21.2降次---解一元二次方程（第五课时）_人教版数学九年级上册_版本一_人教版数学九年级上册（RJ）--5同步练习_人教版数学九年级上册（RJ）--5同步练习

22．2 降次---解一元二次方程（第五课时） 22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 ◆随堂检测 1、已知一元二次方程2x2 3x10的两根为x 、x ，则x  x ______． 1 2 1 2 2、关于x的一元二次方程x2 bxc0的两个实数根分别为1和2，则b______，c______． 3、一元二次方程x2 ax10的两实数根相等，则a的值为（ ） A．a0 B．a2或a2 C．a2 D．a2或a0 4、已知方程x2 3x10的两个根为x 、x ，求 (1x )(1x )的值. 1 2 1 2 ◆典例分析 已知关于x的一元二次方程x2 (2m1)xm2 0有两个实数根x 和x ． 1 2 （1）求实数m的取值范围； （2）当x2 x 2 0时，求m的值． 1 2 b c （提示：如果x 、x 是一元二次方程ax2 bxc0(a 0)的两根，那么有x x  ，x x  ） 1 2 1 2 a 1 2 a 分析:本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,特别是第（2）问中,所求m的值一定须 在一元二次方程有根的大前提下才有意义.这一点是同学们常常容易忽略出错的地方. 解:（1）∵一元二次方程 有两个实数根, x2 (2m1)xm2 0 1 ∴△＝(2m1)2 41m2 4m10,∴m . 4 （2）当x2 x 2 0时，即(x x )(x x )0,∴x x 0或x x 0. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 当x x 0时，依据一元二次方程根与系数的关系可得x x (2m1), 1 2 1 2 1 ∴(2m1)0,∴m . 2 1 又∵由（1）一元二次方程 x2 (2m1)xm2 0有两个实数根时m的取值范围是m ,∴ 4 1 m 不成立,故m无解； 2当 时， ,方程有两个相等的实数根, x x 0 x  x 1 2 1 2 1 ∴△＝(2m1)2 41m2 4m10,∴m . 4 1 综上所述,当x2 x 2 0时，m . 1 2 4 ◆课下作业 ●拓展提高 1、关于x的方程x2  pxq 0的两根同为负数，则（ ） A． p>0且q>0 B． p>0且q<0 C． p<0且q>0 D． p<0且q<0 2、若关于x的一元二次方程x2 kx4k2 30的两个实数根分别是x 1 ,x 2 ,且满足x 1 x 2 x 1 x 2 .则k的值 为（ ） 3 3 A、－1或 B、－1 C、 D、不存在 4 4 (注意:k的值不仅须满足x 1 x 2 x 1 x 2 ,更须在一元二次方程有根的大前提下才有意义,即k的值必须使得 △0才可以.) x x 3、已知x 、x 是方程x2 6x30的两实数根，求 2  1 的值. 1 2 x x 1 2 4、已知关于x的方程x2 3xm0的一个根是另一个根的2倍，求m的值. 5、已知x ，x 是关于x的方程(x2)(xm)(p2)(pm)的两个实数根． 1 2 （1）求x ，x 的值； 1 2 （2）若x ，x 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？ 1 2 并求出其最大值． ●体验中考 1、（2009年，河北）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 的两个根，则这个 2x2 8x70 直角三角形的斜边长是（ ） A． B．3 C．6 D．9 3 (提示：如果直接解方程2x2 8x70，可以得到直角三角形的两条直角边的长，再运用勾股定理求出直 角三角形的斜边长.但由于方程的两根是无理数，计算十分麻烦.因此应充分利用一元二次方程根与系数的关系进行简便求解.) b a 2、（2008年，黄石）已知a,b是关于x的一元二次方程x2 nx10的两个实数根,则式子  的值是（ a b ） A． B． C． D． n2 2 n2 2 n2 2 n2 2 参考答案： ◆随堂检测 3 3 1、 . 依据一元二次方程根与系数的关系可得x x  . 2 1 2 2 x x b 1 2 2、－3,2 依据一元二次方程根与系数的关系可得 ， x x c  1 2 ∴b(12)3,c122. 3、B. △＝(a)2 411a2 40，∴a2或a2，故选B. x x 3 1 2 4、解：由一元二次方程根与系数的关系可得： ， x x 1  1 2 ∴(1x )(1x )1(x x )x x 1311. 1 2 1 2 1 2 ◆课下作业 ●拓展提高 x x p 1、A. 由一元二次方程根与系数的关系可得： 1 2 ，当方程x2  pxq 0的两根x ,x 同为 x x q 1 2  1 2 x x 0 负数时， 1 2 ，∴ p>0且q>0，故选A. x x 0  1 2 x x k 1 2 2、C. 由一元二次方程根与系数的关系可得： ， x x 4k2 3  1 23 ∵x 1 x 2 x 1 x 2 ，∴k 4k2 3，解得k 1 1，k 2  4 . 当k 1时,△＝k2 41(4k2 3)15k2 1215(1)2 1230, 此时方程无实数根, 1 故k 1不合题意,舍去. 1 3 3 3 当k  时,△＝k2 41(4k2 3)15k2 1215( )2 120,故k  符合题意.综上所 2 4 4 2 4 3 述,k  .故选C. 2 4 x x 6 1 2 3、解：由一元二次方程根与系数的关系可得： ， x x 3  1 2 x x x2 x 2 (x x )2 2x x (6)2 23 ∴ 2  1  1 2  1 2 1 2  10. x x x x x x 3 1 2 1 2 1 2 4、解：设方程x2 3xm0的两根为x 、x ，且不妨设x 2x . 1 2 1 2 x x 3 1 2 则由一元二次方程根与系数的关系可得： ， x x m  1 2 3x 3 代入x 2x ,得 2 ,∴x 1,m2. 1 2 2x 2 m 2  2 5、解：（1）原方程变为：x2 (m2)x2m p2 (m2)p2m ∴x2  p2 (m2)x(m2)p 0， ∴(x p)(x p)(m2)(x p)0， 即(x p)(x pm2)0， ∴x  p，x m2 p． 1 2 1 1 1 1 （2）∵直角三角形的面积为 x x  p(m2 p)= p2  (m2)p 2 1 2 2 2 2 1 m2 (m2)2 = [p2 (m2)p( )2 ( )] 2 2 4 1 m2 (m2)2 = (p )2  ， 2 2 8 m2 (m2)2 ∴当 p  且m＞－2时，以x，x为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为 或 1 2 2 81 p2． 2 ●体验中考 x x 4  1 2 1、B. 设x 和x 是方程2x2 8x70的两个根，由一元二次方程根与系数的关系可得： 7 1 2 x x    1 2 2 7 ∴x2 x 2 (x x )2 2x x 42 2 9，∴这个直角三角形的斜边长是3，故选B. 1 2 1 2 1 2 2 abn 2、D 由一元二次方程根与系数的关系可得： ， ab1 b a a2 b2 (ab)2 2ab (ab)2 (n)2 ∴     2 2n2 2.故选D. a b ab ab ab 1