文档内容
专题 21.2 配方法
1. 掌握直接开方法解一元二次方程，并能够根据直接开方法解一元二次方程的式子特
点进行相应的求值。
教学目标
2. 掌握配方法解一元二次方程，能熟练对方程进行配方变形及进行求值，也能熟练的
对配方法进行其他实际应用。
1. 重点
（1）直接开方法解一元二次方程的方法掌握及其式子特点的理解；
（2）配方法解一元二次方程的方法掌握及其配方法的一些应用；
教学重难点
2. 难点
（1）利用配方法求二次三项式的最值；
（2）利用配方法比较式子的大小关系。知识点01 直接开方法解一元二次方程
x2 =p
1. 直接开方法求 的一元二次方程：
由平方根的定义可知：
p＞0 x2 =p
① 时，一元二次方程 有 个 的实数根，分别是 或 。他
们互为 。
p=0 x2 =p
②当 时，一元二次方程 有 个 的实数根，即 。
p＜0 x2 =p
③当 时，一元二次方程 实数根。
(ax+b) 2 =p
2. 直接开方法解 的一元二次方程：
同样由平方根的定义可知：
p＞0 (ax+b) 2 =p
①当 时，一元二次方程 有 个 的实数根。方程开方降次得到一元一
次方程
ax+b=√p
或
ax+b=−√p
。所以它的两个实数根分别是 或 。
p=0 (ax+b) 2 =p
②当 时，一元二次方程 有 个 的实数根。方程开方降次得到一元
一次方程
ax+b=0
，所以一元二次方程的两个实数根为 。
p＜0
ax+b=√p
时，一元二次方程 实数根。
③当
【即学即练1】
1．解方程：
（1）25x2﹣49＝0； （2）2（x+1）2﹣49＝1．
【即学即练2】
2．如果关于x的方程（x﹣a）2＝b有解，则b的取值范围是 ．
【即学即练3】
3．若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（ ）
A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0
知识点02 配方法解一元二次方程1. 配方法的定义：
2
(x+b) =p
将一元二次方程化成 的形式在利用直接开方法解一元二次方程的方法。
2. 配方法解一元二次方程的具体步骤：
①将方程化成 。
②将 系数化为 。方程的左右两边同时除以 或乘以二次项系
数的 。且将 移到等号的右边。
③方程的左右两边同时加上 。
④把方程的左边写成 ，右边是一个常数。
⑤根据直接开方法解方程。
3. 配方法求二次三项式的最值：
2
（1）利用配方法将二次三项式化成
a(x+b) +k
的形式判断二次三项式的最值为
k
。若
a＞0
，则
k
为二次三项式的 ；若
a＜0
，则
k
为二次三项式的 。
（2）具体步骤：
①提公因式：即提 。
②配方：在一次项后面加上 ，为了式子的值不发生变化，再减去 。
③将式子写成 的形式。注意拿到括号外的常数项一定要先乘以a再拿出来。
【即学即练1】
4．一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（ ）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝3
【即学即练2】
5．已知一元二次方程x2﹣4x+m＝0可配成（x﹣n）2＝1，则m+n的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【即学即练3】
6．用配方法解下列方程：
（1）x2+4x﹣3＝0； （2）x2+3x﹣2＝0；
2 1
（3）x2- x+ =0； （4）x2+2❑√2x﹣4＝0．
3 18
【即学即练4】
7．将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（ ）A．﹣30 B．﹣20 C．﹣5 D．0
【即学即练5】
2 7
8．已知M= a﹣1，N＝a2- a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（ ）
9 9
A．M＜N B．M＝N C．M＞N D．不能确定
题型01 用直接开方法解方程
【典例1】一元二次方程x2﹣16＝0的根为（ ）
A．x ＝x ＝2 B．x ＝x ＝4
1 2 1 2
C．x ＝2，x ＝﹣2 D．x ＝4，x ＝﹣4
1 2 1 2
【变式1】方程（x+1）2＝4的解是（ ）
A．x ＝﹣3，x ＝3 B．x ＝﹣3，x ＝1
1 2 1 2
C．x ＝﹣1，x ＝1 D．x ＝1，x ＝3
1 2 1 2
【变式2】解方程：4（x﹣3）2﹣25＝0．
【变式3】解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0（开平方法）．
题型02 利用直接开方法的特点求值
【典例1】若方程（x﹣4）2＝a有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．a＜0
【变式1】若方程（x+2）2＝m﹣1有解，则m的取值范围是 ．
b
【变式2】若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则 = ．
a【变式3】已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m为常数，a≠0）的解是x ＝2，x ＝﹣1，那么方
1 2
程a（x+m+2）2+b＝0的解为（ ）
A．x ＝2，x ＝﹣3 B．x ＝4，x ＝12
1 2 1 2
C．x ＝0，x ＝﹣1 D．x ＝0，x ＝﹣3
1 2 1 2
题型03 一元二次方程的配方变形
【典例1】用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，下列配方法正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝6 B．（x+2）2＝6 C．（x﹣2）2＝2 D．（x+2）2＝2
【变式1】将一元二次方程x2+6x﹣2＝0配方后可化为（ ）
A．（x+3）2＝11 B．（x﹣3）2＝11 C．（x+3）2＝2 D．（x﹣3）2＝2
【变式2】用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣2）2＝7 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+4）2＝19 D．（x﹣4）2＝13
题型04 根据一元二次方程的配方变形求字母
【典例1】将一元二次方程2x2﹣12x﹣1＝0配方成（x+a）2＝b的形式，则a，b的值为（ ）
A．a＝3，b＝10 B．a＝﹣3，b＝10
19 19
C．a=3，b= D．a=-3，b=
2 2
【变式1】将方程x2﹣4x+2＝0化成（x﹣2）2＝a的形式，则a的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．0 D．4
【变式2】关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣m＝0可通过配方法转化为（x﹣n）2＝6的形式，则m的值为（
）
A．﹣9 B．9 C．﹣3 D．3
【变式3】用配方法解一元二次方程x2+2x﹣2024＝0，将它转化为（x﹣m）2＝n的形式，则mn的值为（
）
1
A．2025 B． C．1 D．﹣1
2025
题型05 利用配方法解一元二次方程
【典例1】用配方法解下列方程：
（1）x2+2x﹣3＝0 （2）x2﹣2x﹣8＝0
（3）x2﹣8x+7＝0 （4）6x2﹣x﹣12＝0．【变式1】用配方法下列解方程：
（1）x2+6x+8＝0； （2） x2＝6x+16；
（3）2x2+3＝7x； （4）（2x﹣1）（x+3）＝4．
题型06 利用配方法求二次三项式的最值
2
利用配方法将二次三项式化成
a(x+b) +k
的形式判断二次三项式的最值为
k
。若
a＞0
，则
k
为二次三
项式的最小值；若
a＜0
，则
k
为二次三项式的最大值。
【典例1】将x2+6x+4进行配方变形后，可得该多项式的最小值为 ．
【变式1】在实数范围内，代数式a2﹣4a+7的值不可能为（ ）
A．6 B．3.6 C．3 D．2.8
【变式2】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．
例：已知x可取任何实数，试求二次三项式2x2﹣12x+14的值的范围．
解：2x2﹣12x+14＝2（x2﹣6x）+14＝2（x2﹣6x+32﹣32）+14
＝2[（x﹣3）2﹣9]+14＝2（x﹣3）2﹣18+14＝2（x﹣3）2﹣4．
∵无论x取何实数，总有（x﹣3）2≥0，∴2（x﹣3）2﹣4≥﹣4．
即无论x取何实数，2x2﹣12x+14的值总是不小于﹣4的实数．
问题：已知x可取任何实数，则二次三项式﹣3x2+12x﹣11的最值情况是（ ）
A．有最大值﹣1 B．有最小值﹣1
C．有最大值1 D．有最小值1
【变式3】已知x＝4a2+4ab+14，y＝b2﹣6b﹣12a，则x+y的最小值是（ ）
A．14 B．5 C．9 D．不存在题型07 利用作差法及配方法比较式子的大小关系
对需要比较的两个式子进行作差，在利用配方法对作差得到的式子进行配方，最后与 0进行大小关系的比
较。若差的结果大于0，则被减数大，若差等于0，则被减数等于减数，若差小于0，则被减数小。
【典例1】设M＝4a2﹣4a+3，N＝3a2﹣1，其中a为实数，则M与N的大小关系是（ ）
A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＝N
【变式1】若A＝x2+4xy+y2﹣4，B＝4x+4xy﹣6y﹣25，则A、B的大小关系为（ ）
A．A＞B B．A＜B C．A＝B D．无法确定
【变式2】有两个多项式：A＝2a2﹣4a+1，B＝2（a2﹣2a）﹣2，当a取任意有理数时，请比较A与B的大
小（ ）
A．A＜B B．A＝B
C．A＞B D．以上结果均有可能
【变式3】若M＝2x2+x，N＝x2﹣3x﹣2，则M与N的大小关系为（ ）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定
1．已知甲方程式为（x﹣4）2＝9，乙方程式为（x+9）2＝﹣4．关于甲、乙两方程式的解的情形，下列叙
述何者正确？（ ）
A．甲有两个相异的解，乙无解B．甲有两个相异的解，乙有两个相异的解
C．甲有两个相同的解，乙无解
D．甲有两个相同的解，乙有两个相异的解
2．方程（x+1）2＝9的解为（ ）
A．x＝2，x＝﹣4 B．x＝﹣2，x＝4 C．x＝4，x＝2 D．x＝﹣2，x＝﹣4
3．利用配方法解一元二次方程 x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则 m、n的值分别为
（ ）
A．m＝9，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝0 D．m＝3，n＝2
4．用配方法解方程x2﹣4x＝2时，左右两边需同时加上的常数是（ ）
A．16 B．4 C．2 D．1
5．若m是方程x2+2x+1＝0的根，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
b
6．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m﹣1和2m+3，则 的值为（ ）
a
25 25
A．16 B． C．25 D． 或25
9 9
7．若关于x的一元二次方程ax2﹣b＝0有一根为2025，则关于x的一元二次方程ax2+6ax+9a＝b的其中一
个根必为（ ）
A．2022 B．2024 C．2025 D．2028
8．一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两根分别为﹣5，1，则方程a（2x+h﹣3）2+k＝0（a≠0）的两根分别
为（ ）
A．x ＝﹣6，x ＝﹣2 B．x ＝0，x ＝﹣1
1 2 1 2
C．x ＝﹣9，x ＝﹣1 D．x ＝﹣1，x ＝2
1 2 1 2
9．若代数式P＝2a2﹣2a+3，Q＝a2+1，则P和Q的大小关系是（ ）
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法确定
10．已知实数m，n满足m﹣n2＝2，则代数式m2+2n2+4m﹣3的最小值等于（ ）
A．9 B．6 C．﹣8 D．﹣16
11．关于x的一元二次方程mx2+mx＝3x+12中不含x的一次项，则此方程的解为 ．
12．若关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0可配成（x+p）2＝q，的形式，p+2q＝ ．
x
13．若x2﹣6xy+9y2＝0，则 = ．
y
14．实数a，b，c满足b+c﹣1＝0，a﹣bc﹣1＝0．
（1）当b＝2时，则a＝ ；
（2）实数a的取值范围是 ．
15．对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：
如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形A（边长为2和x）和长方形B，并拼成图2．由面积相等得：x（4﹣x）＝22﹣（2﹣x）2，所以，当x＝2时，长方形面积取得最大值为 4．据此可得，代数式
的最大值为 ．
16．解方程：
（1）2x2﹣18＝0； （2）（x﹣5）2+8＝0．
17．解方程：
（1）x2+2x+1＝4； （2）3x2﹣6x+1＝0．
18．已知a，b，c为△ABC的三条边．
（1）若a＝5，b＝6，△ABC的周长是小于17的奇数，求c的长．
（2）若△ABC为等腰三角形，且a，b满足a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0，求△ABC的周长．
19．下面是小华同学的数学小论文，请认真阅读，并完成下面的任务．
论文名称：平均数法解一元二次方程
在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程x（x+4）＝6．
解：原方程可变形，得[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6
（x+2）2﹣22＝6（根据1）
（x+2）2＝6+22
（x+2）2＝10
直接开平方并整理得x =-2+❑√10，x =-2-❑√10，我们称这种解法为平均数法．
1 2
经典练习：
下面是用平均数法解方程（x+2）（x+6）＝5时写的解题过程，
[（x+4）﹣@][（x+4）+@]＝5
（x+4）2﹣@2＝5
（x+4）2＝5+@2
直接开平方并整理，得…
任务：
（1）小论文中的根据1是 ．
（2）小明用平均数法解方程 （x+2）（x+6）＝5时，将方程写为[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5的形式，
请问式子中的a＝ ，b＝ ．
（3）请用平均数法解方程：（x﹣3）（x+1）＝5．
20．在北师大版七年级下册第一章中，我们知道形如x2±2xy+y2的代数式叫做完全平方式，其实我们也可以
将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做
配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最值，求 a2﹣
4a+3的最小值．
解：a2﹣4a+3＝a2﹣4a+22﹣22+3＝（a﹣2）2﹣1．
∵不论a取何值，（a﹣2）2总是非负数，即（a﹣2）2≥0，
∴（a﹣2）2﹣1≥﹣1，即当a＝2时，a2﹣4a+3有最小值﹣1．根据上述材料，解答下列问题：
（1）直接写出多项式x2﹣4x﹣3的最小值为 ；
（2）若M＝2a2+3a，N＝3a2+5，比较M、N的大小（写出比较过程）；
（3）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD．若AC+BD＝10，求四边形ABCD面积的最大值．
