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第 02 讲 双曲线（练）
一、单选题
1．已知双曲线 的离心率为 ，实轴长为2，实轴的左端点为 ，虚轴的上顶
点为 为右支上任意一点，则 面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意列式求解 ，再结合双曲线的渐近线分析可得 到直线 的距离大
于两平行线间距离，运算求解.
【详解】由已知得 ，解得 ，
故双曲线的方程为 ， ，
∵直线 的方程为 ，与一条渐近线 平行，两平行线间距离
，
所以 到直线 的距离 ，即 的取值范围为 ，
又∵ ，所以 面积 ，
故 面积的取值范围为 .
故选：D.
2．已知双曲线 的左，右焦点分别为 、 ，A是双曲线C的左顶点，
以 、 为为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根据题意易得圆与渐近线的方程，联立即可求得 的坐标，结合图像易得
，利用斜率公式即可求得 ，从而可求得双曲线C的离心率.
【详解】依题意，易得以 为直径的圆的方程为 ，设 ，则
，
又由双曲线 易得双曲线C的渐近线为 ，如图，
联立 ，解得 或 ，
∴ ， ，又∵ ，∴ 轴，
∴由 得 ，∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，∴ .
故选：D.线 的左、右焦点，过左焦点 的直线 与双曲线 的左、
右两支分别交于 两点，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据长度关系可得 ，利用双曲线定义可用 表示出 ，利用勾
股定理可构造关于 的齐次方程求得离心率.
【详解】
设 ，则 ， ，， ；
由双曲线定义可知： ， ，
， ，
， ，
， ，则 .
故选：D.
4．已知双曲线 的左焦点为 ，过 作一倾斜角为 的直线交双曲线右支于
点，且满足 （ 为原点）为等腰三角形，则该双曲线离心率 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意得出 ，写出直线 的方程，与双曲线方程联立，
求出 点坐标，利用 ，即可求出结果．
【详解】解：记右焦点为 ，
由题意知， ，且 为等腰三角形，则只能是 ，
所以 ， ，
所以直线 的方程为 ，
由 ，得
所以 ，
整理，得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以 ．
故选：C．
5．已知双曲线 的右焦点为 ，过 和 两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由双曲线 可得其渐近线为 ，再求得直线 的斜率，由平行得
到斜率相等即可求得 ，再由焦点坐标 得 ，从而求得 ，则该双
曲线的方程可求.
【详解】因为双曲线 ，所以它的渐近线为 ，
又因为 ， ，所以直线 的斜率为 ，
因为直线 与双曲线的一条渐近线平行，所以 ，故 ，
又因为双曲线的右焦点为 ，所以 ，故 ，
所以该双曲线的方程为 .
故选：B.
6．“ ”是“方程 表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】方程 表示双曲线等价于 ，求解判断即可
【详解】方程 表示双曲线等价于 ，即 或 ，
故“ ”是“方程 表示双曲线”的充分不必要条件.
故选：A
7．已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为2， 是双
曲线上一点， 轴，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】由离心率可得 ，再根据 可得 ，即可整理双曲线方程为
，代入 可求 的坐标，即可求得答案
【详解】由题意可得 即 ，
由 可得 即 ，
所以双曲线方程为 ，
当 时，解得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
故选：A
8．已知双曲线 的焦点在 轴上，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题知 ，再解不等式，结合离心力公式求解即可.
【详解】解：因为双曲线 的焦点在 轴上，
所以， ，解得 ．
因为 ，
所以 ．
故选：A
二、填空题
9．如图所示,已知双曲线 : 的右焦点为 ,双曲线 的右支上一点 ,
它关于原点 的对称点为 ,满足 ,且 ,则双曲线 的离心率是
______.【答案】
【分析】连接左焦点，得到平行四边形，通过余弦定理列方程即可解出.
【详解】
设双曲线的左焦点为 ,连接 , ,根据双曲线的对称性可知，
四边形 为平行四边形，由题意以及双曲线定义，
可得 ,
则 , , ,
所以 ,
即 ,即 ,
所以双曲线 的离心率为: .
故答案为： .
10．在平面直角坐标系 中，已知 ， 为双曲线 的左､右焦点， ，
为C的左､右顶点，C的离心率等于2，P为C左支上一点，若 平分 ，直线
与 的斜率分别为 ， ，且 ，则 等于___________.
【答案】
【分析】根据结合直线 与 的斜率分别为 ， 的斜率关系，角平分线定理以及双曲线的定义，可得 ，又由离心率得 ，又在焦点三角形 中用
余弦定理得直线倾斜角的余弦值，从而可得直线 的斜率 的值.
【详解】解：由题意得下图：
则 ， ， ， ，
双曲线的离心率 ，所以 ，则
又直线 与 的斜率分别为 ， ，且 ，且 在第二象限
所以 ，则 ，
因为 平分 ，由角平分线定理得： ，结合 ，
即可得 ，所以
又在双曲线中有 ，所以
则在 中，
由题意 ，可得 为锐角，
所以
则 .
故答案为： .
11．已知双曲线 与直线 无交点，则 的取值范围是_____．
【答案】【分析】结合双曲线的几何性质，可知直线 应在两渐近线上下两部分之间，由此可
得不等式 ，解之即可求得 的取值范围.
【详解】依题意，由 可得 ，双曲线 的渐近线方程为 ，
因为双曲线 与直线 无交点，所以直线 应在两条渐近线上下两部分之间，
故 ，解得 ，即 .
故答案为： .
.
三、解答题
12．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在 轴上，离心率为 ，两顶点间的距离为6；
(2)以椭圆 的焦点为顶点，顶点为焦点.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求得 ，从而求得双曲线的标准方程.
（2）根据椭圆 的焦点和顶点，求得双曲线的 ，从而求得双曲线的标准方
程.
【详解】（1）设双曲线的方程为 .由 ， ，得 ， ， ，
所以双曲线的方程为 .
（2）由题意可知，双曲线的焦点在 轴上.
设双曲线的方程为 ，则 ， ， ，
所以双曲线的方程为 .
一、单选题
1．已知 分别为双曲线 的左､右焦点， 为双曲线 的右顶点.过 的直
线与双曲线 的右支交于 两点（其中点 在第一象限），设 分别为
的内心，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由内心的性质，可知M，N的横坐标都是a，得到MN⊥x轴，设直线AB的倾斜
角为θ，有 ，将 表示为θ的三角函数，结合正切函
数的性质可求得范围.
【详解】设 上的切点分别为H､I､J，
则 .
由 ，得 ，
∴ ，即 .设内心M的横坐标为 ，由 轴得点J的横坐标也为 ，则 ，
得 ，则E为直线 与x轴的交点，即J与E重合.
同理可得 的内心在直线 上，
设直线 的领斜角为 ，则 ，
，
当 时， ；
当 时，由题知， ，
因为A，B两点在双曲线的右支上，
∴ ，且 ，所以 或 ，
∴ 且 ，
∴ ，综上所述， .
故选：B.
2．设双曲线 的左､右焦点分别为 ，过点 作斜率为 的直线
与双曲线 的左､右两支分别交于 两点，且 ，则双曲线 的离
心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】结合向量运算、双曲线的定义建立等量关系式，利用直线 的斜率列方程，化简
求得双曲线的离心率.
【详解】如图，设 为 的中点，连接 .
易知 ，所以 ，所以 .
因为 为 的中点，所以 .
设 ，因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
所以 .
因为 是 的中点， ，所以 .
在Rt 中， ；
在Rt 中， .
所以 ，解得 .
所以 .
因为直线 的斜率为 ，
所以 ，所以 ，
，所以离心率为 .
故选：A3．已知双曲线 ： 斜率为 的直线与 的左右两支分别交于 ，
两点， 点的坐标为 ，直线 交 于另一点 ，直线 交 于另一点 ，如图
1.若直线 的斜率为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，线段AB的中点 ，代入双曲线的方程中可得
，两式相减得 ，可得 ①，设 ，线
段CD的中点 ，同理得 ②，由 ，得 三点共线，
从而求得 ，由此可求得双曲线的离心率.
【详解】设 ，线段AB的中点 ，则 ，两式相减得 ，
所以 ①，
设 ，线段CD的中点 ，同理得 ②，
因为 ，所以 ，则 三点共线，
所以 ，将①②代入得： ，即
，
所以 ，即 ，
所以 ，
故选：D.
4．长为11的线段AB的两端点都在双曲线 的右支上，则AB中点M的横坐标的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用A、B两点的坐标表示出 和 ，(F为双曲线右焦点）解出A、B两点的坐
标，利用 ，求得m的最小值.【详解】
由双曲线 可知，a＝3，b＝4，c＝5，设AB中点M的横坐标为m， ，
则 ， ，
，
当且仅当F、A、B共线且 不垂直 轴时，m取得最小值，此时 ．
检验: 如图，当F、A、B共线且 轴时， 为双曲线的通径，则根据通径公式得
,所以 轴不满足题意.
综上，当F、A、B共线且 不垂直 轴时，m取得最小值，此时 ．
故选：B．
5．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E： 的左、
右焦点分别为 ， ，从 发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和
D，且 ， ，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用 表示 ，再在两个
直角三角形中借助勾股定理求解作答.
【详解】依题意，直线 都过点 ，如图，有 ， ，
设 ，则 ，显然有 ， ，
，因此， ，在 ，
，
即 ，解得 ，即 ，令双曲线
半焦距为c，在 中， ，即 ，解得
，所以E的离心率为 .
故选：B
6．点 ， 是曲线C： 的左右焦点，过 作互相垂直的两条直线分别与曲线交
于A，B和C，D；线段AB，CD的中点分别为M，N，直线 与x轴垂直且点G在C上.
若以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，则圆面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】讨论 斜率，斜率存在时设 、 联立曲线C，应
用韦达定理求线段AB，CD的中点坐标，进而确定 的方程，可得 过定点 ，
若以G为圆心的圆半径为 ，只需保证 可满足圆与直线恒有公共点，即得面积最
小值.
【详解】当直线 斜率均存在时，令 且 ，则
，
联立 与曲线C并整理得： ，
且 ，则 ，
所以 ，故 ，
联立 与曲线C并整理得： ，
同理， ， ，可得 ，
直线 ，故 过定点 ，
当直线 中一条的斜率不存在时，令 ，则 ，
所以 ， ，故 过 ，
而 ，要使以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，且圆面积最小，
若圆的半径为 ，只需 恒成立，故圆最小面积为 .故选：B
7．已知双曲线 （ ， ）的左，右焦点分别是 ， ，点 是双曲线
右支上异于顶点的点，点 在直线 上，且满足 ， .若
，则双曲线 的离心率为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由 可得 在 的角平分线上，由双曲线的定义和切线
长定理可得 为 的内心，再由内心的向量表示，推得 ，再
由双曲线的定义和离心率公式，即可求解.
【详解】因为 ，所以 是 的角平分线，
又因为点 在直线 上，且在双曲线中，点 是双曲线 右支上异于顶点的点，
则 的内切圆圆心在直线 上，即点 是 的内心，
如图，作出 ，并分别延长 、 、 至点 、 、 ，使得 ，， ，可知 为 的重心，
设 ， ， ，由重心性质可得 ，
即 ，
又 为 的内心，所以 ，
因为 ，所以 ， ，则 ，
所以双曲线 的离心率 .
故选：C.
8．已知直线 与双曲线 交于P，Q两点， 轴于点H，
直线 与双曲线C的另一个交点为T，则下列选项中错误的是（ ）
A． 且 B．
C． 为定值 D． 的最小值为2
【答案】D
【分析】由已知，可由双曲线方程推导结论 ，选项A，根据双曲线方程，可以
求得渐近线方程，然后直线与双曲线交于P，Q两点，即可求解出 的取值范围；选项B，
利用坐标表示出 ，从而找到 与 之间的关系；选项C，由 可知
；选项D，利用 借助基本不等式可得 ，故该选项错误.
【详解】参考结论：已知双曲线方程为： ， ， 是
双曲线上关于原点对称的两点，点 也在双曲线上，则 ．
推导：由 得， ，
则 ， ，所以
解析： ， ， ， ，则选项A，双曲线 ，所以渐近线方程为 ，直线与双曲线交于P，Q两
点，所以 ，由已知， ，所以该选项正确；
选项B， ，所以该选项正确；
选项C， ，∴ ，∴ ，所以该选项正确；
选项D，因为 ，所以 ，故该选项错误；
故选：D.
二、填空题
9．设 ， 分别为椭圆 ： 与双曲线 ：
的公共焦点，它们在第一象限内交于点 ， ，若椭圆的离心率 ，
则双曲线 的离心率 的取值范围为________________________．
【答案】
【分析】由题意，根据椭圆和双曲线的定义，表示出焦半径，整理齐次方程，根据离心率
定义以及二次函数的性质，可得答案.
【详解】由椭圆及双曲线定义得 ， ，
，
因为 ，所以 ， ， ，因为 ， ， ，所以 ，则
，
因为 ， ，由 ，所以 ，因此 ．
故答案为： .
10．设 是双曲线 的右焦点，双曲线两条渐近线分别为 ， ，过 作直线 的
垂线，分别交 ， 于 、 两点．若 ， ， 成等差数列，且向量 与 同向，
则双曲线离心率 的大小为_____________．
【答案】
【分析】由双曲线的性质，等差数列的定义，二倍角的正切公式求解
【详解】不妨设 的倾斜角为锐角 向量 与 同向，
渐近线 的倾斜角为 ， 渐近线 斜率为： ， ，
，
， ，
，
， ， 成等差数列， ， ，
在直角 中， ，由对称性可知： 的斜率为 ，
， ， （ 舍去）；
， ， ，
故答案为：
三、双空题11．已知双曲线 的右焦点为 ，直线 与双曲线
交于 、 （ 在 的上方）两点，若 ，则双曲线 的离心率为______；已
知点 是双曲线 右支上任意一点，过点 的直线 分别与双曲线
的两条渐近线交于点 、 ，若 ，则双曲线 的方程为______．
【答案】
【分析】设直线 的倾斜角为 ，求出 的值，设双曲线 的左焦点为 ，连接 、
，设 ，则 ，根据双曲线的定义得 ， ，分
别在 、 中利用余弦定理可求得双曲线 的离心率的值；设双曲线的两条渐近
线为 ， ，故可设点 、 ，利用已知条件可求得
的值，结合平面向量数量积的坐标运算结合 可求得 、 的值，即可得出双曲线
的方程.
【详解】设直线 的倾斜角为 ，则 ，可得 ．
设双曲线 的左焦点为 ，连接 、 ，
设 ，则 ，根据双曲线的定义得 ， ，
分别在 、 中利用余弦定理得
，
，结合 化简得 ，可得 ，
故双曲线 的离心率为 ．
设双曲线的两条渐近线为 ， ，
故可设点 、 ，
将点 、 的坐标分别代入直线 的方程得 ，
两式相乘得 ，
因为点 是双曲线 上的点，可得 ，则 ．
因为 ，又因为 ，则 ， ，
所以双曲线 的方程为 ．
故答案为： ； .
四、解答题
12．过双曲线Γ： 的左焦点F 的动直线l与Γ的左支交于A，B两点，
1
设Γ的右焦点为F.
2
(1)若 是边长为4的正三角形，求此时Γ的标准方程；
(2)若存在直线l，使得 ，求Γ的离心率的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）结合图像，分别求得 ， ，从而求得 ，由
此双曲线Γ的标准方程可求；
（2）联立方程，由韦达定理得 与 ，再由 推得
，由此得到关于 的一个齐次方程，可求得离心率
的范围，再由yy<0，得到关于 的另一个齐次方程，缩小离心率 的范围，从而得到
1 2
Γ的离心率的取值范围.【详解】（1）依题意，结合双曲线的对称性得 ， ，
所以2a＝|AF|－|AF|＝2，a＝1， ， ，b2＝c2－a2＝2，
2 1
此时Γ的标准方程为 .
（2）依题意知直线l的斜率不为0，设l的方程为x＝my－c，
联立 ，消去 ，得 ，
设A(x，y)，B(x，y)，则 ， ，
1 1 2 2
由AF⊥BF 得 ，故(x－c)(x－c)＋yy＝0，即(my－2c)(my－2c)＋yy＝0，
2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
整理得 ，即(m2＋1)b4－4m2c2b2＋4c2(b2m2－a2)＝0，
则(m2＋1)b4＝4a2c2，所以 ，故4a2c2≥(c2－a2)2，
所以c4＋a4－6a2c2≤0，两边除以 ，得e4－6e2＋1≤0，解得 ，
又因为e>1，所以 ，故 ，
又A，B在左支且l过F，所以yy<0，即 ，故 ，
1 1 2
所以 ，所以 ，
即4a25，即 ，
综上： ，即 .
一、单选题1．若双曲线 离心率为 ，过点 ，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可得 ，再将点 代入双曲线的方程，求出 的值，即可得出双
曲线的标准方程.
【详解】 ，则 ， ，则双曲线的方程为 ，
将点 的坐标代入双曲线的方程可得 ，解得 ，故 ，
因此，双曲线的方程为 .
故选：B
2．点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即
可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为： ，即 ，
结合对称性，不妨考虑点 到直线 的距离： .
故选：A.
3．已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 ，则C
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出 ，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为 ，由双曲线的定义可得 ，
所以 ， ；
因为 ,由余弦定理可得 ，整理可得 ，所以 ，即 .
故选：A
4．设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线为
．若 的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线的焦点 可求得直线 的方程为 ，即得直线的斜率为 ，再
根据双曲线的渐近线的方程为 ，可得 ， 即可求出 ，得到双
曲线的方程．
【详解】由题可知，抛物线的焦点为 ，所以直线 的方程为 ，即直线的斜率
为 ，
又双曲线的渐近线的方程为 ，所以 ， ，因为 ，解得
．
故选： ．
5．已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=
图像上的点，则|OP|=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知，点 既在双曲线的一支上，又在函数 的图象上，即可
求出点 的坐标，得到 的值．
【详解】因为 ，所以点 在以 为焦点，实轴长为 ，焦距为 的双
曲线的右支上，由 可得， ，即双曲线的右支方程为
，而点 还在函数 的图象上，所以，
由 ，解得 ，即 ．故选：D.
6．设双曲线C： （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F，F，离心率为 ．P
1 2
是C上一点，且FP⊥FP．若△PFF 的面积为4，则a=（ ）
1 2 1 2
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答
案.
【详解】 ， ，根据双曲线的定义可得 ，
，即 ，
， ，
，即 ，解得 ，
故选：A.
7．设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于
两点，若 的面积为8，则 的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【分析】因为 ，可得双曲线的渐近线方程是 ，与直线
联立方程求得 ， 两点坐标，即可求得 ，根据 的面积为 ，可得 值，根据
，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点
不妨设 为在第一象限， 在第四象限
联立 ，解得
故联立 ，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当 取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
8．已知 是双曲线 的一个焦点，点 在 上， 为坐标原点，若 ，
则 的面积为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，因为 再结合双曲线方程可解出 ，再利用三角形面积公
式可求出结果.
【详解】设点 ，则 ①．
又 ，
②．
由①②得 ，
即 ，
，
故选B．
二、填空题
9．若双曲线 的渐近线与圆 相切，则 _________．【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与
半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线 的渐近线为 ，即 ，
不妨取 ，圆 ，即 ，所以圆心为 ，半径
，
依题意圆心 到渐近线 的距离 ，
解得 或 （舍去）．
故答案为： ．
10．已知双曲线 的左焦点为F，过F且斜率为 的直线交双曲线于点
，交双曲线的渐近线于点 且 ．若 ，则双曲线的离
心率是_________．
【答案】
【分析】联立直线 和渐近线 方程，可求出点 ，再根据 可求得
点 ，最后根据点 在双曲线上，即可解出离心率．
【详解】过 且斜率为 的直线 ，渐近线 ，
联立 ，得 ，由 ，得
而点 在双曲线上，于是 ，解得： ，所以离心率 .
故答案为： ．11．记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线 与C无公共
点”的e的一个值______________．
【答案】2（满足 皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线 中 即可求得满足要求的e值.
【详解】解： ，所以C的渐近线方程为 ,
结合渐近线的特点，只需 ，即 ，
可满足条件“直线 与C无公共点”
所以 ，
又因为 ，所以 ，
故答案为：2（满足 皆可）
12．已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 __________．
【答案】
【分析】首先可得 ，即可得到双曲线的标准方程，从而得到 、 ，再跟渐近线方程
得到方程，解得即可；
【详解】解：对于双曲线 ，所以 ，即双曲线的标准方程为 ，
则 ， ，又双曲线 的渐近线方程为 ，
所以 ，即 ，解得 ；
故答案为：
