文档内容
21.2 解一元二次方程
【考点归纳】
【知识梳理】
知识点一 直接开平方法
（1）依据平方根的意义，将形如 的一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程．
（2）步骤：
①将方程转化为 （或 ）的形式；
②分三种情况降次求解：
（ⅰ）当 时， ， ；
（ⅱ）当 时， ；
（ⅲ）当 时，方程无实数根．
知识点二 配方法
（1）定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．
（2）利用配方法解一元二次方程的一般步骤：
一移：将常数项移到方程等号的右边．
二除：如果二次项系数不是 ，将方程两边同时除以二次项系数，将其化为 ．
三配：方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方的形式．
四开：如果方程的右边是一个非负数，就可以直接降次解方程；如果是一个负数，则原方程无实数根．
（3）配方法解一元二次方程：
①配方后，化为 型的方程，当 时，可用直接开方法求解．②若 时，方程有两相等的根，即 ，而不是一个根 ．
③为便于配方，配方前应把二次项系数化为 1 ，要注意出现只在方程一边加上一次项系数一半的平方这种错
误的情况．
知识点三 公式法
（1）一元二次方程根的判别式：
一般地，式子 叫做方程 根的判别式，通常用希腊字母 表示，即 ．
①当 >0时，方程 有两个不相等的实数根，即 ．
②当 =0时，方程 有两个相等的实数根，即 ．
③当 <0时，方程 没有实数根．
（2）求根公式：当 时，方程 的实数根可写为 的形式，这个式子
叫做一元二次方程 的求根公式．
（3）公式法解一元二次方程的步骤：
①把方程化为一般形式；
②确定 、 、 的值；
③计算 的值；
④当 时，把 、 、 的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当 时，方程
没有实数根．
知识点四 因式分解法
（1）当方程缺少一次项时，可考虑用平方差公式分解因式．
（2）当方程缺少常数项时，可考虑用提公因式法分解因式，且方程一定有一根为 ．
（3）当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作整体，直接因式分解．
知识点五 选择合适的方法解一元二次方程
方法名称 理论依据 适用范围
直接降次法 平方根的意义
形如 或 的一元二次方程
配方法 完全平方公式 所有一元二次方程公式法 配方法 所有一元二次方程
若 ，则 一边为 ，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二
因式分解法
或 次方程
⑴在没有规定解法时，解一元二次方程可以按下列次序选择解法：直接降次法→因式分解法→公式法→配方法．
⑵如果二次项系数为 ，一次项系数为偶数，用配方法比较简单，否则，因其步骤较为烦琐，一般不用配方法．
【题型探究】
题型一：直接开平方法解一元二次方程
【例1】．（25-26九年级上·全国）用直接开平方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国）直接开平方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【跟踪训练2】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程：
(1)
(2) ．
题型二、配方法解一元二次方程
【例2】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【跟踪训练2】．（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
题型三、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【例3】．（24-25九年级上·广东潮州·阶段练习）关于 的一元二次方程 根的情况（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【跟踪训练1】．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知关于 的方程 ．
(1)求证：方程必有两个不等实数根；
(2)当 取 的整数时，存在两个有理数根，求 的值和这两个有理数根．
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知关于x的方程 ，有两个
不相等的实数根：
(1)求k的取值范围；
(2)若这个方程有一个根为2，求k的值．题型四、根据一元二次方程根的情况求参数
【例4】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·北京西城·阶段练习）如果关于x的方程 有实数根，则a的取值范
围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【跟踪训练2】．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的
取值范围为（ ）
A． B．
C． 且 D． 或
题型五、公式法解一元二次方程
【例5】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【跟踪训练2】．（22-23九年级上·全国·期中）用公式法解下列方程．(1) ；
(2) ；
(3) ．
题型六、因式分解法解一元二次方程
【例6】．（24-25九年级上·全国·期末）解一元二次方程：
(1)
(2) ．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）解方程：
(1) ；
(2) ．
【跟踪训练2】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解下列方程：
(1)
(2)
题型七、换元法解一元二次方程
【例7】．（24-25九年级上·广东·期末）已知实数 、 满足 ，试求 的值．
解：设 ，
则原方程可化为 ，即 ：
解得 ．
∵ ，
∴
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，
若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，根据以上阅读材料为内容，解决下列问题：
(1)若四个连续正整数的积为120，直接写出这四个连续的正整数．
(2)已知实数 、 满足 ，求 的值．
【跟踪训练1】．（2025九年级上·全国·专题练习）请运用“整体换元法”解方程：
(1) ．
(2) ．
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料：
解方程 ，
解：设 ，则原方程化为 ，
解得 ， ．
当 时， ，解得： ；
当 时， ，解得 ．
原方程的解为： ， ， ， ．
以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思
想．
(1)请用上述方法解下列方程： ；(2)已知实数 ， 满足 ，求 的值．
题型八：用合适的方法解一元二次方程
【例8】．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）解方程：
(1) （用配方法）；
(2) （用公式法）；
(3) ；
(4) ．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·期中）用适当方法解下列方程∶
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
【跟踪训练2】．（25-26九年级上·四川成都）解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．【跟踪训练3】．（25-26九年级上·新疆·阶段练习）解方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
题型九：解一元二次方程的综合问题
【例9】．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）【阅读感知】
我们知道，解如 的方程可以通过因式分解将其转化为： ，这样就可以得到： 或
从而求出方程的解．类似的，我们也可以利用因式分解来解一些新的方程，例如一元三次方程 ，可
以通过提公因式法把它转化为： ，从而得到 或 ，再解方程就可以得到
【理解应用】
（1）将 因式分解得______
（2）解方程：
【知识拓展】
（3）试求方程组 的解
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若 ，求 的值；
(3)若方程有一个根不小于5，求 的取值范围．
【跟踪训练2】．（23-24九年级上·福建泉州·自主招生） 已知关于 的方程 ．
(1)若两根异号，且正根的绝对值较大，求整数 的值；
(2)若等腰 的一边长为 ，另两边的长恰好是方程的两个根，求 的周长
【高分演练】
一、单选题
1．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）用公式法解方程 时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次
是（ ）
A．0， ， B．1， ， C．1，3， D．1， ，
2．（24-25九年级上·北京海淀·期中）用配方法解一元二次方程 时，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）关于x的一元二次方程 有实数根，则 满足（ ）
A． B． C． ，且 D． ，且
4．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）用配方法解方程 ，配方后的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．（25-26九年级上·山东青岛·开学考试）对于实数 ，定义一种新运算“ ”：当 时， ；
当 时， ．若 ，则实数 （ ）
A．10 B．4 C．4或 D．4或 或106．（24-25八年级下·安徽淮北）已知关于x的一元二次方程 的解是 ， ，则另一个关于x
的方程 的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
7．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）关于 的方程 ，下列解法完全正确的是（ ）
甲 乙 丙 丁
移项得
整理得 ， 整理得
两边同时
1）
， ， ，配方得
除以 =0， ， ，
（x-1）
，
得到 ， ，
3． 或 ，
． ．
， ．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）对于一元二次方程 ，下列说法：
①若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
②若 是一元二次方程 的根，则 ；
③存在实数 ，使得 ；
④若 是方程 的一个根，则一定有 成立
其中正确的有（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③
二、填空题
9．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是 ．
10．（22-23九年级上·江苏·期中）已知三角形的两边长分别是4和 7，第三边长是方程 的根，则
第三边的边长是 ．
11．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知方程 可以配方成 的形式，那么可以配方成 ．
12．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）关于 的方程 的解是 ， （ 、 、 均为
常数， ），则方程 的解是 ．
13．（21-22九年级下·安徽宣城·自主招生） 为方程 的两个根，则代数式
的值为 ．
14．（25-26九年级上·重庆·开学考试）已知在正比例函数 中， 的值随着 的增大而增大，且关于
的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数 的值之和为 ．
三、解答题
15．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段练习）解方程：
(1)
(2) ；
(3)
(4) ．
16．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）解方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
17．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．(2)若 为等腰三角形， ，另外两条边是方程的根，求 的周长．
18．（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，四边形 是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是
和 的边长，易知 ，这时我们把关于x的形如 的一元二次方程称为“勾
系一元二次方程”．请解决下列问题：
(1)试判断方程 是不是“勾系一元二次方程”；
(2)求关于x的“勾系一元二次方程” 的实数根；
(3)若 是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 的周长是12，求 面积．
