文档内容
数学
（试题卷）
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为
的四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 下列四个数中，比 小的数是（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，
绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得
-2＜-1，0＞-1， ＞-1，1＞-1，
∴四个数中，比-1小的数是-2．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于
0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂相乘（除），合并同类项，
先判断是否是同类项解答A，B，再根据同底数幂相乘法则计算判断C，然后根据同底数幂相除法则计算
判断D即可．
【详解】解：因为 不是同类项，不能合并，所以A，B 不正确，不符合题意；
因为 ，所以C不正确，不符合题意；
因为 ，所以D正确，符合题意；
故选：D．
3. 如图，将图1中的正方体沿虚线剪去一角后得到图2，则图2的立体图形的三视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了立体图形 的三视图，观察实物图，根据三视图的定义判定即可，注意虚线和实线
的区别．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：图2的立体图形的三视图为
故选：A．
4. 安徽省财政厅宣布，截至2024年10月，我省粮食生产已投入资金434．7亿元，同比增长 ．其
中 亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为 ，其
中 是正整数，正确确定 的值和 的值是解题的关键．据此可以解答．
【详解】解： 亿 ．
故选：B．
5. 在半径为 的 中，若 的弧长为 ，则弦 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了弧长公式，勾股定理，圆周角定理，解题关键是利用勾股定理求出弦长．
先求出 所对的圆心角的度数，再利用勾股定理求出 即可．
【详解】解： 设所对的圆心角为，
半径为 的弧长为 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，解得： ，
所对的圆心角为 ，
∴ ，
∴弦 的长为 ．
故选：B．
6. 下列代数式中 的取值范围为全体实数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据分式和二次根式有意义的条件逐项判断即可．
【详解】解：A、 有意义的条件是 ，即 ，故A选项不符合题意；
B、 有意义的条件是 且 ，即 ，故B选项不符合题意；
C、 中 的取值范围为全体实数，故C选项符合题意；
D、 有意义的条件是 ，即 ，故D选项不符合题意；
故选：C．
7. 小明一家四口人随机分乘2辆缆车到某景点观光游览，每辆缆车最多乘坐2人，则小明与爸爸同乘一辆
缆车的概率为（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了根据概率公式求概率，设小明一家四口人为 、 、 、 ，其中 代表小明， 代
表爸爸，先列出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可，用到
的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：设小明一家四口人为 、 、 、 ，其中 代表小明， 代表爸爸，
则2辆缆车的分配情况有： ， ； ， ； ， ； ， ；
， ； ， ；
共有6种情况，其中小明与爸爸同乘一辆缆车的情况有 种；
∴小明与爸爸同乘一辆缆车的概率为 ，
故选：B．
8. 如图，矩形 的两条对角线相交于点 ，点 在 的延长线上， 与 交于点 ．若 为
的中点， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，
作 ，先设 ，根据矩形的性质可得 ，再说明 ，可求
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学科网（北京）股份有限公司出 ，然后根据勾股定理表示 ，即可得出答案．
【详解】解：如图所示，过点O作 ，交 于点G，
由 ，设 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据勾股定理，得 ，
∴ ．
故选：D．
9. 已知实数 满足 ，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. 2 D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】本题考查不等关系与不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质，且能根据这些性质灵活
选用方法进行判断．
根据不等式的性质，即可解答．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，故A错误，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故B错误，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故C正确，符合题意；
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故D错误，不符合题意．
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学科网（北京）股份有限公司故选：C．
10. 如图，正方形 的边长为 是 的中点， 是 上的动点，在 的下方作
，设 ，正方形 中在 右方的部分面积为 ，则 关于 的函数图象大致是
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质等知识点，根据点的变化列出函
数解析式是解题的关键．
如图1：当 时，点 在 上．过点 作 于点 ，则 ，然后
证明 可得 ，即 ，然后求出x与y的函数关系式；同理可得：
如图2：当 时，点 在 上的函数关系式，最后根据函数解析式确定函数图象即可解答．结合
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学科网（北京）股份有限公司原图形上动点在不同的线段上运动得到不同的关系式，再根据不同的关系式得到不同的图象，最后结合所
给选项进行分析即可．
【详解】解：如图1：当 时，点 在 上．过点 作 于点 ，则
，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，即 ．
，
；
如图2：当 时，点 在 上．
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
．
故选A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】该题考查了实数的运算，先计算平方根，再合并即可．
【详解】解：原式 ．
故答案为： ．
12. 已知一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为______．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握一元二次方程根的情况与判别式之间的
关系是解题的关键．
根据方程有两个相等的实数根，得到 ，整理得 ，求解即可得
到答案．
【详解】解：由方程有两个相等的实数根可得 ，
整理得 ．
解得： 或0，
，
，
故答案为： ．
13. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ，
与 轴交于点 ，则 的值为___________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数的结合，待定系数法式求表达式的方法，掌握待定系数法是
解题的关键．
将 代入一次函数中，求出m得到点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数求出k即可；
【详解】解：将点 代入 ，得
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学科网（北京）股份有限公司4，即点 ，
将点 代入 ，得
．
故答案为：4．
14. 如图，现有正方形纸片 ，点 ， 分别在 ， 边上，分别沿 ， 折叠，使得 ，
两点均落在点 处，然后还原．
（1） ___________．
（2）连接 ，分别交两条折痕 ， 于点 ， ，已知 ， ，则 的长为
___________．
【答案】 ①. 45度## ②.
【解析】
【分析】该题考查了折叠的性质，勾股定理，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确做出辅助线．
（1）由折叠得 ，结合 ，即可求解；
（2）连接 ．由折叠可得 ，得出
，即可得 ，
．又根据在正方形中， ，从而得出
，求出 ．在 中，根据勾股定理即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：（1）由折叠得 ，
，
，
．
（2）连接 ．
由折叠可得 ，
∴ ，
， ．
在
又 正方形中， ，
，
．
在 中， ．
故答案为： ； ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式： ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解不等式，根据解不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为
1，求解即可得出答案．
【详解】解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 .，
系数化为1，得 ．
16. 为进一步推进美丽乡村建设，某县准备改造一条通往长江的河道，甲、乙两个工程队合作完成共需 3
个月，如果甲、乙两个工程队单独完成，那么乙工程队所需时间比甲工程队多 ，求甲工程队单独完成
这个项目所需要的时间．
【答案】甲工程队单独完成这个项目需要5个月
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设甲工程队单独完成
这个项目需要 个月，将整个工程看作单位1，根据甲、乙两个工程队合作完成共需3个月，列出方程，
解方程即可．
【详解】解：设甲工程队单独完成这个项目需要 个月．
根据题意，得 ，
解得 ，
经检验 是原方程的解，且符合题意．
答：甲工程队单独完成这个项目需要5个月．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点 （顶点是网格线的交
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学科网（北京）股份有限公司点）．
（1）将 先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到 ，请画出 ．
（2）画出 关于点 对称的 （点 ， ， 的对称点分别为点 ， ， ）．
（3） 与 是否成中心对称？若是，画出对称中心点 的位置．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）是，画图见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平移变换及中心对称变换，正确得出对应点的位置是解题的关键．
（1）直接利用平移的性质得出对应点的位置，进而得出答案；
（2）利用中心对称的性质得出对应点的位置，进而得出答案；
（3）根据对称点连线交于一点即可判断否成中心对称并得到对称中心的位置．
【小问1详解】
解：如图所示， 即为所求，
【小问2详解】
解：如图所示， 即为所求，
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学科网（北京）股份有限公司【小问3详解】
解： 与 成中心对称，
点 的位置如图所示
18. 某校的七年级数学兴趣小组开展探究活动，他们一起研究两位整数的平方数问题，先从个位数是 1的
两位整数的平方数开始．如：
；
．．．
按照以上规律，完成下列问题：
（1） ___________；
（2）十位数字是 ，个位数字是1的两位整数的平方数可以写成：（___________） ___________；
（用含 的代数式表示）
（3）请你猜想出十位数字是 ，个位数字是 的两位整数的平方数，写成：（___________）
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学科网（北京）股份有限公司___________（用含 的代数式表示），并证明．
【答案】（1）
（2）
（3） ，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是仔细观察数据的变化规律，找到规律后即可求解．
（1）根据已知等式得出规律，写出即可；
（2）根据已知等式得出规律，写出即可；
（3）根据已知等式得出规律，写出即可．
【小问1详解】
解：∵ ；
；
；
；
∴ ；
为
故答案 ： ；
【小问2详解】
解： ；
故答案为： ；
【小问3详解】
解： ；
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学科网（北京）股份有限公司证明： ,
，
左边 右边，
故答案为： ； ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在楼顶 处测得大树顶端 的俯角 ，测得树影顶端 的俯角 ．已知
米，且点 在同一平面上，求楼高 ．（参考数据： ，
， ， ）
【答案】楼高 约为30米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．设楼高 米，在 中，得出
，在 中，得出 ，推出
，据此求解即可．
【详解】解：过点 作 于点 ，设楼高 米．
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ．
答：楼高 约为30米．
20. 如图，点 在 的直径 的延长线上， ， 两点均在 上， ， 交 于点 ．
（1）求证： ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 ， ，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质．
（1）先根据平行线的性质得 ，再由圆周角定理得 ，即可得 ，再根
据等腰三角形的性质和外角的性质证明即可；
（2）证明 ， ，得 ， ，进而得 ，再由
可得答案．
【小问1详解】
证明： ，
，
，
，
，
，
， ，
；
【小问2详解】
解：连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司是直径，
，
，
，
，
，
∵在 和 中， ， ，
∴ ，
，
∵在 和 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
第21页/共31页
学科网（北京）股份有限公司．
六、（本题满分12分）
21. 某校为了了解学生利用课外时间使用智慧平板AI自主学习的效果，现对七、八年级的学生进行评分测
验，从这两个年级各任取一个班级随机抽取20名学生的测验数据，进行整理、描述和分析（成绩用 表示，
分为四个等级：不合格 ，合格 ，良好 ，优秀 ）．已知七年级抽取的成
绩中，等级为良好的数据为：83，85，86，87，87，88，下面给出其他部分信息：
七年级抽取的成绩扇形统计图
七、八年级抽取学生成绩统计表
平均成 中位 众
年级
绩 数 数
七年
84 87
级
八年
84 86
级
已知八年级抽取的全部数据如下：66，68，69，72，75，78，80，82，85，86，86，86，87，88，92，
93，95，97，97，97，98．请根据以上信息，完成下列问题：
（1） ___________， ___________， ___________．
（2）根据以上测评成绩，你认为七、八年级在智慧平板 自主学习方面，哪个年级的学习效果更好一些？
（写出一条理由即可）
（3）若该校七年级共有450名学生，八年级共有360名学生，估计此次智慧平板AI自主学习效果测评中，
不合格的人数有多少？
【答案】（1）10， ， 和97
第22页/共31页
学科网（北京）股份有限公司（2）七年级的学习效果更好一些，因为平均数相同，七年级的中位数比八年级大．（答案不唯一）
（3）99人
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图，中位数，众数，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据 计算即可得到a的值，根据中位数（排序后位
于数据的中间位置的数）以及众数的定义（数据出现次数最多的数）进行作答即可；
（2）运用平均数和中位数作答即可（答案不唯一，言之有理即可）．
（3）利用七年级、八年级的总人数分别乘以不合格的人数占比，再求和即可作答．
【小问1详解】
解：∵七年级抽取的成绩中等级为良好的数据共6个，，
∴ ，
∴ ；
∵等级为良好的数据为：83，85，86，87，87，88， ， ，
∴中位数是第9和11个数据的平均数，即87和88的平均数，
∴中位数 ；
的
∵八年级抽取 全部数据：66，68，69，72，75，78，80，82，85，86，86，86，87，88，92，93，
95，97，97，97，98．出现次数最多的是 ，
∴众数 和 ；
故答案为：10， ， 和97
【小问2详解】
七年级的学习效果更好一些，因为平均数相同，七年级的中位数比八年级大．（答案不唯一）
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司（人）
答；不合格的人数有 人．
七、（本题满分12分）
22. 如图， 为等边 的边上一点，点 在 边的延长线上， 于点
为 外一点，四边形 为平行四边形．
（1）如图 ，若 为 的中点，连接 ，交 于点 ，求证： ．
（2）如图 ，已知 ， 与 交于点 ．
（i）求 的值；
（ii）分别记 的面积为 ，四边形 的面积为 ，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）（i） （ii）
【解析】
【分析】（1）设 ，由等边三角形的性质以及含 的直角三角形的性质得 ，再根据 为
的中点得 ，所以 ，根据平行四边形的性质证明 得
第24页/共31页
学科网（北京）股份有限公司，结合 得 ，所以 为 的中点，所以 ，又
，即可得证；
（2）（i）设 ，由等边三角形的性质以及含 的直角三角形的性质得 ，因为
，所以 ，进而得到 ，解得 ，即可得解；
（ii）如图，作 交 于点 ，延长 ， 交于点 ，则 ，证明 为等
边三角形得 ，设 ，由（i）知 ，进而得 ，
，证明 得 ，所以 ，用含 的代
数式表示出 ， ，易证 ，即可得出 的值．
【小问1详解】
证明： 是等边三角形，
，
，
，
，
设 ，
，
为 的中点，
第25页/共31页
学科网（北京）股份有限公司，
，
四边形 为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
为 的中点，
，
，
；
【小问2详解】
解：（i）设 ，
为等边三角形，
，
，
，
，
第26页/共31页
学科网（北京）股份有限公司，
，则 ，
，
，
；
（ii）如图，作 交 于点 ，延长 ， 交于点 ，则 ，
，
， ， ，
为等边三角形，
，
设 ，
由（i）知 ，
，
，
，
在 和 中，
，
第27页/共31页
学科网（北京）股份有限公司，
， ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
， ，
，
，
又 ，
，
，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含 的直角三角形的性质，平行四
边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点
第28页/共31页
学科网（北京）股份有限公司是解答本题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 综合与实践
【项目背景】
九（1）班同学帮助回乡创业的王叔叔团队在线上销售一种农产品．具体任务是：提出合理销售价格建议，
取得较好销售利润．经调查：去年线上销售这种农产品的年销售量 （万斤）与售价 （元/斤）之间的关
系如图所示．
【解决问题】
（1）假设这种农产品价格不超过15元/斤．
（i）求去年销售这种农产品的年销售量 与售价 之间的函数表达式（不要求写自变量 的取值范围）；
（ii）销售这种农产品时，如果各种销售成本总计为8元/斤，要确保今年利润在20万元以上，按去年经验，
求今年这种农产品的售价范围；
（2）关于今年销售这种农产品增加如下信息：①此种农产品的批发价为4元/斤；②销售这种农产品需先
投入成本20万元（不含以批发价购入这种农产品所需资金）；③市场管理部门规定这种农产品的售价不超
过30元/斤．结合今年和去年的销售信息，这种农产品的售价为多少元时，获得的年利润最大？最大年利
润是多少？
【答案】（1）（i） ；（ii）
（2）售价为30元/斤时，销售此种农产品的年利润最大，最大年利润为136万元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的最大利润，二次函数的解析式，二次函数的图象性质，一次函数的解析式，
一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）（i）先设年销售量 与售价 之间的函数表达式为 ，再运用待定系数法求解，即
可作答．
第29页/共31页
学科网（北京）股份有限公司（ ii ） 设 今 年 销 售 这 种 农 产 品 的 利 润 为 万 元 ， 根 据 销 售 成 本 总 计 为 8 元 / 斤 ， 得
，再结合二次函数的图象性质以及利润在20万元以上进行分析，
即可作答．
（2）设今年销售这种农产品的利润为 万元，再进行分类讨论，当 时，
，当 时， ，故 随 的增大而增大，即可作答．
【小问1详解】
解：（i）设去年销售这种农产品的年销售量 与售价 之间的函数表达式为 ．
将 代入 ，
得
解得
即函数表达式为 ；
（ii）按去年经验，设今年销售这种农产品的利润为 万元，
则 ，
令 ，即 ，
解得 或 （不符合题意，舍去），
∵ 的 ，
开口向下，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大，
∴ ，
∵这种农产品价格不超过15元/斤．
第30页/共31页
学科网（北京）股份有限公司∴当 时， ，
即今年这种农产品的售价范围为 ．
【小问2详解】
解：结合今年和去年的销售信息，设今年销售这种农产品的利润为 万元．
当 时， ，
则配方得 ，
∵ ，
∴开口向下，即售价为12元/斤时，销售此种农产品的年利润最大，最大年利润是44万元；
当 时， ，
即 ．
，
随 的增大而增大，
即当 时， 最大为 （万元）.
综上可知，当售价为30元/斤时，销售此种农产品的年利润最大，最大年利润为136万元．
第31页/共31页
学科网（北京）股份有限公司
