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第 6 节 双曲线
考试要求 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质
(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F ，F (|F F |＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F F |且
1 2 1 2 1 2
大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦
距.其数学表达式：集合 P＝{M|||MF |－|MF ||＝2a}，|F F |＝2c，其中a，c为常
1 2 1 2
数且a>0，c>0.
(1)若 a < c ，则集合P为双曲线；
(2)若a＝c，则集合P为两条射线；
(3)若 a > c ，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
范围 x≥a或x≤－a，y∈R x ∈ R ， y ≤ － a 或 y ≥ a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A ( － a ， 0) ，A ( a ， 0) A (0，－a)，A (0，a)
1 2 1 2
渐近线 y＝±x y ＝ ± x
性质
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
线段A A 叫做双曲线的实轴，它的长度|A A |＝2a；线段B B 叫
1 2 1 2 1 2
实虚轴 做双曲线的虚轴，它的长度|B B |＝2b；a叫做双曲线的实半轴
1 2
长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关 c2＝ a 2 ＋ b 2系
1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
2.离心率e＝＝＝.
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.
4.若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0).
5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.
6.若P是双曲线右支上一点，F ，F 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF | ＝c＋
1 2 1min
a，|PF | ＝c－a.
2min
7.焦点三角形的面积：P 为双曲线上的点，F ，F 为双曲线的两个焦点，且
1 2
∠F PF ＝θ，则△F PF 的面积为.
1 2 1 2
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点F (0，4)，F (0，－4)距离之差的绝对值等于 8的点的轨迹是双曲
1 2
线.( )
(2)平面内到点F (0，4)，F (0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( )
1 2
(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )
(4)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是±＝0.( )
(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e ，e ，则＋＝
1 2
1.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
解析 (1)因为||MF |－|MF ||＝8＝|F F |，表示的轨迹为两条射线.
1 2 1 2
(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.
(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点
在y轴上的双曲线.
2.(易错题)双曲线－＝1上一点P到焦点F (－5，0)的距离为7，则点P到焦点
1
F (5，0)的距离为________.
2
答案 13
解析 在双曲线－＝1中，a＝3，
由题意得|PF |＝7，
1由双曲线的定义可得||PF |－|PF ||＝2a＝6，即|7－|PF ||＝6，解得|PF |＝13 或|
1 2 2 2
PF |＝1，
2
又|PF |≥c－a＝2，所以|PF |＝13.
2 2
3.(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐
近线方程为________.
答案 y＝±x
解析 因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，
所以e＝＝＝2，所以＝3，
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
4.(2021·全国乙卷)已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C
的焦距为________.
答案 4
解析 双曲线－y2＝1(m>0)的渐近线为
y＝±x，即x±y＝0，
又双曲线的一条渐近线为x＋my＝0，
即x＋y＝0，
对比两式可得，m＝3.
设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，
所以双曲线的焦距2c＝2＝4.
5.(易错题)坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾
斜角为，则双曲线的离心率为________.
答案 2或
解析 当双曲线的焦点在x轴上时，
＝tan ＝，
即b＝a，c2＝a2＋3a2＝4a2，c＝2a，
此时e＝＝2；
当双曲线的焦点在y轴上时，＝tan ＝，
即b＝a，c2＝a2＋a2＝a2，c＝a，
此时e＝＝.
∴双曲线C的离心率2或.6.(2020·全国Ⅰ卷改编)设F ，F 是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原
1 2
点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF F 的面积为________.
1 2
答案 3
解析 法一 由题知a＝1，b＝，c＝2，F (－2，0)，F (2，0)，
1 2
如图，因为|OF |＝|OF |＝|OP|＝2，所以点 P 在以 F F 为直径的圆上，故
1 2 1 2
PF ⊥PF ，则|PF |2＋|PF |2＝(2c)2＝16.
1 2 1 2
由双曲线的定义知||PF |－|PF ||＝2a＝2，
1 2
所以|PF |2＋|PF |2－2|PF ||PF |＝4，
1 2 1 2
所以|PF ||PF |＝6，
1 2
所以△PF F 的面积为|PF ||PF |＝3.
1 2 1 2
法二 由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F ，F 在x轴上，且|F F |＝2＝4.
1 2 1 2
设点P的坐标为(x ，y )，
0 0
则解得|y |＝.
0
所以△PF F 的面积为|F F |·|y |＝×4×＝3.
1 2 1 2 0
考点一 双曲线的标准方程
1.(2021·贵阳调研)已知双曲线的渐近线为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的方
程为( )
A.－＝1
B.－＝1或－＝1
C.－＝1
D.－＝1或－＝1
答案 D
解析 设双曲线方程为－＝1(m≠0)，
又2a＝4，∴a2＝4，
当m>0，2m＝4，m＝2；当m<0时，－m＝4，m＝－4.
故所求双曲线方程为－＝1或－＝1.
2.(2022·衡水联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点F(c，0)到渐近线的距离为
c，且点(2，)在双曲线上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 D
解析 双曲线－＝1的焦点 F(c，0)到渐近线 bx±ay＝0的距离为＝c，解得 b＝
c，所以b2＝c2，
又c2＝a2＋b2，所以b2＝3a2，
因为点(2，)在双曲线上，所以－＝1，
联立解得a2＝3，b2＝9，
所以双曲线的方程为－＝1.故选D.
3.经过点P(3，2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为________.
答案 －＝1
解析 设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，因为所求双曲线经过点P(3，2)，
Q(－6，7)，
所以解得
故所求双曲线标准方程为－＝1.
4.已知双曲线E与双曲线－＝1共渐近线且经过点P(2，3)，则双曲线E的标准方
程为____________，顶点坐标为________.
答案 －＝1 (0，6)，(0，－6)
解析 根据题意，设所求双曲线的方程为
－＝λ(λ≠0)，
又由双曲线经过点P(2，3)，
得－＝λ，即λ＝－4，
所以双曲线的方程为－＝－4，其标准方程为－＝1，顶点坐标为(0，6)，(0，－
6).
感悟提升 1.用待定系数法求双曲线的方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，
设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根
据条件求解.
2.与双曲线－＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0).
考点二 双曲线的定义及应用
例1 (1)已知圆C ：(x＋3)2＋y2＝1和圆C ：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C
1 2 1
及圆C 相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
2
A.x2－＝1
B.－y2＝1
C.x2－＝1(x≤－1)
D.x2－＝1(x≥1)
(2)(2022·豫南九校联考)若双曲线mx2－4y2＝4的左、右焦点分别为F ，F ，过F
1 2 1
的直线交双曲线的左支于 A，B两点，若△AF B的周长是18，|AB|＝5，则实数
2
m＝( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(3)已知F ，F 为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F PF ＝
1 2 1 2
60°，则△F PF 的面积为________.
1 2
(4)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的一动点，则|
PF|＋|PA|的最小值为________.
答案 (1)C (2)A (3)2 (4)9
解析 (1)如图所示，设动圆M与圆C 及圆C 分别外切于A和B.
1 2
根据两圆外切的条件，
得|MC |－|AC |＝|MA|，
1 1
|MC |－|BC |＝|MB|，
2 2
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC |－|AC |＝|MC |－|BC |，
1 1 2 2
即|MC |－|MC |＝|BC |－|AC |＝2，
2 1 2 1所以点M到两定点C ，C 的距离的差是常数且小于|C C |＝6.
1 2 1 2
又根据双曲线的定义，得动点 M的轨迹为双曲线的左支(点M与C 的距离大，
2
与C 的距离小)，
1
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).故选C.
(2)由题意知双曲线的标准方程是－y2＝1，
由双曲线的定义，得
所以|AF |＋|BF |＝＋|AF |＋|BF |
2 2 1 1
＝＋|AB|＝＋5.
所以△AF B的周长为|AF |＋|BF |＋|AB|＝＋5＋5＝18，
2 2 2
解得m＝1，故选A.
(3)不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF |－|PF |＝2a＝2，
1 2
在△F PF 中，由余弦定理，得
1 2
cos∠F PF ＝＝，
1 2
∴|PF |·|PF |＝8，
1 2
∴S ＝|PF |·|PF |·sin 60°＝2.
△F1PF2 1 2
(4)因为F是双曲线－＝1的左焦点，
所以F(－4，0)，
设其右焦点为H(4，0)，
则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋＝4＋5＝9(当
A，P，H三点共线时取等号).
感悟提升 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据
要求可求出曲线方程；
2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF |－|PF ||＝
1 2
2a，运用平方的方法，建立与|PF |·|PF |的联系.
1 2
训练1 (2022·银川调研)过双曲线x2－＝1的左焦点F 作一条直线l交双曲线左支
1
于P，Q两点，若|PQ|＝10，F 是双曲线的右焦点，则△PF Q的周长是________.
2 2
答案 24解析 由题意，得|PF |－|PF |＝2，
2 1
|QF |－|QF |＝2.
2 1
∵|PF |＋|QF |＝|PQ|＝10，
1 1
∴|PF |＋|QF |－10＝4，
2 2
∴|PF |＋|QF |＝14.
2 2
∴△PF Q的周长是|PF |＋|QF |＋|PQ|＝14＋10＝24.
2 2 2
考点三 双曲线的几何性质
角度1 求双曲线的渐近线
例2 (2022·兰州诊断)已知P为双曲线－＝1(a>0)右支上一点，F ，F 分别是双曲
1 2
线的左、右焦点.若|PF |＝7，|PF |＝3，则双曲线的一条渐近线的方程是( )
1 2
A.2x＋3y＝0 B.4x＋9y＝0
C.3x－2y＝0 D.9x－4y＝0
答案 C
解析 由双曲线的定义，知|PF |－|PF |＝7－3＝2a，所以a＝2，
1 2
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即3x±2y＝0，所以3x－2y＝0是其中
一条渐近线的方程，故选C.
感悟提升 双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线是由－＝0，即得两渐近线方程±＝
0.
角度2 求双曲线的离心率
例3 (1)(2021·全国甲卷)已知F ，F 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且
1 2
∠F PF ＝60°，|PF |＝3|PF |，则C的离心率为( )
1 2 1 2
A. B. C. D.
(2)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上
的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为________.
答案 (1)A (2)2
解析 (1)设|PF |＝m，|PF |＝3m，则
2 1
|F F |＝＝m，所以C的离心率e＝＝＝＝＝.
1 2
(2)点B为双曲线的通径位于第一象限的端点，其坐标为，点A的坐标为(a，0)，
∵AB的斜率为3，∴＝3，
即＝＝e＋1＝3，∴e＝2.感悟提升 求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化
成关于e的方程(或不等式)求解.
角度3 双曲线几何性质的综合应用
例4 (1)(2022·南充诊断)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，右焦点为F，
点A是双曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的点，∠AOF＝∠OAF，△AOF
的面积为3，则双曲线C的方程为________________.
(2)(2021·合肥检测)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点为F ，F ，在双曲
1 2
线上存在点 P满足2|PF1＋PF2|≤|F1F2|，则此双曲线的离心率 e的取值范围是
________.
答案 (1)－＝1 (2)[2，＋∞)
解析 (1)法一 由题意知点A所在渐近线方程为bx－ay＝0，
设该渐近线的倾斜角为θ，则tan θ＝，
∵∠AOF＝∠OAF，
∴直线AF的倾斜角为2θ，
则tan 2θ＝＝，
由得
即A，
则△AOF的面积S＝c·＝ab＝3.
又知双曲线的离心率e＝，
所以e2＝1＋＝，即＝，
解得a＝3，b＝，
所以双曲线C的方程为－＝1.
法二 因为∠AOF＝∠OAF，
所以△OAF为等腰三角形，
过F作FB⊥OA，则焦点到渐近线的距离为|BF|＝b，
则|OB|＝＝a，则|OA|＝2|OB|＝2a，
则△OAF的面积为S＝×2a×b＝ab＝3.
又知双曲线的离心率为，所以e2＝1＋＝，即＝，
解得a＝3，b＝，
所以双曲线C的方程为－＝1.
(2)当P不是双曲线与x轴的交点时，连接OP，
因为OP为△PF F 的边F F 上的中线，
1 2 1 2
所以PO＝(PF1＋PF2)；
当P是双曲线与x轴的交点时，同样满足上述等式.
因为双曲线上存在点P满足2|PF1＋PF2|≤|F1F2|，
所以4|PO|≤2c，由|PO|≥a，可知4a≤2c，则e≥2.
感悟提升 1.双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方
程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面
几何知识的联系.
2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系
来解决.
训练2 (1)(2021·西安模拟)已知双曲线C的方程为－＝1，则下列说法不正确的是
( )
A.双曲线C的实轴长为8
B.双曲线C的离心率为
C.双曲线C的渐近线方程为y＝±x
D.双曲线C的焦点到渐近线的距离为4
(2)(2022·广西桂林重点中学开学检测)圆C：x2＋y2－10y＋16＝0上有且仅有两个
点到双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值
范围为( )
A. B.
C. D.
答案 (1)D (2)A
解析 (1)因为双曲线C：－＝1，所以a＝4，b＝3，c＝＝5，所以2a＝8，所以
A正确；e＝＝，所以B正确；
渐近线方程为y＝±x，所以C正确；
由对称性，不妨取焦点(0，5)，渐近线y＝x，则焦点到渐近线的距离d＝＝3，所
以D不正确.故选D.
(2)双曲线－＝1的一条渐近线方程为bx－ay＝0，圆C：x2＋y2－10y＋16＝0的圆
心C(0，5)，半径r＝3，
因为圆C上有且仅有两个点到直线bx－ay＝0的距离为1，
所以圆心(0，5)到直线bx－ay＝0的距离d的范围为20，b>0)，
因为双曲线过点P(2，1)，
所以－＝1，又a2＋b2＝3，
解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线的标准方程是－y2＝1.
法二 设所求双曲线标准方程为＋＝1(1<λ<4)，
将点P(2，1)的坐标代入可得＋＝1，
解得λ＝2(λ＝－2舍去)，
所以所求双曲线标准方程为－y2＝1.
4.(2021·河南名校联考)已知双曲线C：－＝1(a，b>0)的一条渐近线的方程为y＝
x，且过点，则双曲线的实轴长为( )
A. B. C.1 D.2
答案 C
解析 由题可设双曲线的方程为x2－＝λ(λ>0)，
∵双曲线过点，
∴1－＝λ，∴λ＝，
∴双曲线C的方程为4x2－y2＝1，
即－＝1，可知双曲线的实轴长为1.故选C.
5.已知 F ，F 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF |＝2|
1 2 1
PF |，则cos ∠F PF ＝( )
2 1 2
A. B. C. D.
答案 C
解析 由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2.由双曲线定义知，|PF |－|PF |＝2a＝2，
1 2
又|PF |＝2|PF |，
1 2
∴|PF |＝4，|PF |＝2，
1 2
在△PF F 中，|F F |＝2c＝4，由余弦定理，得
1 2 1 2
cos ∠F PF ＝＝.
1 2
6.已知 M(x ，y )是双曲线 C：－y2＝1 上的一点，F ，F 是 C 的两个焦点，若
0 0 1 2MF1·MF2<0，则y 的取值范围是( )
0
A. B.
C. D.
答案 A
解析 因为F (－，0)，F (，0)，－y＝1，所以MF1·MF2＝(－－x ，
1 2 0
－y )·(－x ，－y )＝x＋y－3<0，即3y－1<0，解得－0，b>0)的
两条渐近线分别交于 A，B 两点(c 为双曲线 C 的半焦距)，若△AOB 的周长为
6a，则双曲线C的离心率为________.
答案
解析 不妨设直线x＝c与双曲线C的渐近线y＝x，y＝－x的交点分别为A，B.
将x＝c代入y＝x，可得y＝，
则A，故|OA|＝＝.
由对称性可得|OB|＝，
又|AB|＝，
则△AOB的周长为|OA|＋|OB|＋|AB|＝＋＝6a，
整理得bc＝3a2－c2，即c＝3a2－c2.
两边平方并整理得＝，
故双曲线C的离心率e＝＝.10.(2021·福州质检)已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y＝±x，过
点P.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)是否存在被点B(1，1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线l的方程；如
果不存在，请说明理由.
解 (1)双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y＝±x，
设双曲线方程为x2－＝λ(λ≠0)，
过点P，代入可得λ＝1，
所求双曲线方程为x2－＝1.
(2)假设直线l存在.设B(1，1)是弦MN的中点，且M(x ，y )，N(x ，y )，则x ＋
1 1 2 2 1
x ＝2，y ＋y ＝2.
2 1 2
因为M，N在双曲线上，
所以
所以2(x ＋x )(x －x )－(y －y )(y ＋y )＝0，所以4(x －x )＝2(y －y )，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
所以k＝＝2，所以直线l的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0，
联立方程组得2x2－4x＋3＝0，因为Δ＝16－4×3×2＝－8<0，
所以直线l与双曲线无交点，所以直线l不存在.
11.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0).
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A
作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率.
解 (1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以a＝b，
所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，
所以双曲线方程为－＝1.
(2)设点A的坐标为(x ，y )，
0 0
所以直线AO的斜率满足·(－)＝－1，
所以x ＝y ，①
0 0
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，
即y ＝c，所以x ＝c，
0 0所以点A的坐标为，
代入双曲线方程得－＝1，
即b2c2－a2c2＝a2b2，②
又因为a2＋b2＝c2，
所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得
c4－2a2c2＋a4＝0，
所以3－8＋4＝0，
所以(3e2－2)(e2－2)＝0，
因为e>1，所以e＝，
所以双曲线的离心率为.
12.(2020·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的
两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(
)
A.4 B.8 C.16 D.32
答案 B
解析 不妨设D位于第一象限，双曲线的渐近线方程为 y＝±x，分别与x＝a联
立，可得D(a，b)，E(a，－b)，
则|DE|＝2b.
∴S ＝×a×|DE|＝a×2b＝ab＝8，
△ODE
∴c2＝a2＋b2≥2ab＝16.
当且仅当a＝b＝2时，等号成立.
∴c2的最小值为16，∴c的最小值为4，
∴C的焦距的最小值为2×4＝8.
13.(2022·成都诊断)已知F ，F 分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点
1 2
P是该双曲线上一点且在第一象限内，2sin∠PF F ＝sin∠PF F ，则双曲线离心
1 2 2 1
率的取值范围为( )
A.(1，2) B.(1，3)
C.(3，＋∞) D.(2，3)
答案 B解析 在焦点△PF F 中，2sin∠PF F ＝sin∠PF F ，由正弦定理得：2|PF |＝|
1 2 1 2 2 1 2
PF |，
1
又∵|PF |－|PF |＝2a，
1 2
∴|PF |＝4a，|PF |＝2a，
1 2
在△PF F 中，由|PF |＋|PF |>|F F |得4a＋2a>2c，
1 2 1 2 1 2
∴e<3，则10，
解得m2>3且m2≠4.
设M(x ，y )，N(x ，y )，
1 1 2 2
∴y ＋y ＝－，y y ＝－，
1 2 1 2
∴x ＋x ＝m(y ＋y )＋2＝－＋2＝，
1 2 1 2
x x ＝(my ＋1)(my ＋1)＝m2y y ＋m(y ＋y )＋1
1 2 1 2 1 2 1 2
＝－－＋1＝－＝－4－.
QM·QN＝(x －t，y )·(x －t，y )＝(x －t)(x －t)＋y y
1 1 2 2 1 2 1 2
＝x x －t(x ＋x )＋t2＋y y
1 2 1 2 1 2
＝－4－＋t·－＋t2
＝－4＋t2＋，
由QM·QN为常数，得8t－23＝0，即t＝，
此时QM·QN＝.当直线l斜率为0时，QM·QN＝.
∴在x轴上存在定点Q，使得QM·QN为常数.
