文档内容
第 2 章第 01 讲 认识无理数、平方根
1.能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解.
2.理解数的算术平方根和平方根的概念，以及开平方的概念，会用根号表示一个数的平方根.
3.掌握平方根的性质，并能应用平方根的性质解决问题.
知识点01 认识无理数
无理数的定义：无限不循环小数。有限小数和无限循环小数都称为有理数.
无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
知识点02 算术平方根的概念及性质
1.算术平方根的定义：如果一个正数 的平方等于 ，即 ,那么这个正数x叫做 的算术平方根
（规定0的算术平方根还是0）； 的算术平方根记作 ，读作“ 的算术平方根”， 叫做被开方
数.
知识点03 平方根的概念与性质
1.平方根的定义：如果 ，那么 叫做 的平方根.求一个数 的平方根的运算，叫做开平方.平方
与开平方互为逆运算. ( ≥0)的平方根的符号表达为 ，其中 是 的算术平方根.2.平方根和算术平方根的区别与联系
区别：（1）定义不同；（2）结果不同： 和
联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为
0．
3.平方根的性质
题型01 认识无理数
【典例1】（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）在实数： ， ，4，π，中，无理
数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数或开方开不尽的数为无理数，即可解答．
【详解】解： ，π，都是无限不循环小数，是无理数，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的定义，熟练掌握和运用无理数的定义是解决本题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2023春·湖北十堰·七年级校考阶段练习）在实数 ，0， ， ， ， ，
中，无理数的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】根据无理数的定义解答即可．
【详解】解：在实数 中，
无理数是： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数是指无限不循环小数，包括三方面的数：①
含 的，②一些有规律的数，例如 ，③开方开不尽的数．
【变式2】（2023春·上海黄浦·七年级统考期末）在 ， ， ， ， 中，有理数个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据有理数的定义，有理数包括整数和分数，分数为有限小数或无限循环小数，找出其中的有理
数即可．
【详解】解：根据题意，
有理数有： ， ， ，共3个；
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的定义，解题的关键是熟记有理数与无理数的定义．
题型02 平方根概念理解
【典例1】（2023·浙江·七年级假期作业）下列各数中没有平方根的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据负数没有平方根，找出计算结果为负数即可．
【详解】解：A、 ，故有平方根，不合题意；
B、 ，故没有平方根，符合题意；
C、 ，故有平方根，不合题意；
D、 ，故有平方根，不合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2023春·七年级课时练习）下列说法中正确的有（ ）
①1的平方根是1；② 是1的平方根；③ 的平方根是 ；④一个数的平方根等于它的算术平方根，
这个数只能是0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据平方根、算术平方根的定义逐项判断即可．
【详解】解：1的平方根是 ，故①错误；
是1的平方根之一，故②正确；
，因此 的平方根是 ，故③错误；
一个数的平方根等于它的算术平方根，这个数只能是0．故④正确；
综上可知，正确的有②④，共2个，故选B．
【点睛】此题考查了算术平方根、平方根．解题的关键是掌握算术平方根和平方根的区别．
【变式2】（2023春·广西梧州·七年级统考期中）下列说法中，不正确的是（ ）
A． 没有平方根 B． 是2的平方根
C．2的平方根是 D． 是2的平方根
【答案】C
【分析】根据负数没有平方根，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数进行逐一判断即可．
【详解】解：A、 没有平方根，原说法正确，不符合题意；
B、 是2的平方根，原说法正确，不符合题意；
C、2的平方根是 ，原说法错误，符合题意；
D、 是2的平方根，原说法正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了平方根的定义，熟知定义是解题的关键．
题型03 求一个数的算术平方根、平方根
【典例1】（2023·江苏南京·统考二模）4的平方根是___________；4的算术平方根是______________．
【答案】 2
【分析】根据平方根、算术平方根的定义进行计算即可得到答案．
【详解】解：4的平方根是 ；4的算术平方根是2，
故答案为： ；2．
【点睛】本题主要考查平方根、算术平方根的定义，熟练掌握平方根、算术平方根的定义，是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2023·江苏·八年级假期作业）13的平方根是______；9的算术平方根是______．
【答案】 3
【分析】根据平方根和算术平方根的定义即可得．
【详解】解：13的平方根是 ，
9的算术平方根是3，
故答案为： ，3．
【点睛】本题考查了平方根和算术平方根，熟练掌握定义是解题关键．
【变式2】（2022秋·浙江绍兴·七年级校联考期中）81的算术平方根是________； 的平方根是________．
【答案】 9
【分析】根据求一个数的算术平方根及平方根的方法，即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴81的算术平方根是9；∵ ， ，
∴ 的平方根是 ，
故答案为：9， ．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根及平方根，熟练掌握和运用求一个数的算术平方根及平方根的
方法是解决本题的关键．
题型04 已知一个数的平方根，求这个数
【典例1】（2023·浙江·七年级假期作业）若 与 是同一个数的两个不同的平方根，则这个数是
_________．
【答案】4
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数得到 ，即可求出m的值，进而求出这个
数．
【详解】解：∵ 与 是同一个数的两个不同的平方根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴这个数为 ，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义．
【变式训练】
【变式1】（2023春·北京海淀·七年级校考期中）若一个正数 的平方根分别为 和 ，则 的值为
________.
【答案】
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数得出 并求解即可．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是 和 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查的是平方根的性质，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决此题的关键．
【变式2】（2023春·广东湛江·七年级校考期中）若一正数的两个平方根分别是 和 ，则这个正数
是___________．
【答案】25
【分析】根据正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解得到 的值，即可确定出这个
正数．
【详解】解：根据题意得： ，解得： ，
则这个正数为 ．
故答案为：25．
【点睛】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
题型05 利用算术平方根的非负性解题
【典例1】（2023·江苏·八年级假期作业）若 ，则 =__________．
【答案】
【分析】根据绝对值与算术平方根的非负性求得 的值，进而即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了绝对值与算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值与算术平方根的非负性是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2023·浙江·七年级假期作业）已知 ， 满足 ，则式子 的值是
______．
【答案】
【分析】根据平方和算术平方根的非负性求出x，y，代入求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，准确利用算术平方根和平方的非负性是解题的关键．
【变式2】（2023春·广东肇庆·七年级校考期中）已知 ，则 的算术平方根是 _____．
【答案】4
【分析】由非负数的性质得出a和b的值，代入再求算术平方根即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
则 ，∴ 的算术平方根是4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质和算术平方根，正确求出a和b的值是解答本题的关键．
题型06 求算术平方根的整数部分和小数部分
【典例1】（2023春·辽宁大连·七年级校考阶段练习）若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则
_________， _________．
【答案】
【分析】根据 首先确定 的值，则小数部分即可确定．
【详解】解： ，
，
则 ．
故答案是：3， ．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
【变式训练】
【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习） 的整数部分是______．小数部分是_______．
【答案】 3
【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分为3，
∴ 的小数部分为 ；
故答案为3， ．
【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键．
【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）已知a，b分别是 的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值
为______．
【答案】 ．
【分析】先求出 介于哪两个整数之间，即可求出它的整数部分，再用 减去它的整数部分求出它的
小数部分，再代入即可.
【详解】∵9＜13＜16，
∴3＜ ＜4，
∴a=3，b= ﹣3，∴2a﹣b=2×3﹣（ ﹣3）=6﹣ +3= ．
故答案为 ．
【点睛】此题考查的是带根号的实数的整数部分和小数部分的求法，利用平方找到它的取值范围是解决此
题的关键.
题型07 求代数式的平方根
【典例1】（2023秋·陕西咸阳·八年级统考期末）已知 的算术平方根是5， 的平方根是
是 的整数部分，求 的平方根．
【答案】
【分析】根据算术平方根及平方根确定 ， ，再由无理数的估算确定 ，将其代入代数式，然
后计算平方根即可．
【详解】解： 的算术平方根是5，
，
解得 ．
又 的平方根是 ，
，
解得 ．
是 的整数部分，而 ，
，
，
的平方根为 ．
【点睛】题目主要考查算术平方根及平方根，无理数的估算，求代数式的值，熟练掌握这些基本运算是解
题关键．
【变式训练】
【变式1】（2023春·广东潮州·七年级校考阶段练习）已知 的平方根是 ， 的算术平方根是
4．
(1)求a、b的值；
(2)求 的平方根．
【答案】(1)a＝5，b＝4；
(2) ．
【分析】（1）根据平方根，算术平方根的定义，求解即可；
（2）根据平方根定义，求解即可．【详解】（1）解：∵ 的平方根是 ， 的算术平方根是4．
∴ ， ，解得a＝5，b＝4．
（2）解：当a＝5，b＝4时，ab+5＝25 ，而25的平方根为 ，
即ab+5的平方根是 ．
【点睛】此题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是熟知平方根，算术平方根的定义．
【变式2】（2023·全国·八年级假期作业）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，
点A表示 ，设点B所表示的数为m．
(1)求 的值；
(2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c＋6|与 互为相反数，求2c+3d 的平方跟．
【答案】(1)2
(2) 和
【分析】（1）利用两点间的距离公式计算即可；（2）利用非负数的性质，得到c，d的值，代入求值即可．
【详解】（1）解：∵AB＝2，
∴ ，
∴ ，
∴
；
（2）∵|2c＋6|与 互为相反数，
∴ ，
∵ ， ，
∴2c＋6＝0，d−4＝0，
∴c＝−3，d＝4，
∴ ，
∴ 的平方根是 ．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离公式、平方根、非负数的性质及绝对值的计算，解题的关键是求
得m的值及非负数性质的应用，注意平方根有两个．一、选择题
1．（2023春·上海奉贤·七年级校考期中）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平方根的性质化简即可．
【详解】解：A. ，故本选项符合题意；
B. ，故本选项不符合题意；
C. ，故本选项不符合题意；
D. ，故本选项不符合题意；
故选： ．
【点睛】本题考查了平方根化简计算，正确掌握平方根的性质是解题关键．
2．（2023春·安徽马鞍山·七年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．2是4的平方根 B． 的平方根是
C．4的平方根是2 D． 的算术平方根是
【答案】A
【分析】根据算术平方根及平方根的定义逐项判断即可．
【详解】A．因为 ，所以2是4的平方根，故选项A符合题意；
B．负数没有平方根，故选项B不符合题意；
C．4的平方根是 ，故选项C不符合题意；
D．算术平方根是正数，故选项D不符合题意．
【点睛】本题考查了平方根及算术平方根的定义，如果一个正数 的平方等于 ,即 ，那么这个正数
是 的算术平方根；如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根，理解算术平方根及平方根定
义是解题关键．
3．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）下列选项中，化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先算平方，再进行化简即可得．
【详解】解：A、 ，选项说法错误，不符合题意；B、 ，选项说法错误，不符合题意；
C、 ，选项说法正确，符合题意；
D、 ，选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的化简，正确计算．
4．（2023春·湖南长沙·七年级长沙市南雅中学校联考阶段练习）在0、 、 、 、 、 、
（它的位数无限且相邻两个“1”之间“0”的个数依次加1个）这七个数中，无理数的个数
是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据无理数的意义，即可解答．
【详解】解：在 、 、 、 、 、 、 它的位数无限且相邻两个“1”之间“0”
的个数依次加1个 这七个数中，
，
无理数有： 、 、 它的位数无限且相邻两个“1”之间“0”的个数依次加1个 ，
所以，无理数共有 个，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数，算术平方根，立方根，熟练掌握无理数的意义是解题的关键．
5．（2023春·安徽合肥·七年级合肥八一学校校考阶段练习）若 ， 为实数，且满足 ，
则 的算术平方根为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据偶次方和绝对值的非负性得出方程，求出方程的解，再代入求出算术平方根即可．
【详解】解： ，
， ，
， ，
，
∴ ，
的算术平方根为2，
故选C．【点睛】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，方程的思想，算术平方根的应用，关键是求出 、
的值．
二、填空题
6．（2023春·山东德州·七年级校考阶段练习） 的平方根___ ， 9的算术平方根是___ ．
【答案】 3
【分析】根据平方根的定义、算术平方根的定义，进行计算即可得到答案．
【详解】解： ，
，
的平方根为 ，
，
9的算术平方根是3，
故答案为： ；3．
【点睛】本题主要考查了平方根的定义、算术平方根的定义，熟练掌握平方根的定义、算术平方根的定义，
是解题的关键．
7．（2023春·北京西城·八年级期末）若 ，则 ______， ______．
【答案】 1
【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为：1， ．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
8．（2023春·湖北孝感·七年级统考期末）某正数的两个平方根分别是 、 ，则这个正数为
________．
【答案】
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，可求出 的值，再根据平方根即可求出这个正数．
【详解】解： 正数的两个平方根分别是 、 ，正数的两个平方根互为相反数，
，
解得： ，
，
则这个正数为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握一个正数有两个平方根，两个平方根互为相反数，是解答本题的关
键．9．（2023春·河北沧州·七年级校考阶段练习）在实数 ， ， ， ， ， ，
， 中，无理数有_______个．
【答案】
【分析】根据无理数的定义：无限不循环的小数，即可．
【详解】∵无限不循环的小数叫无理数，
∴无理数为： ， ， ， ，
∴无理数有 个．
故答案为： ．
【点睛】本题考查无理数的定义，解题的关键是理解无理数的定义：无限不循环的小数．
10．（2023春·广东广州·八年级广州大学附属中学校考期中）若 的两边长 ， 满足
，则第三边的长是__________．
【答案】5或 / 或5
【分析】先根据非负数的性质求出 ，再分当边长为a的边是直角边时，当边长为a的边是斜边
时，两种情况利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当边长为a的边是直角边时，则由勾股定理得第三边的长是 ，
当边长为a的边是斜边时，则由勾股定理得第三边的长是 ，
综上所述，第三边的长是5或 ，
故答案为：5或 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，非负数的性质，正确求出 并利用分类讨论的思想求解是解
题的关键．
三、解答题
11．（2023春·江西南昌·七年级校考期末）已知a、b、c为 的三边长，且b、c满足
，a为方程 的解，求 的周长，并判断 的形状．
【答案】 的周长为17， 是等腰三角形．
【分析】依据非负数的性质，即可得到b和c的值，再根据a为方程 的解，即可得到 或1，
依据三角形三边关系，即可得到 ，进而得出 的周长，以及 的形状．【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得 ，
∵a为方程 的解，
∴ 或1，
当 时， ，
不能组成三角形，故 不合题意；
∴ ，
∴ 的周长 ，
∵ ，
∴ 是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，等腰三角形的定义，掌握非负数的性质是
解题的关键．
12．（2023春·广东湛江·七年级校考期中）利用平方根求下列x的值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）方程直接开平方即可求出解；
（2）方程变形后，把 看作一个整体，利用平方根定义开方即可求出解．
【详解】（1）解： ，
∴ ；
（2） ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 ．
【点睛】此题考查了立方根，平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
13．（2023春·广东云浮·七年级校考期中）已知一个正数的两个平方根分别为 和 ．
(1)这个正数是多少？
(2) 的算术平方根是多少？【答案】(1)这个正数是49
(2) 的算术平方根是5
【分析】（1）根据“一个正数的两个平方根互为相反数”可得 ，即可求解；
（2）由（1）可求 ，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得： ，
所以这个正数是 ．
（2）解：由（1）得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的算术平方根是 ．
【点睛】本题考查了平方根的性质，算术平方根的求法，理解平方根的性质和算术平方根的求法是解题的
关键．
14．（2023春·陕西宝鸡·七年级统考期中）把下列各数写入相应的集合中：- ， ，0.1， ， ，
，0，0.1212212221．．． （相邻两个1之间2的个数逐次加1）
（1）正数集合{ }；
（2）有理数集合{ }；
（3）无理数集合{ }．
【答案】（1）0.1、 、 、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）；（2） 、
0.1、 、 、0 ；（3） 、 、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）．
【分析】根据实数的分类标准进行填写即可．
【详解】解：（1）正数集合{0.1、 、 、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加
1）}；
（2）有理数集合{ - 、 0.1、 、 、0 }；
（3）无理数集合{ 、 、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1） }．
【点睛】本题主要考查了实数的分类，掌握有理数和无理数的概念是解答本题的关键．
15．（2023春·北京海淀·七年级北理工附中校考期中）已知：实数a，b满足 ．(1)可得 ___________， ___________；
(2)若一个正实数m的两个平方根分别是 和 ，求x和m的值．
【答案】(1) ，3
(2) ，
【分析】（1）非负数之和等于0时，各项都等于0，得到 ， ，即可求出a、b的值；
（2）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，即可求出x的值，由平方根的定义即可求出m
的值．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
故答案为： ，3．
（2）由题意可得： ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∵
∴ ．
【点睛】本题考查非负数的性质：算术平方根、绝对值，平方根，关键是掌握平方根的性质，非负数的性
质．
