故A错误；
因为以线段 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为 ，
所以 ，所以 的面积为 ，故B正确；
由勾股定理得 ，即 ，所以 ，故C正确
因为 ，所以 ，即
所以双曲线的渐近线方程为： ，即 ，即 ，故D正确
故选：BCD
47．
【分析】由双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，以及解直角三角形，可得a，c的关系，再由离心率公式可得
所求值．
第 35 页【详解】过F 作FN⊥AB于点N，设|AF|＝|BF|＝m，
2 2 2 2
因为直线l的倾斜角为 ，
所以在直角三角形FFN中， ，
1 2
由双曲线的定义可得|BF|﹣|BF|＝2a，所以|BF|＝2a+m，
1 2 1
同理可得|AF|＝m﹣2a，所以|AB|＝|BF|﹣|AF|＝4a，
1 1 1
即|AN|＝2a，
所以|AF|＝ c﹣2a，因此 ，
1
在直角三角形ANF 中，|AF|2＝|NF |2+|AN|2，
2 2 2
所以（ c）2＝4a2+c2，所以c＝ a，
则 ，
故答案为：
48．2
【分析】列方程得到关于双曲线E的a、c的等式，即可求得双曲线E的离心率.
【详解】圆 的圆心（2，0），半径为1
双曲线 的渐近线
因为双曲线E的渐近线与圆C相切，所以 ，则 ．
故答案为：2
49．
【解析】设 的中点为 ，连接 ， ，由题意可得 ， ，由抛物线的定义可得
， ， ， ， ，
，在 中和 中中利用余弦定理表示出两个角的余弦值，即可求出 的
关系，进而可得离心率.
第 36 页【详解】
如图：设 的中点为 ，连接 ， ，
因为 ， 为 的中点，所以 ，
由 ，得 ，
所以 ，
在 中， ，
，所以 ，
在 中，
，
因为 ， ，
所以 ，
整理可得： ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 或 （舍），
所以离心率 ，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是想到取 的中点 ，容易求出 ，根据已知条件
及抛物线的定义可以求出 ， ，要能想到 ，
，即可将 表示出来，代入 中即可解决.
50．
第 37 页【分析】由已知得到a，b，再利用 及 即可得到答案.
【详解】由已知，可得 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
51． ##
【分析】先由焦点到渐近线的距离求出半径，再利用该圆过线段 的中点得到 ，即可求出离心率,
【详解】
由题意知：渐近线方程为 ，由焦点 ， ，则圆的半径为 ，又该圆过线段
的中点，
故 ，离心率为 .
故答案为： .
52．
【分析】设双曲线的一条渐近线为 ，求得圆心到渐近线的距离，利用AB＝2b，得到 ，代入e＝
求解．
【详解】设双曲线的一条渐近线为 ，
圆心到渐近线的距离为 ，
第 38 页因为AB＝2b，
所以 ，则 ，
所以离心率e＝ ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
53．(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由双曲线的顶点坐标、离心率，结合双曲线参数的关系求a、b，进而写出双曲线方程，即可得渐近
线方程.
（2）讨论l的斜率：当 不存在求P、Q的坐标，进而可得 ；当 存在，设 ， ，l为
，并联立双曲线方程，应用韦达定理及斜率的两点式求证 是否成立即可.
(1)
设双曲线 的半焦距为c，
由题设， ， ，
双曲线 的方程为 ，故渐近线方程为 ．
(2)
当l的斜率不存在时，点P、Q的坐标分别为 和 ，
所以，当 时有 ；当 时有 ，此时 ，
当l的斜率k存在时，设 ， ，l为 ，
将直线l代入双曲线方程得 ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，即 ，
第 39 页综上， 为定值，得证．
54．（1） ，2 （2）
【分析】（1）结合 ， 联立即得解；
（2）由题意 ，即得解.
【详解】（1）由题意，
又
解得：
故双曲线C的标准方程为： ，离心率为
（2）由题意椭圆的焦点在 轴上，设椭圆方程为
故
即椭圆方程为：
55．(1)
(2)0
【分析】（1）由点到线的距离公式及离心率，结合 即可求解；
（2）直线AB： ， ， ， ， ，
联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可得 ，
同理可得 ，由已知得 ，化简得 ，进而得解.
(1)
依题意，焦点在x轴上，设实半轴、虚半轴长分别为a，b，则渐近线为 ，
左焦点 到其渐近线的距离 ，
∵ ，∴ ，解得 ，
所以双曲线方程是 ．
第 40 页(2)
设 ，直线AB： ， ， ，
直线PQ： ， ， ，
联立 ，
依题意，
同理可得， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，化简得 ，
∵ ，∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形
的面积等问题．
56．(1)长轴长 ，短轴长 ，离心率 ，焦点 ，顶点 .
(2)
【分析】（1）先将椭圆方程转化为标准方程，从而求得正确答案.
（2）根据已知条件求得 ，由此求得正确答案.
(1)
椭圆 可化为 ，
所以 ，
所以长轴长 ，短轴长 ，离心率 ，
第 41 页焦点 ，顶点 .
(2)
依题意 ，
， ，
由于双曲线焦点在 轴上，所以双曲线的标准方程为 .
57．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知计算双曲线的基本量，得双曲线焦点坐标及渐近线方程，再用点到直线距离公式得解.
（2）直线方程代入双曲线方程，得到关于 的一元二次方程，运用韦达定理弦长公式列方程得解.
（1）
双曲线离心率为 ，实轴长为2，
， ，解得 ， ，
，
所求双曲线C的方程为 ；
∴双曲线C的焦点坐标为 ，渐近线方程为 ，即为 ，
∴双曲线的焦点到渐近线的距离为 .
（2）
设 , ,
联立 ， ， ，
， ．
，
，
解得 ．
58．(1) ；
(2)1.
【分析】（1）由离心率、点在双曲线上求出双曲线参数，结合题设知 的轨迹为以 为焦点，长轴长
第 42 页的椭圆，去掉左右顶点，即可得轨迹方程.
（2）由题意，设直线 为 ，联立P的轨迹方程，应用韦达定理求 、 ，写出直线 、
并求出M､N的纵坐标，进而求 ，结合 即可得解.
(1)
由题设， ，解得 ，则 ，所以 ，
由动点P与动点Q关于原点O对称且四边形 的周长为 ，
所以 ，
故 的轨迹为以 为焦点，长轴长 的椭圆，去掉左右顶点，轨迹方程为 .
(2)
由题设， 且直线 斜率一定存在且不为0，
设直线 为 ，联立 ，可得： ，
，即 或 ，
所以 ， ，
由 ， ，
令 ，则 ， ，则 ，
而 ，又 ，即 ，
所以 .
第 43 页第 44 页
