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2023届高考数学三轮冲刺卷：利用导数研究函数的极值
一、选择题（共20小题；）
1. 函数 y=1+3x−x3 有 ()
A. 极小值 −1，极大值 1 B. 极小值 −2，极大值 3
C. 极小值 −2，极大值 2 D. 极小值 −1，极大值 3
a
2. 已知 x=1 是函数 f (x)=lnx+ 的极值点，则实数 a 的值是 ()
x
A. 1 B. −1 C. 2 D. −2
a
3. 已知 x=1 是函数 f (x)=lnx+ 的极值点，则实数 a 的值是 ()
x
A. 1 B. −1 C. 2 D. −2
4. 已知函数 f (x) 和 g(x) 的导函数 fʹ(x)，gʹ(x) 图象分别如图所示，则关于函数
y=g(x)−f (x) 的判断正确的是 ()
A. 有 3 个极大值点 B. 有 3 个极小值点
C. 有 1 个极大值点和 2 个极小值点 D. 有 2 个极大值点和 1 个极小值点
5. 设函数 f (x) 在 R 上可导，其导函数为 fʹ(x)，且函数 y=(1−x)fʹ(x) 的图象如图所示，则下
列结论中一定成立的是 ()
A. f (x) 有极大值 f (−2) B. f (x) 有极小值 f (−2)C. f (x) 有极大值 f (1) D. f (x) 有极小值 f (1)
6. 函数 f (x) 的定义域为 R，导函数 fʹ(x) 的图象如图所示，则函数 f (x) ()
A. 无极大值点、有四个极小值点 B. 有三个极大值点、一个极小值点
C. 有两个极大值点、两个极小值点 D. 有四个极大值点、无极小值点
7. 函数 f (x)=2x−x1nx 的极值是 ()
1 2
A. B. C. e D. e2
e e
8. 已知函数 f (x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围是 ()
A. (−1,2) B. (−∞,−3)∪(6,+∞)
C. (−3,6) D. (−∞,−1)∪(2,+∞)
9. 已知 a 为函数 f (x)=x3−12x 的极小值点，则 a 等于 ()
A. −4 B. −2 C. 4 D. 2
10. 函数 f (x)=ax3+bx2+cx−34(a,b,c∈R) 的导函数为 fʹ(x)，若不等式 fʹ(x)≤0 的解集为
{x∣−2≤x≤3¿¿，f (x) 的极小值等于 −115，则 a 的值是 ()
81 1
A. − B. C. 2 D. 5
22 3
11. 已知函数 f (x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 10，则 f (2) 等于 ()
A. 11 或 18 B. 11 C. 18 D. 17 或 18
12. 设函数 f (x) 在 R 上可导，其导函数为 fʹ(x)，且函数 f (x) 在 x=−2 处取得极大值，则函
数 y=xfʹ(x) 的图象可能是 ()
A. B.
C. D.
13. 若 x=−2 是函数 f (x)=(x2+ax−1)ex−1 的极值点，则 f (x) 的极小值为 ()
A. −1 B. −2e−3 C. 5e−3 D. 11
14. 已知函数 f (x)= x3−4x，则 f (x) 的极大值点为 ()
3
A. x=−4 B. x=4 C. x=−2 D. x=2
15. 若函数 f (x)=x3−2cx2+x 有极值点，则实数 c 的取值范围为 ()
[√3 ) ( √3] [√3 )
A. ,+∞ B. −∞,− ∪ ,+∞
2 2 2
(√3 ) ( √3) (√3 )
C. ,+∞ D. −∞,− ∪ ,+∞
2 2 2
16. 已知函数 f (x)=(x2+a2x+1)ex，则“a=√2”是“函数 f (x) 在 x=−1 处取得极小值”的
()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
17. 若 a>0，b>0，且函数 f (x)=4x3−ax2−2bx+2 在 x=1 处有极值，则 ab 的最大值等于
()
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
18. 若函数 f (x)=ex−ax−a2 在 R 上有小于 0 的极值点，则实数 a 的取值范围是 ()
A. (−1,0) B. (0,1) C. (−∞,−1) D. (1,+∞)
19. 已知 f (x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值，则 a 的取值范围为 ()
A. −12 D. a<−3 或 a>6
2
20. 设函数 f (x)= +lnx，则 ()
x
1 1
A. x= 为 f (x) 的极大值点 B. x= 为 f (x) 的极小值点
2 2
C. x=2 为 f (x) 的极大值点 D. x=2 为 f (x) 的极小值点
二、填空题（共5小题；）
21. 函数 f (x)=x3−3x 的极小值为 ．
22. 函数 f (x)=x2−3x+lnx 在 处取到极大值．
23. 函数 f (x)=x3+ax2+x+b 在 x=1 时取得极值，则实数 a= ．
{ x, x≤0
24. 已知函数 f (x)= 有极大值且有极小值，则实数 a 的取值范围是
x2−2ax, x>0
．{−x2+2ax, x<1
25. 已知函数 f (x)= alnx ．
, x≥1
x
①当 a=1 时，函数 f (x) 极大值是 ；
② 当 x<1 时，若函数 f (x) 有且只有一个极值点，则实数 a 的取值范围是
．
三、解答题（共5小题；）
1
26. 已知函数 f (x)= +lnx，求函数 f (x) 的极值．
x
27. 已知函数 f (x)=x−alnx(a∈R)．
（1）当 a=2 时，求曲线 y=f (x) 在点 A(1,f (1)) 处的切线方程．
（2）求函数 f (x) 的极值．
28. 已知函数 f (x)=x2−1−2alnx(a≠0)，求函数 f (x) 的极值．
x2
29. 设函数 f (x)= −klnx，k>0，求 f (x) 的单调区间和极值．
2
ln(2x+1)
30. 已知 f (x)=2x+3− ．
2x+1
（1）求证：当 x=0 时 f (x) 取得极小值；
（2）是否存在满足 n>m≥0 的实数 m，n，当 x∈[m,n] 时，f (x) 的值域为 [m,n]?若存
在，求 m，n 的值；若不存在，请说明理由．答案
1. D 【解析】提示：yʹ=3−3x2，令 yʹ=0 可得 x=1 或 x=−1，于是可得函数在 (−∞,−1)
单调递减，(−1,1) 单调递增，(1,+∞) 单调递减，所以当 x=−1 时，函数取得极小值 f (−1)=−1；
当 x=1 时，函数取得极大值 f (1)=3．
1 a 1
2. A 【解析】fʹ(x)= − = (x−a)，x=a 为 f (x) 的极值点，因此 a=1．
x x2 x2
1 a 1
3. A 【解析】fʹ(x)= − = (x−a)，x=a 为 f (x) 的极值点，因此 a=1．
x x2 x2
故选A．
4. D
5. A
6. C
7. C 【解析】因为 fʹ(x)=2−(1nx+1)=1−1nx，当 fʹ(x)>0 时，解得 0e，所以 x=e 时，f (x) 取到极大值，f (x) =f (e)=e．
极大值
故选C．
8. B 【解析】提示：fʹ(x)=0 有两相异实根．
9. D 【解析】因为 f (x)=x3−12x，所以 fʹ(x)=3x2−12，
令 fʹ(x)=0，得 x =−2，x =2．
1 2
当 x∈(−∞,−2),(2,+∞) 时，fʹ(x)>0，则 f (x) 单调递增；
当 x∈(−2,2) 时，fʹ(x)<0，则 f (x) 单调递减，
所以 f (x) 的极小值点为 a=2．
10. C
【解析】由已知可得 fʹ(x)=3ax2+2bx+c，
由 3ax2+2bx+c≤0 的解集为 {x∣−2≤x≤3¿¿ 可知 a>0，
且 −2，3 是方程 3ax2+2bx+c=0 的两根，
2b c
则由根与系数的关系知 =−1， =−6，
3a 3a
3a 3a
所以 b=− ，c=−18a，此时 f (x)=ax3− x2−18ax−34，
2 2
当 x∈(−∞,−2) 时，fʹ(x)>0，f (x) 为增函数；
当 x∈(−2,3) 时，fʹ(x)<0，f (x) 为减函数；
当 x∈(3,+∞) 时，fʹ(x)>0，f (x) 为增函数，
27a
所以 f (3) 为 f (x) 的极小值，且 f (3)=27a− −54a−34=−115，
2
解得 a=2．
11. C 【解析】因为函数 f (x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 10，
所以 f (1)=10，且 fʹ(1)=0，{1+a+b+a2=10, {a=−3, { a=4,
即 解得 或
3+2a+b=0, b=3 b=−11.
{a=−3,
而当 时，函数在 x=1 处无极值，故舍去．
b=3
所以 f (x)=x3+4x2−11x+16，所以 f (2)=18．
12. D 【解析】因为函数 f (x) 在 R 上可导，其导函数 fʹ(x)，且函数 f (x) 在 x=−2 处取得极大
值，
所以当 x>−2 时，fʹ(x)<0；当 x=−2 时，fʹ(x)=0；当 x<−2 时，fʹ(x)>0．
所以当 x>−2 时，xfʹ(x)>0；当 x=−2 时，xfʹ(x)=0；当 x<−2 时，xfʹ(x)<0．
13. A 【解析】函数 f (x)=(x2+ax−1)ex−1，
可得 fʹ(x)=(2x+a)ex−1+(x2+ax−1)ex−1，
x=−2 是函数 f (x)=(x2+ax−1)ex−1 的极值点，
可得：−4+a+(3−2a)=0．
解得 a=−1．
可得
fʹ(x) =(2x−1)ex−1+(x2−x−1)ex−1
¿ ¿
函数的极值点为：x =−2，x =1．
1 2
当 x<−2 或 x>1 时，fʹ(x)>0，函数是增函数；
当 −20，得 x<−2，或 x>2．
由 fʹ(x)=x2−4<0，得：−20，f (x) 单调递增，当 −a2−1−1 时，fʹ(x)>0，f (x) 单调递增．
故 f (x) 在 x=−1 处取得极小值．
综上，函数 f (x) 在 x=−1 处取得极小值 ⇔a≠0．
所以“a=√2”是“函数 f (x) 在 x=−1 处取得极小值”的充分不必要条件．
17. D 【解析】fʹ(x)=12x2−2ax−2b，fʹ(1)=12−2a−2b=0，即 a+b=6，又 a>0，b>0，所
(a+b) 2
以 ab≤ =9，当且仅当 a=b=3 时等号成立．
4
18. B
19. D 【解析】函数 f (x)=x3+ax2+(a+6)x+1，
所以 fʹ(x)=3x2+2ax+(a+6)，
因为函数有极大值和极小值，
所以方程 fʹ(x)=0 有两个不相等的实数根，即 3x2+2ax+(a+6)=0 有两个不相等的实数根，
所以 Δ>0，即 (2a) 2−4×3×(a+6)>0，
解得 a<−3 或 a>6．
20. D
2 2 1 x−2
【解析】因为 f (x)= +lnx，所以 fʹ(x)=− + = ，x>0．
x x2 x x2
当 x>2 时，fʹ(x)>0，f (x) 为增函数；
当 00
1
25. ，a<1
e
1
26. 因为 f (x)= +lnx，
x
1 1 x−1
所以
fʹ(x)=− + =
，
x2 x x2
令 f (x)=0，得 x=1，列表：x (0,1) 1 (1,+∞)
fʹ(x) − 0 +
f (x) 单调递减 极小值 单调递增
所以 x=1 是 f (x) 的极小值点，f (x) 的极小值为 1，无极大值．
a
27. （1） 函数 f (x) 的定义域为 (0,+∞)，fʹ(x)=1− ．
x
2
当 a=2 时，f (x)=x−2lnx，fʹ(x)=1− (x>0)，
x
所以 f (1)=1，fʹ(1)=−1，
所以 y=f (x) 在点 A(1,f (1)) 处的切线方程为 y−1=−(x−1)，即 x+ y−2=0．
a x−a
（2） 由 fʹ(x)=1− = ，x>0 可知：
x x
①当 a≤0 时，fʹ(x)>0，函数 f (x) 为 (0,+∞) 上的增函数，函数 f (x) 无极值；
②当 a>0 时，由 fʹ(x)=0，解得 x=a；
因为 x∈(0,a) 时，fʹ(x)<0，x∈(a,+∞) 时，fʹ(x)>0，
所以 f (x) 在 x=a 处取得极小值，且极小值为 f (a)=a−alna，无极大值．
综上：当 a≤0 时，函数 f (x) 无极值，当 a>0 时，函数 f (x) 在 x=a 处取得极小值 a−alna，
无极大值．
28. 因为 f (x)=x2−1−2alnx(x>0)，
2a
2(x2−a)
所以 fʹ(x)=2x− = ．
x x
①当 a<0 时，因为 x>0，且 x2−a>0，
所以 fʹ(x)>0 对 x>0 恒成立，
所以 f (x) 在 (0,+∞) 上单调递增，f (x) 无极值．
②当 a>0 时，令 fʹ(x)=0，解得 x =√a，x =−√a（舍去）．
1 2
所以当 x 变化时，fʹ(x)，f (x) 的变化情况如表：
x (0,√a) √a (√a,+∞)
fʹ(x) − 0 +
f (x) ↘ 极小值 ↗
所以当 x=√a 时，f (x) 取得极小值，且 f (√a)=(√a) 2 −1−2aln√a=a−1−alna，无极大值．
综上，当 a<0 时，函数 f (x) 在 (0,+∞) 上无极值．
当 a>0 时，函数 f (x) 在 x=√a 处取得极小值 a−1−alna，无极大值．
x2 k x2−k
29. 由 f (x)= −klnx(k>0)，得 x>0 且 fʹ(x)=x− = ，由 fʹ(x)=0，解得 x=√k（负值
2 x x
舍去）．
f (x) 与 fʹ(x) 在区间 (0,+∞) 上的情况如下：x (0,√k) √k (√k,+∞)
fʹ(x) − 0 +
k(1−lnk)
f (x) ↘ ↗
2
所以，f (x) 的单调递减区间是 (0,√k)，单调递增区间是 (√k,+∞)，f (x) 在 x=√k 处取得极小值
k(1−lnk)
f (√k)= ，无极大值．
2
( 1 )
30. （1） 由已知得 f (x) 的定义域为 − ,+∞ ．
2
1 2−2ln(2x+1) 8x2+8x+2ln(2x+1)
当 x>− 时，fʹ(x)=2− = ．
2 (2x+1) 2 (2x+1) 2
F(x)
设 F(x)=8x2+8x+2ln(2x+1)，则 fʹ(x)= ．
(2x+1) 2
2
当 x>− 1 时，y=8x2+8x=8 [ x− ( − 1)] −2 是单调递增函数，y=2ln(2x+1) 也是单调递增函
2 2
数．
1
所以当 x>− 时，F(x)=8x2+8x+2ln(2x+1) 单调递增．
2
1
所以当 − 0 时，F(x)>F(0)=0．
2
1
所以当 − 0 时，fʹ(x)>0，f (x) 单调递增．
所以当 x=0 时，f (x) 取得极小值．
（2） 由（1）知 f (x) 在 [0,+∞) 上是单调递增函数，若存在满足 n>m≥0 的实数
m，n，当 x∈[m,n] 时，f (x) 的值域为 [m,n]，则 f (m)=m，f (n)=n，
即 f (x)=x 在 [0,+∞) 上有两个不等的实根 m，n．
所以 2x2+7x+3−ln(2x+1)=0 在 [0,+∞) 上有两个不等的实根 m，n．
设 H(x)=2x2+7x+3−ln(2x+1)，
8x2+18x+5
则 Hʹ(x)= ．
2x+1
当 x>0 时，2x+1>0，8x2+18x+5>0，
8x2+18x+5
所以 Hʹ(x)= >0．
2x+1
所以 H(x) 在 [0,+∞) 上是单调递增函数，
即当 x≥0 时，H(x)≥H(0)=3．
所以 2x2+7x+3−ln(2x+1)=0 在 [0,+∞) 上没有实数根．
所以不存在满足条件的实数 m，n．
