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专题21.2 解一元二次方程（二）（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1、理解并掌握用因式分解法解一元二次方程；
2、理解一元二次方程根的判别式并会运用根的判别式判别一元二次方程根的情
况；
3、理解一元二次方程根与系数的关系。
【知识点梳理】
考点 1 解一元二次方程-因式分解 ：
因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
（1）移项，使方程的右边化为零；
（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
（3）令每个因式分别为零；
（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。
考点2 换元法解一元二次方程：
（1）换元法就是把某一个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问
题得到简化。
（2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现，把
换元方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的。
一些形式复杂的方程通过
考点3 一元二次方程的判别式：
根的判别式：
① 时，方程有两个不相等的实数根；
② 时，方程有两个相等的实数根；
③ 时，方程无实数根，反之亦成立
考点4 一元二次方程的根与系数：
根与系数的关系：即 的两根为 ，则 ，
利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如
。
解题技巧：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以
用韦达定理
【典例分析】
【考点1 解一元二次方程-因式分解法】
【例1】（2021秋•任丘市期末）一元二次方程x（x+2）＝0的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x ＝0，x ＝2 D．x ＝0，x ＝﹣2
1 2 1 2【变式1-1】（2021秋•陵水县期末）方程x2＝2x的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝0 C．x ＝2，x ＝0 D．x ＝ ，x ＝0
1 2 1 2
【变式1-2】（2021秋•河东区期末）方程x2＝x的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝0 C．x ＝﹣1，x ＝0 D．x ＝1，x ＝0
1 2 1 2
【变式1-3】（2021秋•上蔡县期末）方程3x（x﹣2）＝x﹣2的根为（ ）
A．x＝2 B．x＝0
C．x ＝2，x ＝0 D．
1 2
【例2】（2021秋•玄武区期末）用因分解法解下列一元二次方程：
（1）2x2﹣x﹣1＝0； （2）（2x+1）2＝（x﹣1）2．
【变式2-1】（2022春•义乌市月考）解方程：
（1）x2+6x﹣7＝0； （2）（x﹣5）2＝8（x﹣5）．
【变式2-2】（2021秋•昆明期末）用因式分解法的方法解下列方程：
（1）x2+2x﹣3＝0； （2）x﹣7﹣x（x﹣7）＝0．
【变式2-3】（2021秋•天府新区期末）用因式分解法的方法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣15＝0； （2）（x+3）2＝2x+6．【考点2 换元法解元二次方程】
【例3】（2021秋•揭西县期末）若关于x的方程（x2+2x）2+2（x2+2x）﹣8＝0有实数根，
则x2+2x的值为（ ）
A．﹣4 B．2 C．﹣4或2 D．4或﹣2
【变式3-1】（2022•芜湖一模）已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数
式x2﹣x+1的值是（ ）
A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3
【变式3-2】（2022春•蜀山区校级月考）若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8＝
0，那么x2+2x的值为（ ）
A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣4
【变式3-3】（2021秋•安居区期末）为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将
x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y ＝
1
1，y ＝4．
2
当y＝1时，x2﹣1＝1，所以 ；
当y＝4时，x2﹣1＝4，所以 ．
所以原方程的根为 ， ， ， ．
以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．
运用上述方法解下列方程：
（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；
（2）x4+x2﹣12＝0．【考点3 一元二次方程的判别式】
【例4】（2022春•雨花区校级月考）一元二次方程x2﹣4x+4＝0的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．两个相等的实数根 D．两个不相等实数根
【变式4-1】（2022•河南一模）方程x2+ x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【变式4-2】（2022•长垣市一模）将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖
直线记成 ，定义 ＝ad﹣bc．则方程 ＝﹣8的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
【变式4-3】（2022•长安区模拟）若m+n+2＝0，则关于x的一元二次方程x2﹣mx+n﹣1＝
0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【例5】（2022•罗平县一模）已知关于x的一元二次方程（1﹣a）x2+2x﹣2＝0有两个不相
等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＜ B．a＞ C．a＜ 且a≠1 D．a＞ 且a≠1
【变式5-1】（2022春•义乌市校级月考）若关于x的方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，
则k的取值范围是（ ）
A．k≥3 B．k≤3 C．k≥﹣3且k≠2 D．k≤3且k≠2
【变式5-2】（2022•太湖县校级一模）若关于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+1＝0有两个
不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣2 B．k＞2 C．k＜2且k≠﹣2 D．k＞﹣2且k≠2
【变式5-3】（2022•罗湖区模拟）若关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则实数k
的取值范围是（ ）
A．k≤﹣1且k≠0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k＞﹣1 D．k＜﹣1且k≠0
【例6】（2022•西城区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值．
【变式6-1】（2022•南海区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有两个不相
等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝﹣1时，求出此时方程的两个根．
【变式6-2】（2022•邗江区校级开学）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长．
【考点4 一元二次方程的根与系数】
【例7】（2022•三水区一模）关于x的一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个解为x ＝2，则另
1
一个解x 为（ ）
2
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【变式7-1】（2021秋•临海市期末）若一元二次方程x2﹣5x+k＝0的一根为2，则另一个根
为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式7-2】（2021•榕江县模拟）已知关于 x的一元二次方程5x2+kx﹣6＝0的一个根是
2．则另一个根是（ ）
A．﹣ B． C．3 D．﹣3【变式7-3】（2022•南海区一模）若x＝5是方程x2﹣6x+k＝0的一个根，则此方程的另一
个根是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例8】（2021•贵港）已知 ， 是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则 + ﹣
的值是（ ） α β α β αβ
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【变式8-1】（2022春•玉山县月考）方程x2+3x﹣4＝0的两根分别为x ，x ，则x +x 等于
1 2 1 2
（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3
【变式8-2】（2022•东坡区校级模拟）已知x ，x 分别为一元二次方程x2+4x﹣5＝0的两
1 2
个实数解，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式8-3】（2022•东港区校级一模）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数
根，则m2﹣6m﹣n+2022的值是（ ）
A．2016 B．2018 C．2020 D．2022
【例9】（2021秋•蓬溪县期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等
的实数根x ，x ．
1 2
（1）求m的取值范围；
（2）当 时，求m的值．
【变式9-1】（2021秋•大冶市期末）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为x 和x ，当x +x x ＝4﹣x 时，求k的值．
1 2 1 1 2 2【变式9-2】（2022•珠海二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x ，x 满足x 2+x 2＝10，求k的值．
1 2 1 2
【变式9-3】（2021•梅州模拟）关于x的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若
不存在，请说明理由．专题21.2 解一元二次方程（二）（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
4、理解并掌握用因式分解法解一元二次方程；
5、理解一元二次方程根的判别式并会运用根的判别式判别一元二次方程根的情
况；
6、理解一元二次方程根与系数的关系。
【知识点梳理】
考点 1 解一元二次方程-因式分解 ：
因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
（1）移项，使方程的右边化为零；
（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
（3）令每个因式分别为零；
（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。考点2 换元法解一元二次方程：
（1）换元法就是把某一个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问
题得到简化。
（2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，
而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现，把
换元方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的。
一些形式复杂的方程通过
考点3 一元二次方程的判别式：
根的判别式：
① 时，方程有两个不相等的实数根；
② 时，方程有两个相等的实数根；
③ 时，方程无实数根，反之亦成立
考点4 一元二次方程的根与系数：
根与系数的关系：即 的两根为 ，则 ，
利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如
。
解题技巧：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以
用韦达定理【典例分析】
【考点1 解一元二次方程-因式分解法】
【例1】（2021秋•任丘市期末）一元二次方程x（x+2）＝0的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x ＝0，x ＝2 D．x ＝0，x ＝﹣2
1 2 1 2
【答案】D
【解答】解：∵x（x+2）＝0，
∴x＝0或x+2＝0，
∴x ＝0，x ＝﹣2，
1 2
故选：D．
【变式1-1】（2021秋•陵水县期末）方程x2＝2x的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝0 C．x ＝2，x ＝0 D．x ＝ ，x ＝0
1 2 1 2
【答案】C
【解答】解：移项得，x2﹣2x＝0，
提公因式得x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
x ＝0，x ＝2，
1 2
故选：C．
【变式1-2】（2021秋•河东区期末）方程x2＝x的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝0 C．x ＝﹣1，x ＝0 D．x ＝1，x ＝0
1 2 1 2
【答案】D
【解答】解：x2＝x，
移项得x2﹣x＝0，
提公因式得x（x﹣1）＝0，
解得x ＝1，x ＝0．
1 2
故选：D．
【变式1-3】（2021秋•上蔡县期末）方程3x（x﹣2）＝x﹣2的根为（ ）
A．x＝2 B．x＝0
C．x ＝2，x ＝0 D．
1 2
【答案】D【解答】解：3x（x﹣2）＝x﹣2，
3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x﹣1）＝0，
x﹣2＝0或3x﹣1＝0，
所以x ＝2，x ＝ ．
1 2
故选：D．
【例2】（2021秋•玄武区期末）用因分解法解下列一元二次方程：
（1）2x2﹣x﹣1＝0； （2）（2x+1）2＝（x﹣1）2．
【答案】（1）x ＝1， （2）x ＝﹣2，x ＝0
1 1 2
【解答】解：（1）2x2﹣x﹣1＝0
（2x+1）（x﹣1）＝0，
故2x+1＝0或x﹣1＝0，
解得：x ＝1， ；
1
（2）（2x+1）2＝（x﹣1）2，
（2x+1+x﹣1）（2x+1﹣x+1）＝0，
则3x（x+2）＝0，
解得：x ＝﹣2，x ＝0．
1 2
【变式2-1】（2022春•义乌市月考）解方程：
（1）x2+6x﹣7＝0；
（2）（x﹣5）2＝8（x﹣5）．
【答案】（1）x ＝1，x ＝﹣7 （2）x ＝5，x ＝13．
1 2 1 2
【解答】解：（1）x2+6x﹣7＝0，
分解因式得：（x﹣1）（x+7）＝0，
所以x﹣1＝0或x+7＝0，
解得：x ＝1，x ＝﹣7；
1 2
（2）（x﹣5）2＝8（x﹣5），
移项得：（x﹣5）2﹣8（x﹣5）＝0，
分解因式得：（x﹣5）[（x﹣5）﹣8]＝0，所以x﹣5＝0或x﹣13＝0，
解得：x ＝5，x ＝13．
1 2
【变式2-2】（2021秋•昆明期末）用因式分解法的方法解下列方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）x﹣7﹣x（x﹣7）＝0．
【答案】（1）x ＝﹣3，x ＝1； （2）x ＝7，x ＝1
1 2 1 2
【解答】解：（1）（x+3）（x﹣1）＝0，
x+3＝0或x﹣1＝0，
所以x ＝﹣3，x ＝1；
1 2
（2）（x﹣7）（1﹣x）0，
x﹣7＝0或1﹣x＝0，
所以x ＝7，x ＝1．
1 2
【变式2-3】（2021秋•天府新区期末）用因式分解法的方法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣15＝0； （2）（x+3）2＝2x+6．
【答案】（1）x ＝5，x ＝﹣3 （2）x ＝﹣3，x ＝﹣1．
1 2 1 2
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣15＝0，
（x﹣5）（x+3）＝0，
则x﹣5＝0或x+3＝0，
∴x ＝5，x ＝﹣3；
1 2
（2）（x+3）2＝2x+6，
（x+3）2＝2（x+3），
移项，得（x+3）2﹣2（x+3）＝0，
则（x+3）（x+1）＝0，
∴x+3＝0或x+1＝0，
∴x ＝﹣3，x ＝﹣1．
1 2
【考点2 换元法解元二次方程】
【例3】（2021秋•揭西县期末）若关于x的方程（x2+2x）2+2（x2+2x）﹣8＝0有实数根，
则x2+2x的值为（ ）
A．﹣4 B．2 C．﹣4或2 D．4或﹣2
【答案】B
【解答】解：设x2+2x＝y，则原方程可化为y2+2y﹣8＝0，解得：y ＝﹣4，y ＝2，
1 2
当y＝﹣4时，x2+2x＝﹣4，即x2+2x+4＝0，Δ＝22﹣4×1×4＜0，方程无解，
∴x2+2x的值为2，
故选：B．
【变式3-1】（2022•芜湖一模）已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数
式x2﹣x+1的值是（ ）
A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3
【答案】A
【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，
∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0，
∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，
∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6．
当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，
∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程无实数解．
当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7
故选：A．
【变式3-2】（2022春•蜀山区校级月考）若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8＝
0，那么x2+2x的值为（ ）
A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣4
【答案】B
【解答】解：设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，
解得：y＝4或﹣2，
当y＝4时，x2+2x＝4，此时方程有解，
当y＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，此时方程无解，舍去，
所以x2+2x＝4．
故选：B．
【变式3-3】（2021秋•安居区期末）为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将
x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y ＝
1
1，y ＝4．
2当y＝1时，x2﹣1＝1，所以 ；
当y＝4时，x2﹣1＝4，所以 ．
所以原方程的根为 ， ， ， ．
以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．
运用上述方法解下列方程：
（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；
（2）x4+x2﹣12＝0．
【答案】（1）x ＝2，x ＝﹣1 （2）x ＝ ，x ＝﹣
1 2 1 2
【解答】解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4，
设x2﹣x＝a，则原方程可化为a2﹣4a+4＝0，
解此方程得：a ＝a ＝2，
1 2
当a＝2时，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0，
因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x ＝2，x ＝﹣1，
1 2
所以原方程的解是x ＝2，x ＝﹣1；
1 2
（2）x4+x2﹣12＝0，
设x2＝y，则原方程化为y2+y﹣12＝0，
因式分解，得（y﹣3）（y+4）＝0，
解得：y ＝3，y ＝﹣4，
1 2
当y＝3时，x2＝3，解得：x＝ ；
当y＝﹣4时，x2＝﹣4，无实数根，
所以原方程的解是x ＝ ，x ＝﹣ ．
1 2
【考点3 一元二次方程的判别式】
【例4】（2022春•雨花区校级月考）一元二次方程x2﹣4x+4＝0的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．两个相等的实数根 D．两个不相等实数根
【答案】C【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×4＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：C．
【变式4-1】（2022•河南一模）方程x2+ x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】D
【解答】解：∵Δ＝（ ）2﹣4×1×1＝﹣1＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D．
【变式4-2】（2022•长垣市一模）将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖
直线记成 ，定义 ＝ad﹣bc．则方程 ＝﹣8的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【解答】解：∵ ＝﹣8，
∴x2﹣6x＝﹣8，即x2﹣6x+8＝0，
∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×8＝4＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【变式4-3】（2022•长安区模拟）若m+n+2＝0，则关于x的一元二次方程x2﹣mx+n﹣1＝
0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【解答】解：∵Δ＝m2﹣4（n﹣1），
而m+n+2＝0，
即n＝﹣m﹣2，∴Δ＝m2﹣4（﹣m﹣2﹣1）
＝m2+4m+12
＝（m+2）2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【例5】（2022•罗平县一模）已知关于x的一元二次方程（1﹣a）x2+2x﹣2＝0有两个不相
等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＜ B．a＞ C．a＜ 且a≠1 D．a＞ 且a≠1
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（1﹣a）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴22﹣4（1﹣a）×（﹣2）＞0且1﹣a≠0，
整理得：4+8﹣8a＞0且a≠1
解得：a＜ 且a≠1．
故选：C．
【变式5-1】（2022春•义乌市校级月考）若关于x的方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，
则k的取值范围是（ ）
A．k≥3 B．k≤3 C．k≥﹣3且k≠2 D．k≤3且k≠2
【答案】C
【解答】解：当k﹣2＝0时，方程化为﹣2x+1＝0，解得x＝ ；
当k﹣2≠0时，根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣2）≥0，解得k≤3且k≠2，
综上所述，k的取值范围为k≤3．
故选：C．
【变式5-2】（2022•太湖县校级一模）若关于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+1＝0有两个
不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣2 B．k＞2 C．k＜2且k≠﹣2 D．k＞﹣2且k≠2
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴k+2≠0且Δ＝42﹣4（k+2）×1＞0，
解得：k＜2且k≠﹣2．故选：C．
【变式5-3】（2022•罗湖区模拟）若关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则实数k
的取值范围是（ ）
A．k≤﹣1且k≠0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k＞﹣1 D．k＜﹣1且k≠0
【答案】B
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4k×（﹣1）≥0，
解得k≥﹣1，
所以k的取值范围为k≥﹣1且k≠0．
故选：B．
【例6】（2022•西城区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值．
【答案】（1）略 (2)m的值为 或﹣
【解答】（1）证明：∵△＝（﹣4m）2﹣4（4m2﹣9）
＝36，
∵不论m取何值时，36恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：将x＝0代入x2﹣4mx+4m2﹣9＝0中，得4m2﹣9＝0，
解得：m＝ 或﹣ ．
∴m的值为 或﹣ ．
【变式1】（2022•南海区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有两个不相等
的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝﹣1时，求出此时方程的两个根．
【答案】（1）m＜ ． （2）x ＝0，x ＝3
1 2
【解答】解：（1）由题意可知：△＝9﹣4（m+1）＞0，
∴m＜ ．
（2）当m＝﹣1时，∴△＝9，
由求根公式可知：x＝ ，
∴x ＝0，x ＝3．
1 2
【变式2】（2022•邗江区校级开学）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长．
【答案】（1）无论k取何值，方程总有实数根 （2）7
【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4•（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣
1）2≥0，
∴无论k取何值，方程总有实数根；
（2）解：∵等腰三角形的底边长3，
∴另两边长即为等腰三角形的腰长，
∵另两边长恰好是这个方程的两根，
∴该方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4•（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2＝0，
解得k＝1，
将k＝1代入方程，得x2﹣4x+4＝0，
解得：x ＝x ＝2．
1 2
此时△ABC三边为3，2，2；
所以周长为3+2+2＝7．
【考点4 一元二次方程的根与系数】
【例7】（2022•三水区一模）关于x的一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个解为x ＝2，则另
1
一个解x 为（ ）
2
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【答案】B
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个解为x ＝2，
1
∴x x ＝﹣2，即2x ＝﹣2，
1 2 2
解得：x ＝﹣1．
2
故选：B．
【变式7-1】（2021秋•临海市期末）若一元二次方程x2﹣5x+k＝0的一根为2，则另一个根为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解答】解：设另一根为a，
∵一元二次方程x2﹣5x+k＝0的一根为2，
∴a+2＝5，
解得：a＝3，
则另一根为3．
故选：A．
【变式7-2】（2021•榕江县模拟）已知关于 x的一元二次方程5x2+kx﹣6＝0的一个根是
2．则另一个根是（ ）
A．﹣ B． C．3 D．﹣3
【答案】A
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2×t＝ ，解得t＝﹣ ．
故选：A．
【变式7-3】（2022•南海区一模）若x＝5是方程x2﹣6x+k＝0的一个根，则此方程的另一
个根是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：设另一根为a，
由根与系数的关系得：5+a＝6，
解得：a＝1．
故选：A．
【例8】（2021•贵港）已知 ， 是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则 + ﹣
的值是（ ） α β α β αβ
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【答案】B
【解答】解：∵ ， 是方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，
∴ + ＝﹣1， α＝﹣β2，
α β αβ∴ + ﹣ ＝﹣1+2＝1，
故α选：β B．αβ
【变式8-1】（2022春•玉山县月考）方程x2+3x﹣4＝0的两根分别为x ，x ，则x +x 等于
1 2 1 2
（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3
【答案】C
【解答】解：∵方程x2+3x﹣4＝0的两根分别为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝﹣3，
1 2
故选：C．
【变式8-2】（2022•东坡区校级模拟）已知x ，x 分别为一元二次方程x2+4x﹣5＝0的两
1 2
个实数解，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解答】解：∵x ，x 分别为一元二次方程x2+4x﹣5＝0的两个实数解，
1 2
∴x +x ＝﹣4，x •x ＝﹣5．
1 2 1 2
∴ ＝ ＝ ＝ ．
故选：B．
【变式8-3】（2022•东港区校级一模）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数
根，则m2﹣6m﹣n+2022的值是（ ）
A．2016 B．2018 C．2020 D．2022
【答案】B
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的根，
∴m2﹣5m﹣1＝0，
∴m2﹣5m＝1，
∵m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个根，
∴m+n＝5，
∴m2﹣6m﹣n+2022＝m2﹣5m﹣m﹣n+2022＝1﹣5+2022＝2018．故选：B．
【例9】（2021秋•蓬溪县期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等
的实数根x ，x ．
1 2
（1）求m的取值范围；
（2）当 时，求m的值．
【答案】（1）m＞﹣1且m≠0； （2）4
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且m≠0，
即（﹣2）2﹣4×m×（﹣1）＞0且m≠0，
解得：m＞﹣1且m≠0；
（2）∵关于的一元二次方程mx²﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x ，x ，
1 2
∴x +x ＝ ，x x ＝﹣ ，
1 2 1 2
∵x 2+x 2＝x x +1，（x +x ）2﹣2x x ＝x x +1，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
即（x +x ）2＝3x x +1，
1 2 1 2
∴（ ）2＝﹣ +1，即m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m ＝4，m ＝﹣1，
1 2
经检验，m ，m 都是分式方程的解，
1 2
∵m＞﹣1且m≠0，
∴m的值为4．
【变式9-1】（2021秋•大冶市期末）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为x 和x ，当x +x x ＝4﹣x 时，求k的值．
1 2 1 1 2 2
【答案】（1）k≤ (2)1
【解答】解：（1）当k＝0时，原方程为﹣3x+1＝0，
解得：x＝ ，
∴k＝0符合题意；
当k≠0时，原方程为一元二次方程，
∵该一元二次方程有实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0，解得：k≤ ，
综上所述，k的取值范围为k≤ ；
（2）∵x 和x 是方程kx2﹣3x+1＝0的两个根，
1 2
∴x +x ＝ ，x x ＝ ，
1 2 1 2
∵x +x x ＝4﹣x ，即x +x +x x ＝4，
1 1 2 2 1 2 1 2
∴ + ＝4，
解得：k＝1，
经检验，k＝1是分式方程的解，且符合题意．
∴k的值为1．
【变式9-2】（2022•珠海二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x ，x 满足x 2+x 2＝10，求k的值．
1 2 1 2
【答案】（1）k≤5 （2）4
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣1）≥0，
解得k≤5；
（2）根据根与系数的关系得x +x ＝4，x •x ＝k﹣1，
1 2 1 2
∵x 2+x 2＝10，
1 2
∴（x +x ）2﹣2x x ＝42﹣2（k﹣1）＝10，
1 2 1 2
解得k＝4，
∵k≤5，
∴k＝4．
故k的值是4．
【变式9-3】（2021•梅州模拟）关于x的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若
不存在，请说明理由．
【答案】（1）k≤5 (2)原方程无解，故不存在【解答】解：（1）由 ，得m＞﹣1
又∵m≠0
∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0；（5分）
（2）不存在符合条件的实数m．（6分）
设方程两根为x ，x 则 ，
1 2
解得m＝﹣2，此时Δ＜0．
∴原方程无解，故不存在．（12分）
