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第 02 课 配方法
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课程标准
(1)能根据平方根的意义解形如x2=p及ax2+c=0的一元二次方程.
(2)能运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程.
(3)体会“降次”的数学思想.
(4)知道用配方法解一元二次方程的一般步骤，会用配方法解一元二次方程.
(5)通过配方进一步体会“降次”的转化思想.
知识精讲
知识点01 直接开方法
1、直接开平方法的解读
开平方 解读
解一元二次方程的基本思想是“降次”,通过“降次”把一元二次方程转
若 化为一元一次方程.
直接开平方法的实质就是把一个一元二次方程通过“降次”即开平方,转
则
化为两个一元一次方程。
2、方程x2=p的根的情况
p的取值 方程x2=p的根的情况
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
【注意】
(1)用直接开平方法解一元二次方程时,要把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，
开方的结果要注意取正、负两种情况.
(2)对于形如 的关于x的一元二次方程，要运用整体思想，直接开平方，得
，即 ；
(3)当一元二次方程的二次项系数不为1时,一般先根据等式的性质,将二次项系数化为1,再配方求解.
(4)所有有实数解的一元二次方程都可以用配方法进行求解。知识点02 配方法
1、配方法的目的：
对于无法进行直接开方的方程，转化为可以直接开方的形式：
2、配方法的依据：
完全平方公式：
【配方五步法】
1、移项:使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数.
2、化1:方程的两边同除以二次项系数,把二次项系数化为1.
3、配方:在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方,化成(x+m)2=n的形式.
4、开方:若n≥0,则两边直接开平方得到一元一次方程,若n<0,则原方程无解.
5、求解:解所得到的一元一次方程,得出原方程的解.
示例
步骤 解释
1、移 移项得： 将常数项移到等号的右侧
利用等式的性质，等式两边同乘以二次项
2、化
二次项系数化为1： 系数
配方得： 利用等式的性质，在等式两边同时加上
3、配
一次项系数一半的平方
4、开 根据开平方的定义，进行开方
开方得：
或 两个平方根一个取正，一个取负，解出方
5、解
程
即
知识点03 配方法的应用
配方法的应用是基于 ，当要说明一个二次多项式的值为非负数，可用配方法进行说明；
举例：
证明： 的值恒为正；
第一步
将二次项系数作为公因数提出来第二步
在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去这个
数
第三步 将前三项因式分解，剩余常数放到括号外
能力拓展
考法01 直接开方法
【例题1】解方程
【答案】 ，
【解析】
，
【即学即练1】用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )
A．x2－5＝5 B．－3x2＝0
C．x2＋4＝0 D．(x＋1)2＝0
【答案】C
【解析】
解：要利用直接开平方法解一元二次方程，先将一元二次方程进行变形，变形为等号左边是数的平方或完
全平方形式，等号右边为常数，且当常数要大于或等于0时，方程有实数解，因为选项C，移项后变形为
，根据平方根的性质，此时方程无解，
故选：C
【即学即练2】方程 的根是______________．
【答案】 ，
【解析】
解：两边开平方：3x+2=x-1或3x+2=1-x∴ ，
考法02 配方法
【例题2】用配方法解方程 时，配方结果正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
移项得： ，
配方得： ，即
故选：A．
【即学即练1】用配方法解一元二次方程 ，配方正确的是( )．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
解： ，
移项得 ，
二次项系数化1的 ，
配方得 ，
即 ，故选：A．
【即学即练2】解方程： (用配方法)
【答案】 ， ；
【解析】
解：
∴ ，
考法03 配方法的应用
【例题3】对于任意实数x，多项式x2-5x+8的值是一个( )
A．非负数 B．正数 C．负数 D．无法确定
【答案】B
【解析】
x2-5x+8=x2-5x+ + =(x- )2+ ，
任意实数的平方都是非负数，其最小值是0，
所以(x- )2+ 的最小值是 ，
故多项式x2-5x+8的值是一个正数，
故选B．
【即学即练1】多项式 的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51
=x2﹣4xy+4y2+12x﹣24y+36+x2+2xy+y2+15
=(x﹣2y)2+12(x﹣2y)+36+(x+y)2+15
=(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15
∵(x﹣2y+6)2≥0，(x+y)2≥0，
∴(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15≥15．
故选：C．
【即学即练2】已知 ( 为任意实数)，则 的大小关系为( )
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【解析】
根据题意，得
＝ ，
∵
∴
∴ ，
故选B．
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x＋a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝___．
【答案】−1
【解析】
解：把x＝0代入(a−1)x2−2x＋a2−1＝0得a2−1＝0，
解得a＝±1，
∵a−1≠0，∴a＝−1．
故答案为：−1．
2．一元二次方程(x+1)2＝4的解为_____．
【答案】x =1，x =-3
1 2
【解析】
解：(x+1)2＝4，
x+1＝±2，
解得：x =1，x =-3，
1 2
故答案为x =1，x =-3.
1 2
3．若2x+1与2x-1互为倒数，则实数x为( )
A．x= B．x＝±1 C． . D．
【答案】C
【解析】
解：根据2x+1与2x﹣1互为倒数，列方程得：(2x+1)(2x﹣1)=1；
整理得：4x2﹣1=1，移项得：4x2=2，系数化为1得：x2= ；
开方得：x=± ．
故选C．
4．用适当的正数填空：
(1) _____=(x-_____)2；
(2)x2-______x+16=(x-____)2；
(3) (x＋____)2；
(4) ______=(x-____)2．
【答案】(1)4；2；(2)8；4；(3) ；(4) ；
【解析】解：(1)
故答案为：4；2；
(2)x2-8x+16=(x-4)2
故答案为：8；4；
(3) (x＋ )2
故答案为： ；
(4) =(x- )2
故答案为： ； ．
5．一元二次方程 配方后可变形为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，
，
，
，
故选C．
6．将一元二次方程 化成 (a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是( )
A． ，21 B． ，11 C．4，21 D． ，69
【答案】A
【解析】
解：
移项得 ，
配方得 ，即 ，
∴a=-4，b=21．
故选：A
7．解下列方程．
(1)
(2)
【答案】(1) ， ；(2) ，
【解析】
(1)∵ ， ，
∴
∴方程有两个不相等的实数根．
∴
∴ ， ．
(2)∵
∴
∴
∴ ；
即： ， ．
8．解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．
【答案】x1= ，x2= ．
【解析】
解：∵2x2﹣4x﹣1=0，∴2x2﹣4x=1，
则x2﹣2x= ，
∴x2﹣2x+1= ，即(x﹣1)2= ，
则x﹣1=± ，
∴x1= ，x2= ．
题组B 能力提升练
1．关于x的方程m(x+h)2+k=0(m，h，k均为常数，m≠0)的解是x =-3，x =2，则方程m(x+h-3)2+k=0的解是(
1 2
)
A．x =-6，x =-1 B．x =0，x =5 C．x =-3，x =5 D．x =-6，x =2
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】B
【解析】
解：解方程m(x+h)2+k=0(m，h，k均为常数，m≠0)得x=-h± ，
而关于x的方程m(x+h)2+k=0(m，h，k均为常数，m≠0)的解是x =-3，x =2，
1 2
所以-h- =-3，-h+ =2，
方程m(x+h-3)2+k=0的解为x=3-h± ，
所以x =3-3=0，x =3+2=5．
1 2
故选：B．
2．已知三角形三边长为a、b、c，且满足 ， ， ，则此三角形的形状
是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【答案】A【解析】
解：∵a2﹣4b=7，b2﹣4c=﹣6，c2﹣6a=﹣18，∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18，整理得：a2﹣6a+9+b2﹣
4b+4+c2﹣4c+4=0，即(a﹣3)2+(b﹣2)2+(c﹣2)2=0，∴a=3，b=2，c=2，∴此三角形为等腰三角形．故选A．
3．已知 , ,(m为任意实数)，则P、Q的大小关系为( )
A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不能确定
【答案】C
【解析】
解：∵
=
=
=
∴
故选：C．
4．代数式 的最小值是( )
A．10 B．9 C．19 D．11
【答案】A
【解析】
解：
∵
∴代数式 的最小值是10．
故选：A．
5．若把代数式 化为 的形式，其中 、 为常数，则 ______．
【答案】-7
【解析】
x −4x−5=x −4x+4−4−5=(x−2) −9，
所以m=2，k=−9，
所以m+k=2−9=−7.
故答案为-7
6．
【答案】
【解析】
两边开方得：2(x﹣1)＝±(x+2)，∴2(x﹣1)＝x+2，2(x﹣1)＝-(x+2)，∴x =4，x =0．
1 2
题组C 培优拔尖练
1．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数
“i”，使其满足i2=﹣1(即方程x2=﹣1有一个根为i)．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，
且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=(﹣1)•i=﹣i，i4=(i2)2=(﹣1)2=1，从而对于任
意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n•i=(i4)n•i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013
的值为【 】
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
【答案】D
【解析】
由题意得，i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=(﹣1)•i=﹣i，i4=(i2)2=(﹣1)2=1，i5=i4•i=i，i6=i5•i=﹣1，
可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
∵2013÷4=503…1，∴i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013=i．
故选D．
2．关于代数式 ，有以下几种说法，
①当 时，则 的值为-4.
②若 值为2，则 .
③若 ，则 存在最小值且最小值为0.
在上述说法中正确的是( )A．① B．①② C．①③ D．①②③
【答案】C
【解析】
解：①当 时，
．
故①正确；
②若 值为2，
则 ，
∴a2+2a+1=2a+4，
∴a2=3，
∴ ．
故②错误；
③若a＞-2，则a+2＞0，
∴ =
=
= ≥0．
∴若a＞-2，则 存在最小值且最小值为0．
故③正确．
综上，正确的有①③．
故选：C．
3．阅读材料:若 ，求m、n的值.
解: ，，
，
.
根据你的观察，探究下面的问题:
(1)已知 ，求 的值.
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足 ，求边c的最大值.
(3)若已知 ，求 的值.
【答案】(1)2(2)6(3)7
【解析】
(1)∵x2+2xy+2y2+2y+1=0
∴(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0
∴(x+y)2+(y+1)2=0
∴x+y=0y+1=0
解得：x=1，y=﹣1
∴x﹣y=2；
(2)∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0
∴(a2﹣6a+9)+(b2﹣8b+16)=0
∴(a﹣3)2+(b﹣4)2=0
∴a﹣3=0，b﹣4=0
解得：a=3，b=4
∵三角形两边之和＞第三边
∴c＜a+b，c＜3+4，∴c＜7．又∵c是正整数，∴△ABC的最大边c的值为4，5，6，∴c的最大值为6；
(3)∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：(b+4)b+c2﹣6c+13=0，整理得：(b2+4b+4)+(c2﹣6c+9)=(b+2)2+(c﹣3)2=0，
∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣(﹣2)+3=7．
故答案为7．
4．“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝(x+2)2+1，∵(x+2)2≥0，∴(x+2)2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：
(1)填空：x2﹣4x+5＝(x )2+ ；
(2)已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；
(3)比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．
【答案】(1)﹣2，1；(2)1；(3)x2﹣1＞2x﹣3
【解析】
解：(1)x2﹣4x+5＝(x﹣2)2+1，
故答案为：-2，1；
(2)x2﹣4x+y2+2y+5＝0，
(x﹣2)2+(y+1)2＝0，
则x﹣2＝0，y+1＝0，
解得x＝2，y＝﹣1，
则x+y＝2﹣1＝1；
(3)x2﹣1﹣(2x﹣3)
=x2﹣2x+2
=(x﹣1)2+1，
∵(x﹣1)2≥0，
∴(x﹣1)2+1＞0，
∴x2﹣1＞2x﹣3．
