文档内容
21.2 解一元二次方程
【考点归纳】
【知识梳理】
知识点一 直接开平方法
（1）依据平方根的意义，将形如 的一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程．
（2）步骤：
①将方程转化为 （或 ）的形式；
②分三种情况降次求解：
（ⅰ）当 时， ， ；
（ⅱ）当 时， ；
（ⅲ）当 时，方程无实数根．
知识点二 配方法
（1）定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．
（2）利用配方法解一元二次方程的一般步骤：
一移：将常数项移到方程等号的右边．
二除：如果二次项系数不是 ，将方程两边同时除以二次项系数，将其化为 ．
三配：方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方的形式．
四开：如果方程的右边是一个非负数，就可以直接降次解方程；如果是一个负数，则原方程无实数根．
（3）配方法解一元二次方程：
①配方后，化为 型的方程，当 时，可用直接开方法求解．②若 时，方程有两相等的根，即 ，而不是一个根 ．
③为便于配方，配方前应把二次项系数化为 1 ，要注意出现只在方程一边加上一次项系数一半的平方这种错
误的情况．
知识点三 公式法
（1）一元二次方程根的判别式：
一般地，式子 叫做方程 根的判别式，通常用希腊字母 表示，即 ．
①当 >0时，方程 有两个不相等的实数根，即 ．
②当 =0时，方程 有两个相等的实数根，即 ．
③当 <0时，方程 没有实数根．
（2）求根公式：当 时，方程 的实数根可写为 的形式，这个式子
叫做一元二次方程 的求根公式．
（3）公式法解一元二次方程的步骤：
①把方程化为一般形式；
②确定 、 、 的值；
③计算 的值；
④当 时，把 、 、 的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当 时，方程
没有实数根．
知识点四 因式分解法
（1）当方程缺少一次项时，可考虑用平方差公式分解因式．
（2）当方程缺少常数项时，可考虑用提公因式法分解因式，且方程一定有一根为 ．
（3）当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作整体，直接因式分解．
知识点五 选择合适的方法解一元二次方程
方法名称 理论依据 适用范围
直接降次法 平方根的意义
形如 或 的一元二次方程
配方法 完全平方公式 所有一元二次方程公式法 配方法 所有一元二次方程
若 ，则 一边为 ，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二
因式分解法
或 次方程
⑴在没有规定解法时，解一元二次方程可以按下列次序选择解法：直接降次法→因式分解法→公式法→配方法．
⑵如果二次项系数为 ，一次项系数为偶数，用配方法比较简单，否则，因其步骤较为烦琐，一般不用配方法．
【题型探究】
题型一：直接开平方法解一元二次方程
【例1】．（25-26九年级上·全国）用直接开平方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ， (2) ，
【分析】本题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
（1）直接利用开平方解方程得出答案；
（2）方程两边同时开平方，进而得出答案．
【详解】（1） ，则 ，解得： ， ；
（2） ．
，
解得： ， ．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·课后作业）直接开平方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先两边同时除以5，再直接开平方，即可作答．
（2）先移项，再直接开平方，即可作答．
【详解】（1）解：∵ ，∴ ，
解得 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
解得
【跟踪训练2】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程：
(1)
(2) ．
【答案】(1) 4，
(2) 4，
【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先在两边同时除以2，得 ，再直接开平方法，即可作答．
（2）先移项，在两边同时除以3，得 ，再直接开平方法，即可作答．
【详解】（1）解：∵ ，
∴两边同时除以2，得 ，
则 ，
∴ 或 ，
解得 4， ．
（2）解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
解得 4，
题型二、配方法解一元二次方程
【例2】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了解一元二次方程 配方法，熟练掌握解一元二次方程 配方法是解题的关键．
（1）利用解一元二次方程 配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程 配方法，进行计算即可解答；
（3）利用解一元二次方程 配方法，进行计算即可解答；
（4）利用解一元二次方程 配方法，进行计算即可解答．
【详解】（1）解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ 或 ，
∴ ， ；
（2）解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ， ；
（3）解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，∴ ， ；
（4）解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ， ．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法，是解题的关键：
（1）方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方，解方程即可；
（2）先把常数项移到等式右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方，解方程即可；
（3）将等式左边的式子展开，移项，合并同类项，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方，解方程
即可；（4）先把二次项的系数化为1，再把常数项移到等式右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方，
解方程即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
；
∴ ；
（2） ，
，
，
，
∴ ，
∴ ；
（3） ，
，
，
，
，
，
∴ ；
（4） ，
，，
，
，
，
∴ ．
【跟踪训练2】．（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键．
（1）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开
方即可求出解．
（2）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开
方即可求出解．
（3）将方程化为一般式，方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全
平方公式变形后，开方即可求出解．
【详解】（1）解：方程变形得： ，
配方得： ，
即 ，开方得： ，
， ；
（2）解：方程变形得： ，
配方得： ，
即 ，
开方得： ，
解得： ；
， ；
（3）解：整理得： ，
配方得： ，
即 ，
开方得： ，
， ．
题型三、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【例3】．（24-25九年级上·广东潮州·阶段练习）关于 的一元二次方程 根的情况（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了根的判别式．根据方程的系数与根的判别式，得到 ，再由根的判别式
的意义判断方程根的情况，即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选C．【跟踪训练1】．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知关于 的方程 ．
(1)求证：方程必有两个不等实数根；
(2)当 取 的整数时，存在两个有理数根，求 的值和这两个有理数根．
【答案】(1)方程必有两个不等实数根；
(2)m的值为1，这两个有理数根为 和 ．
【分析】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程．
（1）由方程的系数结合根的判别式 ，可得出 ，进而可证出方程必有两个不等实数根；
（2）由m的取值范围及方程存在两个有理数根，可得出 ，代入后可得出原方程为 ，且 ，
再利用公式法，即可求出原方程的两个有理数根．
【详解】（1）证明：
．
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴方程必有两个不等实数根；
（2）解：∵当m取 的整数时，存在两个有理数根，且 ，
∴ ，
∴原方程为 ，且 ，
∴此时原方程的解为 ，
∴m的值为1，这两个有理数根为 和 ．
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知关于x的方程 ，有两个不相等的实数根：
(1)求k的取值范围；
(2)若这个方程有一个根为2，求k的值．
【答案】(1)
(2)3
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解以及根的判别式，利用方程根与判别式的关系得出是解题关键：
（1 ）利用方程根与判别式的关系，得出根的判别式符号直接解不等式得出即可；
（2 ）将 代入，进而求出k的值，进而得出方程的解．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： ；
（2）解：∵方程的一个根是2，
∴代入方程得：
即 ，
解得： 或 ，
∵ ，
∴ ．
题型四、根据一元二次方程根的情况求参数
【例4】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条
件：（1）二次项系数不为零；（2）有不相等的实数根时，必须满足 ．利用此条件转化即可解得参
数的范围．
【详解】解：依题意列得 ，
解得 且 ．
故选：C．【跟踪训练1】．（25-26九年级上·北京西城·阶段练习）如果关于x的方程 有实数根，则a的取值范
围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根
的判别式．
利用一元二次方程根的判别式列不等式求解，然后进行验证即可．
【详解】解：根据题意得，当 时，
，
解得 ，且 ；
当 时，原方程为一元一次方程 ，
解得 ，有实数根；
综上，当 时，原方程有实数根．
故选：B．
【跟踪训练2】．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的
取值范围为（ ）
A． B．
C． 且 D． 或
【答案】C
【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，以及一元二次方程定义，解题的关键在于熟练掌握相关知
识．
根据关于x的一元二次方程 有实数根，得 ，且 ，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴ ，且 ，
解得 ，∴a的取值范围是 且 ，
故选：C．
题型五、公式法解一元二次方程
【例5】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ， ．
【分析】本题考查利用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解本题的关键，属基础题．
（1）把 ， ， 代入求根公式计算即可；
（2）把 ， ， 代入求根公式计算即可；
（3）把 ， ， 代入求根公式计算即可．
【详解】（1）解： ，
， ， ，
，
，
；
（2） ，
， ， ，
，
，；
（3） ，
， ， ，
∴ ，
，
， ．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1) ， ；
(2)方程没有实数解；
(3) ， ．
【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到 ，然后利用求根公式得到方程的解；
（2）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到 ，然后利用根的判别式的意义判断方程没有实数
解；
（3）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到 ，然后利用求根公式得到方程的解．
【详解】（1）解： ，
， ， ，
，
，
， ；
（2） ，
方程化为一般式为 ，
， ， ，，
方程没有实数解；
（3） ，
方程化为一般式为 ，
， ， ，
，
，
， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程 公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
【跟踪训练2】．（22-23九年级上·全国·期中）用公式法解下列方程．
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2) ，
(3)此方程无实数根
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是先将方程化为一般形式 （ ），计算
判别式 判断根的情况，再代入求根公式 求解．
（1）方程已是一般形式，直接确定 、 、 ，计算 ，因 ，代入求根公式得两个相等实数根；
（2）先将方程展开整理为一般形式 ，确定 、 、 ，计算 ，代入求根公式得两
个不相等实数根；
（3）先将方程整理为一般形式 （或化简为 ），确定 、 、 ，计算 ，判断方程无实数根．
【详解】（1）解：方程为一般形式， ， ， ， ，
代入求根公式： ，
故方程的根为： ．
（2）解：展开整理为一般形式： ，
即 ， ， ， ， ，
代入求根公式： ，
故方程的根为： ， ．
（3）解：整理为一般形式： （化简： ）， ， ， ，
，
判别式小于0，
∵此方程无实数根．
∴题型六、因式分解法解一元二次方程
【例6】．（24-25九年级上·全国·期末）解一元二次方程：
(1)
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据题目特点，选择适当的解法是解题的关键．
（1）用因式分解法计算即可．
（2）用因式分解法计算即可．
【详解】（1）∵
∴ ，∴ ，
∴ ，
解得 ．
（2）∵
∴ ，
∴ ，
解得 ．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查利用十字相乘法因式分解来解一元二次方程：
（1）利用十字相乘法分解因式即可求解；
（2）利用十字相乘法分解因式即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【跟踪训练2】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解下列方程：(1)
(2)
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法—因式分解，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的解法；
（1）根据因式分解中的提公因式法解题即可；
（2）运用十字相乘法分解因式即可；
【详解】（1）解： ，
，
，
∴ ；
（2）解： ，
，
∴ ，
∴ ．
题型七、换元法解一元二次方程
【例7】．（24-25九年级上·广东·期末）已知实数 、 满足 ，试求 的值．
解：设 ，
则原方程可化为 ，即 ：
解得 ．
∵ ，
∴
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，
若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，根据以上阅读材料为内容，解决下列问题：
(1)若四个连续正整数的积为120，直接写出这四个连续的正整数．
(2)已知实数 、 满足 ，求 的值．
【答案】(1)这四个连续的正整数为 ， ， ， ；
(2) 的值为 ．
【分析】本题考查平方差公式，解题的关键是正确理解“换元法”．
（1）设这四个连续的正整数为 ， ， ， ， ，根据题意列方程，用换元法求解即可；
（2）设 ，根据题意列方程，用换元法求解即可．
【详解】（1）解：设这四个连续的正整数为 ， ， ， ， 为正整数，
根据题意可得 ，
∴ ，
设 ， ，则 ，
解得 或 （舍去），
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
答：这四个连续的正整数为 ， ， ， ．
（2）解：设 ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
答： 的值为 ．【跟踪训练1】．（2025九年级上·全国·专题练习）请运用“整体换元法”解方程：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是利用整体换元法解方程
的关键．
（1）根据“整体换元法” 设 ，则原方程可化为： ，解新的一元二次方程，解出未知数后代
入即可求解原方程的解．
（2）根据“整体换元法” 设 ，则原方程可化为： ，解新的一元二次方程，解出未知数
后代入即可求解原方程的解．
【详解】（1）解：设 ，
则原方程可化为 ，解得 ．
当 时， ；
当 时， ，此方程无解．
综上所述，原方程的解为 ．
（2）解：设 ，则原方程可化为 ，
解得 ．
当 时， ；
当 时， ．
综上所述，原方程的解为 ．
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料：
解方程 ，解：设 ，则原方程化为 ，
解得 ， ．
当 时， ，解得： ；
当 时， ，解得 ．
原方程的解为： ， ， ， ．
以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思
想．
(1)请用上述方法解下列方程： ；
(2)已知实数 ， 满足 ，求 的值．
【答案】(1) ， ；
(2) ．
【分析】本题主要考查了运用换元法解方程．解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，通过换元的方法降
低方程的次数，从而达到简化方程的目的，使解方程更容易．
（1）设 ，则原方程可化为 ，利用因式分解法求出未知数 的值，从而把一元二次方程转化
为两个一元一次主程，通过解一元一次方程求出原方程的解；
（2）设 ，则原方程化为 ，通过解一元二次方程求出 的值，即可得到 的值，
根据平方的非负性把不符合条件的解舍去．
【详解】（1）解：
设 ，
则原方程可化为 ，
分解因式可得： ，
解得： ， ，
当 时，可得： ，
解得： ，
当 时，可得： ，解得： ，
原方程的解为 ， ；
（2）解： ，
整理得： ，
设 ，
则原方程化为 ，
整理得： ，
分解因式可得： ，
解得： ， ，
当 时， ，
当 时， (不符合题意，舍去)，
．
题型八：用合适的方法解一元二次方程
【例8】．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）解方程：
(1) （用配方法）；
(2) （用公式法）；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，(4) ，
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法、公式法和配方法．
（1）利用配方法得到 ，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
（3）利用因式分解法把方程转化为 或 ，然后解两个一次方程即可；
（4）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
∴ ，
解得 ， ；
（2）解： ，
，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
（3）解： ，
，
，
∴ 或 ，
解得： ， ；（4）解： ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·期中）用适当方法解下列方程∶
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
【答案】(1)
(2) ， ；
(3)
(4)
【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择合适的解法，如直接开平方法、因式分解
法、公式法等．
（1）方程 ，可先将方程两边同时除以4，再用直接开平方法求解；
（2）方程 ，尝试用因式分解法求解；
（3）方程 ，用公式法求解；
（4）方程 ，把 看成一个整体，用因式分解法求解．【详解】（1）解：（1） ，即 ，
或 ，
；
（2）解： ，
，
，
；
（3）解： ，
，
，
，
；
（4）解： ，
设 ，则方程变形为 ，
，
即 ，
或 ，
或 ，
则 或 ，
解得 ．
【跟踪训练2】．（25-26九年级上·四川成都·开学考试）解下列方程：
(1) ；
(2) ；(3) ；
(4) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
(4) ，
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，换元法解一元二次方程，解题关键是
掌握上述知识点并能熟练运用求解．
（1）用公式法求解；
（2）用因式分解法求解；
（3）先化为一般形式，再用公式法求解；
（4）用换元法求解．
【详解】（1）解： ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
， ， ，
，
，
即 ， ；
（2） ，
两边同除以2，得 ，
方程左边分解因式，得 ，
所以 或 ，解得 ， ；
（3） ，
去括号，得 ,
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
， ， ，
,
所以 ， ；
（4）设 ，
则原方程可化为 ，
去括号，得 ，
即 ，
所以 ，
所以 或 ，
解得： 或 ，
所以 ， ，
解得： ， ．
【跟踪训练3】．（25-26九年级上·新疆·阶段练习）解方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1) ；(2)原方程无实数根
(3) ；
(4)
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握相关运算方法为解题的关键．
（1）利用因式分解法求该方程的解即可；
（2）利用公式法求该方程的解即可；
（3）先整理方程，再利用配方法求该方程的解即可；
（4）利用因式分解法求该方程的解即可．
【详解】（1）解： ，
，
或 ，
；
（2） ，
，
，
原方程无实数根；
（3） ，
整理得： ，
，
，
，
；
（4） ，
，，
或 ，
．
题型九：解一元二次方程的综合问题
【例9】．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）【阅读感知】
我们知道，解如 的方程可以通过因式分解将其转化为： ，这样就可以得到： 或
从而求出方程的解．类似的，我们也可以利用因式分解来解一些新的方程，例如一元三次方程 ，可
以通过提公因式法把它转化为： ，从而得到 或 ，再解方程就可以得到
【理解应用】
（1）将 因式分解得______
（2）解方程：
【知识拓展】
（3）试求方程组 的解
【答案】（1） （2） （3） 或
【分析】本题考查解方程和方程组，熟练掌握因式分解法解方程（组），是解题的关键：
（1）提公因式法进行因式分解即可；
（2）利用因式分解法解方程即可；
（3）利用平方差公式法将 进行因式分解，将方程组化为两个二元一次方程组，进行求解即可．
【详解】解：（1） ，
∴ ；
（2） ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵ ，
∴ ，
∴ 可化为： 或 ，
解得 或 ．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若 ，求 的值；
(3)若方程有一个根不小于5，求 的取值范围．
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)
【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“
时，方程有实数根”；根与系数的关系，若 是方程 的根，则 ，利用
因式分解法求出方程的解．
（1）计算根的判别式的值，利用配方法得到 ，根据非负数的性质得到 ，然后根据判别式的意义
得到结论；
（2）根据根与系数的关系，得到 ，先展开 ，再代入
求解即可；（3）利用因式分解法解一元二次方程可得出 ，结合该方程有一个根不小于5，可得出
，解之即可得出m的取值范围．
【详解】（1）证明： ， ， ，
，
方程总有两个实数根．
（2）由 是方程 的根，
，
，
解得 ．
（3） ，
即 ，
，
方程有一个根不小于5，
，
．
的取值范围是 ．
【跟踪训练2】．（23-24九年级上·福建泉州·自主招生） 已知关于 的方程 ．
(1)若两根异号，且正根的绝对值较大，求整数 的值；
(2)若等腰 的一边长为 ，另两边的长恰好是方程的两个根，求 的周长
【答案】(1)
(2)等腰三角形的周长为 或
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，解一元二次方程，三角形的三边关系，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
（1）利用公式法进行求解一元二次方程，得出 ， ，再利用两根异号，且正根的绝对值较大，得出
，即可求解；
（2）当边长为3的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得m的值，再解方程，确定出三边长；当边长
为3的边为腰时，则可知方程有一个根为3，代入可求得m的值，则可求得方程的另一根，进而求得周长，注意根
据三角形的三边关系定理判断是否成立．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵两根异号，且正根的绝对值较大，
∴ ，
∴整数 的值为 ；
（2）解：①当 为底边长时， ，
，
此时原方程为 ，
解得： ．
、 、 能组成三角形，
三角形的周长为 ；
②当 为腰长时，将 代入原方程，得： ，
解得： ，
此时原方程为 ，
解得： ．
、 、 能组成三角形，
三角形的周长为 ，综上所述：等腰三角形的周长为 或 ．
【高分演练】
一、单选题
1．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）用公式法解方程 时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次
是（ ）
A．0， ， B．1， ， C．1，3， D．1， ，
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程 公式法，一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是
解答本题的关键．
首先转化成一元二次方程的一般形式，然后求解即可．
【详解】解：
整理得，
∴二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是1，3， ．
故选：C．
2．（24-25九年级上·北京海淀·期中）用配方法解一元二次方程 时，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，最
后整理得 ，即可作答．
【详解】解：依题意，
，
移项得 ，
，
∴ ，
故选：B
3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）关于x的一元二次方程 有实数根，则 满足（ ）
A． B． C． ，且 D． ，且
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义及根的判别式可得 且 ，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：由题意得， 且 ，
解得 且 ，
故选： ．
4．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）用配方法解方程 ，配方后的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解一元二次方程 的一般步骤：（1）化二次项系数
为 ， 当二次项系数不是 时，方程两边同时除以二次项系数；（2）在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，
使其中的三项成为完全平方式；（3）配方后将原方程化为 的形式，然后用直接开平方的方法
解方程．
【详解】解： ，
在方程两边同时除以 ，得： ，即 ，
配方，得： ，
即 ．
故选：D．
5．（25-26九年级上·山东青岛·开学考试）对于实数 ，定义一种新运算“ ”：当 时， ；
当 时， ．若 ，则实数 （ ）
A．10 B．4 C．4或 D．4或 或10
【答案】B
【分析】本题考查新定义，一元一次方程的解法，一元二次方程的解法．分两种情况讨论：当 时，当 时，再分别根据新定义列出方程，再解方程即可．
【详解】解：∵当 时，则 ，当 时， ，
∴当 时，
解得 ，不符合题意，舍去；
当 时，则 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， （舍去），
∴ ，
综上， ，
故选：B．
6．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 的解是 ， ，则另
一个关于x的方程 的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．换元法解一元二次方程，令
，则方程 即为 方程，根据题意可得方程的解是 ， ；则
或 ，据此求解即可．
【详解】解：令 ，则方程 即为 方程，
∵方程 的解是 ，
∴方程 的解是 ， ，
∴ 或 ，
解得， ， ，∴方程的解是， ， ．
故选：B．
7．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）关于 的方程 ，下列解法完全正确的是（ ）
甲 乙 丙 丁
移项得
整理得 ， 整理得
两边同时
1）
， ， ，配方得
除以 =0， ， ，
（x-1）
，
得到 ， ，
3． 或 ，
． ．
， ．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的解法（因式分解法、公式法、配方法），解题关键是熟练掌握各方法的规则：
因式分解法需保证因式分解的准确性，避免除以含未知数的式子；公式法需准确识别a、b、c的值；配方法需遵循
“配方后等式两边加一次项系数一半的平方”的规则．本题需逐一分析甲、乙、丙、丁四位同学的解法，判断其
是否符合一元二次方程的解题规则（如因式分解时不能随意除以含未知数的式子、公式法中系数对应准确、配方
法步骤正确等），从而确定完全正确的解法．
【详解】解：甲的解法是“两边同时除以 得到 ”，由于当 时， ，而0不能作为除数，这种
操作会丢失方程的根（ 也是原方程的解），因此甲的解法错误；
原方程 移项应为 ，而非 ，因此乙的解法错误；
原方程整理为 ，
，
，而非28；且代入求根公式后结果也不匹配，因此丙的解法错误；
原方程整理得 ，配方得 ，
，
，
，
丁的解法正确。
综上，只有丁的解法完全正确，故选：D．
8．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）对于一元二次方程 ，下列说法：
①若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
②若 是一元二次方程 的根，则 ；
③存在实数 ，使得 ；
④若 是方程 的一个根，则一定有 成立
其中正确的有（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程综合．熟练掌握方程解的含义，根与判别式的关系，根与系数的关系，是解题
的关键．
一元二次方程的有关性质．一元二次方程解的含义，代数变形，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，逐
一分析每个命题的正确性，进行判断即可．
【详解】命题①：∵方程 有两个不等实根，
∴根判别式 ．
∴原方程 的判别式为 ，
原方程必有两个不等实根．
∴①正确．
命题②：∵ 是方程的根，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∴②正确．
命题③：∵ ，
∴ ．
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ．
存在实数m、n满足此条件（如取 ， ）．
∴③正确．
命题④：∵c是方程的根，
∴ ，
∴ ．
当 时，方程成立但 不一定为0．
∴④错误．
综上，正确的命题为①②③，
故选：D．
二、填空题
9．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义．当 ，即 时，原方程为一元一次方程，解
得可得出x的值，进而可得出 符合题意；当 ，即 时，利用根的判别式 ，可得出关于m的一
元一次不等式，解之可得出m的取值范围，进而可得出 且 ．综上，即可得出m的取值范围．
【详解】解：当 ，即 时，原方程为 ，
解得： ，
∴ 符合题意；
当 ，即 时， ，
解得： ，
∴ 且 ．
综上所述，m的取值范围是 ．
故答案为： ．
10．（22-23九年级上·江苏·期中）已知三角形的两边长分别是4和 7，第三边长是方程 的根，则第三边的边长是 ．
【答案】9
【分析】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系，能根据三角形的三边关系确定第三边的值是解题的关
键，
利用因式分解的方法得到 ，推出 ， ，解得 ， ，再根据三角形的三
边关系得出第三边只能是9．
【详解】解： ，
，
， ，
解得： ； ，
，
由于三角形两边之和大于第三边，
只能取 ．
故答案为：9．
11．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知方程 可以配方成 的形式，那么
可以配方成 ．
【答案】
【分析】此题考查了配方法的应用，利用配方法，首先移项，二次项系数化为1，再给等式两边同时加上一次项系
数一半的平方，于是可将 配方成 ，结合已知条件，求出p和q的值，进而即可求解．
【详解】解： ，
，
，
∴ ，
∵方程 可以配方成 的形式，
∴ ， ，∴ ，
∴ 为 ，
∴ ，
配方，得 ，即 ，
故答案为： ．
12．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）关于 的方程 的解是 ， （ 、 、 均为
常数， ），则方程 的解是 ．
【答案】 ， / ，
【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，首先把方程 ，整理成 的
形式，根据方程 的解是 ， ，可知方程 的解是 ，
，从而求出方程 的解．
【详解】解： ，
整理得： ，
方程 的解是 ， ，
方程 的解是 ， ，
解得： ， ．
故答案为： ， ．
13．（21-22九年级下·安徽宣城·自主招生） 为方程 的两个根，则代数式
的值为 ．
【答案】1【分析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据方程的系数结合根与系数的关系解题即可．
【详解】解：由题意知： ， ，
∴
．
故答案为： ．
14．（25-26九年级上·重庆·开学考试）已知在正比例函数 中， 的值随着 的增大而增大，且关于
的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数 的值之和为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了正比例函数图象及性质，一元二次方程根的情况，解题的关键是根据题意列出不等式，
算出不等式解集，求出整数解，即可解决问题．
【详解】解：∵正比例函数 中，y的值随着x的增大而增大，
∴ ，
∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
即 ；
∴ ，
∵ 为整数，
∴可取1，2，3；
∴满足条件的整数 的值之和为： ，
故答案为：6．
三、解答题
15．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段练习）解方程：
(1)(2) ；
(3)
(4) ．
【答案】(1) 或
(2) 或
(3) 或
(4) 或 ．
【分析】本题考查解一元二次方程的方法，熟练掌握一元二次方程的各种解法的步骤和注意点，灵活选用解法是
解答的关键．
（1）通过移项、开平方求解；
（2）通过配方法，将方程转化为完全平方式，再开平方求解；
（3）通过因式分解，将方程转化为两个因式的乘积等于0的形式，再求解；
（4）根据 ，则 或 进行求解即可．
【详解】（1）根据题意移项得 ，
化系数为1得 ，
开平方解得 或 ．
（2）移项得 ，
再配方得 ，
即 ，
，
解得 ，
即 或 ．（3）移项 ，
即 ，
所以 或 ，
解得 或 ．
（4） ，
或 ，
移项得 或 ，
解得 或 ．
16．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）解方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的解法，解题的关键是熟悉去分母解分式方程，配方法、因式分解及
公式法解一元二次方程．
（1）方程两边同乘以 ，转化为整式方程，求解并检验即可；
（2）采用配方法解一元二次方程；
（3）利用因式分解法解一元二次方程的解法；
（4）通过变形，再因式分解求解即可．【详解】（1）解：
两边同乘以 ，
得到 ，
化简得 ，
解得 ,
检验：当 时， ,
故方程的解为 ．
（2）解： ，
移项得 ，
配方得 ，即 ，
开平方得 ，
解得 ．
（3）解： ，
因式分解得 ，
则 或 ，
解得 ．
（4）解： ，
变形得 ，
因式分解得 ，
则 或 ，
解得 ．
17．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．(2)若 为等腰三角形， ，另外两条边是方程的根，求 的周长．
【答案】(1)见解析
(2) 或
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件：
（1）根据根的判别式证明即可；
（2）先解方程得到 ， ，再根据等腰三角形的两条边是方程的解，得到 是方程的解，据此
求出方程的两个根，进而确定 的三边长，结合构成三角形的条件求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得， ，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解： ，
，
解得 ， ，
当 时，解得 ， ，
此时等腰三角形三边分别为1，3，3，
，
∴此时能构成三角形，
，
∴ 的周长为 ；
当 时，解得 ， ，
此时等腰三角形三边分别为3，3，5，
，
∴此时能构成三角形，
，
∴ 的周长为 ；
综上可知， 的周长为 或 ．
18．（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，四边形 是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是
和 的边长，易知 ，这时我们把关于x的形如 的一元二次方程称为“勾
系一元二次方程”．请解决下列问题：(1)试判断方程 是不是“勾系一元二次方程”；
(2)求关于x的“勾系一元二次方程” 的实数根；
(3)若 是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 的周长是12，求 面积．
【答案】(1)是
(2)
(3)2
【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，
正确读懂题意是解题的关键．
（1）根据题意求解即可；
（2）利用公式法求解即可；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得 的值，根据完全平方公式求得 的值，从而可求得面积．
【详解】（1）解：
根据题意得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴方程 是“勾系一元二次方程”；
（2）解：根据题意，得 ，
∵ ，
∴∴ ；
（3）解：当 时，有 ，即 ，
∵四边形 的周长是12，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ．
