文档内容
2024-2025 学年第二学期九年级第二次中考模拟考试数学（试题卷）
注意事项：
1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个
选项，其中只有一个是正确的）
1. 下列各数是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，求算术平方根，求立方根，熟练掌握无
理数的定义是解题的关键．
根据无理数的定义逐项判断即可．
【详解】解： ， ， 是有理数，故选项A，C，D不符合题意；
不能完全开方，是无理数，故选项B符合题意；
故选：B．
2. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台
形，形似燕尾．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三视图，根据俯视图是从上往下看，得到的图形，看到的部分用实线表示，看不到的部
分用虚线表示进行判断即可．
【详解】解：由图可知：几何体的俯视图为：
，
故选：A
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘、除法，积的乘方，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据同底数幂的乘、除法，积的乘方，幂的乘方的运算法则计算，逐项判断即可．
【详解】解：A． ，故该选项不符合题意；
B． ， 故该选项不符合题意；
C． ， 故该选项不符合题意；
D． 故该选项符合题意；
故选：D．
4. 已知一元二次方程 的两个实数根分别是 和 ，则 （ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握其知识点是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】解：由题意知： ．
故选：C ．
5. 如图，已知 ， 于点N，若 ，则 的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的特征，平行线的性质；由直角三角形的两锐角互余得
，由平行线的性质即可求解；掌握直角三角形的特征，平行线的性质是解题的
关键．
【详解】解：如图，
， ，
，
，
，
故选：C．
6. 已知点 ， 在双曲线 上；若 ，则下列结论一定成立的是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图像及性质，掌握反比例函数的图像及性质是解题的关键．根据题意可得，
反比例函数 的图像分布在第二、四象限，即可求解．
【详解】解： 的图像分布在第二、四象限，如图所示，
当 ，从图像可知 ，
故选：B．
7. 如图， 是 的直径，点 是 上一点，点 是 的中点，连接 ， ， ，若
，则 的度数是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角形的内角和等知识，连接 ，得
，由圆内接四边形的性质得 ，由点 是 的中点得 ，进而得
，再由三角形的内角和定理得 ，再由 即可得
出结论．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．8. 若 ，则 的值为（ ）
A. 80 B. 82 C. 40 D. 41
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式，利用完全平方公式把已知条件式左边展开求出 的值即可得
到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选；C．
9. 如图，在正方形 中，若 为 边的中点， 是 边上的一动点，则下列条件：①
，② ，③ ，④ ．其中能推出 与
一定相似的条件有（ ）
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意得到 ， ，若 与 一定相似，则
需满足 ，得到 ，得出 ，所以符合条件的只有③
，即可得到答案．
【详解】解∶ 正方形 ，
，
为 边的中点，
，
若 与 一定相似，则需满足 ，
，
，
，
，
符合条件的只有③ ，
故选：C．
10. 如图，等边三角形和正方形的边长均为a，点B，C，D，E在同一直线上，点C与点D重合．△ABC
以每秒1个单位长度的速度沿BE向右匀速运动．当点C与点E重合时停止运动．设△ABC的运动时间为t
秒，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为S，则下列图象中，能表示S与t的函数关系的图象大致是A. B. C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】分两种情况利用三角形的面积公式可以表示0 t<2 时重叠的面积，与当2 t 6时的重叠
面积.
【详解】∵△ABC是边长为a的等边三角形，
∴△ABC的高为a·sin60°= a，
当点A沿BE运动到GD边上时，运动了 ，
因为以每秒1个单位长度的速度运动，∴t= = ，
故可分两种情况：
① 当0 t< 时，
S= ·t·t·tan60°= t² = t²，为开口向上的二次函数；② 当 t 时，
（ ）（ ） ° · · ² ²，为
△
ABC
S=S - tan60 = a a- a + at- t²=- t²+ at- a
开口向下的二次函数；
则可判断C正确.
【点睛】此题主要考查二次函数应用.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 16的算术平方根是___________．
【答案】4
【解析】
【详解】解：∵
∴16的平方根为4和-4，
∴16的算术平方根为4，
故答案为：4
12. 合肥有着丰富的历史文化底蕴，素有“三国旧地、包公故里、淮军摇篮”之称，在春节假期期间迎来
了四面八方的游客．据不完全统计，春节期间合肥共接待游客649.8万人次．将数据649.8万用科学记数法
表示为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据科学记数法 的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形
式为 ，其中 ， 为正整数，确定a与n的值是解题的关键．
【详解】解：依题意，649.8万 ，
即将数据649.8万用科学记数法表示为 ，
为
故答案 ： ．
13. “服务社会，提升自我．”宁波市某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的 3名同学（两男一
女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，适合于两步完成的事件．
画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意画出树状图如下：
一共有6种情况，恰好是一男一女的有4种情况，
所以，恰好是一男一女的概率是 ．
故答案为： ．
14. 如图，在边长为4的正方形 中，点E是 上一点， ，连接 ．
（1） 的长为______；
（2）过点B作 ，垂足为F，连接 ，过点F作 ，交 于点G，则 的值为
_____．【答案】 ①. 5 ②. ##
【解析】
【分析】此题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上
知识点．
（1）由正方形得到 ， ，然后求出 ，然后根据勾股定理求解即可；
（2）证明出 ，得到 ，得到 ，然后证明出 ，即可得
到 ．
【详解】解：（1） 四边形 是正方形，
， ．
，
．
在 中，由勾股定理得 ，
故答案为：5；
（2） 四边形 是正方形，
， ，
．
，
，
，，
．
， ，
．
，
．
， ，
．
， ，
，
，
，
．
故答案 为： ．
三、填空题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．先根据分式混合运算法
则进行化简，再把 代入计算即可．【详解】解：原式 ，
当 时，原式 ．
16. 我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，
问清、醐酒各几何？”大意：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醐酒价值2斗谷子，拿20斗谷子共换了4
斗酒，问清酒、醐酒各几斗？
【答案】清酒2斗，醐酒有2斗．
【解析】
【分析】设清酒x斗，则醐酒有 斗．根据“拿20斗谷子，共换了4斗酒”，即可得出关于x的方
程，解之可得答案．
【详解】解：设清酒有x斗，则醐酒有 斗．
根据题意，得 ，
∴ ，
．
答：清酒2斗，醐酒有2斗．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列
出方程．
四、填空题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
（1）请在图中作出 关于原点 对称的 ；（2）若点 关于 轴的对称点为点 ，点 为 轴上一点，且 ，则点 的坐标为________．
【答案】（1）见解析 （2） 或
【解析】
【分析】本题考查了作关于原点对称的图形，关于 轴对称的点的坐标特征，三角形面积公式，熟练掌握
以上知识点是解答本题的关键．
（1）作出 、 、 三点关于原点对称的点 、 、 ，再顺次连接即可；
（2）设 与 轴交于点 ，根据关于 轴对称的点的坐标特征得点 ，再根据 求得
，即可得解．
【小问1详解】
解：如图所示， 即为所求，
；
【小问2详解】
解：如图，设 与 轴交于点 ，，
点 关于 轴的对称点为点 ，
，
，
，
，
，
， ，
点 的坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．
18. 在一个AI智能教育中心，小学员们正在参与一个名为“火柴棒项目”的智能编程．如图所示，小学员
们需要使用火柴棒来构建一系列由三角形组成的图形，并探索这些图形的数学规律；
（1）若拼成的图形中含有4个三角形，则需要________根火柴棒；
（2）若拼成的图形中含有n个三角形，则需要________根火柴棒；（用含有n的式子表示）
（3）若每根火柴棒的长为1cm，且拼成的图形中所有火柴棒的长度和为 ，则拼成的图形中含有多
少个三角形？
【答案】（1）
（2）
（3） 个【解析】
【分析】本题考查了用代数式表示图形的变化规律，根据图形找到图形之间的联系是解题的关键．
（1）根据图形即可求解；
（2）根据前几个图形找到规律，进而求解；
（3）由（2）找到的规律进行求解即可．
【小问1详解】
解：当图形中含有1个三角形时，需要 （根）；
当图形中含有2个三角形时，需要 （根）；
当图形中含有3个三角形时，需要 （根）；
当图形中含有4个三角形时，需要 （根）；
故答案为： ；
【小问2详解】
解：当图形中含有 个三角形，需要 根；
故答案为： ；
【小问3详解】
解：由题意得： ，
解得： ．
五、填空题（本六题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 图1是某银行柜台的一款高清视频设备，图2是该设备在使用时放置在水平桌面上的示意图．已知
垂直于水平桌面l，距离桌面 的点C处有一个摄像头，点A，B，C，D，E在同一平面内．若摄像头
可拍摄的视角 ，且 ，求桌面上可拍摄区域 的长．（参考数据： ，
， ）．【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用．过点C作 于点G，过点E作 于点F，则
， ，设 ，则 ，根据 的正弦值和余弦值可得
， ， 进 而 可 得 ， 那 么 根 据 勾 股 定 理 可 得
，根据 面积的不同表示方法可得x的值，即可求得 的长．
【详解】解：如图，过点C作 于点G，过点E作 于点F，
则 ， ，
设 ，则 ，
在 中，
，
， ，， ，
，
在 中，由勾股定理得 ，
，
，
解得 （不合题意，舍去）， ，
．
答：桌面上可拍摄区域 的长为 ．
20. 在 中， 为 的弦，连接 ， ，
（1）如图1，若半径 于点D， ，求弦 的长；
（2）如图2， 为 的切线，点P为切点，且 ，过点P作 于点F，与半径
相交于点E．若 的半径是3，求 的长．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理可得 ，再根据直角三角形中 所对的直角边是斜边的一半可得
，进而可列 ，解得 ， ，再根据勾股定理可得弦 的长．
（2）连接 ，由切线的性质，平行线的性质，可得 ，再由对顶角相等可得
，即可由直角三角形中 所对的直角边是斜边的一半可得 ，由勾股定
理可得 ．
【小问1详解】
解： ，
．
，
．
， ， ，
．
， ，
在 中，由勾股定理得 ，
．
【小问2详解】
解：如图，连接 ．
为 的切线，，即 ．
，
．
，
，
，
， ，
，
．
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得 ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质，平行线的性质，对顶角相等，直角三角形中
所对的直角边是斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键．
六、填空题（本题满分12分）
21. 2025年中国航天将发射载人飞船、货运飞船、天问二号等，“神舟二十号”载人飞船最快将于4月发
射．为了解学生对航空航天知识的掌握情况，某校组织开展了一次航空航天知识竞赛，现从该校七年级和
八年级参与竞赛的学生中各随机抽取 名学生的成绩进行分析，将学生竞赛成绩（单位：分，用x表示）
分为A，B，C，D四个等级，分别是A： ，B： ，C： ，D： ，
绘制了下列统计图、表．
抽取的七年级学生的竞赛成绩：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，
94，95，96，96．
抽取的八年级C等级的学生的竞赛成绩：87，81，86，83，88，82，89．抽取的七、八年级学生的竞赛成绩综合统计表
平均 中位 众 方
年级
数 数 数 差
七年 59.6
85.2 86 a
级 6
八年 58.7
85.2 b 91
级 6
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ________， ________， ________．
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一
条即可）
（3）若该校七年级有 名学生参加知识竞赛，八年级有 名学生参加知识竞赛，请估计两个年级参
加知识竞赛的学生中成绩优秀（大于或等于 分）的学生共有多少人．
【答案】（1） ， ，
（2）八年级学生的竞赛成绩更好，见解析
（3） 人
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图、众数、中位数以及样本估计总体，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据众数是一组数据中出现次数最多的数，即可求出 ；根据扇形统计图，先求出八年级学生的竞
赛成绩中A、B等级的人数和，再将C等级的学生成绩按从小到大排列，找到 名八年级学生排名第
和 名的成绩，取平均值即可求出 ；根据频率=频数 总数可求出 ；
（2）根据众数、中位数进行分析即可；
（3）根据样本估计总体进行计算即可．【小问1详解】
解： 七年级学生的竞赛成绩中出现次数最多的是 分，
；
由扇形统计图可知，八年级学生的竞赛成绩中A、B等级的人数为 ，
将抽取的八年级C等级的学生成绩按从小到大排列为： 、 、 、 、 、 、 ，
的
抽取 名八年级学生排名第 和 名的成绩为 、 ，
；
；
故答案为： ， ， ；
【小问2详解】
八年级学生的竞赛成绩更好，理由：因为两个年级学生的竞赛成绩的平均数相同，但八年级学生竞赛成绩
的中位数和众数均高于七年级，且方差小于七年级，所以八年级学生的竞赛成绩更好；
【小问3详解】
（人）
答：估计两个年级参加知识竞赛的学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有 人．
七、填空题（本题满分12分）
22. 综合与实践：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法．（1）如图1， 是 的中线， ， ，求 的取值范围；
（2）如图2， ， ， ，D为 的中点，求证， ；
（3）如图3，在四边形 中，对角线 相交于点E，F是 的中点， ，
，试探究 与 的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）见解析 （3） ，见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形 的判定与性质，三角形三边关系，平行线的判定与性质，三角形的内
角和定理等知识．
（1）根据 可得 ，在 中利用三角形的三边关系可求得
，即可根据 求解；
（2）延长 至G，使 ，连接 ，先证明 ，得到 ，
，再证明 ，即可得到 ；
（3）延长 到G，使得 ，连接 ，延长 到H，使得 ，连接 ，先证
可得 ， ，再证明 ，得到 ，
，最后证明 ，得到 ．
【小问1详解】解：延长 到点E．使 ，连接 ，
∵ 是 的中线，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
证明：延长 至G，使 ，连接 ，则∵点D为 的中点，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ．
【小问3详解】
证明：如图，延长 到G，使得 ，连接 ，延长 到H，使得 ，连接 ，∵点F是 边的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．八、填空题（本题满分14分）
23. 已知拋物线 ．
（1）若拋物线的对称轴是直线 ，拋物线与x轴的交点坐标为 ．
①求抛物线的表达式；
②若点A的坐标为 ，动点P在直线OA下方的抛物线上，连接PA，PO，试判断 的面积是否存
在最大值？若存在，求出最大值；
（2）若 ，拋物线过点 ，与y轴交于点C，将点B绕点 顺时针旋转（旋转
角小于 ）得到点 ，当点 恰好落在抛物线上，且满足 时，求n的值．
【答案】（1）① ；②存在，最大值为
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据抛物线的对称轴是直线 ，得到 ，根据抛物线与x轴的交点 得到
，从而求出a，b的值即可解答；
②作直线 ，过点P作 轴交 于点Q．设 ，求出直线 的表达式为
，因此 ， ．根据 得到
，根据二次函数的性质即可解答；
（2）根据点 与 得到抛物线的表达式为 ，因此 ．过点N作
于点F，过点N作 交 的延长线于点G，设 与x轴的交点为K，证明，得到 ，由角平分线的性质得到 ，从而 ，进而求
出直线 的表达式为 ，令 ，求出 ．根据
与两点间的距离公式列出方程，求解即可．
【小问1详解】
解：①由题意，得 ，解得
抛物线的表达式为 ．
②存在， 的面积的最大值为 ．
如图1，作直线 ，过点P作 轴交 于点Q．
设 ．
， ，
直线 的表达式为 ，
，
，，
当 时， 的面积有最大值 ．
【小问2详解】
解：将点 代入 ，得 ．
把 代入 ，解得 ， ，
抛物线的表达式为 ，
．
如图2，过点N作 于点F，过点N作 交 的延长线于点G，
则 ，
设 与x轴的交点为K，由旋转可得 ．
，
，．
，
，
，
平分 ．
，
，
．
，
直线 的表达式为 ，
当 时，解得 ， ，
．
， ，
，
解得 ，
即n的值为 ．
【点睛】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，二次函
数与一次函数图象的交点等，综合运用相关知识是解题的关键．
