文档内容
专题21.2 解一元二次方程（一）（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1、理解并掌握用直接开方法解一元二次方程；
2、理解并掌握用配方法解一元二次方程；
3、理解并掌握用公式法解一元二次方程；
【知识点梳理】
考点 1 解一元二次方程-直接开方 ：
注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数
（2）
降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程（3）
方法是根据平方根的意义开平方
考点2 解一元二次方程-配方法：
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：
①化为一般形式；
②移项，将常数项移到方程的右边；
③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；
⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．
总结：
考点3 解一元二次方程-公式法：
用公式法求一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化成一般形式
，
（2）求出判别式
【典例分析】
【考点1 解一元二次方程-直接平方】
【例1】（2021秋•番禺区期末）如果2是关于x的一元二次方程x2﹣k＝0的一个根，则k
的值是（ ）A．2 B．4 C．﹣2 D．±2
【变式1-1】（2021秋•新乐市期末）一元二次方程（x﹣22）2＝0的根为（ ）
A．x ＝x ＝22 B．x ＝x ＝﹣22
1 2 1 2
C．x ＝0，x ＝22 D．x ＝﹣22，x ＝22
1 2 1 2
【变式1-2】（2021秋•金牛区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣m＝0的一个根是﹣
1，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣1 C．0 D．1
【变式 1-3】（2021秋•井研县期末）若方程（x﹣1）2＝m有解，则 m的取值范围是
（ ）
A．m≤0 B．m≥0 C．m＜0 D．m＞0
【例2】（2022春•东湖区校级月考）解方程：
（1）（2x﹣1）2＝﹣8； （2）64（x+1）2＝81．
【变式1】（2021秋•宜州区期末）解方程：2（x﹣1）2﹣ ＝0．
【变式2】（2021秋•岚皋县期末）解方程：（x﹣1）2﹣25＝0．
【考点2 解一元二次方程-配方法】
【例3】（2022•瑞安市一模）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，配方结果正确的是（
）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝﹣1 C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝﹣9【变式 3-1】（2021 秋•渝中区校级期末）一元二次方程 x2﹣6x+1＝0 配方后可化为
（ ）
A．（x+3）2＝2 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣3）2＝2 D．（x﹣6）2＝35
【变式3-2】（2021秋•陵水县期末）将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+h）2＝k的形
式，则k等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-3】（2021秋•平顶山期末）把一元二次方程x2﹣6x+6＝0化成（x+a）2＝b的形式，
则a，b的值分别是（ ）
A．﹣3，3 B．﹣3，15 C．3，3 D．3，15
【例4】（2022•德城区校级开学）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0
的一个根，则该菱形的周长为（ ）
A．40 B．16 C．16或20 D．20
【变式4-1】（2021秋•晋江市期末）方程x2﹣7x+10＝0的两根是等腰三角形的底边长和腰
长，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．9或12
【变式4-2】（2021秋•砚山县期末）矩形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2
﹣7x+10＝0的一个根，则矩形ABCD的面积为（ ）
A． B．12 C． D． 或
【变式4-3】（2021秋•香洲区期末）已知一个直角三角形的两边长是方程 x2﹣9x+20＝0的
两个根，则这个直角三角形的斜边长为（ ）
A．3 B． C．3或 D．5或
【例5】（2021秋•西吉县期末）用配方法解方程：
（1）x2+8x﹣20＝0． （2） （3）2x2﹣4x﹣16＝0．【变式5-1】（2021秋•二道区期末）用配方法解方程：x2﹣4x﹣3＝0．
【变式5-2】（2021秋•岳池县期末）用配方法解方程：x2﹣8x+13＝0．
【变式5-3】（2021春•东平县期中）用配方法解方程：3x2+4x﹣7＝0
【考点3 解一元二次方程-公式法】
【例6】用公式法解下列方程：
（1）2x2+5x﹣1＝0 （2）6x（x+1）＝5x﹣1
【变式6-1】（2021秋•船山区校级期末）用公式法解方程：2x2﹣1＝4x．
【变式6-2】（2021春•东平县期中）解方程：x2+5＝2 x（用公式法解）；【变式6-3】（2021秋•新兴县期中）用公式法解方程：5x2＝7﹣2x．
专题21.2 解一元二次方程（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
4、理解并掌握用直接开方法解一元二次方程；
5、理解并掌握用配方法解一元二次方程；
6、理解并掌握用公式法解一元二次方程；
【知识点梳理】
考点 1 解一元二次方程-直接开方 ：注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数
（4）
降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程
（5）
方法是根据平方根的意义开平方
考点2 解一元二次方程-配方法：
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：
①化为一般形式；
②移项，将常数项移到方程的右边；
③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；
⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．
总结：
考点3 解一元二次方程-公式法：
用公式法求一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化成一般形式
，
（2）求出判别式
【典例分析】
【考点1 解一元二次方程-直接平方】
【例1】（2021秋•番禺区期末）如果2是关于x的一元二次方程x2﹣k＝0的一个根，则k
的值是（ ）
A．2 B．4 C．﹣2 D．±2
【答案】B
【解答】解：把x＝2代入x2﹣k＝0得4﹣k＝0，
解得k＝4．
故选：B．
【变式1-1】（2021秋•新乐市期末）一元二次方程（x﹣22）2＝0的根为（ ）
A．x ＝x ＝22 B．x ＝x ＝﹣22
1 2 1 2
C．x ＝0，x ＝22 D．x ＝﹣22，x ＝22
1 2 1 2
【答案】A
【解答】解：∵（x﹣22）2＝0，
∴x﹣22＝0或x﹣22＝0，
解得：x ＝x ＝22，
1 2
故选：A．
【变式1-2】（2021秋•金牛区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣m＝0的一个根是﹣
1，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】D
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣m＝0得1﹣m＝0，解得m＝1．
故选：D．
【变式 1-3】（2021秋•井研县期末）若方程（x﹣1）2＝m有解，则 m的取值范围是
（ ）
A．m≤0 B．m≥0 C．m＜0 D．m＞0
【答案】B
【解答】解：根据题意得m≥0时，方程有实数解．
故选：B．
【例2】（2022春•东湖区校级月考）解方程：
（1）（2x﹣1）2＝﹣8； （2）64（x+1）2＝81．
【答案】（1） 无解（2）x ＝ ，x ＝﹣
1 2
【解答】解：（1）∵（2x﹣1）2＝﹣8＜0，
∴方程无实数根；
（2）∵64（x+1）2＝81，
∴（x+1）2＝ ，
∴x+1＝± ，
∴x ＝ ，x ＝﹣ ．
1 2
【变式1】（2021秋•宜州区期末）解方程：2（x﹣1）2﹣ ＝0．
【答案】x1＝ ，x2＝﹣
【解答】解：2（x﹣1）2﹣ ＝0，
移项，得2（x﹣1）2＝ ，
（x﹣1）2＝ ，
开方，得x﹣1＝ ，
解得：x1＝ ，x2＝﹣ ．
【变式2】（2021秋•岚皋县期末）解方程：（x﹣1）2﹣25＝0．【答案】x ＝6，x ＝﹣4．
1 2
【解答】解：∵（x﹣1）2﹣25＝0，
∴（x﹣1）2＝25，
∴x﹣1＝5或x﹣1＝﹣5，
则x ＝6，x ＝﹣4．
1 2
【考点2 解一元二次方程-配方法】
【例3】（2022•瑞安市一模）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，配方结果正确的是（
）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝﹣1 C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝﹣9
【答案】C
【解答】解：方程移项得：x2﹣4x＝5，
配方得：x2﹣4x+4＝9，即（x﹣2）2＝9．
故选：C．
【变式 3-1】（2021 秋•渝中区校级期末）一元二次方程 x2﹣6x+1＝0 配方后可化为
（ ）
A．（x+3）2＝2 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣3）2＝2 D．（x﹣6）2＝35
【答案】B
【解答】解：∵x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣6x＝﹣1，
则x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8．
故选：B．
【变式3-2】（2021秋•陵水县期末）将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+h）2＝k的形
式，则k等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，
x2﹣2x＝3，
x2﹣2x+1＝3+1，
（x﹣1）2＝4，
∴k＝4，
故选：D．【变式3-3】（2021秋•平顶山期末）把一元二次方程x2﹣6x+6＝0化成（x+a）2＝b的形式，
则a，b的值分别是（ ）
A．﹣3，3 B．﹣3，15 C．3，3 D．3，15
【答案】A
【解答】解：方程x2﹣6x+6＝0，
移项得：x2﹣6x＝﹣6，
配方得：x2﹣6x+9＝3，即（x﹣3）2＝3，
∵一元二次方程x2﹣6x+6＝0化成（x+a）2＝b的形式，
∴a＝﹣3，b＝3．
故选：A．
【例4】（2022•德城区校级开学）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0
的一个根，则该菱形的周长为（ ）
A．40 B．16 C．16或20 D．20
【答案】D
【解答】解：方程x2﹣9x+20＝0，
分解因式得：（x﹣4）（x﹣5）＝0，
所以x﹣4＝0或x﹣5＝0，
解得：x ＝4，x ＝5，
1 2
当边长为4时，4+4＝8，不能构成三角形，舍去；
当边长为5时，5+5＞8，此时菱形的周长为20，
则该菱形的周长为20．
故选：D．
【变式4-1】（2021秋•晋江市期末）方程x2﹣7x+10＝0的两根是等腰三角形的底边长和腰
长，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．9或12
【答案】C
【解答】解：x2﹣7x+10＝0，
（x﹣5）（x﹣2）＝0，
x﹣5＝0或x﹣2＝0，
所以x ＝5，x ＝2，
1 2
因为2+2＝4＜5，所以等腰三角形的腰长为5，底边长为2，
所以等腰三角形的周长为5+5+2＝12．
故选：C．
【变式4-2】（2021秋•砚山县期末）矩形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2
﹣7x+10＝0的一个根，则矩形ABCD的面积为（ ）
A． B．12 C． D． 或
【答案】D
【解答】解：方程x2﹣7x+10＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x﹣5）＝0，
所以x﹣2＝0或x﹣5＝0，
解得：x＝2或x＝5，
当x＝2，即AB＝2时，
根据勾股定理得：BC＝ ＝4 ，此时矩形ABCD面积为8 ；
当x＝5，即AB＝5时，
根据勾股定理得：BC＝ ＝ ，此时矩形ABCD面积为5 ．
故选：D．
【变式4-3】（2021秋•香洲区期末）已知一个直角三角形的两边长是方程 x2﹣9x+20＝0的
两个根，则这个直角三角形的斜边长为（ ）
A．3 B． C．3或 D．5或
【答案】D
【解答】解：∵x2﹣9x+20＝0，
∴（x﹣4）（x﹣5）＝0，
则x﹣4＝0或x﹣5＝0，
解得x ＝4，x ＝5，
1 2
若4、5均为直角边长度，则斜边长度为 ＝ ，
若4、5有一边是斜边长度，则斜边长度为5，
故选：D．
【例5】（2021秋•西吉县期末）用配方法解方程：（1）x2+8x﹣20＝0． （2） （3）2x2﹣4x﹣16＝0．
【答案】（1）x ＝2，x ＝﹣10． （2） ． （3）x ＝4，x ＝﹣2
1 2 1 2
【解答】解：（1）移项得：x2+8x＝20，
配方得：x2+8x+16＝20+16，即（x+4）2＝36，
开方得：x+4＝±6，
解得：x ＝2，x ＝﹣10．
1 2
（2）移项得：x2+ x＝ ，
配方得： ，即 ，
开方得： ，
解得： ．
（3）化简得：x2﹣2x﹣8＝0，
x2﹣2x＝8，
x2﹣2x+1＝8+1，即（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3，
∴x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，
∴x ＝4，x ＝﹣2．
1 2
【变式5-1】（2021秋•二道区期末）用配方法解方程：x2﹣4x﹣3＝0．
【答案】x ＝2+ ，x ＝2﹣ ．
1 2
【解答】解：移项得x2﹣4x＝3，
配方得x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，
开方得x﹣2＝± ，
所以x ＝2+ ，x ＝2﹣ ．
1 2
【变式5-2】（2021秋•岳池县期末）用配方法解方程：x2﹣8x+13＝0．【答案】x ＝ +4，x ＝﹣ +4
1 2
【解答】解：x2﹣8x+13＝0，
移项，得：x2﹣8x＝﹣13，
配方，得：x2﹣8x+16＝﹣13+16，
即（x﹣4）2＝3，
开方，得：x﹣4＝± ，
∴x ＝ +4，x ＝﹣ +4．
1 2
【变式5-3】（2021春•东平县期中）用配方法解方程：3x2+4x﹣7＝0
【答案】x ＝1，x ＝﹣ ．
1 2
【解答】解：3x2+4x﹣7＝0，
3x2+4x＝7，
x2+ x＝ ，
x2+ x+（ ）2＝ +（ ）2，
（x+ ）2＝ ，
x+ ＝± ，
x ＝1，x ＝﹣ ．
1 2
【考点3 解一元二次方程-公式法】
【例6】用公式法解下列方程：
（1）2x2+5x﹣1＝0 （2）6x（x+1）＝5x﹣1
【答案】（1）x ＝ ，x ＝ （2）没有实数解
1 2
【解答】解：（1）2x2+5x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝5，c＝﹣1，
∴Δ＝52﹣4×2×（﹣1）＝33＞0，∴x＝ ＝ ，
所以x ＝ ，x ＝ ；
1 2
（2）6x（x+1）＝5x﹣1，
整理得6x2+x+1＝0，
∵a＝6，b＝1，c＝1，
∴Δ＝12﹣4×6×1＝﹣23＜0，
方程没有实数解．
【变式6-1】（2021秋•船山区校级期末）用公式法解方程：2x2﹣1＝4x．
【答案】 ．
【解答】解：整理，得：2x2﹣4x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，
∴ ，
∴ ．
【变式6-2】（2021春•东平县期中）解方程：x2+5＝2 x（用公式法解）；
【答案】x ＝x ＝ ；
1 2
【解答】解：x2+5＝2 x，
x2﹣2 x+5＝0，
a＝1，b＝﹣2 ，c＝5，
b2﹣4ac＝（﹣2 ）2﹣4×1×5＝0，
x＝ ＝ ，x ＝x ＝ ；
1 2
【变式6-3】（2021秋•新兴县期中）用公式法解方程：5x2＝7﹣2x．
【答案】x ＝1，x ＝﹣ ．
1 2
【解答】解：5x2+2x﹣7＝0，
∵a＝5，b＝2，c＝﹣7，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×5×（﹣7）＝144＞0，
∴x＝ ＝ ＝ ，
∴x ＝1，x ＝﹣ ．
1 2
