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2025 年初中毕业学业考试模拟试卷
数学试题卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 2025的绝对值是（ ）
A. 2025 B. ﹣2025 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了绝对值的定义，理解绝对值的定义是解题的关键，根据绝对值的定义进行求解即
可．
【详解】解： 的绝对值是
故选： A．
2. 火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约 ，将数字 用科学记数
法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据科学记数法表示即可．
【详解】 ，
故选C
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 如图是由几个大小相同的小正方体组成的立体图形的俯视图，则这个立体图形可能是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌
握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．由俯视图判断出组合的正方体
的几何体的列数即可．
【详解】解：根据给出的俯视图，这个立体图形的左上边有2个叠放在一起的正方体，右边一列上有各有
1个正方体．
故选：D
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算以及二次根式的运算，解题的关键是掌握同底数幂的运算法则，幂的乘方，
合并同类项法则以及二次根式的性质．
分别对每个选项根据相应的运算法则进行计算，判断其正确性．
【详解】A、 与 不是同类项，根据同类项的定义（所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
叫做同类项），不能直接合并，所以 不能化简为 ，该选项错误；
B、 ，该选项正确；
C、 与 不是同类项，不能直接合并，所以 不能化简为 ，该选项错误；
D、 ，而不是 ，该选项错误．
故选：B．
5. 如图， ， ， 都是 的半径， ， 交于点 ．若 ， ，则的长为（ ）
A. 2.5 B. 2 C. 1.5 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查圆中求线段长，涉及圆的性质、垂径定理的推论、勾股定理等知识，根据题意可得
，在 中，由勾股定理可得 ，由圆的半径均相等，结合 代值求解即
可得到答案．
【详解】解： 是 的半径， 交于点 ， ，
，
在 中， ，则由勾股定理可得 ，
，
故选：B．
6. 对于抛物线 ，下列判断正确的是（ ）
A. 抛物线 的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是
C. 对称轴为直线 D. 当 时，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握 的图象与性质是解题的关键．
根据 的图象与性质判断即可．
【详解】解：由解析式可得，抛物线的顶点坐标是 ，对称轴为直线 ，故B错误，不符合题意；C正确，符合题意；
∵ ，
∴抛物线开口向下，故A错误，不符合题意；
当 时， ，故D错误，不符合题意，
故选：C．
7. 如图，矩形 的两条对角线相交于点 ， ， ，则 的周长是（ ）
A. 13 B. 15 C. 17 D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的相关性质是解题的关键．
由矩形得到 ，然后由勾股定理求出 ，即可求解
的周长．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为： ，故选：D．
8. 某校开设了航模、机器人、计算机编程三门特色课程，小雅同学从中随机选取两门课程，恰好选中航模
和机器人的概率为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查列表法求出概率，根据题意，用A，B，C分别表示航模、机器人、计算机编程三门特色
课程，列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：用A，B，C分别表示航模、机器人、计算机编程三门特色课程，列表如下：
A B C
A A，B A，C
B B，A B，C
C C，A C，B
共有6种等可能的结果，其中恰好选中航模和机器人的结果有2种，
∴ ；
故选A．
9. 如图，抛物线 与 交于点 ，且分别与 轴交于点 ， ．
过点 作 轴的平行线，交抛物线于点 ， ．则以下结论错误的是（ ）
A. 无论 取何值， 总是负数B. 抛物线 可由抛物线 向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到
C. 当 时，随着 的增大， 的值先增大后减小
D. 若依次连接 、 、 、 ，则四边形 为正方形
【答案】C
【解析】
【分析】根据非负数的相反数或者直接由图像即可判断A；②先求抛物线 的解析式，再根据抛物线
的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断B；③先根据题意得出 时，观察图像可知
，然后计算 ，进而根据一次函数的性质即可判断C；分别计算出 的坐标，根据正
方形的判定定理进行即可判断D．
【详解】解：记抛物线 与 分别为抛物线 和抛物线 ，
A、 ，
，
，
无论 取何值， 总是负数，
故A正确，不符合题意；
B、∵抛物线 与 交于点 ，
，
即 ，
解得 ，
抛物线 ，
抛物线 的顶点 ，抛物线 的顶点为 ，∵将 向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为 ，
∴将抛物线 向右平移3个单位，再向下平移3个单位可得到抛物线 ，
故B正确，不符合题意；
C、 ，
将 代入抛物线 ，
解得 ，
，
将 代入抛物线 ，
解得 ，
，
，从图像可知抛物线 的图像在抛物线 图像的上方，
，
的
当 ，随着 增大， 的值减小，
故C不正确，符合题意；
D、设 与 轴交于点 ，，
，
由C可知
， ，
， ，
当 时， ，
即 ，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是矩形，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ 均为等腰直角三角形，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
故D正确，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，解题的关键是综
合运用以上知识．
10. 如图，在 中， ， ，点 为斜边 上的中点，点 ， 分别在直角边
， 上运动（不与端点重合），且保持 ，连接 ， ， ．设 ， ，．在点 的运动过程中，给出下面三个结论：
① ；② ；③ 最小值为 ．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③
【答案】A
【解析】
【分析】题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，①由 得
，根据点E，F分别在直角边 上运动（不与端点重合），则 ，由
此 可 对 结 论 ① 进 行 判 断 ； ② 根 据 ， 由 勾 股 定 理 得 ：
，由此可对结论②进行判断；③连接 ，设 ，根据等腰直角三角形的性质得
， 由 勾 股 定 理 得 ， 即 ， 再 由
得 ，当且仅当 时， ，此时 ，则有
，当 时， ，此时 ，则有 ，由此可对结论③进
行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：①∵ ，∴ ，
∵点E，F分别在直角边 上运动（不与端点重合），
∴ ，
即 ，
∴ ，故结论①正确；
②∵ ，
∴在 中， ，
由勾股定理得： ，
即 ，
∴ ，故结论②正确；
③连接 ，设 ，如图所示：
在 ，点D为斜边 上的中点，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ，
即 ，∵ ，
∴ ，
当且仅当 时，即点E，F分别为 的中点时， ，
此时 ，则有 ，
当 时，即点E，F不是 的中点时， ，此时 ，则有 ，
∴ ，且等号可以取到，即 最小值为 ．故结论③正确．
综上所述：正确的结论是①②③．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. _____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，求一个数的算术平方根，掌握知识点是解题的关键．
先求9的算术平方根，再进行加减计算即可．
【详解】解： ，
故答案为：2．
12. 若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的值为________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程 有两个不相等的
实 数 根 ， 则 ； 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 则 ； 没 有 实 数 根 ， 则．据此即可求解．
【详解】解：由题意得： ，
解得：
故答案为：2
13. 如图，函数 的图像经过矩形 的边 的中点 ，交 于点 ，则四边形 的面
积为 ______ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数 的图像经过矩形 的边 的中点 ，可得到点 是AB的中点，进
而得出 ，即可得到结论．
【详解】解：如图，连接 、 ，
∵四边形 是矩形，
设 ， ，
∵函数 的图像经过矩形 的边 的中点 ，∴ ，
设 ，
∵函数 的图像经过矩形 的边 的中点 ，交 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积为 ．
故答案为： ．【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数 的几何意义，以及矩形的性质，求出
的面积是解题的关键．
14. 如图，在矩形 中， ， ，点 为 上一点，将 沿着 翻折至
， 与 交于点 ，连接 交 于点 ， ．
（1） _____；
（2） 的长为_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了矩形与折叠的问题，相似三角形判定与性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，
等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
通过矩形的性质得到 ，由 求出 ，对 运用勾股定理求出
，再由正弦的定义即可求解；
延长 至点 ，使得 ，连接 交 于点 ，则由等腰三角形的性质以及三角形的外角性质得到 ，可得 ，再求出 ，由 ，得到 ，即可求
解．
【详解】解：（1）∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）延长 至点 ，使得 ，连接 交 于点 ，
∴ ，
由折叠得 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ； ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的加法运算，正确化简是解题的关键．
先对分子进行因式分解，再化简，然后代入求值即可．【详解】解：
，
当 时，原式
16. 列方程(组)解应用题：
《九章算术》是中国古代第一部数学专著，也是世界上最早的印刷本数学书，它的出现标志着中国古代数
学体系的形成．《九章算术》早在隋唐时期即已传入朝鲜、日本并被译成日、俄、德、法等多种文字版本．
书中有如下问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？
大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出 元，则多了 元；如果每人出 元，则少了 元钱，
问有多少人？该物品价值多少元？
【答案】有 人，该物品价值 元．
【解析】
【分析】设有 人，该物品价值 元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】设有 人，该物品价值 元，
根据题意得：
解得： ．
答：有 人，该物品价值 元．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为 ．（1）画出将 先向下平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度得到的 ；
（2）画出将 绕点 逆时针旋转 得到的 ，并写出点 的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，
【解析】
【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，旋转的性质等知识．熟练掌握平移作图，旋转作图，旋转的性
质是解题的关键．
（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据旋转的性质作图，进而可求点 的坐标．
【小问1详解】
解：由平移的性质作图，如图1， 即为所作；
【小问2详解】解：由旋转的性质作图，如图2， 即为所作；
∴点 的坐标为 ．
18. 如图是一组有规律的图案．第1个图案中有7个六边形，第2个图案中有13个六边形，第3个图案中
有19个六边形，…，按此规律，
（1）则第5个图案中有______个六边形；
（2）用含n的代数式表示第n个图案中六边形的个数；
（3）若第n个图案中有601个六边形，求n的值．
【答案】（1）31 （2）第n个图案中六边形的个数为 ；
（3）n的值为100．
【解析】
【分析】本题考查了图形规律探究和一元一次方程的应用，结合题意确定图形变化规律是解题关键．
（1）根据题意数出前几个图案的数量；
（2）根据规律得出第 个图案的基本图形数量；
（3）根据题意列出方程，解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：第1个图案中六边形的个数为 ，第2个图案中六边形的个数为 ，
第3个图案中六边形的个数为 ，
……
第5个图案中六边形的个数为 ，
故第5个图案中有31个六边形；
故答案为：31；
【小问2详解】
解：由题意可得：第1个图案中六边形的个数为 ；
第2个图案中六边形的个数为 ；
第3个图案中六边形的个数为 ；
……
所以第n个图案中六边形的个数为 ；
【小问3详解】
解：由（2）可知 ，
解得 ，
所以n的值为100．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 榕榕在“测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案：
课题 测量教学楼高度
图示
测得数据 ， ， ．， ， ，
参考数据
， ， ．
请你依据此方案，求教学楼的高度（结果保留整数）．
【答案】教学楼的高度约为
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意得四边形 是矩形，则可得 ，
，然后分别在 与 中，利用三角函数的知识，求得 与 的长，
进而可得 ，注意能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是关键．
【详解】解：根据题意得：四边形 是矩形，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
答：教学楼的高度约为 ．
20. 如图，已知点E在直角 的斜边 上，以 为直径的 与直角边 相切于点D．（1）求证： 平分 ；
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2） 的半径为6
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质定理、等边对等角、角平分线的判定定理、相似三角形的判定与性质，熟
练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
的
（1）连接 ，由切线 性质可得 ，结合题意得出 ，由平行线的性质结合等
边对等角得出 ，即可得证；
（2）证明 ，由相似三角形的性质求出 的长，即可得解．
【小问1详解】
证明：连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
【小问2详解】
解：如图，连接 ，∵ 与圆相切于点D．
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径为6．
六、（本题满分12分）
21. 近期，动画电影《哪吒2》的热映激发了同学们对中国古代神话传说的兴趣．某中学为了丰富学生们的
知识，组织全校学生进行中国古代神话传说知识竞赛，并随机抽取50名学生的成绩，整理成如下统计表：
分数 60 70 80 90 100频数 2 7 15 16 10
（1）该50名同学这次竞赛成绩的中位数是______；
（2）求该50名同学这次竞赛成绩的平均数；
（3）若竞赛成绩90分以上（含90分）为优秀，该校有1500名学生，请估计竞赛成绩为优秀的人数．
【答案】（1）90 （2）该50名同学这次竞赛成绩的平均数为85分；
（3）估计竞赛成绩为优秀的人数约为780人．
【解析】
【分析】本题主要考查了求中位线、平均数、用样本估计总体．
（1）根据中位数的定义即可解答；
（2）利用平均数的公式代入数据计算即可；
（3）用成绩90分以上（含90分）的人数所占比例乘以1500即可．
【小问1详解】
解：将该50名同学成绩从小到大排列，该50名同学这次竞赛成绩的中位数位于第25名和第26名的平均
数，
则该50名同学这次竞赛成绩的中位数是 ；
故答案为：90；
【小问2详解】
解： （分）
答：该50名同学这次竞赛成绩的平均数为85分；
【小问3详解】
解： （人），
答：估计竞赛成绩为优秀的人数约为780人．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在 中，点 、 分别为 、 上一点，连接 、 交于点 ，若
，且 ．（1）当 时，求 的长；
（2）当 ， 时，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的
判定与性质，正确做出辅助线是解答本题的关键．
（1）由 得 ，如图，作 交 的延长线于点H，证明
得 ，求出 ，然后利用三线
合一即可求解；
（2）证明 得 ，求出 ， ．证明
得 ，进而可求出 ．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ．
如图，作 交 的延长线于点H，
则 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴
∴ ，∴ ，
∴ ．
八、（本题满分14分）
23. 如图，抛物线 与 轴相交于 、 两点（点 在点 的右侧），与 轴相交于点 ，
且 ，点 是抛物线的顶点．
（1）求二次函数的关系式；
（2）点 为线段 上一个动点，过点 作 轴于点 ．设点 的横坐标为 ， 的面积为
．
①求 与 的函数关系式，写出自变量 的取值范围；
②求 的最大值．
【答案】（1）
（2）① ， ；② 的最大值为
【解析】
【分析】（1）求得 ，将 代入抛物线 得方程组求解即可得到答案；
（2）①由（1）知二次函数的关系式 ，得到 ，再由待定系数法确定直线
的解析式，结合题意即可得到答案；②由抛物线性质求最值即可得到答案．
【小问1详解】解：当 时， ，
， ，
，
，
，
将 代入抛物线 可得，
，
解得 ，
二次函数的关系式 ；
【小问2详解】
解：①由（1）知二次函数的关系式 ，
点 是抛物线的顶点，
，
设直线 的解析式为 ，
将 、 代入 得，
，解得 ，
直线 的解析式为 ，
过点 作 轴于点 ，点 的横坐标为 ，
、 ，的面积为 ，
、 ，
；
②由①知 ， ，
，
， 满足 ，
的面积 有最大值，最大值为 ．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及待定系数法确定抛物线解析式、解二元一次方程组、待
定系数法确定一次函数解析式、抛物线图象与性质、二次函数一般式化为顶点式、二次函数求最值等知识，
熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．
