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2022-2023 学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练
（人教版）
22.2 二次函数与一元二次方程
题型导航
题型1
二次函数与坐标轴的交点
二 次 题型2
图象法解一元二次方程的近似根
函数
与
题型3
根据交点确定不等式的解集
一元
二次
题型4
利用不等式求自变量或函数值的范围
方程
题型5
抛物线与x轴的交点问题
题型6
求x轴与抛物线的截线长
题型变式
【题型1】二次函数与坐标轴的交点
1．（2022·陕西咸阳·九年级期中）已知抛物线 （m是常数）与x轴仅有一个交点，
且与y轴交于正半轴，则m的值为（ ）
A．－7或1 B．－1 C．－7 D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
二次函数与x轴仅有一个交点，则 ，与y轴交于正半轴，则 ，求解
满足条件的m即可．【详解】
二次函数与x轴仅有一个交点，则 ，
即 ，解得 ，
又因为二次函数图象与y轴交于正半轴，则 ，
将1和-7代入 分别得到0和16，则应把m=1舍去，故m=-7，
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与x轴、y轴交点问题，解决题目应熟练掌握判定二次函数与x轴交点个数的方法，
以及判断二次函数图象与y轴交点位置的方法．
【变式1-1】
2．（2022·江西景德镇·九年级期末）已知二次函数 的图象与 轴的一个交点坐标是 ，
则它与 轴的另一个交点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】
用待定系数法求得c，再令二次函数解析式的y=0，求得相应交点坐标．
【详解】
解：将 代入 中，得，
，解得 ，即 ，
令 ，则 ，解得， ， ，
∵图象与 轴的一个交点坐标是 ，
∴它与 轴的另一个交点坐标是 ，
故答案为： ．【点睛】
本题考查了求解二次函数交点坐标，正确理解交点坐标的特征是解题关键，另外，此题还可以运用韦达定
理求解．
【题型2】图象法解一元二次方程的近似根
1．（2021·全国·九年级课时练习）二次函数 的图象如图所示，若方程 的一个
近似根是 ，则方程的另一个近似根为__________．（结果精确到0.1）
【答案】0.2．
【解析】
【分析】
利用抛物线的对称性进行求解即可．
【详解】
解：由图可知，抛物线的对称轴为：x=-1，
∵方程 的一个根为x=-2.2，
∴另一个根为：-1 2-（-2.2）=0.2，
故答案为：0.2． ×
【点睛】
此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清题中的数据关系是解本题的关键．
【变式2-1】
2．（2021·贵州·九年级专题练习）如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的
对称轴为直线x=1，则下列结论中：①c=3；②2a+b=0；③8a-b+c>0；④方程ax2+bx+c=0的其中一个根在
2，3之间，正确的有_______（填序号）．【答案】①②④
【解析】
【分析】
由二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），即可判断①；由抛物线的对称轴为直线
x=1，即可判断②；抛物线与x轴的一个交点在-1到0之间，抛物线对称轴为直线x=1，即可判断④，由抛
物线开口向下，得到a<0，再由当x=-1时， ，即可判断③．
【详解】
解：∵二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），
∴c=3，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴ ，即 ，故②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在-1到0之间，抛物线对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在2到3之间，故④正确；
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵当x=-1时， ，
∴ 即 ，故③错误，
故答案为：①②④．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像的性质．【题型3】根据交点确定不等式的解集
1．（2021·广东韶关·九年级期中）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则当y≥0时，x的取值范围是
_________．
【答案】﹣1≤x≤3
【解析】
【分析】
首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的取值范围即可．
【详解】
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（−1，0），
∴与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴y≥0时，x的取值范围为：﹣1≤x≤3，
故答案是：﹣1≤x≤3．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标．
【变式3-1】
2．（2021·北京市第五中学分校九年级阶段练习）如图，直线 和抛物线 ，当 时，
x的取值范围是______．【答案】
【解析】
【分析】
当 ＜ 时，一次函数的图像在二次函数的图像的下方，利用函数图像可以得到自变量的取值范围，即不
等式的解集．
【详解】
解：联立方程组 ，
解得 ，
直线 与抛物线 的交点为：
当 ＜ 时，一次函数的图像在二次函数的图像的下方，
所以此时： ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查的是利用图像法求不等式的解集，掌握利用二次函数与一次函数的图像写不等式的解集是解题的
关键．【题型4】利用不等式求自变量或函数值的范围
1．（2022·四川遂宁·中考真题）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m=a-
b+c，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过（1，0）可得a，b，c的等量关系，
然后将x=-1代入解析式求解．
【详解】
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴- ＜0，
∴b＞0，
∵抛物线经过（0，-2），
∴c=-2，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c=0，
∴a+b=2，b=2-a，
∴y=ax2+（2-a）x-2，当x=-1时，y=a+a-2-2=2a-4，
∵b=2-a＞0，
∴0＜a＜2，
∴-4＜2a-4＜0，
故答案为：-4＜m＜0．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
【变式4-1】
2．（2022·安徽·安庆市第四中学模拟预测）已知抛物线 的顶点为 ，与 轴的一个交
点 在点 和点 之间，其部分图像如图，则以下结论：① ；②当 时， 随 增
大而减小；③ ；④若方程 没有实数根，则 ；⑤ ，其中正确结
论是______ 填序号
【答案】②③④
【解析】
【分析】
利用图像信息，以及二次函数的性质即可一一判断．
【详解】
解：∵二次函数与x轴有两个交点，
∴b2 4ac＞0，故①错误，
观察图像可知：当x＞ 1时，y随x增大而减小，故②正确，∵A在（-3，0），（-2，0）之间，顶点D（-1，2），
∵抛物线与x轴的另一个交点为在（0，0）和（1，0）之间，
∴x=1时，y=a+b+c＜0，故③正确，
∵当m＞2时，抛物线与直线y=m没有交点，
∴方程ax2+bx+c m=0没有实数根，故④正确，
∵对称轴 ，
∴b=2a，
∵a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故⑤错误，
故答案为：②③④
【点睛】
本题考查二次函数图像与系数的关系，根的判别式、抛物线与X轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用
所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【题型5】抛物线与x轴的交点问题
1．（2022·北京通州·九年级期末）如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线
与 于B、C两点，那么线段BC的长是________．【答案】2
【解析】
【分析】
根据题意，将 分别代入 ， ，求得 的正数解，即求得 的坐标，进而
即可求得 的长．
【详解】
解： ，则 解得 ，即
解得 ，即
故答案为：
【点睛】
本题考查了根据二次函数的函数值求自变量，联立解方程是解题的关键．
【变式5-1】
2．（2021·吉林·九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴
的正半轴上，抛物线y＝﹣2x2+mx+m﹣2经过B、C两点，若OA＝2OC，则矩形OABC的周长为 _____．【答案】4
【解析】
【分析】
先求得点C的坐标，然后由OA＝2OC得到点A的坐标，进而得到点B的坐标，最后将点B的坐标代入函
数解析式求得m的值，即可得到矩形的周长．
【详解】
解：当x＝0时，y＝m﹣2，
∴点C（0，m﹣2），
∴OC＝m﹣2，
∴m≠2，
∵OA＝2OC，
∴OA＝2m﹣4，
∴A（2m﹣4，0），
∴B（2m﹣4，m﹣2），
将点B的坐标代入函数解析式得，﹣2（2m﹣4）2+m（2m﹣4）+m﹣2＝m﹣2，
解得：m＝2（舍）或m＝ ，
∴OC＝ ，OA＝ ，
∴矩形OABC的周长为2×（ + ）＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了已知二次函数的函数值求自变量的值，二次函数与坐标轴交点问题，矩形的性质，根据点 的
坐标求得点 的坐标是解题的关键．【题型6】求x轴与抛物线的截线长
1．（2020·山西·九年级期中）公园广场前有一喷水池，喷水头位于水池中央，从喷头喷出水珠的路径可近
似看作抛物线．如图是根据实际情境抽象出的图象，水珠在空中划出的曲线恰好是抛物线 （单
位：m）的一部分，则水珠落地点（点P）到喷水口（点O）的距离为________m．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据题意可以得到水珠落地点（点P）到喷水口（点O）的距离就是OP的长度，利用配方法或公式法求得
其顶点坐标的横坐标的2倍即为本题的答案．
【详解】
解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+6x，
∴y=-x2+6x=-（x-3）2+9，
∴顶点坐标为：（3，9），
∴水珠落地点（点P）到喷水口（点O）的距离为OP=3 2=6（米），
故答案为：6． ×
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决
实际问题．
【变式6-1】
2．（2021·全国·九年级课时练习）如图，抛物线 向下平移 个单位后，交 轴于 ，A
两点，则 的长为______．【答案】4
【解析】
【分析】
首先根据图象的平移规律得出平移后的抛物线的解析式，然后令 ，求出两个x的值，即可求
解．
【详解】
抛物线 向下平移 个单位后的解析式为 ,
令 ，
解得 ，
∴ 的长为4，
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查二次函数的平移及与二次函数与一元二次方程，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
专项训练
一．选择题
1．（2021·全国·九年级课时练习）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，y 0时自变量x的取值范围
是（ ）A．﹣1 x 5
B．x ﹣1或 x 5
C．x ﹣1且x 5
D．x ﹣1或x 5
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出抛物线与x轴的另一个交点坐交点坐标，根据图象即可解决问题．
【详解】
解：由图象可知，抛物线的对称轴是x=2，与x轴的一个交点坐标为 (5，0)，
设与x轴的另一个交点横坐标为x，
则2-x=5-2，
∴x=-1，
∴与x轴的另一个交点坐标为(-1，0)，
∴y＜0时，x的取值范围为x＜-1或x＞5．
故选：D．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点，对称轴等知识，解题的关键是学会根据图象确定自变量的取值范围，属于
中考常考题型．
2．（2021·四川泸州·中考真题）直线l过点(0，4)且与y轴垂直，若二次函数
（其中x是自变量）的图像与直线l有两个不同的交点，且其对称
轴在y轴右侧，则a的取值范围是（ ）
A．a＞4 B．a＞0 C．0＜a≤4 D．0＜a＜4
【答案】D
【解析】【分析】
由直线l：y=4，化简抛物线 ，令 ，利用判别式
，解出 ，由对称轴在y轴右侧可求 即可．
【详解】
解：∵直线l过点(0，4)且与y轴垂直，
直线l：y=4，
，
∴ ，
∵二次函数 （其中x是自变量）的图像与直线l有两个不同的交点，
∴ ，
，
∴ ，
又∵对称轴在y轴右侧，
，
∴ ，
∴0＜a＜4．
故选择D．
【点睛】
本题考查二次函数与直线的交点问题，抛物线对称轴，一元二次方程两个不等实根，根的判别式，掌握二
次函数与直线的交点问题转化为一元二次方程实根问题，根的判别式，抛物线对称轴公式是解题关键．
3．（2022·上海闵行·九年级期末）二次函数 的图像如图所示， 现有以下结论：
（1） ： （2） ； （3） ， （4） ； （5） ； 其中
正确的结论有（ ）A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个．
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物
线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：（1）∵函数开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的右边，∴ ，∴b＞0，故命题正确；
（2）∵a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故命题正确；
（3）∵当x=-1时，y＜0，∴a-b+c＜0，故命题错误；
（4）∵当x=1时，y>0，∴a+b+c>0，故命题正确；
（5）∵抛物线与x轴于两个交点，∴b2-4ac＞0，故命题正确；
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函
数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
4．（2021·全国·九年级课时练习）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx
＋c<0的解集是（ ）
A． B．
C． 或 D．【答案】C
【解析】
【分析】
利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c<0的解集．
【详解】
解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0），
由图象可知：ax2+bx+c<0的解集即是y＜0的解集，
∴x＜－1或x＞5，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式的关系，解决本题的关键是求出抛物线与x轴的交点坐标.
5．（2018·湖北襄阳·中考真题）已知二次函数y=x2﹣x+ m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是
（ ）
A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2
【答案】A
【解析】
【详解】
【分析】由题意可知 =(-1) 2-4×1×( m-1)≥0，解不等式即可求得m的取值范围.
△
【详解】∵二次函数y=x2﹣x+ m﹣1的图象与x轴有交点，
∴△=(-1) 2-4×1×( m-1)≥0，
解得：m≤5，
故选A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，能根据题意得出关于m的不等式是解此题的关键．
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点个数与 =b2-4ac的关系，
>0 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有2个△交点；
△=0 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有1个交点；
△<0 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴没有交点.
6．（△2020·云南昆明·中考真题）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（ ）
A．ab＜0
B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间
C．a＝
D．点P（t，y），P（t+1，y）在抛物线上，当实数t＞ 时，y＜y
1 1 2 2 1 2
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝−2a＜0，则可对A选项进行判断；利用抛
物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，则根据抛物线与x轴的交
点问题可对B选项进行判断；把B（0，−2），A（−1，m）和b＝−2a代入抛物解析式可对C选项进行判
断；利用二次函数的增减性对D进行判断．
【详解】
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴ab＜0，所以A选项的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确；
把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，而b＝﹣2a，
∴a+2a﹣2＝m，
∴a＝ ，所以C选项的结论正确；
∵点P（t，y），P（t+1，y）在抛物线上，
1 1 2 2
∴当点P、P 都在直线x＝1的右侧时，y＜y，此时t≥1；
1 2 1 2
当点P 在直线x＝1的左侧，点P 在直线x＝1的右侧时，y＜y，此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即 ＜t＜
1 2 1 2
1，
∴当 ＜t＜1或t≥1时，y＜y，所以D选项的结论错误；
1 2
故选：D．
【点睛】
本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与x轴的交点坐标，
从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质．
二、填空题
7．（2021·全国·九年级课时练习）如图，抛物线y=ax2+bx+c分别交坐标轴于A（-2，0）、B（6，0）、C
（0，4），则0≤ax2+bx+c<4的解是________．
【答案】-2≤x＜0或4＜x≤6
【解析】
【分析】
根据点A、B的坐标确定出对称轴，再求出点C的对称点的坐标，然后写出即可．
【详解】
解：∵A（-2，0）、B（6，0），
∴对称轴为直线x= =2，
∴点C的对称点的坐标为（4，4），
∴0≤ax2+bx+c＜4的解集为-2≤x＜0或4＜x≤6．故答案为：-2≤x＜0或4＜x≤6．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式，难点在于求出对称轴并得到C点的对称点的坐标．
8．（2020·山东青岛·中考真题）抛物线 （ 为常数）与 轴交点的个数是__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
求出∆的值，根据∆的值判断即可．
【详解】
解：∵∆=4(k-1)2+8k=4k2+4>0，
∴抛物线与 轴有2个交点．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴的
交点横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根．当∆=0时，二次函数与x轴有一个交点，一元二次方程有两
个相等的实数根；当∆>0时，二次函数与x轴有两个交点，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆<0
时，二次函数与x轴没有交点，一元二次方程没有实数根．
9．（2021·全国·九年级课时练习）若函数 的图像与坐标轴有三个交点，则c的取值范围是
________．
【答案】 且
【解析】
【分析】
由抛物线 与坐标轴有三个公共点，与y轴有一个交点，易知抛物线不过原点且与x轴有两个交
点，继而根据根的判别式即可求解．
【详解】
解：∵抛物线 与坐标轴有三个公共点，
∵抛物线与y轴有一个交点（0，c）,c≠0，
∴抛物线与x轴有两个交点，∴ ＞0，且 ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是利用一元二次方程的判别式来判断抛物线与坐标轴的交点
个数．
10．（2022·湖北随州·九年级期末）抛物线 的图象和 轴有交点，则 的取值范围是______．
【答案】 且
【解析】
【分析】
由题意知 ， ，计算求解即可．
【详解】
解：由题意知 ，
解得
故答案为： 且 ．
【点睛】
本题考查了二次函数与 轴的交点个数．解题的关键在于熟练掌握二次函数与 轴的交点个数．
11．（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线 与 轴的一个交点的横坐标大于1且小于
2，则m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出抛物线与x轴交点的横坐标，然后根据抛物线 与 轴的一个交点的横坐标大于1且
小于2，列不等式，解不等式即可．【详解】
解：∵抛物线 ，
∴当y=0时， ，
解得 ，
∵抛物线 与 轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴交点区间求参数范围，掌握先求抛物线与x轴交点，列不等式，解不等式是解题关
键．
12．（2018·江苏镇江·中考真题）已知二次函数y=x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范
围是_____．
【答案】k＜4
【解析】
【分析】
由题意可知抛物线与x轴有两个交点，因此运用二次函数的图象与x轴交点的性质解答即可．
【详解】
∵二次函数y=x2﹣4x+k中a=1＞0，图象的开口向上，
又∵二次函数y=x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，
∴抛物线y=x2﹣4x+k的图象与x轴有两个交点，
∴△>0，即（-4）2-4k>0，
∴k＜4，
故答案为k＜4.
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点问题，由题意得出抛物线与x轴有两个交点是解题的关键.
三、解答题
13．（2019·全国·九年级单元测试）在平面直角坐标系 中，抛物线 的对称轴为 ．求 的值及抛物线 与 轴的交点坐标；
若抛物线 与 轴有交点，且交点都在点 ， 之间，求 的取值范围．
【答案】(1) a=-1；坐标为 ， ；(2) .
【解析】
【分析】
（1）利用抛物线的对称轴方程得到x=- =-1，解方程求出a即可得到抛物线的解析式为y=-x2-2x；然后
解方程-x2-2x=0可得到抛物线与x轴的交点坐标；
（2）抛物线y=-x2-2x+m由抛物线y=-x2-2x上下平移|m|和单位得到，利用函数图象可得到当x=1时，y＜
0，即-1-2+m＜0；当x=-1时，y≥0，即-1+2+m≥0，然后解两个不等式求出它们的公共部分可得到m的范围．
【详解】
根据题意得 ，解得 ，
所以抛物线的解析式为 ，
当 时， ，解得 ， ，
所以抛物线与 轴的交点坐标为 ， ；
抛物线抛物线 由抛物线 上下平移 和单位得到，而抛物线的对称轴为直线
，
∵抛物线 与 轴的交点都在点 ， 之间，
∴当 时， ，即 ，解得 ；
当 时， ，即 ，解得 ，∴ 的取值范围为 ．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问
题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象的几何变换．
14．（2021·河南新乡·九年级期中）已知二次函数 的图象与 轴有公共点．
（1）求 的取值范围；
（2）当 为正整数时，求此时二次函数与 轴的交点坐标．
【答案】（1） ；（2） 和
【解析】
【分析】
（1）利用判别式的意义得到 =（-2）2-4（2m-2）≥0，然后解关于m的不等式即可；
（2）根据（1）中的m的取值△范围，可以取m=1，然后由二次函数解析式得到x2-2x=0，由此求得该抛物
线与x轴交点的横坐标．
【详解】
解：（1） 二次函数与 轴有公共点
（2） 为正整数
令二次函数与 轴的交点坐标为 和 ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线
与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
15．（2020·浙江宁波·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，
与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．
（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．
（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【答案】（1）A（2，1），C（3，0），当y＞0时，1＜x＜3；（2）y＝﹣（x﹣4）2+5
【解析】
【分析】
（1）把点B坐标代入抛物线的解析式即可求出a的值，把抛物线的一般式化为顶点式即可求出点A的坐
标，根据二次函数的对称性即可求出点C的坐标，二次函数的图象在x轴上方的部分对应的x的范围即为
当y＞0时x的取值范围；
（2）先由点D和点A的坐标求出抛物线的平移方式，再根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解
答即可．
【详解】
解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴A（2，1），
∵抛物线的对称轴是直线x＝2，B、C两点关于直线x＝2对称，
∴C（3，0），
∴当y＞0时，1＜x＜3；（2）∵D（0，﹣3），A（2，1），
∴点D平移到点A，抛物线应向右平移2个单位，再向上平移4个单位，
∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的平移规律和抛物线与不等式
的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的基本知识是解题的关键．
16．（2022·浙江杭州·九年级专题练习）设二次函数 （m是常数）．
(1)当 时，求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)试判断二次函数图象与x轴的交点情况；
(3)设二次函数的图象与y轴交于点 ，当 时，求n的最大值．
【答案】(1)二次函数图象的对称轴为直线 ；顶点坐标为
(2)二次函数图象与x轴无交点
(3)n的最大值为1
【解析】
【分析】
（1）把 代入得出二次函数关系式，然后求出对称轴和顶点坐标即可；
（2）令 ，判断一元二次方程解的情况即可；
（3）用m表示出n，把n看作m的二次函数，求出当 时，关于m、n组成的二次函数的最大值即
可．
(1)
解：把 代入得：
∴二次函数的对称轴为直线 ，顶点坐标为（2，13）．
(2)
令 得： ，，
，
，
一元二次方程 无实数解，
∴二次函数图象与x轴无交点．
(3)
把 代入 得：
，
时， 有最大值，且最大值为1．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，将n看作m的函数求n的最大值是解题的关
键．
17．（2022·浙江杭州·九年级专题练习）在直角坐标系中，点A(1，m)和点B(3，n)在二次函数
的图象上．
(1)若 ， ，求二次函数的表达式及图象的对称轴．
(2)若 ，试说明二次函数的图象与x轴必有交点．
(3)若点C( ， )是二次函数图象上的任意一点，且满足 ，求mn的取值范围．【答案】(1) ，对称轴为直线 ；
(2)证明见解析；
(3) ；
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法把点A(1，1)和点B(3，4)代入 中，得方程组 ，解得方程
组即可得二次函数的表达式以及二次函数图象的对称轴；
（2）把点A(1，m)和点B(3，n)代入 中，得方程组 ，从而得出a、b的关系，
进而利用 判断二次函数图象与x轴的交点即可；
（3）由点C( ， )是二次函数图象上的任意一点，且满足 得二次函数图像开口向下，即 ，顶
点坐标为(1，m)，进而求得即 于是有 ，
由 ，即可判断 ．
(1)
解：把点A(1，1)和点B(3，4)代入 中，
得 ，解得
∴二次函数的表达式为
∵二次函数图象经过(1，1)和(0，1)，
∴二次函数图象的对称轴为直线 ；
(2)解：把点A(1，m)和点B(3，n)代入 中，
得
∴ ，即
∴
∴二次函数图象与x轴必有交点；
(3)
解：∵点C( ， )是二次函数图象上的任意一点，且满足
∴二次函数图像开口向下，即 ，顶点坐标为(1，m)，
∴对称轴为直线 ，即
∴
∵ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求解二次函数的表达式、判断二次函数与x轴的交点以及二次函数的性质，熟
练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．（2022·安徽·九年级专题练习）已知抛物线y＝ax2+3ax+c(a≠0)与y轴交于点A
(1)若a＞0
①当a=1，c=－1，求该抛物线与x轴交点坐标；
②点P(m，n)在二次函数抛物线y＝ax2+3ax+c的图象上，且n－c＞0，试求m的取值范围；
(2)若抛物线恒在x轴下方，且符合条件的整数a只有三个，求实数c的最小值；
(3)若点A的坐标是(0，1)，当－2c＜x＜c时，抛物线与x轴只有一个公共点，求a的取值范围.
【答案】(1)① ， ， ， ②m>0或m<－3
(2)-9(3) 或 或
【解析】
【分析】
（1）当 ， 时， ，令 时，求解方程的解即可；②将P(m，n)代入y＝ax2+3ax+c
中，要使n－c＞0，即可得 ，解出不等式即可；
（2）根据抛物线恒在x轴下方，可得 ，求出a的取值范围，根据符合条件的整数a只有
三个，判断并求出c的取值范围，从而求出c的最小值；
（3）根据点A的坐标得到抛物线解析式为 ，然后根据－2c＜x＜c时，抛物线与x轴只有一
个公共点，分三种情况：①当 时，②当 时，③当 时，进行分类讨论求出符合题意
的a的取值范围.
(1)
解：①当 ， 时，
，
当 时， ，
解得： ， ，
抛物线与 轴的交点坐标 ， ， ， ；
② ， ，
，
，
解得： 或 ；
(2)
解：∵抛物线恒在x轴下方，
，解得： ，
∵符合条件的整数a只有三个，，
解得： ，
的最小值为 ，
(3)
解：∵点A的坐标是(0，1)，
，
，
又∵当 时，抛物线与x轴只有一个公共点，
当 时， ，
当 时， ，
①当 时，
，解得： ，
或者 ，无解
②当 时，
，无解，
或者 ，解得： ，
③当 时，解得： ，
此时， ，
令 时，则 ，解得： ，，
符合题意，
综合上述可知：a的取值范围为： 或 或 .
【点睛】
此题主要考查的是函数图象与x轴的交点问题，在x的取值范围内，根据交点个数进行分类讨论，从而求
出a的取值范围．
