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2023届高考数学三轮冲刺卷：双曲线的基本量与方程
一、选择题（共20小题；）
x2 y2
1. 设 P 是双曲线 − =1 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x−2y=0 ， F 、 F 分
a2 9 1 2
别是双曲线的左、右焦点．若 ∣PF ∣=3 ，则 ∣PF ∣= ()
1 2
A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 9
2. 已知定点 A，B 且 ∣AB∣=4，动点 P 满足 ∣PA∣−∣PB∣=3，则 ∣PA∣ 的最小
值是 ()
1 3 7
A. B. C. D. 5
2 2 2
3. 设 圆 锥 曲 线 T 的 两 个 焦 点 分 别 为 F ,F ， 若 曲 线 T 上 存 在 点 P 满 足
1 2
∣PF ∣:∣F F ∣:∣PF ∣=4:3:2，则曲线 T 的离心率等于 ()
1 1 2 2
1 3 2 1 2 3
A. 或 B. 或 2 C. 或 2 D. 或
2 2 3 2 3 2
x2 y2
4. 设双曲线 − =1 的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为
a2 b2
()
5 √5
A. B. 5 C. D. √5
4 2
y2 x2
5. 若双曲线 − =1(a>0,b>0) 的一条渐近线经过点 (√3,1)，则该双曲线的离心率为 ()
a2 b2
A. √5 B. 2 C. √3 D. √2
x2 y2
6. 已知 F ，F 分别是双曲线 − =1(a,b>0) 的左、右焦点，l ，l 为双曲线的两条渐近线．
1 2 a2 b2 1 2
设过点 M(b,0) 且平行于 l 的直线交 l 于点 P．若 PF ⊥PF ，则该双曲线的离心率为
1 2 1 2
()
√14−2√41 √14+2√41
A. √3 B. √5 C. D.
2 2y2
7. 过双曲线 x2− =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A，B 两点，
3
∣AB∣= ()
4√3
A. B. 2√3 C. 6 D. 4√3
3
x2 y2
8. k>3 是方程 + =1 表示双曲线的 ()
3−k k−1
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
x2
9. 已知 M(x ,y ) 是双曲线 C: −y2=1 上的一点，F ，F 是 C 的两个焦点．若
0 0 2 1 2
⃗M F ⋅⃗M F <0，则 y 的取值范围是 ()
1 2 0
( √3 √3) ( √3 √3)
A. − , B. − ,
3 3 6 6
( 2√2 2√2) ( 2√3 2√3)
C. − , D. − ,
3 3 3 3
x2 y2
10. 已知双曲线 − =1(a>0,b>0) 的一条渐近线平行于直线 l :x+2y+5=0，且双曲线的一
a2 b2 2
个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为 ()
x2 y2 x2 y2 3x2 3 y2 3x2 3 y2
A. − =1 B. − =1 C. − =1 D. − =1
20 5 5 20 25 100 100 25
x2 y2
11. 设 F ，F 分别为双曲线 − =1(a>0,b>0) 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点
1 2 a2 b2
P 满足 ∣PF ∣=∣F F ∣，且 ∠PF F =90∘，则双曲线的离心率为 ()
2 1 2 2 1
A. √2−1 B. √2 C. √2+1 D. 2√2+1
12. 已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为
120∘，则 E 的离心率为 ()
A. √5 B. 2 C. √3 D. √2
x2 y2
13. 已知双曲线 C: − =1 的两个焦点是 F ，F ，点 P 在双曲线 C 上，若 C 的离心率为
a2 16 1 2
5
，且 ∣PF ∣=10，则 ∣PF ∣= ()
3 1 2
A. 4 或 16 B. 7 或 13 C. 7 或 16 D. 4 或 13
x2
14. 已知抛物线 y2=4x 的准线与双曲线 −y2=1(a>0) 交于 A，B 两点，点 F 为抛物线的
a2
焦点，若 △FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是 ()
A. √2 B. √3 C. √5 D. √6x2 y2
15. 已知 F ，F 是双曲线 E: − =1 的左、右焦点，点 P 为双曲线的右支上一点，满足
1 2 a2 b2
π
∠PF F = ，连接 PF 交 y 轴于点 Q，若 ∣QF ∣=√2c，则 E 的离心率为 ()
2 1 2 1 2
A. √2 B. √2+1 C. √3 D. √3+1
x2 y2
16. 已知 F ，F 是双曲线 E： − =1(a>0,b>0) 的左、右焦点，点 M 在 E 上，M F
1 2 a2 b2 1
1
与 x 轴垂直，sin∠M F F = ，则 E 的离心率为 ()
2 1 3
3
A. 2 B. C. √3 D. √2
2
17. “mn＜0”是“方程 mx2+n y2=1 表示双曲线”的 ()
A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
x2 y2
18. 过双曲线 − =1(a>0,b>0) 的右顶点 A 作斜率为 −1 的直线，该直线与双曲线的两条
a2 b2
1
渐近线的交点分别为 B，C．若 ⃗AB= ⃗BC，则双曲线的离心率是 ()
2
A. √2 B. √3 C. √5 D. √10
19. 设双曲线 C 的中心为点 O，若有且只有一对相交于点 O，所成的角为 60∘ 的直线 A B 和
1 1
A B ，使 ∣A B ∣=∣A B ∣，其中 A ,B 和 A ,B 分别是这对直线与双曲线 C 的
2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 ()
(2√3 ] [2√3 ) (2√3 ) [2√3 )
A. ,2 B. ,2 C. ,+∞ D. ,+∞
3 3 3 3
x2 y2
20. 已知双曲线 − =1(a>0,b>0) 与抛物线 y2=4x 有一个公共的焦点 F，且两曲线的一
a2 b2
5
个交点为 P．若 ∣PF∣= ，则双曲线的渐近线方程为 ()
2
1 √3
A. y=± x B. y=±2x C. y=±√3x D. y=± x
2 3
二、填空题（共5小题；）
21. 双曲线 4x2−9 y2=36 的焦点坐标是 ，离心率为 ，渐近
线方程是 ．
x2
22. 双曲线 C： −y2=1 的离心率是 ；渐近线方程是 ．
4x2 16 y2
23. 若双曲线 − =1 的左焦点在抛物线 y2=2px(p>0) 的准线上，则 p 的值为
3 p2
．
x2 y2
24. 双曲线 − =1 的两个焦点为 F 、 F ，点 P 在双曲线上，若 PF ⊥PF ，则点 P
9 16 1 2 1 2
到 x 轴的距离为 ．
x2 y2
25. 双曲线 − =1(a>0,b>0) 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B
a2 b2
为该双曲线的焦点．若正方形 OABC 的边长为 2，则 a= ．
三、解答题（共5小题；）
x2
26. 设双曲线 C： −y2=1（a>0）与直线 l：x+ y=1 相交于两个不同的点 A，B．求双曲线
a2
C 的离心率的取值范围．
x2 y2
27. 已知双曲线 C: − =1(a>0,b>0) 的离心率为 √3．
a2 b2
（1）求双曲线 C 的渐近线方程；
（2）当 a=1 时，已知直线 x−y+m=0 与双曲线 C 交于不同的两点 A，B，且线段 AB
的中点在圆 x2+ y2=5 上，求实数 m 的值．
y2 x2 √3
28. 已知椭圆 + =1(a>b>0) 的离心率为 ，短轴长为 4．椭圆与直线 y=x+2 相交于
a2 b2 2
A，B 两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求弦长 ∣AB∣．
29. 已知双曲线和椭圆中心均为原点，它们有相同的焦点 F (−5,0)，F (5,0)，并且它们的离心率
1 2
e 都使方程 2x2+4(2e−1)x+4e2−1=0 有相等实根，求椭圆和双曲线方程．
30. 已知点 P(√2+1,2−√2)，点 M(3,1)，圆 C：(x−1) 2+(y−2) 2=4．
（1）求过点 P 的圆 C 的切线方程．
（2）求过点 M 的圆 C 的切线方程．答案
3 3
1. C 【解析】提示：y= x= x，所以 ∣a∣=2，
2 ∣a∣
∣∣PF ∣−∣PF ∣∣=2∣a∣=4，所以 ∣PF ∣=7．
1 2 2
2. C 【解析】点 P 在以 A，B 为焦点，2a=3 的双曲线的一支上，所以 ∣PA∣ 的最小值为
3 7
+2= ．
2 2
∣F F ∣ 3 1
3. A 【解析】当曲线为椭圆时，e= 1 2 = = ；
∣PF ∣+∣PF ∣ 4+2 2
1 2
∣F F ∣ 3 3
当曲线为双曲线时，e= 1 2 = = ．
∣PF ∣−∣PF ∣ 4−2 2
1 2
4. D 【解析】有一个公共点表示渐近线方程与抛物线方程联立后判别式为 0．
5. B
y2 x2
【解析】若双曲线 − =1(a>0,b>0) 的一条渐近线：by−ax=0，渐近线经过点 (√3,1)，可得
a2 b2
b=√3a，即 b2=3a2，可得 c2−a2=3a2，
所以 c2=4a2，c=2a，
c
所以双曲线的离心率为 e= =2．
a
b b2 (b b2 )
6. B 【解析】直线 PM 的方程为 y=− x+ ，联立直线 l 与直线 PM 得 P , ，
a a 2 2 2a
又因为 PF ⊥PF ，所以 ⃗PF ⋅⃗PF =0 得 c2−5a2=0 ，所以双曲线的离心率为 √5．
1 2 1 2
7. D
x2 y2
8. A 【解析】当 k>3 时，3−k<0，k−1>0，此时方程 + =1 表示双曲线；
3−k k−1
x2 y2
反之，若方程 + =1 表示双曲线，则有 (3−k)(k−1)<0，即 k>3 或 k<1．
3−k k−1
x2 y2
故 k>3 是方程 + =1 表示双曲线的充分不必要条件．
3−k k−1
9. A 【解析】如图，设 ∣M F ∣=m，∣M F ∣=n，则 m−n=2√2，当 ⃗M F ⊥⃗M F 时，
1 2 1 2
m2+n2=∣F F ∣ 2=12，可求得 mn=2．
1 2
1 1 √3
由 S = ∣F F ∣∣y ∣= mn 可得 y =± ．
△MF 1 F 2 2 1 2 0 2 0 3
( √3 √3)
当 ⃗M F ⋅⃗M F <0 时，∠F M F 是钝角或平角，此时 y 的取值范围为 − , ．
1 2 1 2 0 3 310. A
x2 y2 b
【解析】双曲线 − =1 的渐近线为 y=± x，
a2 b2 a
而渐近线与 x+2y+5=0 平行．
b 1
故 = ，
a 2
所以 a=2b,⋯⋯①
又因为双曲线的一个焦点为 (−c,0)，则 −c+5=0，
所以 c=5，
又 c2=a2+b2，即 a2+b2=25,⋯⋯②
由①②可求得 a2=20，b2=5，
x2 y2
所以双曲线方程为 − =1．
20 5
11. C 【解析】因为 ∣PF ∣=∣F F ∣=2c，且 ∠PF F =90∘，
2 1 2 2 1
所以 ∣PF ∣=2√2c，
1
由双曲线的定义，得 2√2c−2c=2a，
c
所以 =√2+1．
a
x2 y2
12. D 【解析】设双曲线 E 的标准方程为 − =1(a>0,b>0)，则 (−a,0)，B(a,0)，
a2 b2
不妨设点 M 在第一象限内，则易得 M(2a,√3a)，
(2a) 2 (√3a) 2
又 M 点在双曲线 E 上，于是 − =1，解得 b2=a2，
a2 b2
√ b2
所以 e= 1+ =√2．
a2
13. A 【解析】因为 c2=a2+b2 且 b2=16，
所以 c2=a2+16，
c 5
因为离心率 e= = ，
a 3
25
所以
c2= a2
，
9
25
故
a2=a2+16，
9所以 a2=9，
因为 a=√9=3，
所以 2a=6，
由双曲线定义知 ∣∣PF ∣−∣PF ∣∣=6，
1 2
所以 ∣PF ∣=16 或 ∣PF ∣=4，
2 2
因为 c−a=2，
所以 ∣PF ∣>2，
2
故 ∣PF ∣=16 或 ∣PF ∣=4．
2 2
√1−a2
14. D 【解析】依题意知抛物线的准线 x=−1，代入双曲线方程得 y=± ．
a
( √1−a2)
不妨设 A −1, ，
a
因为 △FAB 是等腰直角三角形，
√1−a2
所以 =2，
a
√5
解得：a= ，
5
1 6
所以 c2=a2+b2= +1= ，
5 5
c
所以 e= =√6．
a
15. B
π
【解析】因为 ∠PF F = ，
2 1 2
(
b2
)
所以 P c, ，
a
因为 Q 为 y 轴上一点，
所以 Q 为 PF 中点，
1
(
b2
)
所以 Q 0, ，
2a
b4
所以 ∣QF ∣ 2=c2+ =2c2 ，
2 4a2
即 b4=4a2c2，即 b2=2ac，
因为 b2=c2−a2，
所以 c2−a2−2ac=0，
两边同时除以 a2 得 e2−2e−1=0，
所以 (e−1) 2=2，
所以 e=1±√2，因为 e>1，
所以 e=√2+1．
故选B．
1
16. D 【解析】因为 M F 与 x 轴垂直，sin∠M F F = ，
1 2 1 3
所以设 M F =m，则 M F =3m，如图所示：
1 2
由双曲线的定义得 3m−m=2a，即 m=a，
在直角三角形 M F F 中，9m2−m2=4c2，即 2m2=c2，
2 1
即 2a2=c2，则 e=√2．
x2 y2
+ =1
17. C 【解析】若“mn＜0”，则 m，n 均不为 0，方程 mx2+n y2=1，可化为 1 1 ，
m n
x2 y2
1 1 + =1
若“mn＜0”， ， 异号，方程 1 1 中，两个分母异号，则其表示双曲线，
m n
m n
故“mn＜0”是"方程 mx2+n y2=1 表示双曲线”的 充分条件．
x2 y2
+ =1 1 1
反之，若 mx2+n y2=1 表示双曲线，则其方程可化为 1 1 ，此时 ， 异号，则必有
m n
m n
mn<0，
故“mn＜0”是“方程 mx2+n y2=1 表示双曲线”的 必要条件．
综合可得：“mn＜0”是"方程 mx2+n y2=1 表示双曲线”的 充要条件．b
18. C 【解析】由题可知，过点 A 斜率为 −1 的直线的方程为 y=−x+a，与渐近线 y= x 交
a
( a2 ab ) b ( a2 −ab)
于点 B , ，与渐近线 y=− x 交于点 C , ．
a+b a+b a a−b a−b
1 y 1 c
因为 ⃗AB= ⃗BC，所以 B = ，所以 b=2a．结合 c2=a2+b2，可得 e= =√5．
2 y 3 a
C
19. A 【解析】先考虑焦点在 x 轴上的双曲线，由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关
于 x 轴（或 y 轴）对称，又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的
b 1 b2
倾斜角范围是大于 30∘ 且小于等于 60∘，即 tan30∘< ≤tan60∘ ，所以 < ≤3．又
a 3 a2
e2=
(c) 2
=
c2
=1+
b2
,
a a2 a2
4 2√3
所以 0,√1+a2 √ 1
双曲线的离心率 e= = +1，因为 0 ，且 e≠√2．即离心率 e 的取值范围为 ,√2 ∪(√2,+∞)
2 2
c
27. （1） 由题意得 e= =√3，
a
所以 c2=3a2，
b2
所以 b2=c2−a2=2a2，即 =2，
a2
b
所以双曲线 C 的渐近线方程为 y=± x=±√2x．
a
y2
（2） 由（1）得当 a=1 时，b2=2，双曲线 C 的方程为 x2− =1．
2
设 A，B 两点的坐标分别为 (x ,y )，(x ,y )，线段 AB 的中点为 M(x ,y )，
1 1 2 2 0 0
{
y2
x2− =1,
由 2 消去 y 得 x2−2mx−m2−2=0（判别式 Δ>0），
x−y+m=0
x +x
所以 x = 1 2=m，y =x +m=2m，
0 2 0 0
因为点 M(x ,y ) 在圆 x2+ y2=5 上，
0 0
所以 m2+(2m) 2=5，
所以 m=±1．
y2 x2 √3
28. （1） 因为椭圆 + =1(a>b>0) 的离心率为 ，短轴长为 4，
a2 b2 2
{ c √3
e= = ,
a 2
所以
2b=4,
a2=b2+c2,
解得 a=4，b=2，
y2 x2
所以椭圆方程为 + =1．
16 4
{y2 x2
+ =1,
（2） 联立 16 4 得 5x2+4x−12=0，显然有 Δ>0，
y=x+2
设 A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
4 12
则 x +x =− ，x x =− ，
1 2 5 1 2 5√16 48 8√2
由弦长公式可得 ∣AB∣=√1+12√(x +x ) 2−4x x =√2 + = ．
1 2 1 2 25 25 5
29. 因为 2x2+4(2e−1)x+4e2−1=0 有相等实根
所以 Δ=42(2e−1) 2−8(4e2−1)=8(4e2−8e+3)=0，
1 3
解得 e = ，e = ．
1 2 2 2
1 3
所以椭圆离心率为 e = ，双曲线离心率为 e = ．
1 2 1 2
x2 y2 5 1
设椭圆方程为 + =1(a>b>0)，则 c=5 且 = ，
a2 b2 a 2
所以 a=10，b2=100−25=75，
x2 y2
故椭圆方程为 + =1．
100 75
x2 y2 5 3
设双曲线方程为 − =1(m>0,n>0)，则 c=5 且 = ，
m2 n2 m 2
10 100 125
所以 m= ，n2=25− = ，
3 9 9
x2 y2
− =1
故双曲线方程为 100 125 ．
9 9
30. （1） 由题意得圆心 C(1,2)，半径 r=2．
因为 (√2+1−1) 2+(2−√2−2) 2=4，
所以点 P 在圆 C 上．
2−√2−2
又 k = =−1，
PC √2+1−1
1
所以切线的斜率
k=− =1．
k
PC
所以过点 P 的圆 C 的切线方程是 y−(2−√2)=1×[x−(√2+1)]，即 x−y+1−2√2=0．
（2） 因为 (3−1) 2+(1−2) 2=5>4，
所以点 M 在圆 C 外部．
当过点 M 的直线斜率不存在时，直线方程为 x=3，即 x−3=0．
又点 C(1,2) 到直线 x−3=0 的距离 d=3−1=2=r，即此时满足题意，
所以直线 x=3 是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为 y−1=k(x−3)，即 kx−y+1−3k=0，
∣k−2+1−3k∣ 3
则圆心 C 到切线的距离 d= =r=2，解得 k= ．
√k2+1 4
3
所以切线方程为 y−1= (x−3)，即 3x−4 y−5=0．
4
综上可得，过点 M 的圆 C 的切线方程为 x−3=0 或 3x−4 y−5=0．
