文档文本内容
专题21.3.1 矩形
（第二十一章 四边形）
【人教版八下 新教材】
●
知识梳理 技巧点拨............................................................................................................................................2
知识点一：矩形的定义..............................................................................................................................................................2
知识点二：矩形的性质..............................................................................................................................................................2
知识点三：矩形的判定..............................................................................................................................................................2
重点难点 考点讲练............................................................................................................................................3
考点讲练一 矩形性质理解.......................................................................................................................................................3
考点讲练二 利用矩形的性质求角度....................................................................................................................................4
考点讲练三 根据矩形的性质求线段长...............................................................................................................................5
考点讲练四 根据矩形的性质求面积....................................................................................................................................5
考点讲练五 利用矩形的性质证明.........................................................................................................................................7
考点讲练六 求矩形在坐标系中的坐标...............................................................................................................................8
考点讲练七 矩形与折叠问题..................................................................................................................................................9
考点讲练八 斜边的中线等于斜边的—半...........................................................................................................................9
考点讲练九 矩形的判定定理理解......................................................................................................................................10
考点讲练十 添一条件使四边形是矩形.............................................................................................................................11
考点讲练十一 证明四边形是矩形......................................................................................................................................12
考点讲练十二 根据矩形的性质与判定求角度...............................................................................................................13
考点讲练十三 根据矩形的性质与判定求线段长..........................................................................................................14
考点讲练十四 根据矩形的性质与判定求面积...............................................................................................................15
中考真题 实战演练..........................................................................................................................................16
难度分层 闯关训练..........................................................................................................................................19
基础夯实 能力提升..................................................................................................................................................................19
创新拓展 拔尖冲刺..................................................................................................................................................................22知识点一：矩形的定义
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
【易错点拨】
（1）由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.
（2）矩形必须具备两个条件：
①它是一个平行四边形；②它有一个角是直角，这两个条件缺一不可.
（3）矩形的定义既可以作为矩形的性质运用，又可作为矩形的判定运用.
知识点二：矩形的性质
性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.
几何语言：
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD.
1、矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质.
2、矩形是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴，分别是对边所在中点连线的直线.
3、矩形的四个角都是直角，常把矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决，同时，矩形被两条对角线
分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，也常常用到等腰三角形的性质.
4、矩形的面积 = 长×宽，矩形的面积=被对角线分成的四个面积相等的小三角形（等腰三角形）面积之
和.
知识点三：矩形的判定
矩形的判定方法：
方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)，
∴ 四边形ABCD是矩形.
方法二：对角线相等的平行四边形是矩形；
几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，
∴ 四边形ABCD是矩形.
方法三：有三个角是直角的四边形是矩形；
几何语言：∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴ 四边形ABCD是矩形.
思路总结：判定一个四边形是矩形要分两种情况：一是在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判定矩形，可以直接证出三个角是直角或先证出
四边形是平行四边形，再进一步证明有一个角是直角或对角线相等.
考点讲练一 矩形性质理解
【典例分析】（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图1，在矩形ABCD中，AB=4,AD=7，点E在边
BC上，且BE=3，动点P从点E出发，沿折线EB−BA−AD以每秒1个单位长度的速度运动．作
∠PEQ=90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连接PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运
动时间为t秒．
(1)当点P和点B重合时，求线段PQ的长________；
(2)如图2，当点P在边AD上时，猜想△PQE的形状，并说明理由；
(3)作点E关于直线PQ的对称点F，当点P运动到AB上，且点F恰好也落在边AB上时，直接写出此时t的
值．
【变式训练】（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF=BE，连接DE，DF．
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)若DE=10，BC=8，求▱ABCD的面积．
考点讲练二 利用矩形的性质求角度
【典例分析】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，矩形ABCD．
(1)只利用圆规在边AD上找一点E，使得EC平分∠BED，并说明理由；
(2)在（1）的条件下，连接CE，请探究∠AEB与∠DCE的关系，并说明理由．
【变式训练】（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接AE，过E
作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，若∠EFC=α，则∠BAF的度数为（ ）
α α
A．2α−90° B．45°+ C．45°− D．90°−α
2 2考点讲练三 根据矩形的性质求线段长
【典例分析】如图，四边形ABCD的对角线AC垂直BD于点O，O、F分别为AC、AE中点，分别过点C、
D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．
(1)求证：四边形ODEC是矩形；
(2)若OF=1，∠CAE=30°时，求AC的长．
【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=12cm，点P从点
A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动．两点同时
出发，点P到达点D停止运动（同时点Q也停止运动）．这段时间内，当运动时间为
时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形．
考点讲练四 根据矩形的性质求面积
【典例分析】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，过点D作
DE∥AC交BC的延长线于点E，点M为AB的中点，连接CM．
(1)求证：四边形ADEC是矩形；
(2)若CM=6.5，且AC=12，
①求CD和BC的长．
②求四边形ADEB的面积．【变式训练】（24-25八年级下·河南商丘·期中）综合与实践
折纸是一种艺术，其中也包含了高超的技术，数学折纸活动有益于开发智力，拓展思维，在折纸活动中体
会数学知识的内涵，理解数学知识的应用，可以让我们感悟到严谨的数学之美，还可以研究图形的运动和
性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．
定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形．这样的矩形称为完美矩形．
(1)操作发现：
如图①，将△ABC纸片按所示折叠成完美矩形EFGH，若△ABC的面积为12，BC=6，则此完美矩形的
边长FG=_____，面积为_____．
(2)类比探究：
如图②，将平行四边形ABCD纸片按所示折叠成完美矩形AEFG，若平行四边形ABCD的面积为30，
BC=6，求完美矩形AEFG的周长．考点讲练五 利用矩形的性质证明
【典例分析】（23-24八年级下·内蒙古通辽·月考）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB
于点E，点F在边C上，CF=AE，连接AF，BF．
(1)求证：四边形EBFD是矩形；
(2)若AE=3，DE=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．
【变式训练】（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）综合与实践-操作探究
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们探索以矩形为背景的折叠变化中的数学结论．
【操作探究】在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E是射线DC上一个动点，连接AE并延长交直线BC于
点F，将△ADE沿直线AE折叠得到△AGE，延长AG交直线BC于点H．
(1)如图1，当点E在线段CD上时，求证：AH=HF；
(2)如图2，当点E运动到点C位置时（此时点C，E，F重合），EG与AB交于点P，求BP的长；
1
(3)在点E的运动过程中，是否存在CF= BC的情况？若存在，直接写出CH的长度；若不存在，请说明
2
理由．考点讲练六 求矩形在坐标系中的坐标
【典例分析】（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点
C，B，D的坐标分别是(0,0)，(0,4)，(6,0)．点M从点A出发，沿AB方向在线段AB上匀速运动，速度为每
秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿CD方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运
动时间为t(s)(0<t<6)．
(1)请直接写出A点的坐标；
(2)当MN∥BC时，求t的值；
(3)若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标．
【变式训练】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A在x
轴上，顶点B在y轴上，∠C=90°，AC⊥x轴，点C的坐标为(3,6)，作△ABC关于直线AB的对称图形，
其中点C的对称点为M，且AM交y轴于点N，则点N的坐标为（ ）A．( 9) B．( 3) C． D．
0, 0, (0,2) (0,3)
4 2
考点讲练七 矩形与折叠问题
【典例分析】（24-25八年级下·甘肃平凉·期中）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边
的点F处，折痕为AE，已知AB=8，BC=10，则CE的长为 ．
【变式训练】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在长方形纸片ABCD中，点E，F分别在
AB,BC上，将∠BFE沿着EF折叠，点B刚好落在AD上的点B′处；再将∠CFD沿着DF折叠，点C刚好
落在EF上的点C′处，已知∠AB′E=30°，则∠B′FD的度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．15°
考点讲练八 斜边的中线等于斜边的—半
【典例分析】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，一根木杆AB斜靠在竖直的墙AC上，
∠BAC=32°，木杆的顶端A沿墙面下滑至A′位置，此时∠A′B′C=32°，CD，CD′分别是斜边AB，
A′B′上的中线，则∠DCD′的度数为 ．【变式训练】（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∠ABC=30°，在AB的延长线上取点D，以AD为斜边作等腰Rt△ADE，AE交BC于点F，延长ED，
CB交于点G．
(1)求∠AFB的度数．
(2)当点B是FG的中点时，求证：AF=DG．
(3)取BF的中点H，连结AH，如图2，判断△ACH的形状，并说明理由．
考点讲练九 矩形的判定定理理解
【典例分析】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）尺规作图：如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°．用2
种不同的方法作矩形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）【变式训练】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，
且AD=12cm，AB=8cm，DC=10cm，若动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段AD向点D运动；
动点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿CB向B点运动，当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动，设
点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：
(1)BC= cm；
(2)当t= 秒时，四边形PQBA成为矩形．
(3)当t为多少时，PQ∥CD？
(4)是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．
考点讲练十 添一条件使四边形是矩形
【典例分析】（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，点M在平行四边形ABCD的边AD上，
BM=CM，请从以下两个选项，①∠1=∠2，②∠3=∠4，选择一个作为已知条件，使得平行四边形
ABCD为矩形．
(1)你添加的条件是_________．（填序号）．
(2)添加条件后，请证明平行四边形ABCD为矩形．【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在▱ABCD中，M，N是BD上的两点，BM=DN，
连接AM，MC，CN，NA．为使得四边形AMCN是矩形，可以添加的一个条件是
（写出一种情况即可）．
考点讲练十一 证明四边形是矩形
【典例分析】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
OA=OB=OC=OD，AE交BC于点E，交BD于点G，F是AC上的一点，EF⊥AC．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若AB=8，BC=6，E为BC中点，求EF的长；
CF+BG CF+BG CF+BG
(3)若BE=EF=EG，现有以下3个结论：① >1，② =1，③ <1．请你看
OA OA OA
一看，想一想，证一证以上3个结论中正确的一个．【变式训练】如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，CF=AE，连
接AF，BF．
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若AF平分∠DAB，CF=3，DF=5，求四边形BFDE的面积．
考点讲练十二 根据矩形的性质与判定求角度
【典例分析】（24-25八年级下·江苏淮安·月考）已知▱ABCD中，点E为BC上一点，且AB=BE，
AE、DC的延长线交于点F，连BD．
(1)如图1，求证：CE=CF；
(2)如图2，若∠ABC=90°，M是EF的中点，求∠BDM的度数．【变式训练】在一次数学活动中，小辉将一块矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF．把
纸片展开，再一次折叠纸片，使点A落在N上，得到折痕BM．
(1)若点N刚好落在折痕EF上时，
1
①如图1，过N作NG⊥BG，求证：NG= BN；
2
②如图2，求∠AMN的度数；
(2)如图3，当M为射线AD上的一个动点时，已知AB=3，BC=5，若△BNC的直角三角形时，求AM的
长．
考点讲练十三 根据矩形的性质与判定求线段长
【典例分析】（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
P为AB边上（不与A、B重合）的动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的
最小值是 ．【变式训练】（24-25八年级下·湖北十堰·月考）如图，在矩形ABCD中，AB=15，BC=8，点P是对
角线AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥AD于点E，PF∥BC交CD于点F，
连接EF，则EF的最小值为 ．
考点讲练十四 根据矩形的性质与判定求面积
【典例分析】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：点B、F、E、D在同一直线上，AE=CF，
AB∥CD，∠AEB=∠CFD．
(1)如图1，求证：BF=DE；
(2)如图2，连接AD、BC、AF、CE和AC，AC交BD于点G，若AC=BD，BF=GF，在不添加任何
辅助线的条件下，请直接写出图2中是△CGE面积3倍的所有三角形．【变式训练】在矩形ABCD中，AB=4，BC=3．若点P是CD上任意一点，如图①，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于
点F．
(1)猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出你的理由．
(2)当点P是AD上任意一点时，如图②，猜想PE和PF之间的数量关系
(3)当点P是DC上任意一点时，如图③，猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出推理过程．
【演练1】（2025·四川·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O
,∠AOB=60°,AB=4，则AC的长为 ．【演练2】（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，矩形ABCD．
(1)尺规作图：在CD边上找一点E，将矩形ABCD沿BE折叠，使点C落在边AD上；（不写作法，保留作
图痕迹）
(2)在（1）所作图形中，若AB=3，BC=5，求CE的长．
【演练3】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在CB延长线上，点F在BC延长
线上，且BE=CF，连接AE、DF．
求证：
(1)△ABE≌△DCF；
(2)∠EAD=∠FDA．【演练4】（2025·河北·中考真题）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A′处，A′D交BC
于点E．将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C′处，下列结论一定正确的是（ ）
A．∠1=45°−α B．∠1=α C．∠2=90°−α D．∠2=2α
【演练5】（2024·湖北恩施·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将矩形ABCD沿
BE所在的直线折叠，C，D的对应点分别为C′，D′，连接AD′交BC′于点F．
(1)若∠DED′=70°，求∠DAD′的度数；
(2)连接EF，试判断四边形C′D′EF的形状，并说明理由．基础夯实 能力提升
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列结
论一定正确的是（ ）
A．∠CAD=∠CAB B．OA=OD
C．OA=AB D．AC所在直线为矩形ABCD的对称轴
2．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P为斜边AB
上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为( )
A．4.8 B．2.4 C．6 D．5
3．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，AD，BE是△ABC的高，AB=AC，∠BAC=50°，则
∠BED的度数为（ ）
A．40° B．25° C．22.5° D．30°
4．（2026·浙江·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，且CD<BC，
以点C为圆心，CD长为半径画弧交边BC于点E，连接DE．若∠A=x，则∠BED的度数为（ ）1 3 1
A．90°+ x B．45°+ x C．90°+x D．135°− x
2 2 2
5．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在E处，BE
与AD相交于点O，若AB=4,BC=8，则OD的长为 ．
6．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB=AD，点E，点F分别是AC，BD的中点，EF=2.5，则
AC的长为 ．
7．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8,M是
AB的中点，则CM的值为 ．
8．（24-25八年级下·广东江门·月考）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周
长为9，AC=6，求BC的长．9．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，在△ABC中，点O为AC的中点，过点O作直线l，请利用
尺规作图法在直线l上作点E，F（E在F的左侧），连接AE，CE，AF，CF，使得四边形AECF为矩形．
（保留作图痕迹，不写作法）
10．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，在四边形ABCD中，H是BC的中点，作射线AH，在线段
AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，BF，CE，CF．
(1)请你在①BE∥CF；②EH=FH中选择一个作为条件，证明△BEH≌△CFH．
(2)在（1）的条件下，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由．创新拓展 拔尖冲刺
1．如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向左水平滑动到CD位置时，
滑动过程中OM的变化规律是（ ）
A．变小 B．不变 C．变大 D．先变小再变大
2．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，长方形纸片ABCD中，BC=2,DC=1，将它沿对角线
AC折叠，使点D落在点E处，则BF为（ ）
3
A． B．2 C．1 D．3
4
3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．将矩形沿AC折叠，点
D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）A．10 B．12 C．16 D．20
4．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=2，过对角线BD的中点O作BD
5
的垂线交AD于点E，交BC于点F，且BF= ，P是BD上的动点，连接PA，PE，则PA+PE的最小值为
2
．
5．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯
形，如果AB=6，那么BC= ．
6．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）如图，在四边形ABCD中,BD平分∠ABC，CD⊥BD，AC=5，
BC−AB=2，当△ADC面积最大时,AD的长为 ．
7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED．(1)求证：△BEC是等腰三角形．
(2)若∠ABE=45°，AB=2，求BC的长．
8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，过点A作
AN∥BC，过点C作CE⊥AN，垂足为E．求证：四边形ADCE是矩形．
9．（25-26八年级下·全国·周测）如图，∠ABC=∠ADC=90°，OA=OC．(1)求证：OB=OD．
(2)若∠ACD=30°，OB=6，求AD的长．
10．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在▱ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC，交BC的
延长线于点E，M为AB的中点，连接CM．
(1)求证：四边形ADEC是矩形；
(2)若CM=13，且AC=24，求四边形ADEB的面积．
