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微专题：椭圆的离心率
【考点梳理】
求椭圆的离心率关键在于构造关于a，b，c的方程，通过b2＝a2－c2代入消去b得关于a，c的齐次式，再转化
为关于e的方程；求椭圆离心率的取值范围，则往往要借助椭圆的几何性质及平面几何的知识构造不等式.
【题型归纳】
题型一： 求椭圆的离心率
1．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．过椭圆的右焦点 作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点， 为椭圆的左焦点，若 为正三角形，则该
椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆 ： 的两个焦点为 ， ，过 的直线与 交于A，B两点.若 ，
，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型二： 求椭圆的离心率的取值范围
4．已知椭圆C： （ ）的左､右顶点分别为 ， ，且以线段 为直径的圆与直线
相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D． .
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司5．已知 ， 是椭圆C： 的左、右焦点，O为坐标原点，点M是C上点（不在坐标轴上），
点N是 的中点，若MN平分 ，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．设 ， 同时为椭圆 ： 与双曲线 ： 的左右焦点，设椭圆
与双曲线 在第一象限内交于点 ，椭圆 与双曲线 的离心率分别为 ， ， 为坐标原点．若
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三： 根据离心率求椭圆的标准方程
7．已知椭圆 的焦距为2，离心率 ，则椭圆 的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若
，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．若椭圆C的方程为 ，则“ ”是“椭圆C的离心率为 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司题型四： 由椭圆的离心率求参数的取值范围
10．已知 ， 为椭圆 （a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆的离心率为 ，M为椭圆上一动点，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知焦点在 轴上的椭圆 离心率为 ，则实数 等于（ ）
A． B．
C． D．
12．若焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，则实数 等于（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
13．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢
结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点 和短轴一端点 分别向内层椭圆引切线
， ，且两切线斜率之积等于 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司14．椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．过点 的直线与椭圆C交于A，B两点，则 的周长为4
B．椭圆C上不存在点P，使得
C．椭圆C的离心率为
D．P为椭圆C上一点，Q为圆 上一点，则点P，Q的最大距离为3
15．椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线 的斜率之积
为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
16．设 是椭圆 的左､右焦点，若椭圆上存在一点P，使 （O为坐标原
点），且 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
17．已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，离心率为 ，过 的直线 交 于 两点，
若 的周长为 则，椭圆 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
18．已知椭圆 的左､右焦点分别是 ， ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，且 ，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
19．已知 、 是椭圆 的两个焦点，过 的直线与椭圆交于 、 两点，若
，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
20．已知椭圆 的离心率为 ，直线 与圆 相切，则实数m
的值是（ ）
A． B．
C． D．
21．设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足 ，则 的离心率的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
22．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等
于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 的中心为原点，焦点 、 在 轴上，椭圆 的面积为 ，且
离心率为 ，则 的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
23．椭圆 的左、右焦点分别为 ，过焦点 的倾斜角为 直线交椭圆于 两点，弦
长 ，若三角形 的内切圆的面积为 ，则椭圆的离心率为（ ）
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
24．如图，椭圆的中心在坐标原点 顶点分别是 ，焦点分别为 ，延长 与 交于 点，若
为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
25．设 为椭圆C: 的两个焦点，点P在椭圆C上，若 成等差数列，则椭圆
C的离心率为（ ）
A．1 B． C． D．
26．已知抛物线 的焦点与椭圆 的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为
，那么该椭圆的离心率为
6
A． B． C． D．
2
27．椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 上存在两点 、 满足 ， ，
则 的离心率为（ ）
第 6 页
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28．已知椭圆 的离心率为 ，则（ ）
A． B． C． D．
29．椭圆 的左右焦点分别为 ， ，过点 的直线l交椭圆C于A，B两点，已知
， ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
30．已知椭圆 的左，右焦点是 ， ， 是椭圆上一点，若 ，则椭圆的离心率的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
31．若椭圆 ： （ ）满足 ，则该椭圆的离心率 （ ）．
A． B．
C． D．
32．在平面直角坐标系xOy中，椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司33．已知椭圆 ： 的离心率为 ，则椭圆 的长轴长为（ ）
A． B．4 C． D．8
34．已知椭圆 的右焦点和上顶点分别为点 和点 ，直线 交椭
圆于 两点，若 恰好为 的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
35．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆
： （ ）上点 处的曲率半径公式为 ．若椭圆 上所有点相应的曲
率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
36．已知双曲线 与椭圆 ： 有共同的焦点，它们的离心率之和为 ，则双曲线 的标准方程为
A． B． C． D．
37．在 中， ，如果一个椭圆通过 ､ 两点，它的一个焦点为点 ，另一个焦点在 上，
则这个椭圆的离心率 （ ）
A． B． C． D．
38．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆上，且 ，
，则椭圆的离心率 等于（ ）
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39．椭圆 与 关系为（ ）
A．有相等的长轴长 B．有相等的离心率
C．有相同的焦点 D．有相等的焦距
40．椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
41．已知椭圆 ： 的左､右端点分别为 ， ，点 ， 是椭圆 上关于原点对称的两点(异
于左右端点)，且 ，则下列说法正确的有（ ）
A．椭圆 的离心率为 B．椭圆 的离心率不确定
C． 的值受点 ， 的位置影响 D． 的最小值为
42．关于椭圆 有以下结论，其中正确的有（ ）
A．离心率为 B．长轴长是
C．焦点在 轴上 D．焦点坐标为(-1，0)，(1，0)
43．已知A，B，C是椭圆M： 上三点，且 （ 在第一象限）， 关于原点对称， ，
过 作 轴的垂线交椭圆 于点 ，交 于点 ，若直线 与 的斜率之积为 ，则（ ）
A．椭圆M的离心率为
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司B．椭圆M的离心率为
C．
D．
44．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 且 ，点 在椭圆内部，点 在椭圆
上，则以下说法正确的是（ ）
A． 的最小值为
B．椭圆 的短轴长可能为2
C．椭圆 的离心率的取值范围为
D．若 ，则椭圆 的长轴长为
45．若椭圆 的一个焦点坐标为 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．C的长轴长为 C．C的短轴长为4 D．C的离心率为
46．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，若椭圆 与坐标轴分别交于 ， ， ，
四点，且从 ， ， ， ， ， 这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆 的离心率的可能取
值为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
47．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，若椭圆上的点P满足 轴， ，
第 10 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则该椭圆的离心率为___________．
48．以下四个命题中，正确的题号是__________.
①函数的最值一定是极值；
②设 ：实数 ， 满足 ； ：实数 ， 满足 ，则 是 的充分不必要条件；
③已知椭圆 ： 与双曲线 ： 的焦点重合， 、 分别为 、 的离心率，
则 ，且 ；
④一动圆 过定点 ，且与已知圆 ： 相切，则动圆圆心 的轨迹方程是 .
49．已知椭圆 的右顶点为P，右焦点F与抛物线 的焦点重合， 的顶点与 的中心O
重合.若 与 相交于点A，B，且四边形 为菱形，则 的离心率为___________.
50．已知 为坐标原点，双曲线： （ ， ）的左焦点为 ，左顶点为 ，过点 向双曲线的一
条渐近线作垂线，垂足为 ，且 ，则该双曲线的离心率为______．
51．如图所示，已知 是椭圆 ( )的左焦点， 是椭圆上的一点， 轴， ( 为原点)，
则该椭圆的离心率是________.
52．已知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为 ， ，离心率为 ．过 且垂直于 的
直线与C交于D，E两点， ，则 的周长是________________．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司四、解答题
53．已知椭圆 上有一点 ，它关于原点的对称点为 ，点 为椭圆的右焦点，且满足
，设 ，且 ，求该椭圆的离心率 的取值范围．
54．已知椭圆C ： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦点重合，C 的中心与C 的顶点重合．过F且与x
1 2 1 2
轴垂直的直线交C 于A，B两点，交C 于C，D两点，且|CD|= |AB|．
1 2
（1）求C 的离心率；
1
（2）若C 的四个顶点到C 的准线距离之和为12，求C 与C 的标准方程．
1 2 1 2
55．已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为 的左、右顶点．
（1）求 的方程；
（2）若点 在 上，点 在直线 上，且 ， ，求 的面积．
56．已知双曲线 的方程为 ，椭圆 的焦点为 和 ，椭圆 的离心率与双曲线 的离心
率互为倒数.
（1）求椭圆 的方程；
（2）不经过椭圆 的焦点的直线 与以坐标原点为圆心､ 为半径的圆相切，且与椭圆
交于 两点，试判断 的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.
57．根据下列已知条件求曲线方程.
(1)求与双曲线 共渐近线且过 ， 点的双曲线方程；
(2)求与椭圆 有相同离心率且经过点 的椭圆方程.
58．已知椭圆 的标准方程为： ，若右焦点为 且离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程；
第 12 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）设 ， 是 上的两点，直线 与曲线 相切且 ， ， 三点共线，求线段 的长．
第 13 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．A
【分析】设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为 ， ， ，通过椭圆的 ， ， 是等比数列建立关于 ，
， 的等式，求出椭圆的离心率即可．
【详解】解：设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为 ， ， ，
椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，
， ， 成等比数列，
，
，
两边同除以 得： ，且0 < e < 1，
解得 ，
故选：
2．A
【分析】因为 为正三角形，所以结合椭圆的定义可得 ，所以椭圆的离心率
，代入即可得出答案.
【详解】图所示，易知 ， ．
由椭圆的定义可得 ，则该椭圆的离心率 ．
故选：A.
3．C
【分析】由已知条件以及椭圆的定义,将 , 用a表示出,再在三角形中利用余弦定理建立方程,即
可求解.
【详解】设 ,则 , .
由椭圆的定义可知 ,所以 ,所以 , .
第 14 页在△ABF 中, .
1
所以在△AFF 中, ,
1 2
即 整理可得： ,
所以
故选：C
4．B
【分析】由题设以线段 为直径的圆为 ，根据直线与圆相交，利用点线距离公式列不等式求椭圆C
的离心率的范围.
【详解】由题设，以线段 为直径的圆为 ，与直线 相交，
所以 ，可得 ，即 ，又 ，
所以 .
故选：B
5．A
【分析】由角平分线的性质定理有 ，再根据线段之间的关系建立不等式可求解.
【详解】因为 是 的中点， 是 的中点，所以 ，
因为 平分 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，由 （或 ），得椭圆 的离心
率 ，又 ，所以椭圆 的离心率的取值范围是 ．
故选：A．
6．C
【分析】利用椭圆和双曲线的定义和性质，两者的离心率的定义结合已知条件，将 进行化简变形，用函数的单
调性可求得结果.
【详解】设 ，因为点 是双曲线和椭圆的交点，
根据椭圆和双曲线的定义可知 ，
所以 ，又因为 ，
所以有 ，即 ，化简有 ，
第 15 页因为椭圆离心率 ，所以 ，即 ，
，令
所以有 ，在 时单调递减
所以有 .
故选：C
7．C
【分析】由已知条件可得 与 的值，进而得 的值，然后得标准方程.
【详解】由于2c=2,所以c=1,
又因为 ，故 ，
，所以椭圆的标准方程为： .
故选：C
8．B
【分析】根据离心率及 ，解得关于 的等量关系式，即可得解.
【详解】解：因为离心率 ，解得 ， ，
分别为C的左右顶点，则 ，
B为上顶点，所以 .
所以 ，因为
所以 ，将 代入，解得 ，
故椭圆的方程为 .
故选：B.
9．A
第 16 页【分析】由椭圆的性质得推出关系后判断
【详解】椭圆C的离心率为 ，即 ，
若椭圆焦点在 轴上，则 ，得 ，
若椭圆焦点在 轴上，则 ，得 ，
故“ ”是“椭圆C的离心率为 ”的充分不必要条件，
故选：A
10．A
【分析】利用余弦定理列式，结合椭圆的定义以及基本不等式求得 的最大值.
【详解】设 ，
，
在三角形 中，由余弦定理得：
.
由于 ，所以 的最大值为 .
故选：A
11．B
【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得 ， ，则 ，进而由椭圆的离心率公式
，解得 的值.
【详解】由题意，得 ， ，则 ，
所以椭圆的离心率 ，解得m=8.
故选：B.
第 17 页12．B
【分析】根据已知条件可得出关于 的等式，即可求得实数 的值.
【详解】由题意可得 ， ， ，所以， ，解得 .
故选：B.
13．D
【分析】设内层椭圆方程为 ，由题可知外层椭圆可设成 ，再根据直
线与椭圆的位置关系可求出 ，即可利用 求出离心率．
【详解】设内层椭圆方程为 ,因为内外椭圆离心率相同，
外层椭圆可设成 ，
设切线A C的方程为 , 与 联立得：
，由 , 则 ,
同理可得 , , 则 ,
因此 ．
故选：D.
14．D
【分析】对于选项A，由椭圆定义可求得 的周长，即可判断；
对于选项B，设 ，分别表示出 ， ，直接求解；
对于选项C，直接求出离心率；
对于选项D，用几何法求出最大值．
【详解】对于选项A，由椭圆定义，可得 ，因此 的周长为
，故A错误．
对于选项B，设 ，则 ，且 ．又 ， ，所以 ，
，因此 ，解得 ，
故B错误．
对于选项C，因为 ， ，所以= ，即 ，所以离心率 ，故C错误．
第 18 页对于选项D，设 ，则点P到圆 的圆心的距离为 ．因为
，所以 ，故D正确．
故选：D．
【点睛】（1）坐标法是解析几何的基本方法.
（2）解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以
简化运算．
15．A
【分析】设 ，则 ，根据斜率公式结合题意可得 ，再根据 ，将 用 表
示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】解： ，
设 ，则 ，
则 ，
故 ，
又 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以椭圆 的离心率 .
故选：A.
16．B
【分析】由向量的关系可得 ，由椭圆的定义及 ，可得 ， 的值，在直角三角形
中，由勾股定理可得 ， 的关系，进而求出椭圆的离心率．
【详解】解：设 的中点为 ，由 ，即 ，所以 ，
连接 可得 ，所以 ，
第 19 页可得 ，
又因为 ，
所以 ， ，
在 中， ，
即 ，可得： ，
解得 ，
故选： ．
17．A
【分析】由题意可得 ，再结合 ，可求出 ，从而可得椭圆方程
【详解】解：由题意可得 ，解得 ， ，
所以 ，
所以椭圆 的方程为 ，
故选：A
18．B
【分析】根据椭圆的对称性可知， ，设 ，由 以及椭圆定义可得 ，
，在 中再根据余弦定理即可得到 ，从而可求出椭圆 的离心率．
第 20 页【详解】
由椭圆的对称性，得 .设 ，则 .由椭圆的定义，知 ，即 ，
解得 ，故 ， .
在 中，由余弦定理，得 ，即 ，
则 ，故 .
故选：B.
19．D
【分析】利用勾股定理得出 ，利用椭圆的定义求得 、 ，利用勾股定理可得出关于 、 的等
量关系，由此可解得该椭圆的离心率.
【详解】如下图所示，设 ，则 ， ，所以， ，
所以， ，
由椭圆定义可得 ， ， ，
所以， ，
所以， 为等腰直角三角形，可得 ， ，
所以，该椭圆的离心率为 .
故选：D.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得 、 的值，根据离心率的定义求解离心率 的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于 、 的齐次方程，然后转化为关于 的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
第 21 页20．B
【分析】根据椭圆的离心率为 ，得 ，从而得到直线方程，再根据直线与圆的位置关系代数解法即可求
出．
【详解】由题意知， ，则 ，∵直线 ，即 ，代入 得，
，由 解得 ．
故选：B．
21．C
【分析】设 ，由 ，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出 的最大值，再构建齐
次不等式，解出即可．
【详解】设 ，由 ，因为 ， ，所以
，
因为 ，当 ，即 时， ，即 ，符合题意，由 可得 ，
即 ；
当 ，即 时， ，即 ，化简得， ，显然该不等式
不成立．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的
单调性从而确定最值．
22．A
【分析】设椭圆方程为 ，解方程组 即得解.
【详解】解：设椭圆方程为 ，
由题意可知，椭圆 的面积为 ，且 、 、 均为正数，
第 22 页即 ，解得 ，
因为椭圆 的焦点在 轴上，所以 的标准方程为 .
故选：A.
23．C
【分析】由题可得直线AB的方程，从而可表示出三角形面积，又利用焦点三角形及三角形内切圆的性质，也可表
示出三角形面积，则椭圆的离心率即求.
【详解】由题知直线AB的方程为 ，即 ，
∴ 到直线AB的距离 ，
又三角形 的内切圆的面积为 ，
则半径为1，
由等面积可得 ，
.
故选：C.
24．D
【分析】由题意， 就是 与 的夹角，所以 与 的夹角为钝角，从而有 ，结合
即可求椭圆离心率的取值范围．
【详解】解：由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为 ， ， ，则 ， ，
因为 就是 与 的夹角，所以 与 的夹角为钝角，
所以 ，即 ，又 ，
所以 ，两边同时除以 ，得 ，即 ，
解得 或 ，又 ，
所以 ，
第 23 页所以椭圆离心率的取值范围为 ，
故选：D．
25．B
【解析】由等差数列及椭圆的性质可得 ，再由离心率公式即可得解.
【详解】设 ，
因为 成等差数列，
所以 即 ，
所以椭圆C的离心率 .
故选：B.
26．D
【分析】先求出抛物线的焦点、准线，再根据椭圆的通径公式求出a、c，算出离心率.
【详解】易知抛物线 的焦点（2，0），准线x=-2，
即椭圆 的c=2，
因为抛物线的准线恰好过椭圆的焦点，即相交的线段为椭圆的通径；
即通径为 ，又因为c=2
解得a=4
所以离心率
故选D.
【点睛】本题目考察了抛物线的方程和性质，以及椭圆的性质，本题关键点在通径上，如果记不得通径公式就直
接带入计算，一样可得答案，属于一般题型.
27．A
【分析】作点 关于原点的对称点 ，连接 、 、 、 ，推导出 、 、 三点共线，利用椭圆的定义
可求得 、 、 、 ，推导出 ，利用勾股定理可得出关于 、 的齐次等式，即可求得
该椭圆的离心率.
【详解】作点 关于原点的对称点 ，连接 、 、 、 ，
第 24 页则 为 、 的中点，故四边形 为平行四边形，故 且 ，则 ，
所以， ，故 、 、 三点共线，
由椭圆定义， ，有 ，所以 ，则 ，
再由椭圆定义 ，有 ，
因为 ，所以 ，
在 中， 即 ，所以，离心率 ．
故选：A.
28．B
【分析】利用离心率与 、 的关系即可获解
【详解】 ，得 ，得 ，即 ．
故选：B
29．A
【分析】根据向量运算和椭圆的定义可得关于 的方程，由椭圆的离心率的定义可得选项.
【详解】设 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
设 中点为H，则 ， ， ，
代入数据并整理得： ，
等式两边同除以 得： ，解得： 或 (舍).
故选：A.
【点睛】方法点睛：求椭圆离心率或其范围的方法
第 25 页（1）根据题意求出 的值，再由离心率的定义 直接求解．
（2）由题意列出含有 的方程(或不等式)，借助于 消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标 等．
30．C
【解析】根据椭圆定义及 求出 ， 由 即可求解.
【详解】由椭圆的定义知： ，
因为 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
所以有： ，
，
故椭圆的离心率的取值范围是 ．
故选：C
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，属于中档题.
31．B
【分析】由题意，构建齐次式，即可得到结果.
【详解】由题意知 ，又 ，
所以 .
解得离心率 ，
故选:B．
32．C
【解析】直接利用椭圆的方程和椭圆的离心率的应用求出结果.
【详解】解：直角坐标系 中，椭圆 ，
所以 ，
当 时， ，
故 ，整理得 ，
故选：C.
【点睛】本题考查的知识要点：椭圆的标准方程的应用，椭圆的离心率的应用，主要考查学生的运算能力和转换
能力及思维能力，属于基础题型.
第 26 页33．C
【分析】根据条件先计算出 的值，再根据离心率求解出 的值，最后根据长轴长为 计算出长轴长.
【详解】由题意知 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以椭圆 的长轴长为 .
故选：C.
34．C
【分析】由题设 ，利用 为 的重心，求出线段 的中点为 ，将B代入直线方程
得 ，再利用点差法可得 ，结合 ，可求出 ，进而求出离心率.
【详解】由题设 ，则线段 的中点为 ，
由三角形重心的性质知 ，即 ，解得：
即 代入直线 ，得 ①.
又B为线段 的中点，则 ，
又 为椭圆上两点， ，
以上两式相减得 ，
所以 ，化简得 ②
由①②及 ，解得： ，即离心率 .
故选：C.
【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离
心率有以下几种情况：①直接求出 ，从而求出 ；②构造 的齐次式，求出 ；③采用离心率的定义以及圆锥
曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．
35．C
【分析】根据曲率半径的定义可判断何时曲率半径最大，合适曲率半径最小，再由题设可得基本量的关系，从而
可求离心率.
【详解】因为曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小，
故椭圆在 处曲率半径最小，则 ，而椭圆在 处曲率半径最大，
第 27 页则 ，因为 ，所以 ，所以 ， ．
故选：C.
36．C
【分析】由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到
双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案．
【详解】由椭圆 ，得 ， ，
则 ，
双曲线与椭圆的焦点坐标为 ， ，
椭圆的离心率为 ，则双曲线的离心率为 ．
设双曲线的实半轴长为m，则 ，得 ，
则虚半轴长 ，
双曲线的方程是 ．
故选C．
【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题．
37．D
【分析】根据等腰 ，可得 ，然后 可得 ，假设 ，依据椭圆定义可得 ，
根据 可得 ，最后可得离心率.
【详解】设另一个焦点为 ，如图所示，∵ ， ，
，则 ，
设 ，则 ， ，
∴ ， ， ，∴ ，
故选:D.
38．B
第 28 页【分析】在 中，得出直角边与斜边的关系，再结合椭圆的定义易得离心率．
【详解】由题设知 是直角三角形，
， ， ，
， ．
又由椭圆的定义，得 ， ，
故 ．
故选：B．
39．D
【分析】分别求出两个椭圆的长轴、短轴和焦距，进行比较可得答案
【详解】由题意，对于椭圆 ，焦点在x轴上，a＝5，b＝3，所以c＝ ＝4，则离心率e＝ ＝
，
对于椭圆 ，因为25－k＞9－k＞0，所以焦点在y轴上，a＝ ≠5，b＝ ≠3，所以c＝
＝4，则离心率e＝ ＝ ≠ ，
故选项D正确，其他选项错误.
故选：D.
40．C
【分析】根据椭圆方程求 ， ， ，再求离心率.
【详解】由椭圆方程可知 ， ，所以 ，
椭圆的离心率 .
故选：C
41．AD
【分析】设 ，则 ，从而可得 ，再结合已知条件可得 ，进而可求出椭圆的
离心率，可对A，B选项判断；由已知条件可得四边形 为平行四边形，则有 ，结合已知条件可得
，从而可知 的值不受点 ， 的位置影响，设 ，由题意得
，则结合基本不等式可得 ，从而得当点 为短轴的端点时 最大，进而可
求出 的最小值
【详解】解：设 ，则 ，
因为 ，
第 29 页所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以离心率 ，所以A正确，B错误；
因为点 ， 是椭圆 上关于原点对称的两点，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
因为 ，所以 ，不受 ， 位置影响，所以C错误；
设 ，由题意得 ，则有 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，即当 时，即当点 为短轴的端点时 最大，此时 最小，
，
，
所以 ，
所以D正确，
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的性质的应用，考查计算能力和转化思想，解题的关键是由 可
得 ，从而可求出椭圆的离心率，设 ，则有 ，再结合基本不等式可得
，从而可知当点 为短轴的端点时 最大，
进而可得答案，属于中档题
42．AD
【分析】将椭圆方程化为标准方程，再由椭圆的几何性质可得选项.
【详解】将椭圆方程化为标准方程为
所以该椭圆的焦点在 轴上，故C错误；
焦点坐标为 ，故D正确；
长轴长是 故B错误
第 30 页因为 所以 离心率 故A正确.
故选：AD.
43．AC
【分析】设出点 ， ， 的坐标，将点 ， 分别代入椭圆方程，两式作
差，构造直线 和 的斜率之积，得到 ，即可求椭圆的离心率，利用 ，求出 ，可知点
在 轴上，且为 的中点,则 .
【详解】设 ， ， ，则 ，
， ，两式相减并化简得 ，
即 ，则 ,则 正确；
∵ ， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，即 ，
解得 ，则点 在 轴上，且为 的中点即 ，则 正确.
故选： .
44．ACD
【解析】利用椭圆定义 替换为 后易得最小值，判断A；假设短轴长为2，得椭圆方程，确定 点在
椭圆外，判断B；由 在椭圆内得 ，求出 的范围，从而可得离心率的范围，判断C；由 得
点坐标，利用代入椭圆方程求得 ，判断D．
【详解】A.因为 ，所以 ，所以 ，当
，三点共线时，取等号，故正确；
B．若椭圆 的短轴长为2，则 ，所以椭圆方程为 ， ，则点 在椭圆外，故错误；
C．因为点 在椭圆内部，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，即 ，解
得 ，所以 ，所以 ，所以椭圆 的离心率的取值范围为
，故正确；
第 31 页D．若 ，则 为线段 的中点，所以 ，所以 ，又 ，即 ，解得
，所以 ，所以椭圆 的长轴长为 ，故正确．
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的定义，椭圆的标准方程，本题还用到了两个知识点：
设椭圆方程为 （ ，
（1） 在椭圆内部 ， 在椭圆上 ， 在椭圆外部 ；
（2）求椭圆上点到椭圆内定点和一个焦点的距离之的最小值问题，一般把椭圆上运动到一个焦点的距离利用椭圆
定义转化为到另一焦点的距离，然后易得最小值．
45．AB
【分析】由题意可得 ，从而可求出 的值，进而可求出 的值和离心率
【详解】由已知可得 ，解得 或 （舍去）
，
∴长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，
故选：AB.
46．BC
【解析】结合椭圆的对称性，只需要考虑三种情况，即以 、 ， 作为三角形的三个顶点；以 、 、 作为
三角形的三个顶点或以 、 、 作为三角形的三个顶点，分别根据图形列出关于以 、 、 的齐次式，化简求
离心率.
【详解】①如图，若以 、 ， 作为三角形的三个顶点，则 ，
由勾股定理可得， ，
由 ，可得 ，即 ，
因为 ，解得 ；
②如图，若以 、 、 作为三角形的三个顶点，
则 ，故 ，则 ；
第 32 页③如图，若以 、 、 作为三角形的三个顶点，
则 ， ，则 ；
故选：BC．
47．
【分析】由题意分析 为直角三角形，得到关于a、c的齐次式，即可求出离心率.
【详解】设 ，则 .
由椭圆的定义可知： ，所以 .
所以
因为 轴，所以 为直角三角形，
由勾股定理得： ，
即 ，即 ，
所以离心率 .
故答案为：
48．③④
【分析】举反例 ， 得到①错误，取点 得到②错误，③ ，计算得到③正确，
根据双曲线定义知，得到轨迹方程得到④正确，得到答案.
【详解】①举反例 ， ，有最大值为 ，最小值为 ，函数没有极值，①错误；
第 33 页②取点 满足 ，不满足 ，不具有充分性，②错误；
③根据题意 ，故 ，设 ，
则 ，③正确；
④根据题意：当两圆外切时， ，当两圆内切时， ，即 ，根据双
曲线定义知，轨迹为双曲线， ， ，
故双曲线方程为： ，④正确.
故答案为：③④.
【点睛】本题考查了极值，充分必要条件，椭圆双曲线离心率，轨迹方程，意在考查学生的计算能力和综合应用
能力.
49．
【分析】设抛物线的方程为 得到 ，把 代入椭圆的方程化简即得解.
【详解】
设抛物线的方程为 .
由题得 ，代入椭圆的方程得 ，
所以 ，
所以 ，
所以
因为 ，
第 34 页所以 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率常用的方法有：（1）公式法（根据已知求出 代入离心率的公式即得解）；
（2）方程法（直接由已知得到关于离心率的方程解方程即得解）. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
50．
【分析】首先根据题意得到 ，从而得到 ，再求离心率即可.
【详解】 ，设一条渐近线方程为 ，所以 .
又因为 ， ，
所以 ，即 ，故离心率 ．
故答案为：
51．
【解析】由三角形相似可得 ，从而可知 ，再结合 即可求出离心率.
【详解】 ，又 与 相似，则 ，
解得 ，又 得 .
故答案为: .
52．13
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为 ，根据离心率得到直线 的斜率，进
而利用直线的垂直关系得到直线 的斜率，写出直线 的方程： ，代入椭圆方程 ，整
理化简得到： ，利用弦长公式求得 ，得 ，根据对称性将 的周长转化
为 的周长，利用椭圆的定义得到周长为 .
【详解】∵椭圆的离心率为 ，∴ ，∴ ，∴椭圆的方程为
，不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示，∵ ，
∴ ，∴ 为正三角形，∵过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， 为线段 的垂直平
第 35 页分线，∴直线 的斜率为 ，斜率倒数为 ， 直线 的方程： ，代入椭圆方程 ，
整理化简得到： ，
判别式 ，
∴ ，
∴ ， 得 ，
∵ 为线段 的垂直平分线，根据对称性， ，∴ 的周长等于 的周长，利用
椭圆的定义得到 周长为
.
故答案为：13.
53． ．
【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为 ，连接 ，则四边形 为矩形，
．
，
，
第 36 页．
，
，
，
，
∴椭圆的离心率 ．
54．（1） ；（2） ： ， ： .
【分析】（1）根据题意求出 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 在第一象限，运用代入法求出
点的纵坐标，根据 ，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；
（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进
行求解即可；
【详解】解：（1）因为椭圆 的右焦点坐标为： ,所以抛物线 的方程为 ，其中 .
不妨设 在第一象限，因为椭圆 的方程为： ，
所以当 时，有 ，因此 的纵坐标分别为 ， ；
又因为抛物线 的方程为 ，所以当 时，有 ，
所以 的纵坐标分别为 ， ，故 ， .
由 得 ，即 ，解得 （舍去）， .
所以 的离心率为 .
（2）由（1）知 ， ，故 ，所以 的四个顶点坐标分别为 ， ， ，
， 的准线为 .
由已知得 ，即 .
所以 的标准方程为 ， 的标准方程为 .
【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛
第 37 页物线的准线方程，考查了数学运算能力.
55．（1） ；（2） .
【分析】（1）因为 ，可得 ， ，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；
（2）方法一：过点 作 轴垂线，垂足为 ，设 与 轴交点为 ，可得 ，可求得 点坐标，
从而求出直线 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得 的面积.
【详解】（1） ， ，
根据离心率 ，解得 或 (舍)，
的方程为： ，即 ．
（2）［方法一］：通性通法
不妨设 , 在x轴上方，过点 作 轴垂线，垂足为 ，设直线 与 轴交点为
根据题意画出图形，如图
， ， ，
又 ， ，
，根据三角形全等条件“ ”，可得： ，
， ， ，
设 点为 ，可得 点纵坐标为 ，将其代入 ，
可得： ，解得： 或 ， 点为 或 ，
①当 点为 时，故 ，
， ，可得： 点为 ，
画出图象，如图
第 38 页, ，可求得直线 的直线方程为： ，
根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为 ，
根据两点间距离公式可得： ， 面积为： ；
②当 点为 时，故 ， ， ，可得： 点为 ，画出图象，
如图
, ，可求得直线 的直线方程为： ，
根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为 ，
根据两点间距离公式可得： ，
面积为： ，综上所述， 面积为： .
［方法二］【最优解】：
由对称性，不妨设P，Q在x轴上方，过P作 轴，垂足为E．设 ，由题知， ．
故 ，
第 39 页①因为 ，如图，所以， ．
②因为 ，如图，所以 ．
综上有
［方法三］：
由已知可得 ，直线 的斜率一定存在，设直线 的方程为 ，由对称性可设 ，联立方
程 消去y得 ，
由韦达定理得 ，所以 ，
将其代入直线 的方程得 ，所以 ，
则 ．
因为 ，则直线 的方程为 ，
第 40 页则 ．
因为 ，所 ， ，
即 ，故 或 ，即 或 ．
当 时，点P，Q的坐标分别为 ，
直线 的方程为 ，点A到直线 的距离为 ，
故 的面积为 ．
当 时，点P，Q的坐标分别为 ，
直线 的方程为 ，点 到直线 的距离为 ，
故 的面积为 ．
综上所述， 的面积为 ．
［方法四］：
由（1）知椭圆的方程为 ， ．
不妨设 在x轴上方，如图．
设直线 ．
因为 ，所以 ．
由点P在椭圆上得 ，所以 ．
由点P在直线 上得 ，所以 ．所以 ，化简得 ．
第 41 页所以 ，即 ．
所以，点Q到直线 的距离 ．
又 ．
故 ．即 的面积为 ．
［方法五］：
由对称性，不妨设P，Q在x轴上方，过P作 轴，垂足为C，设 ，
由题知 ，所以 ．
（1） ．
则 ．
（其中 ）．
（2） ．
同理， ．
（其中 ）
综上， 的面积为 ．
【整体点评】（2）方法一：根据平面几何知识可求得点 的坐标，从而得出点 的坐标以及直线 的方程，再
根据距离公式即可求出三角形的面积，是通性通法；方法二：同方法一，最后通过面积分割法求 的面积，
计算上有简化，是本题的最优解；方法三：通过设直线 的方程 与椭圆的方程联立，求出点 的坐标，
再根据题目等量关系求出 的值，从而得出点 的坐标以及直线 的方程，最后根据距离公式即可求出三角形的
面积，思想简单，但运算较繁琐；方法四：与法三相似，设直线 的方程 ，通过平面知识
求出点 的坐标，表示出点 ，再根据距离公式即可求出三角形的面积；方法五：同法一，只是在三角形面积公
式的选择上，利用三角形面积的正弦形式结合平面向量的数量积算出．
56．（1） ；（2）是，定值
【分析】（1）设椭圆 的标准方程为 ，利用焦点坐标，离心率，求解 ， ，得到椭圆方程．
（2）求出圆心到直线 的距离为 ，推出 ，设 ， ， ， ，联立直线与椭圆方程，利用
韦达定理，弦长公式，转化求解 周长即可．
【详解】解：（1）设椭圆 的标准方程为 ，
第 42 页由题意得， .
双曲线的离心率为 ，
椭圆 的离心率 .
故椭圆 的方程： .
（2）由题意， ，即圆心到直线 的距离为 ，
则 ，
，
设 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
则
又
周长 ，
周长为定值
57．(1)
(2) 或
【分析】（1）设所求双曲线方程为 ，根据 点坐标求得 ，从而求得所求的双曲线方程.
（2）根据椭圆焦点所在坐标轴进行分类讨论，结合 求得椭圆方程.
第 43 页(1)
设与双曲线 共渐近线的双曲线方程为：
点 ， 在双曲线上，
所求双曲线方程为： ，即 .
(2)
若焦点在 轴上，设所求椭圆方程为 ，将点 代入，得 ，
故所求方程为 .
若焦点在 轴上，设方程为 代入点 ，得 ，
.
58．（1） ；（2） .
【分析】（1）根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.
（2）由（1）知曲线为 ，讨论直线 的存在性，设直线方程联立椭圆方程并应用韦达定理求弦
长即可.
【详解】（1）由题意，椭圆半焦距 且 ，则 ，又 ，
∴椭圆方程为 ；
（2）由（1）得，曲线为
当直线 的斜率不存在时，直线 ，不合题意：
当直线 的斜率存在时，设 ， 又 ， ， 三点共线，
可设直线 ，即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，解得 ，
联立 ，得 ，则 ， ，
∴ .
第 44 页第 45 页
