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专题21.2 解一元二次方程（二）（专项训练）
1．用因式分解法解方程
（1）5x2=4x （2）3x(x−1)=2−2x
2.解方程（用因式分解法）：
2(x−2) 2=x−2
3.用因式分解法解方程： 2(x−3)=x2−9 .
4．解方程（用因式分解法）
（1）x2+4x−5=0 ； （2）（x﹣4）2＝2（x﹣4）5．用因式分解解方程：2(x−3) 2=x2−9．
6．解下列方程（因式分解法）：
（1）x2﹣10x+16＝0； （2）2x（x﹣1）＝x﹣1．
7．解方程（用因式分解法）：
（1）x2－2x－3＝0； （2）x （x－2）－x＋2＝0.
8．解方程：x(x+2)=2x+4．
9．用因式分解法解方程：2x（x﹣3）＝x﹣3．
10．用因式分解法解一元二次方程：x2−8x+7=011．用因式分解法解下列方程：
（1）x2−2x−8=0 （2）(x−1) 2=(x−1)
12．用因式分解法解方程：
（1）x2−2x−24=0． （2）2(x−3)=3x(x−3)
13．用因式分解法解下列一元二次方程：
（1）x2+10x+16＝0； （2）x（x+4）＝8x+12．
14．（2021秋•揭西县期末）若关于x的方程（x2+2x）2+2（x2+2x）﹣8＝0有实数根，则
x2+2x的值为（ ）
A．﹣4 B．2 C．﹣4或2 D．4或﹣2
15．（2022 春•射阳县校级月考）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则 x2+y2的值为
（ ）
A．0 B．4 C．4或﹣2 D．﹣2
16．（2022•芜湖一模）已知实数 x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣
x+1的值是（ ）A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3
17．（2022春•蜀山区校级月考）若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么
x2+2x的值为（ ）
A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣4
18．（2021•三台县模拟）已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4（x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣
2x+1的值为 ．
19．（2x+1）2﹣6（2x+1）+5＝0（换元法）
20．（2021秋•金山区校级期中）解方程：（x﹣2）2+3（2﹣x）﹣10＝0．
21．（2021秋•普陀区期中）解方程：（x﹣1）2+6（x﹣1）+8＝0．
22．（2020秋•太原期末）解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0时，我们将x2﹣1作为一个整
体，设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣3y＝0．解得y ＝0，y ＝3．当y＝0时，x2﹣1＝0，
1 2
解得x＝1或x＝﹣1．当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x＝2或x＝﹣2．所以，原方程的解为
x ＝1，x ＝﹣1，x ＝2，x ＝﹣2．
1 2 3 4
模仿材料中解方程的方法，求方程（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3＝0的解．23．（2021秋•洛宁县月考）阅读材料，解答问题．
材料：为解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0，
我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2．
原方程化为y2﹣3y＝0，①
解得y ＝0，y ＝3．
1 2
当y＝0时，x2﹣1＝0，所以x2＝1，x＝±1；
当y＝3时，x2﹣1＝3，所以x2＝4，x＝±2．
所以原方程的解为x ＝1，x ＝﹣1，x ＝2，x ＝﹣2．
1 2 3 4
解答问题：
（1）填空：
在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降幂的目的，体现了 的数学
思想；
（2）解方程：（x2+3）2﹣4（x2+3）＝0．
专题21.2 解一元二次方程（二）（专项训练）（解析）
1．用因式分解法解方程
（1）5x2=4x （2）3x(x−1)=2−2x
4 2
【答案】（1）x=0，x= （2） x=1，x= −
1 2 5 1 2 3
【解答】（1）解： 5x2=4x ，
移项得：5x2-4x=0，
x（5x-4）=0，x=0或5x-4=0，
4
解得：x=0，x= ；
1 2 5
（2）解： 3x(x−1)=2−2x ，
移项、整理得：3x（x-1）+2（x-1）=0，
（x-1）（3x+2）=0，
x-1=0或3x+2=0，
2
解得：x=1，x= − ；
1 2 3
2.解方程（用因式分解法）：
2(x−2) 2=x−2
5
【答案】∴x =2,x = .
1 2 2
【解答】解： (x−2)[2(x−2)−1]=0
(x−2)(2x−5)=0
∴x−2=0 或 2x−5=0,
5
∴x =2,x = .
1 2 2
3.用因式分解法解方程： 2(x−3)=x2−9 .
【答案】x =3,x =−1 .
1 2
【解答】解： 2(x−3)=x2−9
2(x−3)=(x+3)(x−3) ，
2(x−3)−(x+3)(x−3)=0 ，
∴(x−3)(2−x−3)=0 ，
解得 x =3,x =−1 .
1 2
4．解方程（用因式分解法）
（1）x2+4x−5=0 ； （2）（x﹣4）2＝2（x﹣4）
【答案】 （1） x =1 ， x =−5 （2） x =4 ， x =6
1 2 1 2
【解答】（1） 解：分解因式得， (x−1)(x+5)=0 ，
即 x−1=0 或 x+5=0 ，∴x =1 ， x =−5 ；
1 2
（2）解：（x﹣4）2＝2（x﹣4）
移项得：（x﹣4）2-2（x﹣4）=0
提取公因式得： (x−4)(x−4−2)=0
解得： x =4 ， x =6 .
1 2
5．用因式分解解方程：2(x−3) 2=x2−9．
【答案】 x＝3，x =9
1 2
【解答】解：2(x−3) 2−(x+3)(x−3)=0，
(x−3)(2x−6−x−3)=0，
x﹣3＝0或x﹣9＝0，
所以x＝3，x =9
1 2
6．解下列方程（因式分解法）：
（1）x2﹣10x+16＝0； （2）2x（x﹣1）＝x﹣1．
1
【答案】（1）x=8，x=2 （2）x=1，x= .
1 2 1 2 2
【解答】（1）解：∵x2﹣10x+16＝0，
∴(x-8)(x-2)=0，
∴x-8=0或x-2=0，
解得x=8，x=2；
1 2
（2）解：∵2x（x﹣1）＝x﹣1，
∴2x（x﹣1）-（x﹣1）=0，
∴(x-1)(2x-1)=0，
∴x-1=0或2x-1=0，
1
解得x=1，x= .
1 2 2
7．解方程（用因式分解法）：
（1）x2－2x－3＝0； （2）x （x－2）－x＋2＝0.
【答案】（1）x＝3，x＝－1； （2） x＝2， x＝1.
1 2 1 2
【解答】（1）解：x2－2x－3＝0
x2－2x＋1＝3＋1（x－1）2＝4
x－1＝±2
∴x＝3，x＝－1；
1 2
（2）解：x （x－2）－（x－2）＝0
（x－2）（x－1）＝0
x-2=0或x-1=0
∴x＝2， x＝1.
1 2
8．解方程：x(x+2)=2x+4．
【答案】x＝－2，x＝2．
1 2
【解答】解：x（x＋2）＝2x＋4，
x（x＋2）－2（x＋2）＝0，
（x＋2）（x－2）＝0，
x＋2＝0或x－2＝0，
∴x＝－2，x＝2．
1 2
9．用因式分解法解方程：2x（x﹣3）＝x﹣3．
1
【答案】x = ,x =3
1 2 2
【解答】解：2x(x−3)=x−3 2x(x−3)−(x−3)=0 (2x−1)(x−3)=0
1
解得x = ,x =3
1 2 2
10．用因式分解法解一元二次方程：x2−8x+7=0
【答案】 x=1，x=7．
1 2
【解答】解：因式分解，得（x-1）（x-7）=0，
∴x-1=0或x-7=0，
∴x=1，x=7．
1 2
故答案为x=1，x=7．
1 2
11．用因式分解法解下列方程：
（1）x2−2x−8=0 （2）(x−1) 2=(x−1)
【答案】（1） x =−2 ， x =4 . （2） x =1 ， x =2 .
1 2 1 2
【解答】（1）解： x2−2x−8=0
(x−4)(x+2)=0解得： x =−2 ， x =4 .
1 2
（2）解： (x−1) 2=(x−1)
(x−1−1)(x−1)=0
(x−2)(x−1)=0
解得： x =1 ， x =2 .
1 2
12．用因式分解法解方程：
（1）x2−2x−24=0． （2）2(x−3)=3x(x−3)
2
【答案】（1）x =−4,x =6 （2）x =3，x =
1 2 1 2 3
【解答】（1）解：x2−2x−24=0
(x+4)(x−6)=0，
x+4=0或x−6=0
解得：x =−4,x =6；
1 2
（2）解：2(x−3)−3x(x−3)=0
(x−3)(2−3x)=0
x−3=0或2−3x=0，
2
∴x =3，x = ．
1 2 3
13．用因式分解法解下列一元二次方程：
（1）x2+10x+16＝0； （2）x（x+4）＝8x+12．
【答案】（1）x＝﹣2，x＝﹣8 （2）x＝﹣2，x＝6．
1 2 1 2
【解答】（1）解： x2+10x+16＝0，
（x+2）（x+8）＝0，
x+2＝0或x+8＝0，
∴x＝﹣2，x＝﹣8；
1 2
（2）x（x+4）＝8x+12，
x2+4x﹣8x﹣12＝0，
x2﹣4x﹣12＝0，
（x+2）（x﹣6）＝0，
x+2＝0或x﹣6＝0，
∴x＝﹣2，x＝6．
1 214．（2021秋•揭西县期末）若关于x的方程（x2+2x）2+2（x2+2x）﹣8＝0有实数根，则
x2+2x的值为（ ）
A．﹣4 B．2 C．﹣4或2 D．4或﹣2
【答案】B
【解答】解：设x2+2x＝y，则原方程可化为y2+2y﹣8＝0，
解得：y ＝﹣4，y ＝2，
1 2
当y＝﹣4时，x2+2x＝﹣4，即x2+2x+4＝0，Δ＝22﹣4×1×4＜0，方程无解，
∴x2+2x的值为2，
故选：B．
15．（2022 春•射阳县校级月考）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则 x2+y2的值为
（ ）
A．0 B．4 C．4或﹣2 D．﹣2
【答案】B
【解答】解：设 x2+y2＝z，则原方程换元为 z2﹣2z﹣8＝0，
∴（z﹣4）（z+2）＝0，
解得：z ＝4，z ＝﹣2，
1 2
即 x2+y2＝4或 x2+y2＝﹣2（不合题意，舍去），
∴x2+y2＝4．
故选：B．
16．（2022•芜湖一模）已知实数 x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣
x+1的值是（ ）
A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3
【答案】A
【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，
∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0，
∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，
∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6．
当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程无实数解．
当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7
故选：A．
17．（2022春•蜀山区校级月考）若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么
x2+2x的值为（ ）
A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣4
【答案】B
【解答】解：设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，
解得：y＝4或﹣2，
当y＝4时，x2+2x＝4，此时方程有解，
当y＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，此时方程无解，舍去，
所以x2+2x＝4．
故选：B．
18．（2021•三台县模拟）已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4（x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣
2x+1的值为 ．
【答案】1
【解答】解：设y＝x2﹣2x+1，则y2+4y﹣5＝0．
整理，得（y+5）（y﹣1）＝0．
解得y＝﹣5（舍去）或y＝1．
即x2﹣2x+1的值为1．
故答案为：1．
19．（2x+1）2﹣6（2x+1）+5＝0（换元法）
【答案】x ＝0，x ＝2
1 2
【解答】解：设2x+1＝a，原方程可化为a2﹣6a+5＝0，
解得a＝1或5，
当a＝1时，即2x+1＝1，解得x＝0；
当a＝5时，即2x+1＝5，解得x＝2；
∴原方程的解为x ＝0，x ＝2．
1 2
20．（2021秋•金山区校级期中）解方程：（x﹣2）2+3（2﹣x）﹣10＝0．
【答案】x ＝0，x ＝7
1 2【解答】解：（x﹣2）2+3（2﹣x）﹣10＝0，
（x﹣2）2﹣3（x﹣2）﹣10＝0，
∴（x﹣2﹣5）（x﹣2+2）＝0，即x（x﹣7）＝0，
∴x＝0或x﹣7＝0，
∴x ＝0，x ＝7．
1 2
21．（2021秋•普陀区期中）解方程：（x﹣1）2+6（x﹣1）+8＝0．
【答案】x ＝﹣3，x ＝﹣1
1 2
【解答】解：（x﹣1）2+6（x﹣1）+8＝0，
设x﹣1＝a，则原方程化为：a2+6a+8＝0，
（a+4）（a+2）＝0，
a+4＝0或a+2＝0，
解得：a＝﹣4或﹣2，
当a＝﹣4时，x﹣1＝﹣4，解得：x＝﹣3；
当a＝﹣2时，x﹣1＝﹣2，解得：x＝﹣1；
所以方程的解是x ＝﹣3，x ＝﹣1．
1 2
22．（2020秋•太原期末）解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0时，我们将x2﹣1作为一个整
体，设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣3y＝0．解得y ＝0，y ＝3．当y＝0时，x2﹣1＝0，
1 2
解得x＝1或x＝﹣1．当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x＝2或x＝﹣2．所以，原方程的解为
x ＝1，x ＝﹣1，x ＝2，x ＝﹣2．
1 2 3 4
模仿材料中解方程的方法，求方程（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3＝0的解．
【答案】x ＝﹣3，x ＝1，x ＝x ＝﹣1．
1 2 3 4
【解答】解：设x2+2x＝m，
则m2﹣2m﹣3＝0，
∴（m﹣3）（m+1）＝0，
∴m﹣3＝0或m+1＝0，
解得m＝3或m＝﹣1，
当m＝3时，x2+2x＝3，即x2+2x﹣3＝0，
∴（x+3）（x﹣1）＝0，
则x+3＝0或x﹣1＝0，
解得x ＝﹣3，x ＝1；
1 2
当m＝﹣1时，x2+2x＝﹣1，即x2+2x+1＝0，∴（x+1）2＝0，
解得x ＝x ＝﹣1；
3 4
综上，原方程的解为x ＝﹣3，x ＝1，x ＝x ＝﹣1．
1 2 3 4
23．（2021秋•洛宁县月考）阅读材料，解答问题．
材料：为解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0，
我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2．
原方程化为y2﹣3y＝0，①
解得y ＝0，y ＝3．
1 2
当y＝0时，x2﹣1＝0，所以x2＝1，x＝±1；
当y＝3时，x2﹣1＝3，所以x2＝4，x＝±2．
所以原方程的解为x ＝1，x ＝﹣1，x ＝2，x ＝﹣2．
1 2 3 4
解答问题：
（1）填空：
在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降幂的目的，体现了 的数学
思想；
（2）解方程：（x2+3）2﹣4（x2+3）＝0．
【答案】（1）转化、换元 （2）x ＝1，x ＝﹣1．
1 2
【解答】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降幂的目的，
体现了转化的数学思想，
故答案为：换元，转化；
（2）（x2+3）2﹣4（x2+3）＝0，
设x2+3＝a，则原方程化为：a2﹣4a＝0，
解得：a ＝0，a ＝4，
1 2
当a＝0时，x2+3＝0，此方程无解；
当a＝4时，x2+3＝4，解得：x＝±1，
所以原方程的解是x ＝1，x ＝﹣1．
1 2
