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第 2 章第 01 讲 认识无理数、平方根
1.能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解.
2.理解数的算术平方根和平方根的概念，以及开平方的概念，会用根号表示一个数的平方根.
3.掌握平方根的性质，并能应用平方根的性质解决问题.
知识点01 认识无理数
无理数的定义：无限不循环小数。有限小数和无限循环小数都称为有理数.
无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
知识点02 算术平方根的概念及性质
1.算术平方根的定义：如果一个正数 的平方等于 ，即 ,那么这个正数x叫做 的算术平方根
（规定0的算术平方根还是0）； 的算术平方根记作 ，读作“ 的算术平方根”， 叫做被开方
数.
知识点03 平方根的概念与性质
1.平方根的定义：如果 ，那么 叫做 的平方根.求一个数 的平方根的运算，叫做开平方.平方
与开平方互为逆运算. ( ≥0)的平方根的符号表达为 ，其中 是 的算术平方根.2.平方根和算术平方根的区别与联系
区别：（1）定义不同；（2）结果不同： 和
联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为
0．
3.平方根的性质
题型01 认识无理数
【典例1】（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）在实数： ， ，4，π，中，无理
数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练】
【变式1】（2023春·湖北十堰·七年级校考阶段练习）在实数 ，0， ， ， ， ，
中，无理数的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式2】（2023春·上海黄浦·七年级统考期末）在 ， ， ， ， 中，有理数个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型02 平方根概念理解
【典例1】（2023·浙江·七年级假期作业）下列各数中没有平方根的数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
【变式1】（2023春·七年级课时练习）下列说法中正确的有（ ）
①1的平方根是1；② 是1的平方根；③ 的平方根是 ；④一个数的平方根等于它的算术平方根，
这个数只能是0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（2023春·广西梧州·七年级统考期中）下列说法中，不正确的是（ ）
A． 没有平方根 B． 是2的平方根C．2的平方根是 D． 是2的平方根
题型03 求一个数的算术平方根、平方根
【典例1】（2023·江苏南京·统考二模）4的平方根是___________；4的算术平方根是______________．
【变式训练】
【变式1】（2023·江苏·八年级假期作业）13的平方根是______；9的算术平方根是______．
【变式2】（2022秋·浙江绍兴·七年级校联考期中）81的算术平方根是________； 的平方根是________．
题型04 已知一个数的平方根，求这个数
【典例1】（2023·浙江·七年级假期作业）若 与 是同一个数的两个不同的平方根，则这个数是
_________．
【变式训练】
【变式1】（2023春·北京海淀·七年级校考期中）若一个正数 的平方根分别为 和 ，则 的值为
________.
【变式2】（2023春·广东湛江·七年级校考期中）若一正数的两个平方根分别是 和 ，则这个正数
是___________．
题型05 利用算术平方根的非负性解题
【典例1】（2023·江苏·八年级假期作业）若 ，则 =__________．
【变式训练】
【变式1】（2023·浙江·七年级假期作业）已知 ， 满足 ，则式子 的值是
______．
【变式2】（2023春·广东肇庆·七年级校考期中）已知 ，则 的算术平方根是 _____．
题型06 求算术平方根的整数部分和小数部分
【典例1】（2023春·辽宁大连·七年级校考阶段练习）若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则
_________， _________．
【变式训练】
【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习） 的整数部分是______．小数部分是_______．
【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）已知a，b分别是 的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值
为______．
题型07 求代数式的平方根
【典例1】（2023秋·陕西咸阳·八年级统考期末）已知 的算术平方根是5， 的平方根是是 的整数部分，求 的平方根．
【变式训练】
【变式1】（2023春·广东潮州·七年级校考阶段练习）已知 的平方根是 ， 的算术平方根是
4．
(1)求a、b的值；
(2)求 的平方根．
【变式2】（2023·全国·八年级假期作业）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，
点A表示 ，设点B所表示的数为m．
(1)求 的值；
(2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c＋6|与 互为相反数，求2c+3d 的平方跟．
一、选择题
1．（2023春·上海奉贤·七年级校考期中）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·安徽马鞍山·七年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．2是4的平方根 B． 的平方根是
C．4的平方根是2 D． 的算术平方根是
3．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）下列选项中，化简正确的是（ ）
A． B． C． D．4．（2023春·湖南长沙·七年级长沙市南雅中学校联考阶段练习）在0、 、 、 、 、 、
（它的位数无限且相邻两个“1”之间“0”的个数依次加1个）这七个数中，无理数的个数
是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2023春·安徽合肥·七年级合肥八一学校校考阶段练习）若 ， 为实数，且满足 ，
则 的算术平方根为（ ）
A．4 B． C．2 D．
二、填空题
6．（2023春·山东德州·七年级校考阶段练习） 的平方根___ ， 9的算术平方根是___ ．
7．（2023春·北京西城·八年级期末）若 ，则 ______， ______．
8．（2023春·湖北孝感·七年级统考期末）某正数的两个平方根分别是 、 ，则这个正数为
________．
9．（2023春·河北沧州·七年级校考阶段练习）在实数 ， ， ， ， ， ，
， 中，无理数有_______个．
10．（2023春·广东广州·八年级广州大学附属中学校考期中）若 的两边长 ， 满足
，则第三边的长是__________．
三、解答题
11．（2023春·江西南昌·七年级校考期末）已知a、b、c为 的三边长，且b、c满足
，a为方程 的解，求 的周长，并判断 的形状．
12．（2023春·广东湛江·七年级校考期中）利用平方根求下列x的值：
(1)
(2)
13．（2023春·广东云浮·七年级校考期中）已知一个正数的两个平方根分别为 和 ．
(1)这个正数是多少？
(2) 的算术平方根是多少？14．（2023春·陕西宝鸡·七年级统考期中）把下列各数写入相应的集合中：- ， ，0.1， ， ，
，0，0.1212212221．．． （相邻两个1之间2的个数逐次加1）
（1）正数集合{ }；
（2）有理数集合{ }；
（3）无理数集合{ }．
15．（2023春·北京海淀·七年级北理工附中校考期中）已知：实数a，b满足 ．
(1)可得 ___________， ___________；
(2)若一个正实数m的两个平方根分别是 和 ，求x和m的值．
