文档内容
2025 年中考模拟考试九年级数学试卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1. 下面四个实数中，最小的是（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较，正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，
绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，据此判断即可．
【
详解】解：∵ ，
∴四个实数中，最小的是 ，
故选：B．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算法则，解题的关键
是掌握相关知识点并灵活运用．
根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算法则，依次判断各个选项即可．
【详解】解：A、 ，故A不正确，不符合题意；
B、 ，故B不正确，不符合题意；
C、 ，故C不正确，不符合题意；D、 ，故D正确，符合题意；
故选：D．
3. 据安徽省统计局发布，2024年安徽省全年生产总值（ ）为50625亿元，其中50625亿用科学记数
法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为
整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
当原数绝对值大于等于10时，n是正数，由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：50625亿 ，
故选C．
4. 某几何体的俯视图如图所示，则该几何体可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，由三视图还原几何体．在水平面内得到的由上向下观察物体的视图
叫做俯视图，进行判断即可．【详解】解： 是 的俯视图，
故选：D．
5. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A. 对角线相等 B. 对角线平分一组对角
C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直
【答案】A
【解析】
【详解】解：菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，
矩形的对角线互相平分、相等，
∴矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，
故选A．
【点睛】本题考查菱形的性质和矩形的性质．掌握特殊四边形的性质是解题关键．
6. 若函数 中，当自变量 时，因变量 随着 的增大而减小，则该函数的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数等的图象与性质，分别观察图象，根据图象性质逐
一排除即可，掌握函数图象与性质是解题的关键．
【详解】解： 、自变量 时，因变量 随着 的增大而增大，不符合题意；
、自变量 时，因变量 随着 的增大而减小，符合题意；
、自变量 时，因变量 随着 的增大而增大，不符合题意；
、自变量 时，因变量 随着 的增大而减小或增大，不符合题意；
故选： ．7. 体育老师将一个足球、一个篮球和一个排球随机放入两个收纳筐中（三个球可放入同一个筐中），那么
篮球和足球放在同一个筐中的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与
总情况数之比．
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出篮球和足球放在同一个筐中情况数，然后根据概率公
式即可得出答案．
【详解】解：树状图如下：
总共有 种等可能的结果．
的
其中篮球和足球在同一筐 情况：当足球在筐 ，篮球也在筐1时，排球可在筐1或筐2（2种）；当
足球在筐2，篮球也在筐2时，排球可在筐1或筐2（2种），共4种．
，
所以篮球和足球放在同一个筐中的概率为 ．
故选：A．
8. 如图， 中，E为对角线 上一点，过点E的直线 分别交边 ， 于点F，G，交射
线 ， 于点M，N．若 ， ，则 的值为（ ）A. 6 B. 8 C. 10 D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例．根据平行四边形的性质，可得
，再由平行线分线段成比例可得 ， ，从而得到 ，
即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：C
9. 已知关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根分别为 ， ，关于 的一元二次方
程 的两个实数根分别为 ， ，则下列方程中，其两实数根分别为 ， 的
是（ ）A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解二元一次方程组，由题意得 ，
， ， ，则 ， ，联立
， ，解得 ， ，然后构造一元二次方程即可，掌握知识点的应用是解
题的关键．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根分别为 ， ，
∴ ， ，
∵关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
联立解得： ， ，
∴ ， ，
∴以两实数根分别为 ， 的方程是 ，
故选： ．
10. 如图，正方形ABCD中， ，E为AD 的中点，P为BC边上一动点，连接DP，过P点作
，且 ，连接EF，则线段EF长度的最小值为（ ）A. 2 B. C. 4 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，
取 的中点M，连接 ， ，连接并延长 交 于点 ，设 交于点 ，证明
， ，得出 ，进而可得 ，即可
得出 的值，进而可得 点在 上运动，证明四边形 是平行四边形，得出 ，
则当 在 上时， 取得最小值，此时 重合，进而解直角三角形，即可求解．
【详解】解：如图，取 的中点M，连接 ， ，连接并延长 交 于点 ，设
交于点
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ 是 的中点，∴ ，
又∵ ， ，
∴ 即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∴ 点在 上运动，
∴当 时， 取得最小值，
∵ ，
∴
又∵
∴四边形 是平行四边形，
∴
又∵∴
∴当 在 上时， 取得最小值，此时 重合，
∵ ，则 ，
在 中， ，
∴
在 中，
∴
∴
∴ ，即 的最小值为
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 不等式 的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的知识点是解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的方法．
按照去分母、移项、系数化为 的步骤求解即可．
【详解】解：
去分母， ，移项， ，
系数化为 ， ，
即不等式 的解集为 ．
故答案为： ．
12. 已知第一象限内的点A在反比例函数 的图象上，点A关于x轴的对称点为 ，B为y轴上任意一
点，若 的面积为6，则k的值为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的性质、关于x轴对称点的坐标特征及三角形面积公式，解题的关键是利用
对称点得出线段长度，结合三角形面积公式建立 与已知面积的关系．
【详解】设 ，
因为 在 上，
所以 ．
∵ 关于 轴的对称点 ，
∴ 的长度为 ．
∵ 为 轴上任意一点， 以 为底， （或 ）到 轴的距离 为高， ，
∴ ．
化简 得 ，又 ，
所以 ．
故答案为：6．
13. 如图，将一块含30°角的直角三角板的一个锐角的顶点与 上A点重合，该角的两边分别与 相
交于B，C两点，连接 ．若 ，则劣弧 的长度为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，弧长公式等知识点，利用查圆周角定理求出 ，再根据
的长求出半径，最后利用弧长公示计算即可．
【详解】解：连接 ， ，过点O作 于点D，
则 ．
依题意得： ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴劣弧 的长度为： ，
故答案为： ．
14. 已知抛物线 ，将抛物线 向右平移1个单位长度，再向上平移 个单位长度，
得到抛物线 ．
（1）b的值为______；
（2）点 ， 分别在抛物线 和 上 ，过点A作y轴的垂线，过点B
作x轴的垂线，两条垂线交于点 ．若 ，则 的值为______．
【答案】 ①. 4 ②. 1
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与平移，掌握这些知识是解题的关键．
（1）由 得顶点为 ，它向右平移1个单位长度，再向上平移 个单位长度后
的顶点为 ，即抛物线 ．则可求得b的值；
（2）由（1）得c的值；由题意知，抛物线 向右平移1个单位长度，再向上平移 个
单位长度，得到抛物线 ，因而当点A右平移1个单位长度到点C，再向上平移3个单位
长度到点B，则 ，故 ，即 ．
【详解】解：（1）∵ ，∴抛物线的顶点为 ，
∴它向右平移1个单位长度，再向上平移 个单位长度后的顶点为 ，
即抛物线 ．
即 ，
∴ ；
故答案为：4；
（2）由（1）知， ，
即 ；
也即抛物线 向右平移1个单位长度，再向上平移 个单位长度，得到抛物线
，
∴点A右平移1个单位长度到点C，再向上平移3个单位长度到点B，则 ，
∴ ；
∵ ，
∴
即 ．
故答案为：1．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，先算负整数指数幂，特殊三角函数值，化简二次根式，再计算即可．【详解】解： ．
16. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 ，格点A，B，C的坐
标分别为 ．
（1）作 关于直线 对称的 ；
（2）以点O为中心，将 顺时针旋转 得到 ，画出 ；
（3）在所给的网格图中确定一个格点H，使得 ，写出点H的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了画对称轴图形，旋转图形，相似三角形的判定与性质，垂直的定义等知识点，熟练掌
握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）作出点 关于直线 对称的对称点 ，再连接 即可；
（2）分别作出点 绕点 顺时针旋转 的点 ，再顺次连接即可；
（3）可得 ，则 ，由 ，得 ．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求：【小问2详解】
解：如图， 即为所求：
【小问3详解】
解：如图，点 即为所求：
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 数学兴趣小组开展探究活动：研究一个判断正整数能否被7整除的规律．
观察归纳：
； ； ．
； ； ．
； ； ．
； ； ．…
规律发现：对于一个正整数x，有如下判断正整数x能否被7整除的方法：划掉该数的最后一位数字，将剩
下的数与划掉的数字的两倍相减得到它们的差．若该差能被7整除，则正整数x能被7整除．否则，正整
数x不能被7整除．
规律应用：
（1）请用上述方法验证266能否被7整除．
的
（2）兴趣小组 同学按规律把一些三位数整理成如下表格，请你填写表格中横线上的内容：
x的表 按（2）中操作得到的差，记为M
x
示 （x）
217
_
945 ______
_____
… … …
（3） 表示 ，其中 ， ， ，且a，b，c均为整数．利用以上
信息说明：当 能被7整除时， 也能被7整除．
【答案】（1）见解析；
（2） ， ；
（3）见解析．
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减运算，数字规律类探索，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据题意给出的方法即可解答；
（2）根据题意给出的规律即可解答；
（3）由题意得 ，得到 ，由 ，则
，当 能被7整除时， 也是 的倍数，即 是 的倍
数，即可得出结论．
【小问1详解】解：由题意可得： ，
，
∴ 能被 整除；
【小问2详解】
解：由题意可得：
，
，
故答案为： ， ；
【小问3详解】
解：由题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 能被7整除时， 也是 的倍数，即 是 的倍数，
∴ 也是 的倍数，能被 整除，
∴当 能被7整除时， 也能被7整除．
18. “洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入
方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．
如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”．
（1）写出图2中a和b之间的数量关系；（2）求出图3中x和y的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，掌握“九宫格”的特点是解题关键．
（1）根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等求解即可；
（2）令第一行第二列为 ，第三行第三列为 ，根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等列
二元一次方程组，整理后求解即可
【小问1详解】
解：由题意可知， ，
即 ；
【小问2详解】
解：如图，令第一行第二列为 ，第三行第三列为 ，
则 ，即 ，
解得： ；
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，某景区的缆车索道 与平台 的夹角为 ，某安全部门对该索道上缆车的运行速度进行测
量．已知安全员站在墙体 处，眼睛恰好处于平台 的点 处，他发现索道 处有一辆缆车，该缆车
底部在平台 上，且底部的最右侧恰好与平台边缘 处重合，测得 处的仰角为 ，该
缆车运行 秒后，到达索道 处，此时测得该缆车底部最右侧 处的仰角为 ．已知平台 ，其高 米．若相关部门规定缆车的运行速度不得超过 米／秒，请通过计算说明该
缆车的运行速度是否符合规定．（参考数据： ，
【答案】符合规定，见解析
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义，构造直角三角形是解题的关键；
方法一：求出 ， 的长，再求得 ，在 中，求得 的长，求出缆车的运行
速度，作出判断，即可求解．
方法二：在 中，得 ，连接 ，过点 作 于点 ，延长 交
于点 ，则 ，设 ，则 ．含 的代数式表示出 的长，根据
建立方程，解方程， 进而可得 ，然后求出缆车的运行速度，作出判断，即可求解．
【详解】解：方法一：如图1，连接 ，延长 至点 ，过点 作 于点 ．
在 中， ，
．．
， ，
，
，
．
，
在 中， ，
，
该缆车的运行速度为 ，
即该缆车的运行速度符合规定．
方法二：在 中， ，．
如图2，连接 ，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，则 ，
则 ．
设 ，则 ．
在 中， ．
，
．
，
解得 ，
，
该缆车的运行速度为 ，
即该缆车的运行速度符合规定20. 如图， 是 的直径，C，D为 上两点， 平分 ，交 于点E．过点C作 的
切线交 的延长线于点P．
（1）求证： ．
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，弧与圆心角之间的关系，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的
性质与判定，勾股定理等等，熟知圆的相关知识是解题的关键．
（1）连接 ，先证明 得到 ，则可证明 ，由切线
的性质得到 ，再证明 ，得到 ，则可证明
；
（2）证明∴ ，得到 ，设 ，则 ， ，由勾
股定理得 ，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ．
六、解答题（本题满分12分）
21. 随着人工智能技术的不断发展， 助手正逐渐走入人们的生活，“多轮对话能力”是 助手的核心
功能之一．某互联网企业推出了 ， 两款 助手．为测试这两款 助手的“多轮对话能力”，研发人
员邀请一批客户进行聊天体验（一位客户只体验一款 助手），收集客户对 助手的满意度评分（满分
分），并针对两款 助手各随机抽取 位客户的评分数据进行整理、描述和分析（数据分成 组：
； ； ； ； ； ）．下面给出了部分信
息．
款 助手的评分数据频数分布直方图如下：款 助手在 这一组的评分数据如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ；
款 助手在 这一组的评分数据如下： ， ， ， ；
， 两款 助手评分数据的平均数、中位数、众数如表：
平 均 中 位 众
数 数 数
款
款
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出 ， 的值．
（2）抽取的数据中，当两款 助手的评分都是 分时，______（填“ ”或“ ”）款 助手的评分
排名（从高到低）更靠前，理由是____________．
（3）已知受邀参与 款 助手聊天体验的客户有 人，参与 款 助手聊天体验的客户有 人，
请估计这批客户中评分在 这一组的总人数．
【答案】（1） ， ；
（2） ； 款 助手的评分是 分时，从高到低的评分排名为第 名； 款 助手的评
分是 分时，从高到低的评分排名在前 名；
（3）估计这批客户中评分在 这一组的总人数为 人．【解析】
【分析】（1）结合 款 助手的评分数据频数分布直方图求 ，结合中位数定义及数据分布情况求 ；
（2）比较两款 助手的评分与各评分数据的中位数即可得解；
（3）根据样本估计总体即可得解．
【小问1详解】
解：共抽取 位客户的评分数据，
由 款 助手的评分数据频数分布直方图可得 ；
， ，
款 助手的评分数据从小到大排第 、 个数据在 内，且为 ， ，
款 助手的评分数据的中位数为 ．
【小问2详解】
解：由题意得， 款 助手的评分是 分时，从高到低的评分排名为第 名；
款 助手的评分数据的中位数为 ，
款 助手的评分是 分时，从高到低的评分排名在前 名，
款 助手的评分排名（从高到低）更靠前．
故答案为： ； 款 助手的评分是 分时，从高到低的评分排名为第 名； 款 助
手的评分是 分时，从高到低的评分排名在前 名．
【小问3详解】
解：由题意得，参与 款 助手聊天体验的客户评分在 这一组的人数估计为
人，
参与 款 助手聊天体验的客户评分在 这一组的人数估计为 人，估计这批客户中评分在 这一组的总人数为 人．
【点睛】本题考查的知识点是频数分布直方图、求中位数、运用中位数做决策、由样本所占百分比估计总
体的数量，解题关键是熟练掌握统计相关知识．
七、解答题（本题满分12分）
22. 二级火箭是航天发射中常见的一种火箭类型，其第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距
离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某数学兴趣小组受到启发，根据二级火箭的运行路
径，运用信息技术设计了一种小球运动模型．如图，小球 P从点O处发射，以发射点O为坐标原点，以水
平地面为x轴建立平面直角坐标系．已知小球P飞行轨迹的 段为抛物线 的一部分，A
为小球P飞行轨迹的最高点．小球P在距离地面高度为 的点B处开始加速冲击目标C，冲击目标阶段
为直线 的一部分．
（1）求b的值．
（2）已知小球P上升阶段在竖直方向上的平均速度为 ，下降阶段在竖直方向上的平均速度为
，冲击目标阶段在竖直方向上的平均速度为 ，那么小球P从点O发射开始，到击中目标C
这一过程中，一共用时多少秒？
（3）现要在线段 上的点M处设置一个拦截装置，发射小球Q来拦截小球P，小球Q的拦截轨迹为直
线的一部分，且与 平行．若要在小球P下降阶段（不包含点A）拦截，求出点M的横坐标m的取值范
围．【答案】（1）
（2）一共用时 秒
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用 ；
（1）先由直线解析式求出 ，再代入 计算即可；
（2）先求出顶点 ，即可求出上升、下降、冲击三个阶段竖直方向上的路程，然后就出对应的
时间，最后求和即可；
（3）设 ，则 ， 解析式为 ，求出进过 时，
，然后结合图形求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，点 纵坐标为 ，
∴当 时，解得 ，
∴ ，
把 代入 得 ，解得 ；
【小问2详解】
解：由（1）可得抛物线 ，∴ ，
∴小球P从点O发射开始，上升阶段在竖直方向上运动的路程为 ，时间为 ，下降阶段在
竖直方向上运动的路程为 ，时间为 ，冲击目标阶段在竖直方向上运动的路程
为 ，时间为 ，
∴小球P从点O发射开始，到击中目标C这一过程中，一共用时 秒
【小问3详解】
解：∵线段 上的点M处，点M的横坐标m，
∴ ， ，
∵小球Q的拦截轨迹为直线的一部分，且与 平行，
∴设 解析式为 ， 在直线 下方，
当 过 时， ，解得 ，
当 过 时， ，解得 ，
∵要在小球P下降阶段（不包含点A）拦截，∴ ．
八、解答题（本题满分14分）
23. 如图 ，在 中， ，点 在 边上，连接 ， 为 上一点，连接 并延长
交 于点 ，已知 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ．
（ ）如图 ，当 为 的中点时，求 的值；
（ ）请就图 情形求证： ．
的
【答案】（1）见解析 （2）（i） ；（ii）见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形判定与性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的
判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）证明 即可；
（2）（i）过点 作 交 延长线于点 ，则 ， ，得到
， ，设 ，则 ， ，则 ，由
（1）可得： ， ，再由勾股定理逆定理求解即可；（ii）在 上取点 ，使 ，连接 ，过点 作 的平行线交 延长线于点 ，先证
明 ，由 得到 ，导角证明 ，由相似得到
，设 ，则 ，则 ，
再由等边对等角结合三角形的外角即可证明．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
（ ）解：∵点 为 的中点，
∴ ，
过点 作 交 延长线于点 ，
∴ ， ，
∵ ， ，∴ ， ，
设 ，则 ， ，
∴
由（1）可得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（ii）证明：在 上取点 ，使 ，连接 ，过点 作 的平行线交 延长线于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ．
