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专题 21.2 配方法
1. 掌握直接开方法解一元二次方程，并能够根据直接开方法解一元二次方程的式子特
点进行相应的求值。
教学目标
2. 掌握配方法解一元二次方程，能熟练对方程进行配方变形及进行求值，也能熟练的
对配方法进行其他实际应用。
1. 重点
（1）直接开方法解一元二次方程的方法掌握及其式子特点的理解；
（2）配方法解一元二次方程的方法掌握及其配方法的一些应用；
教学重难点
2. 难点
（1）利用配方法求二次三项式的最值；
（2）利用配方法比较式子的大小关系。知识点01 直接开方法解一元二次方程
x2 =p
1. 直接开方法求 的一元二次方程：
由平方根的定义可知：
p＞0 x2 =p x =❑√p x =-❑√p
① 时，一元二次方程 有 2 个 不相等 的实数根，分别是 1 或 2
。他们互为 相反数 。
p=0 x2 =p x =x =0
②当 时，一元二次方程 有 2 个 相等 的实数根，即 1 2 。
p＜0 x2 =p
③当 时，一元二次方程 没有 实数根。
(ax+b) 2 =p
2. 直接开方法解 的一元二次方程：
同样由平方根的定义可知：
p＞0 (ax+b) 2 =p
①当 时，一元二次方程 有 2 个 不相等 的实数根。方程开方降次得到一元一
❑√p-b -❑√p-b
ax+b=√p ax+b=−√p x = x =
次方程 或 。所以它的两个实数根分别是 1 a 或 2 a 。
p=0 (ax+b) 2 =p
②当 时，一元二次方程 有 2 个 相等 的实数根。方程开方降次得到一元一
b
次方程
ax+b=0
，所以一元二次方程的两个实数根为
x =x =-
。
1 2 a
p＜0
ax+b=√p
时，一元二次方程 没有 实数根。
③当
【即学即练1】
1．解方程：
（1）25x2﹣49＝0； （2）2（x+1）2﹣49＝1．
7 7
【答案】（1）x = ，x =- ；
1 5 2 5
（2）x ＝4，x ＝﹣6．
1 2
【解答】解：（1）25x2﹣49＝0，
49
化为：x2=
，
25
7
∴x＝± ，
5
7 7
∴x = ，x =- ；
1 5 2 5（2）2（x+1）2﹣49＝1，
化为：（x+1）2＝25，
∴x+1＝±5，
∴x ＝4，x ＝﹣6．
1 2
【即学即练2】
2．如果关于x的方程（x﹣a）2＝b有解，则b的取值范围是 b ≥ 0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（x﹣a）2＝b，
x2﹣2ax+a2﹣b＝0，
∵方程（x﹣a）2＝b有实数解，
∴△≥0，
（﹣2a）2﹣4（a2﹣b）＝4a2﹣4a2+4b＝4b≥0，
解得：b≥0，
故答案为：b≥0．
【即学即练3】
3．若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（ ）
A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0
【答案】C
【解答】解：由题意知，方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数，
∴m+1+2m﹣4＝0，
解得m＝1，
∴m+1＝2，2m﹣4＝﹣2，
故选：C．
知识点02 配方法解一元二次方程
1. 配方法的定义：
2
(x+b) =p
将一元二次方程化成 的形式在利用直接开方法解一元二次方程的方法。
2. 配方法解一元二次方程的具体步骤：
①将方程化成 一般式 。
②将 二次项 系数化为 1 。方程的左右两边同时除以 二次项系数 或乘以二次项系
数的 倒数 。且将 常数项 移到等号的右边。
③方程的左右两边同时加上 一次项系数的一半的平方 。
④把方程的左边写成 完全平方式 ，右边是一个常数。
⑤根据直接开方法解方程。
3. 配方法求二次三项式的最值：2
（1）利用配方法将二次三项式化成
a(x+b) +k
的形式判断二次三项式的最值为
k
。若
a＞0
，则
k
为二次三项式的 最小值 ；若
a＜0
，则
k
为二次三项式的 最大值 。
（2）具体步骤：
①提公因式：即提 二次项系数 。
②配方：在一次项后面加上 一次项系数一半的平方 ，为了式子的值不发生变化，再减去 一
次项系数一半的平方 。
③将式子写成 a(x+b) 2+k 的形式。注意拿到括号外的常数项一定要先乘以a再拿出来。
【即学即练1】
4．一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（ ）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝3
【答案】A
【解答】解：由题知，
x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x+4＝1+4，
（x﹣2）2＝5．
故选：A．
【即学即练2】
5．已知一元二次方程x2﹣4x+m＝0可配成（x﹣n）2＝1，则m+n的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【答案】D
【解答】解：x2﹣4x+m＝0，
x2﹣4x＝﹣m，
x2﹣4x+4＝4﹣m，
（x﹣2）2＝4﹣m，
∴n＝2，4﹣m＝1，
解得m＝3，
∴m+n＝3+2＝5．
故选：D．
【即学即练3】
6．用配方法解下列方程：
（1）x2+4x﹣3＝0； （2）x2+3x﹣2＝0；
2 1
（3）x2- x+ =0； （4）x2+2❑√2x﹣4＝0．
3 18
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵x2+4x﹣3＝0∴x2+4x＝3
∴x2+4x+4＝3+4
∴（x+2）2＝7
∴x =❑√7-2，x =-❑√7-2．
1 2
（2）移项得x2+3x＝2，
9 9
配方得x2+3x+ =2+ ，
4 4
3 17
即（x+ ）2= ，
2 4
3 ❑√17
开方得x+ =± ，
2 2
❑√17-3 -❑√17-3
∴x = ，x = ．
1 2 2 2
2 1
（3）移项得x2- x=- ，
3 18
2 1 1 1
配方得x2- x + =- + ，
3 9 18 9
1 1
即（x- ）2= ，
3 18
1 ❑√2
开方得x- =± ，
3 6
2+❑√2 2-❑√2
∴x = ，x = ．
1 6 2 6
（4）移项得，x2+2❑√2x＝4
配方得，x2+2❑√2x+2＝4+2，
即（x+❑√2）2＝6，
开方得x+❑√2=±❑√6，
∴x =❑√6-❑√2，x =-❑√6-❑√2．
1 2
【即学即练4】
7．将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（ ）
A．﹣30 B．﹣20 C．﹣5 D．0
【答案】B
【解答】解：x2﹣10x+5＝x2﹣10x+25﹣20＝（x﹣5）2﹣20，
当x＝5时，代数式的最小值为﹣20，
故选：B．
【即学即练5】2 7
8．已知M= a﹣1，N＝a2- a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（ ）
9 9
A．M＜N B．M＝N C．M＞N D．不能确定
【答案】A
2 7
【解答】解：∵M= a﹣1，N＝a2- a（a为任意实数），
9 9
1 3
∴N-M=a2-a+1=(a-
)
2+
，
2 4
∴N＞M，即M＜N．
故选：A．
题型01 用直接开方法解方程
【典例1】一元二次方程x2﹣16＝0的根为（ ）
A．x ＝x ＝2 B．x ＝x ＝4
1 2 1 2
C．x ＝2，x ＝﹣2 D．x ＝4，x ＝﹣4
1 2 1 2
【答案】D
【解答】解：∵x2﹣16＝0，
∴x2＝16，
则x ＝4，x ＝﹣4，
1 2
故选：D．
【变式1】方程（x+1）2＝4的解是（ ）
A．x ＝﹣3，x ＝3 B．x ＝﹣3，x ＝1
1 2 1 2
C．x ＝﹣1，x ＝1 D．x ＝1，x ＝3
1 2 1 2
【答案】B
【解答】解：开方得：x+1＝±2，
解得：x ＝﹣3，x ＝1，
1 2
故选：B．
【变式2】解方程：4（x﹣3）2﹣25＝0．
11 1
【答案】x = ，x = ．
1 2 2 2
【解答】解：4（x﹣3）2﹣25＝0，
4（x﹣3）2＝25，25
（x﹣3）2= ，
4
5
∴x﹣3＝± ，
2
11 1
∴x = ，x = ．
1 2 2 2
【变式3】解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0（开平方法）．
4
【答案】x ＝8，x = ．
1 2 5
【解答】解：4（x+1）2＝9（x﹣2）2，
∴2（x+1）＝±3（x﹣2），
4
∴x ＝8，x = ．
1 2 5
题型02 利用直接开方法的特点求值
【典例1】若方程（x﹣4）2＝a有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．a＜0
【答案】B
【解答】解：∵方程（x﹣4）2＝a有实数解，
∴x﹣4＝±❑√a，
∴a≥0；
故选：B．
【变式1】若方程（x+2）2＝m﹣1有解，则m的取值范围是 m ≥ 1 ．
【答案】m≥1．
【解答】解：方程（x+2）2＝m﹣1有解，
∴m﹣1≥0，
∴m≥1．
故答案为：m≥1．
b
【变式2】若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则 = 4 ．
a
【答案】4．
【解答】解：由ax2＝b（ab＞0）得x2=
b
，解得x=±❑
√b
，可知两根互为相反数．
a a
∵一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，
∴m+1+2m﹣4＝0，解得m＝1，
∴一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是2和﹣2，√b
∴❑ =2，
a
b
∴ = 4．
a
故答案为：4．
【变式3】已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m为常数，a≠0）的解是x ＝2，x ＝﹣1，那么方
1 2
程a（x+m+2）2+b＝0的解为（ ）
A．x ＝2，x ＝﹣3 B．x ＝4，x ＝12
1 2 1 2
C．x ＝0，x ＝﹣1 D．x ＝0，x ＝﹣3
1 2 1 2
【答案】D
【解答】解：方程a（x+m+2）2+b＝0可变形为：a（x+2+m）2+b＝0，
由题意得：x+2＝2或x+2＝﹣1，
解得：x ＝0，x ＝﹣3，
1 2
故选：D．
题型03 一元二次方程的配方变形
【典例1】用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，下列配方法正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝6 B．（x+2）2＝6 C．（x﹣2）2＝2 D．（x+2）2＝2
【答案】C
【解答】解：x2﹣4x＝﹣2，
x2﹣4x+4＝﹣2+4，
（x﹣2）2＝2，
故选：C．
【变式1】将一元二次方程x2+6x﹣2＝0配方后可化为（ ）
A．（x+3）2＝11 B．（x﹣3）2＝11 C．（x+3）2＝2 D．（x﹣3）2＝2
【答案】A
【解答】解：x2+6x﹣2＝0
把一元二次方程变形x2+6x＝2，
两边都加9，x2+6x+9＝2+9，
（x+3）2＝11．
故选：A．
【变式2】用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣2）2＝7 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+4）2＝19 D．（x﹣4）2＝13
【答案】A
【解答】解：x2﹣4x﹣3＝0，∴x2﹣4x＝3，
配方得x2﹣4x+4＝7，
∴原方程应变形为（x﹣2）2＝7，
故选：A．
题型04 根据一元二次方程的配方变形求字母
【典例1】将一元二次方程2x2﹣12x﹣1＝0配方成（x+a）2＝b的形式，则a，b的值为（ ）
A．a＝3，b＝10 B．a＝﹣3，b＝10
19 19
C．a=3，b= D．a=-3，b=
2 2
【答案】D
【解答】解：2x2﹣12x﹣1＝0，
2x2﹣12x＝1，
1
x2﹣6x = ，
2
1 19
则x2﹣6x+9= +9，即（x﹣3）2=
2 2
19
∴a＝﹣3，b= ，
2
故选：D．
【变式1】将方程x2﹣4x+2＝0化成（x﹣2）2＝a的形式，则a的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．0 D．4
【答案】B
【解答】解：由题知，
x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x+4＝﹣2+4，
则（x﹣2）2＝2，
所以a的值为2．
故选：B．
【变式2】关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣m＝0可通过配方法转化为（x﹣n）2＝6的形式，则m的值为（
）
A．﹣9 B．9 C．﹣3 D．3
【答案】C
【解答】解：由题知，
x2﹣6x﹣m＝0，
x2﹣6x+9＝m+9，（x﹣3）2＝m+9，
所以m+9＝6，
解得m＝﹣3．
故选：C．
【变式3】用配方法解一元二次方程x2+2x﹣2024＝0，将它转化为（x﹣m）2＝n的形式，则mn的值为（
）
1
A．2025 B． C．1 D．﹣1
2025
【答案】D
【解答】解：整理得：x2+2x+1＝2024+1，
即（x+1）2＝2025，
∴m＝﹣1，n＝2025，
∴mn＝（﹣1）2025＝﹣1．
故选：D．
题型05 利用配方法解一元二次方程
【典例1】用配方法解下列方程：
（1）x2+2x﹣3＝0 （2）x2﹣2x﹣8＝0
（3）x2﹣8x+7＝0 （4）6x2﹣x﹣12＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）方程变形得：x2+2x＝3，
配方得：x2+2x+1＝4，即（x+1）2＝4，
开方得：x+1＝2或x+1＝﹣2，
解得：x ＝1，x ＝﹣3；
1 2
（2）方程变形得：x2﹣2x＝8，
配方得：x2﹣2x+1＝9，即（x﹣1）2＝9，
开方得：x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，
解得：x ＝4，x ＝﹣2；
1 2
（3）方程变形得：x2﹣8x＝﹣7，
配方得：x2﹣8x+16＝9，即（x﹣4）2＝9，
解得：x ＝7，x ＝1；
1 21
（4）方程变形得：x2- x＝2，
6
1 1 289 1 289
配方得：x2- x + = ，即（x - ）2= ，
6 144 144 12 144
1 17
开方得：x- =± ，
12 12
3 4
解得：x = ，x =- ．
1 2 2 3
【变式1】用配方法下列解方程：
（1）x2+6x+8＝0； （2） x2＝6x+16；
（3）2x2+3＝7x； （4）（2x﹣1）（x+3）＝4．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）移项得x2+6x＝﹣8，
配方得x2+6x+9＝﹣8+9，
即（x+3）2＝1，
开方得x+3＝±1，
∴x ＝﹣2，x ＝﹣4．
1 2
（2）移项得x2﹣6x＝16，
配方得x2﹣6x+9＝16+9，
即（x﹣3）2＝25，
开方得x﹣3＝±5，
∴x ＝8，x ＝﹣2．
1 2
（3）移项得2x2﹣7x＝﹣3，
7 3
二次项系数化为1，得x2- x=- ．
2 2
配方，得
7 7 3 7
x2- x+（ ）2=- +（ ）2
2 4 2 4
7 25
即（x- ）2= ，
4 16
7 5
开方得x- =± ，
4 4
1
∴x ＝3，x = ．
1 2 2（4）整理得2x2+5x＝7．
5 7
二次项系数化为1，得x2+ x= ；
2 2
5 5 7 5
配方得x2+ x+（ ）2= +（ ）2，
2 4 2 4
5 81
即（x+ ）2= ，
4 16
5 9
开方得：x+ =± ，
4 4
7
∴x ＝1，x =- ．
1 2 2
题型06 利用配方法求二次三项式的最值
2
利用配方法将二次三项式化成
a(x+b) +k
的形式判断二次三项式的最值为
k
。若
a＞0
，则
k
为二次三
项式的最小值；若
a＜0
，则
k
为二次三项式的最大值。
【典例1】将x2+6x+4进行配方变形后，可得该多项式的最小值为 ﹣ 5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x2+6x+4＝（x+3）2﹣5，
∴当x＝﹣3时，多项式x2+6x+4取得最小值﹣5；
故答案为﹣5．
【变式1】在实数范围内，代数式a2﹣4a+7的值不可能为（ ）
A．6 B．3.6 C．3 D．2.8
【答案】D
【解答】解：∵a2﹣4a+7＝（a﹣2）2+3≥3，
∴选项D不可能，
故选：D．
【变式2】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．
例：已知x可取任何实数，试求二次三项式2x2﹣12x+14的值的范围．
解：2x2﹣12x+14＝2（x2﹣6x）+14＝2（x2﹣6x+32﹣32）+14
＝2[（x﹣3）2﹣9]+14＝2（x﹣3）2﹣18+14＝2（x﹣3）2﹣4．
∵无论x取何实数，总有（x﹣3）2≥0，∴2（x﹣3）2﹣4≥﹣4．
即无论x取何实数，2x2﹣12x+14的值总是不小于﹣4的实数．
问题：已知x可取任何实数，则二次三项式﹣3x2+12x﹣11的最值情况是（ ）
A．有最大值﹣1 B．有最小值﹣1C．有最大值1 D．有最小值1
【答案】C
【解答】解：﹣3x2+12x﹣11＝﹣3（x2﹣4x）﹣11
＝﹣3（x2﹣4x+4﹣4）﹣11
＝﹣3（x﹣2）2+12﹣11
＝﹣3（x﹣2）2+1，
∵无论x取何实数，总有（x﹣2）2≥0，
∴﹣3（x﹣2）2≤0，
∴﹣3（x﹣2）2+1≤1，
即无论x取何实数，二次三项式﹣3x2+12x﹣11有最大值1，
故选：C．
【变式3】已知x＝4a2+4ab+14，y＝b2﹣6b﹣12a，则x+y的最小值是（ ）
A．14 B．5 C．9 D．不存在
【答案】B
【解答】解：根据题意得：x+y＝4a2+4ab+14+b2﹣6b﹣12a
＝（4a2+4ab+b2）﹣6（b+2a）+14
＝[（2a+b）2﹣6（b+2a）+9]+5
＝（2a+b﹣3）2+5．
∵（2a+b﹣3）2≥0，
∴x+y的最小值是5．
故选：B．
题型07 利用作差法及配方法比较式子的大小关系
对需要比较的两个式子进行作差，在利用配方法对作差得到的式子进行配方，最后与 0进行大小关系的比
较。若差的结果大于0，则被减数大，若差等于0，则被减数等于减数，若差小于0，则被减数小。
【典例1】设M＝4a2﹣4a+3，N＝3a2﹣1，其中a为实数，则M与N的大小关系是（ ）
A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＝N
【答案】A
【解答】解：∵M﹣N＝4a2﹣4a+3﹣（3a2﹣1）
＝a2﹣4a+4
＝（a﹣2）2≥0，
∴M≥N，故选：A．
【变式1】若A＝x2+4xy+y2﹣4，B＝4x+4xy﹣6y﹣25，则A、B的大小关系为（ ）
A．A＞B B．A＜B C．A＝B D．无法确定
【答案】A
【解答】解：∵A＝x2+4xy+y2﹣4，B＝4x+4xy﹣6y﹣25，
∴A﹣B＝（x2+4xy+y2﹣4）﹣（4x+4xy﹣6y﹣25）
＝x2+y2﹣4x+6y+21
＝（x﹣2）2+（y+3）2+8
∵（x﹣2）2+（y+3）2+8≥8，
∴A﹣B＞0，
∴A、B的大小关系为：A＞B．
故选：A．
【变式2】有两个多项式：A＝2a2﹣4a+1，B＝2（a2﹣2a）﹣2，当a取任意有理数时，请比较A与B的大
小（ ）
A．A＜B B．A＝B
C．A＞B D．以上结果均有可能
【答案】C
【解答】解：A﹣B＝2a2﹣4a+1﹣2（a2﹣2a）+2
＝2a2﹣4a+1﹣2a2+4a+2＝3＞0，
∴A＞B，
故选：C．
【变式3】若M＝2x2+x，N＝x2﹣3x﹣2，则M与N的大小关系为（ ）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定
【答案】D
【解答】解：由题意，作差：M﹣N＝（2x2+x）﹣（x2﹣3x﹣2）
＝x2+4x+2
＝（x+2）2﹣2．
令M﹣N＝0，
∴（x+2）2﹣2＝0．
∴x＝﹣2±❑√2．
考查函数y＝（x+2）2﹣2，
∵a＝1＞0，
∴当x＜2-❑√2或x＞2+❑√2时，y＞0；
当x＝﹣2±❑√2时，y＝0；
当2-❑√2＜x＜2+❑√2时，y＜0．∴当x＜2-❑√2或x＞2+❑√2时，M＞N；
当x＝﹣2±❑√2时，M＝N；
当2-❑√2＜x＜2+❑√2时，M＜N．
故选：D．
1．已知甲方程式为（x﹣4）2＝9，乙方程式为（x+9）2＝﹣4．关于甲、乙两方程式的解的情形，下列叙
述何者正确？（ ）
A．甲有两个相异的解，乙无解
B．甲有两个相异的解，乙有两个相异的解
C．甲有两个相同的解，乙无解
D．甲有两个相同的解，乙有两个相异的解
【答案】A
【解答】解：对于方程（x﹣4）2＝9，
x﹣4＝±3，
解得x ＝7，x ＝1；
1 2
对于方程（x+9）2＝﹣4．
因为负数没有平方根，
所以此方程没有实数解．
故选：A．
2．方程（x+1）2＝9的解为（ ）
A．x＝2，x＝﹣4 B．x＝﹣2，x＝4 C．x＝4，x＝2 D．x＝﹣2，x＝﹣4
【答案】A
【解答】解：方程（x+1）2＝9，
开方得：x+1＝3或x+1＝﹣3，
解得：x ＝2，x ＝﹣4．
1 2
故选：A．
3．利用配方法解一元二次方程 x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则 m、n的值分别为
（ ）
A．m＝9，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝0 D．m＝3，n＝2
【答案】D
【解答】解：∵x2﹣6x+7＝0，
∴x2﹣6x＝﹣7，∴x2﹣6x+（﹣3）2＝﹣7+（﹣3）2，
∴（x﹣3）2＝2，
∴m＝3，n＝2．
故选：D．
4．用配方法解方程x2﹣4x＝2时，左右两边需同时加上的常数是（ ）
A．16 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：用配方法解方程x2﹣4x＝2时，左右两边需同时加上常数是4，
故选：B．
5．若m是方程x2+2x+1＝0的根，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解答】解：由题知，
x2+2x+1＝0，
则（x+1）2＝0，
所以x ＝x ＝﹣1，
1 2
则m＝﹣1．
故选：A．
b
6．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m﹣1和2m+3，则 的值为（ ）
a
25 25
A．16 B． C．25 D． 或25
9 9
【答案】B
【解答】解：∵一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣13，
√b
且x=±❑ ，
a
∴m﹣1+2m+3＝0，
2
解得：m=- ，
3
5 5
即方程的根是：x =- ，x = ，
1 3 2 3
b √b 25
∴ =(±❑ ) 2= ，
a a 9
故选：B．
7．若关于x的一元二次方程ax2﹣b＝0有一根为2025，则关于x的一元二次方程ax2+6ax+9a＝b的其中一
个根必为（ ）
A．2022 B．2024 C．2025 D．2028【答案】A
【解答】解：由题知，
ax2+6ax+9a＝b，
则a（x+3）2﹣b＝0．
因为关于x的一元二次方程ax2﹣b＝0有一根为2025，
所以令x+3＝2025得，
x＝2022，
所以关于x的一元二次方程ax2+6ax+9a＝b的其中一个根必为2022．
故选：A．
8．一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两根分别为﹣5，1，则方程a（2x+h﹣3）2+k＝0（a≠0）的两根分别
为（ ）
A．x ＝﹣6，x ＝﹣2 B．x ＝0，x ＝﹣1
1 2 1 2
C．x ＝﹣9，x ＝﹣1 D．x ＝﹣1，x ＝2
1 2 1 2
【答案】D
【解答】解：由题知，
将一元二次方程a（x+h）2+k＝0中的“x”用“2x﹣3”替换，
可得方程a（2x+h﹣3）2+k＝0．
因为一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两根分别为﹣5，1，
所以2x﹣3＝﹣5或1，
解得x＝﹣1或2，
即方程a（2x+h﹣3）2+k＝0（a≠0）的两根分别为x ＝﹣1，x ＝2．
1 2
故选：D．
9．若代数式P＝2a2﹣2a+3，Q＝a2+1，则P和Q的大小关系是（ ）
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法确定
【答案】A
【解答】解：由题意，∵P＝2a2﹣2a+3，Q＝a2+1，
∴P﹣Q＝（2a2﹣2a+3）﹣（a2+1）＝a2﹣2a+2＝（a﹣1）2+1．
又∵对于任意的实数a都有（a﹣1）2≥0，
∴P﹣Q＝（2a2﹣2a+3）﹣（a2+1）＝a2﹣2a+2＝（a﹣1）2+1≥1＞0．
∴对任意实数a，均有P﹣Q＞0，即P＞Q．
故选：A．
10．已知实数m，n满足m﹣n2＝2，则代数式m2+2n2+4m﹣3的最小值等于（ ）
A．9 B．6 C．﹣8 D．﹣16
【答案】A
【解答】解：∵m﹣n2＝2，∴n2＝m﹣2≥0，m≥2，
∴m2+2n2+4m﹣3
＝m2+2m﹣4+4m﹣3
＝m2+6m+9﹣16
＝（m+3）2﹣16，
则代数式m2+2n2+4m﹣3的最小值等于（2+3）2﹣16＝9．
故选：A．
11．关于x的一元二次方程mx2+mx＝3x+12中不含x的一次项，则此方程的解为 x ＝ ± 2 ．
【答案】x＝±2．
【解答】解：∵mx2+mx＝3x+12不含x的一次项，
∴m﹣3＝0，
解得m＝3，
∴3x2+3x＝3x+12，
解得x＝±2，
故答案为：x＝±2．
12．若关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0可配成（x+p）2＝q，的形式，p+2q＝ 2 5 ．
【答案】25．
【解答】解：x2﹣6x﹣5＝0，
x2﹣6x＝5，
x2﹣6x+9＝14，
（x﹣3）2＝14，
所以p＝﹣3，q＝14，
所以p+2q＝﹣3+2×14＝25．
故答案为：25．
x
13．若x2﹣6xy+9y2＝0，则 = 3 ．
y
【答案】见试题解答内容
x x x
【解答】解：已知等式变形得：（ ）2﹣6• + 9＝0，即（ - 3）2＝0，
y y y
x
则 = 3．
y
故答案为：3
14．实数a，b，c满足b+c﹣1＝0，a﹣bc﹣1＝0．
（1）当b＝2时，则a＝ ﹣ 1 ；
5
（2）实数a的取值范围是 a≤ ．
4【答案】（1）﹣1；
5
（2）a≤ ．
4
【解答】解：（1）当b＝2时，
2+c﹣1＝0，
解得：c＝﹣1，
将b＝2，c＝﹣1代入a﹣bc﹣1＝0中可得a+2﹣1＝0，
解得：a＝﹣1，
故答案为：﹣1；
（2）∵b+c﹣1＝0，
∴b＝1﹣c，
∵a﹣bc﹣1＝0，
∴a＝bc+1
＝（1﹣c）c+1
＝﹣c2+c+1
＝﹣（c2﹣c）+1
1 1
＝﹣（c2﹣c+ - ）+1
4 4
1 5 5
＝﹣（c- ）2+ ≤ ，
2 4 4
5
故答案为：a≤ ．
4
15．对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：
如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形A（边长为2和x）和长方形B，并拼成图2．由面积相等
得：x（4﹣x）＝22﹣（2﹣x）2，所以，当x＝2时，长方形面积取得最大值为 4．据此可得，代数式
1
( x+2)(8-x)的最大值为 1 8 ．
2
【答案】见试题解答内容
1
【解答】解：∵( x+2)(8-x)
21
=- （x+4）（x﹣8）
2
1
=- （x2﹣4x﹣32）
2
1
=- [（x2﹣4x+4）﹣36]
2
1
=- （x﹣2）2+18，
2
1
∴当x＝2时，代数式( x+2)(8-x)取得最大值，最大值是18．
2
故答案为：18．
16．解方程：
（1）2x2﹣18＝0； （2）（x﹣5）2+8＝0．
【答案】（1）x ＝3，x ＝﹣3；
1 2
（2）无解．
【解答】解：（1）2x2﹣18＝0，
2x2＝18，
x2＝9，
x＝±3，
所以x ＝3，x ＝﹣3．
1 2
（2）（x﹣5）2+8＝0，
（x﹣5）2＝﹣8，
因为﹣8＜0，
所以此方程无解．
17．解方程：
（1）x2+2x+1＝4； （2）3x2﹣6x+1＝0．
【答案】（1）x ＝1，x ＝﹣3．
1 2
❑√6 ❑√6
（2）x ＝1+ ，x ＝1- ．
1 3 2 3
【解答】解：（1）x2+2x+1＝4，
∴（x+1）2＝4．
∴x+1＝±2．
∴x ＝1，x ＝﹣3．
1 2
（2）3x2﹣6x+1＝0．
1
x2﹣2x=- ，
31 2
x2﹣2x+1=- +1，即（x﹣1）2= ．
3 3
❑√6
∴x﹣1＝± ．
3
❑√6 ❑√6
∴x ＝1+ ，x ＝1- ．
1 3 2 3
18．已知a，b，c为△ABC的三条边．
（1）若a＝5，b＝6，△ABC的周长是小于17的奇数，求c的长．
（2）若△ABC为等腰三角形，且a，b满足a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0，求△ABC的周长．
【答案】（1）c＝2或c＝4；
（2）7或8．
【解答】解：（1）已知a，b，c为△ABC的三条边，则c＜b+a，
∵a＝5，b＝6，
∴1＜c＜11，
由题意可得：a+b+c＜17，
∴5+6+c＜17，
∴c＜6，
∴1＜c＜6且c是偶数，
∴c＝2或c＝4；
（2）∵若△ABC为等腰三角形，且a，b满足a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0，
∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣6b+9）＝0，
∴（a﹣2）2+（b﹣3）2＝0，
∵（a﹣2）2≥0，（b﹣3）2≥0，
∴（a﹣2）2＝（b﹣3）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，
∴a＝2，b＝3，
当腰长为2时，则该等腰三角形的三边长为2，2，3，
∵2+2＞3，
∴此时能构成三角形，
∴该三角形的周长为2+2+3＝7；
当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为2，3，3，
∵2+3＞3，
∴此时能构成三角形，
∴该三角形的周长为2+3+3＝8；
综上所述，该三角形的周长为7或8．
19．下面是小华同学的数学小论文，请认真阅读，并完成下面的任务．论文名称：平均数法解一元二次方程
在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程x（x+4）＝6．
解：原方程可变形，
得[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6
（x+2）2﹣22＝6（根据1）
（x+2）2＝6+22
（x+2）2＝10
直接开平方并整理得x =-2+❑√10，x =-2-❑√10，我们称这种解法为平均数法．
1 2
经典练习：
下面是用平均数法解方程（x+2）（x+6）＝5时写的解题过程，
[（x+4）﹣@][（x+4）+@]＝5
（x+4）2﹣@2＝5
（x+4）2＝5+@2
直接开平方并整理，得…
任务：
（1）小论文中的根据1是 平方差公式 ．
（2）小明用平均数法解方程 （x+2）（x+6）＝5时，将方程写为[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5的形式，
请问式子中的a＝ ﹣ 1 ，b＝ ﹣ 7 ．
（3）请用平均数法解方程：（x﹣3）（x+1）＝5．
【答案】（1）平方差公式；
（2）﹣1，﹣7；
（3）x ＝4，x ＝﹣2．
1 2
【解答】解：（1）∵[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6，
∴（x+2）2﹣22＝6（根据1），
根据1是平方差公式．
故答案为：平方差公式．
（2）原方程变形为：[（x+4）﹣2][（x+4）+2]＝5，
（x+4）2﹣22＝5，
（x+4）2＝5+22，
∴x+4＝±3，
∴x ＝﹣1，x ＝﹣7．
1 2
故答案为：﹣1，﹣7．
（3）（x﹣3）（x+1）＝5，
原方程可变形，得[（x﹣1）﹣2][（x﹣1）+2]＝5，
整理得：（x﹣1）2﹣22＝5，（x﹣1）2＝5+22，即（x﹣1）2＝9，
直接开平方并整理，得x ＝4，x ＝﹣2．
1 2
20．在北师大版七年级下册第一章中，我们知道形如x2±2xy+y2的代数式叫做完全平方式，其实我们也可以
将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做
配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最值，求 a2﹣
4a+3的最小值．
解：a2﹣4a+3＝a2﹣4a+22﹣22+3＝（a﹣2）2﹣1．
∵不论a取何值，（a﹣2）2总是非负数，即（a﹣2）2≥0，
∴（a﹣2）2﹣1≥﹣1，即当a＝2时，a2﹣4a+3有最小值﹣1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）直接写出多项式x2﹣4x﹣3的最小值为 ﹣ 7 ；
（2）若M＝2a2+3a，N＝3a2+5，比较M、N的大小（写出比较过程）；
（3）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD．若AC+BD＝10，求四边形ABCD面积的最大值．
25
【答案】（1）﹣7；（2）M＜N；（3） ．
2
【解答】解：（1）由题意得，x2﹣4x﹣3＝x2﹣4x+4﹣7＝（x﹣2）2﹣7，
∵（x﹣2）2≥0，
∴（x﹣2）2﹣7≥﹣7．
∴当x＝2时，x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2﹣7＝﹣7，即有最小值为﹣7．
故答案为：﹣7．
3 11
（2）由条件可得，M﹣N＝2a2+3a﹣（3a2+5）＝﹣a2+3a﹣5＝﹣（a - ）2- ．
2 4
3
∵-(a- ) 2≤0，
2
3 11 11
∴-(a- ) 2- ≤- ，即M﹣N＜0．
2 4 4
∴M＜N．
（ 3 ） 由 题 意 得 ， 四 边 形 ABCD 面 积 为 ：
1 1 1 1 1 1 25
AC×DO+ AC×BO= AC⋅BD= AC(10-AC)=- AC2+5AC=- (AC-5) 2+ ，
2 2 2 2 2 2 2
∵（AC﹣5）2≥0，1
∴- (AC-5) 2≤0．
2
1 25
∴当- (AC-5) 2=0时，四边形ABCD面积的最大值为 ．
2 2
