文档内容
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
一、教学目标
【知识与技能】
1.会用描点法画二次函数y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念；
2.掌握二次函数y=ax2的性质，能确定二次函数y=ax2的表达式.
【过程与方法】
通过画出简单的二次函数探索出二次函数y=ax2的性质及图象特征.
【情感态度与价值观】
使学生经历探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归
纳的良好思维习惯.
二、课型
新授课
三、课时
1课时
四、教学重难点
【教学重点】1.二次函数y=ax2的图象的画法及性质；
2.能确定二次函数y=ax2的解析式.
【教学难点】
1.用描点法画二次函数y=ax2的图象，探索其性质；
2.能依据二次函数y=ax2的有关性质解决问题.
五、课前准备
课件、三角尺、铅笔等.
六、教学过程
（一）导入新课
1.你们喜欢打篮球吗？（出示课件2）
2.你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点
时的高度？
学生自主思考.
（二）探索新知
探究一：二次函数y=ax2的图象的画法
出示课件4：画出二次函数y=x2的图象.
学生分组画y=x2的图象，教师巡视，对于不正确的给予指导.⑴列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … …
⑵描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）（出示课件5）
⑶连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2的图象．
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：（出示课件6）
教师归纳：二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫
做抛物线.这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点.出示课件7：画出二次函数y=-x2的图象.
学生分组画y=-x2的图象，教师巡视，对于不正确的给予指导.
⑴列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … …
⑵描点：
⑶连线：
探究二：二次函数y=ax2的图象性质
出示课件8：教师问：根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数
y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.学生交流后，师生共同总结如下：
1.y＝x2的图象是一条抛物线;
2.图象开口向上;
3.图象关于y轴对称;
4.顶点（ 0 ，0 ）;
5.图象有最低点．
出示课件9：教师问：说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交
流.学生交流后，师生共同总结如下：
1.y＝-x2的图象是一条抛物线;
2.图象开口向下;
3.图象关于y轴对称;
4.顶点（0，0）;
5.图象有最高点．
教师归纳：（出示课件10）二次函数y=ax2的图象性质：
1.顶点都在原点（0,0）;
2.图像关于y轴对称;
3.当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．
师生共同探究：观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什
么？（出示课件11）教师强调：二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对
称.
探究三：二次函数y=ax2的性质
出示课件12：观察图形，y随x的变化如何变化？
教师归纳：（出示课件13）对于抛物线y=ax2（a＞0），
当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
师生共同探究：观察图形，y随x的变化如何变化？（出示课件14）教师归纳：（出示课件15）对于抛物线 y =ax2（a＜0）
当x＞0时，y随x取值的增大而减小；
当x<0时，y随x取值的增大而增大.
出示课件16：在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．
将全班同学进行适当分组，分别完成两个图象的画图，并结合图象给予恰
当的描述.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图：
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···出示课件17：师生共同探究：二次函数 的图象开
口大小与a的大小有什么关系？
教师归纳：当a>0时，a越大，开口越小.
出示课件18：在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．
将全班同学进行适当分组，分别完成两个图象的画图，并结合图象给予恰
当的描述.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图：
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
··· ···x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
出示课件19：师生共同探究：二次函数 的图
象开口大小与a的大小有什么关系？
教师归纳：当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.
对于抛物线y=ax2，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
师生共同完善认知：（出示课件20）出示课件21：填一填：
（1）函数y=4x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ;
（2）函数y=－3x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ，顶点
是抛物线的最 点;
⑶函数y= x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ，顶点是抛
物线的最 点;
⑷函数y=－0.2x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 .
学生独立思考后，口答如下：
⑴向上；y轴；(0,0)
⑵向下；y轴；(0,0)；高
⑶向上；y轴；(0,0)；低⑷向下；y轴；(0,0)
出示课件22：例 已知y=(m+1)xm2+m是二次函数,且其图象开口向上,求m
的值和函数解析式.
学生自主思考后，师生共同解答如下：
解: 依题意有:
解②,得m =－2,m =1.
1 2
由①,得m>－1.
因此m=1.
此时,二次函数为y=2x2.
出示课件23：已知 是二次函数，且当x＞0时，y随x增大
而增大，则k= .
学生独立思考后，自主解答如下：
是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.
解：
又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0. 因此，
，解得k=2.探究四：二次函数y =ax2的实际应用
出示课件24：师生共同认知：二次函数y=ax2是刻画客观世界许多现象的
一种重要模型.
出示课件25：例 已知正方形的周长为Ccm，面积为Scm2，
（1）求S与C之间的二次函数关系式；
（2）画出它的图象；
（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；
（4）根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2.
学生独立思考后，师生共同解答.（出示课件26）
解：（1）∵正方形的周长为Ccm，
∴正方形的边长为 cm，
∴S与C之间的关系式为S= ；
（2）作图如图：（3）当S=1cm2时，C2=16，即C=4cm；
（4）若S≥4cm2，即 ≥4，解得C≥8，或c≤-8(舍去），因此C ≥ 8cm.
出示课件27：已知二次函数y＝2x2.
(1)若点(－2，y )与(3，y )在此二次函数的图象上，则y _____y ；(填“>”
1 2 1 2
“＝”或“<”)；
(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x
轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的
面积之和．
学生独立思考后，自主解答：（出示课件28）
(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C，
∴当x＝2时，y＝2×22＝8.∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，
∴OA＝OB,
∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，
∴S ＝2×8＝16.
阴影部分面积之和
教师总结如下：（出示课件29）
二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在
二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中
(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面
积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．
（三）课堂练习（出示课件30-34）
1.已知抛物线y=ax2(a＞0)过点A（-2，y ）,B（1，y ）两点，则下列关系式
1 2
一定正确的是（ ）
A.y ＞0＞y B.y ＞0＞y
1 2 2 1
C.y ＞y ＞0 D.y ＞y ＞0
1 2 2 1
2.函数y=2x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧，y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .3.函数y=-3x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧，y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
4.如图，观察函数y=（k-1）x2的图象,则k的取值范围是 .
5.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
开口方向 对称轴 顶点坐标
y 3x2
y 3x2
1
y x2
3
1
y x2
36.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．
7.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B
两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
参考答案：
1.C
2.向上；y轴；(0,0)；减小；增大
3.向下；y轴；(0,0)；增大；减小
4.k>1
5.
开口方向 对称轴 顶点坐标
y 3x2 向上 y轴 （0,0）
y 3x2 向下 y轴 （0,0）
1 向上 y轴 （0,0）
y x2
3
1 向下 y轴 （0,0）
y x2
3
6.解：在二次函数y=x2中，a=1＞0
因此当x=0时，y有最小值.∵当x≥m时，y最小值=0，
∴m≤0．
7.解：由题意得
解得
因此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.两交点与原点所围成的
三角形面积S ＝S ＋S .在△BOC中，OC边上的高就是B点的横坐标值
△ABO △ACO △BOC
的绝对值1；在△ACO中，OC边上的高就是A点的横坐标值的绝对值4.
因此S ＝S ＋S ＝ ×4×1+ ×4×4＝10.
△ABO △ACO △BOC
（四）课堂小结
1.画二次函数y=ax2的图象时，有哪些地方是你需关注的？
2.你是如何理解并熟记抛物线y=ax2的性质的？
3.本节课你还存在哪些疑问？.
（五）课前预习
预习下节课（22.1.3第1课时）的相关内容.
七、课后作业1.教材41页习题22.1第3,4题
2.配套练习册内容
八、板书设计：
九、教学反思：
本课时的设计比较注重让学生动手操作，让学生通过画二次函数的图象初
步掌握其性质，画图的过程中需注意引导学生与其他函数的图象与性质进行对
比.本课的目的是要让学生通过动手操作，经历探索归纳的思维过程，逐步获得
图象传达的信息，熟悉图象语言，进而形成函数思想.
