文档内容
霍邱县 2024-2025 学年度九年级第一次模拟考试
数学试卷
温馨提示：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试卷”和“答题卷”两部分．
“试卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“答题卷”交回．
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 4分，满分40分）每小题都给出 四个
选项，其中只有一个是正确的．
1. 的倒数是（ ）
A. 2025 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了倒数的定义，根据乘积互为1的两个数互为倒数，进行作答即可．
【详解】解：∵
∴ 的倒数是 ，
故选：C
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，正确的计算是解题的关键．
3. 太阳的半径约为696000千米，用科学记数法表示696000为( )
A. 69.6×104 B. 6.96×105 C. 6.96×106 D. 0.696×107
【答案】B
【解析】
【分析】数据绝对值大于10或小于1时科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】696000=6.96×105，
故选B．
【点睛】此题考查的是科学记数法．任意一个绝对值大于10或绝对值小于1的数都可写成a×10n的形式，
其中1≤|a|＜10．对于绝对值大于10的数，指数n等于原数的整数位数减去1．
4. 篆刻是中华传统艺术之一．如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查从不从方向看几何体，理解视图的定义，掌握简单组合体的各方向的画法是正确解答的
关键；
根据简单几何体的各方向的画法画出它的主视图即可；
【详解】解：这个组合体从正面看，得到的平面图形是：，
故选：B；
.
5 如图，将一直角三角形放于一对平行线上，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了两直线平行同位角相等，三角形外角的性质，根据平行线的性质得
，由对顶角的性质求出 ，再根据三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：如图所示，
根据题意可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故选：C．
6. 如图， 为 的直径，点 是圆上两点，且分别在 两侧，若 ，则
的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理，由平角的定义可得出 ，再根据圆周角定理得出
，故可得结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 所对的圆心角是 ，所对的圆周角是 ，
∴ ，
故选：A．
7. 某班级计划举办手抄报展览，确定了“ 时代”“ ”“豆包”三个主题，若小红随机选择
其中一个主题，则她恰好选中“ ”的概率是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了用概率公式求概率，掌握概率 所求情况数与总情况数之比是银师的关键．
直接由概率公式求解即可．
【详解】解：从“ 时代”“ ”“豆包”三个主题，选择其中一个主题有 3种情况，选中“
”的只有1种情况，
所以恰好选中“ ”的概率是 ．
故选：C．
8. 如图，在等腰直角 中， ， 平分 ，交 于 ，且 于点 ，
边上的中线 交 于 ，连接 ．则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】延长 ， 交于点H，连接 ，由题意得 ，易证 ，即
可判断A选项；证明 ，推出 ，证明 ，推出
，即可判断B选项；由三角形全等得到 ，根据
，即可判断C选项；易证 垂直平分 ，推出 ，证明是等腰直角三角形，推出 ，求出 ，即可判断D选项．
【详解】解：延长 ， 交于点H，连接 ，
∵ 为等腰直角三角形，D为 中点，
∴
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，D为 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故A选项正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故B选项正确，不符合题意；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故C选项错误，符合题意；
∵ 为等腰直角三角形，D为 中点，∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故D选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定性质，直角三角形的性质，勾股定
理，综合性较强，解题的关键是结合所学知识逐项判定各选项，并且利用已经证明的结论来证明未知的结
论 ．
9. 已知 为实数，且 ，则 之间的大小关系是（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】本题考查了完全平方公式的应用，配方法的应用．先根据已知等式求出 ，
，再利用完全平方公式判断出 ， ，由此即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
解得 ， ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
10. 在凸四边形 中，若对角线 ，且 ，则 的最小值为（
）
A. 5 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，过点C作 ，
过点D作 ，二线交于点E，则四边形 是平行四边形，得到 ， ，由
，推出 ，即 ，根据 ，当B，C，E三点共线时，
取得最小值，最小值为 的长，此时 计算即可．
【详解】解：过点C作 ，过点D作 ，二线交于点E，则四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
当B，C，E三点共线时，
∴ 取得最小值，
∴ 取得最小值，最小值为 的长，
∵ ，
此时 ，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
.
11 计算： ___________．
【答案】
【解析】【分析】本题考查实数的运算，先计算算术平方根，再进行减法运算即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12. 因式分解： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解，原式先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可得出结果．
【详解】解： ，
故答案为： ．
13. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求
积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论： 是锐角
的 高 ， 则 ． 当 时 ， 的 长 为
___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的应用．根据垂直定义可得 ，然后根据已知
可求出 的长，从而在 中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
【详解】解： ，
，
， ， ， ，，
，
故答案为： ．
14. 若一个点的横坐标和纵坐标相等，则称该点为不动点．已知抛物线 上有且只有
一个不动点 ，且当 时，函数 的最小值为 ，最大值为1，请
探究下列问题：
（1） 的值是___________；
（2） 的取值范围是___________．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与x轴交点问题等知识．
（1）由不动点的概念和根的判别式求出 和 的值，即可求出 的值；
（2）再由抛物线的解析式求出顶点坐标和与坐标轴的交点坐标，根据函数值，即可求得 的取值范围．
【详解】（1）解：令 ，即 ，
由题意可得，图象上有且只有一个不动点，
∴ ，则 ，
又方程根为 ，
∴ ， ，
∴ ，故答案为： ；
（2）解： ， ，
∴函数 ，
该二次函数图象如图所示，顶点坐标为 ，
与 轴交点为 ，
根据对称规律，点 也是该二次函数图象上的点，
在 左侧， 随 的增大而增大；
在 右侧， 随 的增大而减小；且当 时，
函数 的最大值为 ，最小值为 ，
∴ ．
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程组，先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答．
【详解】解：∵
∴ ，
∴
∴
或 ，
．
16. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为A ，B ，C ．
（1）画出 关于x轴对称的 ；
（2）以M点为位似中心，在第一象限中画出将 按照1：2放大后的位似图形 ；
（3）利用网格和无刻度的直尺作出 的中线 （保留作图痕迹）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析【解析】
【分析】（1）利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）取格点M、N，连接 与 相交于点D，则 即为所求作的中线．
【小问1详解】
解：如图， 为所作；
【小问2详解】
解：如图， 为所作；
【小问3详解】
解：如图， 为所作．
【点睛】本题考查了位似变换：画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和
能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到
放大或缩小的图形．也考查了轴对称变换和平行四边形的性质．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 阅读材料：小学阶段我们学习过被3整除的数的规律，初中阶段可以论证结论的正确性．以三位数为
例，设 是一个三位数，若 可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下：
，显然 能被3整除，因此，如果 可以被
3整除，那么 就能被3整除．设 是一个四位数，应用上述材料解答下列问题：
（1）直接写出 满足什么条件时，它可以被5整除；（2）猜想 满足什么条件时，它可以被4整除，并说明理由．
【答案】（1）当 能被5整除时，即 或5时， 能被5整除
（2）当 能被4整除时， 能被4整除．理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了整死加减的运用．同时考查了数的整除性问题．注意四位数的表示方法与整体思想的
应用．
（1）把四位数化为 ，根据整除的性质得出结论；
（2）把四位数 化为 ，根据整除的性质得出结论．
【小问1详解】
解：当 能被5整除时，即 或5时， 能被5整除，理由如下：
，
能被5整除，
当 或5时， 能被5整除；
【小问2详解】
解：当 能被4整除时， 能被4整除．理由：
，
能被4整除，
当 能被4整除时， 能被4整除．
18. 为充实班级图书角，班主任王老师倡导班级学生积极捐书，该班45名同学共捐书298本，捐书情况如
下表：
捐书（本） 3 5 8 10
人数（人） 4 9表中捐书5本和8本的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，请你帮忙确定表中的数据，并说明理由．
【答案】捐5本的有20人，捐8本的有12人，理由见详解
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确运用方程表示出数量关系并求解是解
题的关键．
根据该班45名同学共捐书298本，设捐5本的有x人，捐8本的有y人，由此列式求解即可．
【详解】解：该班45名同学共捐书298本，设捐5本的有x人，捐8本的有y人，
∴ ，
解得， ，
∴捐5本的有20人，捐8本的有12人．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地 、B、C、 四个位置安装四个自动喷洒装置（如图1
所示），A、B、C、 四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管将四个自动喷洒装置
相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）．
方案一：如图2所示，沿正方形 的三边铺设水管；
方案二：如图3所示，沿正方形 的两条对角线铺设水管．
（1）请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短；
（2）小明看了爸妈的方案后，根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示），
满足 ， ， 、请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由．（参考数据： ， ）
【答案】（1）方案二 （2）小明，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据方案铺设管道路线求解即可；
（2）证 ，求出小明铺设方案的水管的总长度，进行比较即
可得结果；
【小问1详解】
解：方案一： （米）
方案二： （米）
所以方案二总长度更短．
【小问2详解】
如图，作 ， ，垂足分别为 和 ．
∵
∴ ， ，
∴
∵ ，
∴ （米），
，
总长度： （米）
∵∴
所以小明的方案总长度最短．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，根据题意，灵活应用知识点进行求解是解题的
关键．
20. 如图，在 中， ，点O在边 上， 经过点B并且与 相切于点D，连接
．
（1）尺规作图：过点D作 ，垂足为点E； (保留作图痕迹，不写作法)
（2）在 (1)所作的图形中，
①求证： 平分 ；
②若四边形 的周长与面积均为18，求 的长．
【答案】（1）图见解析
（2）①见解析②
【解析】
【分析】（1）根据尺规作垂线的方法，作图即可；
（2）①等边对等角，得到 ，切线的性质结合平行线的判定推出 ，得到
，进而得到 ，即可得证；
②角平分线的性质，得到 ，证明 ，得到 ，根据题意得到
， ，利用勾股定理和完全平方公式进行求解
即可．
【小问1详解】解：如图所示， 即为所求；
【小问2详解】
①∵ 经过点B并且与 相切于点D，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
②∵ 平分 ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 的周长与面积均为18，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查尺规作垂线，切线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知
识点，熟练掌握相关知识点，并灵活应用，是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 为了解初中生 的课外阅读情况，某校通过问卷调查，收集了七、八年级学生平均每周阅读时长数
据， 现从两个年级段分别随机抽取10名学生的平均每周阅读时长（单位：小时）进行统计：
七 年 级 ： 7 ， 6 ， 8 ， 7 ， 4 ， 7 ， 6 ， 1 0 ， 7 ， 8
八 年 级 ： 6 ， 8 ， 8 ， 5 ， 5 ， 8 ， 8 ， 8 ， 7 ， 7
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 7 7 7 2.2
八年级 7 a b C
（1）填空： ， ， ；
（2）甲同学说“我平均每周阅读7.2小时，位于年级中上水平”，你认为甲的说法对吗？请说明理由；
（3）结合以上数据你认为那个年级的阅读情况较好，请说明理由．
【答案】（1）7.5，8，1.4
（2）不对，无法确定甲同学在哪个年级
（3）八年级，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查求中位数，众数，方差，利用中位数和众数作决策：
（1）根据中位数，众数，方差的计算方法进行求解即可；
（2）根据中位数进行判断即可；
（3）利用中位数和众数进行判断即可．
【小问1详解】
解：将八年级的数据排序，得：
5 ，5 ，6 ，7 ，7，8 ，8 ，8 ，8 ，8 ；∴ ，
出现次数最多的是 ，
∴ ，
；
故答案为： ；
【小问2详解】
甲说的不对，理由如下：
∵ ，
∴如果甲在七年级，他说的是正确的，如果甲在八年级，他说的是错误的；
【小问3详解】
八年级的阅读情况较好，理由如下：
∵两个年级的平均数相同，但是，八年级的中位数和众数都比七年级的大，
∴八年级的阅读情况较好．
七、（本题满分12分）
22. 如图，等边三角形 中，点 是边 上任意一点（不与 点重合），连接 ，将
绕点 顺时针旋转至 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，延长 交 于点 ．
（1）求证： ；（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】 （1）可证 是等边三角形，将 绕点 顺时针旋转至 ，证明
，根据 即可证明；
（2）过点 作 于 ，设 ，可证 ，从而可求 ，
，即可求解．
【小问1详解】
证明： 是等边三角形，
，
将 绕点 顺时针旋转至 ，
，
是等边三角形；
，
，
又 ，
，
，
，将 绕点 顺时针旋转至 ，
，
，
又 ，
，
在 和 中，
（ ）；
【小问2详解】
解：过点 作 于 ，
设 ，
，
，
由（1）知 ，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性
质，特殊角的三角函数值，求角的三角函数值等，掌握相关判定方法及性质是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 若抛物线 （ 为常数）的顶点横坐标比抛物线 的顶点横坐标大
1．（1）求 的值．
（2）若点 在抛物线 上，点 在抛物线 上．
①若 ，求 的最大值．
②若 ，且 时，始终有 ，直接写出 的值．
【答案】（1）
（2）① 有最大值 ；②
【解析】
【分析】本题考查了把二次函数的解析式化为顶点式、二次函数的图象与性质、解一元二次方程，熟练掌
握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）将二次函数的解析式化为顶点式可得二次函数 的顶点横坐标为 ，二次函数 的
顶点横坐标为 ，结合题意得出 ，计算即可得解；
（2）①由题意可得 ， ，结合 ，得出
，最后由二次函数的性质即可得解；②由题意可得 ，从而可得
，整理可得 ，解得 ， ，结合
时，始终有 ，即可得解．
【
小问1详解】
解：∵二次函数 ， ，∴二次函数 的顶点横坐标为 ，二次函数 的顶点横坐标为 ，
∵二次函数 （ ， 为常数）图象的顶点横坐标比二次函数 图象的顶点
横坐标大1，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：①点 在二次函数 的图象上，点 在二次函数 的图
象上，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值为 ；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
整理可得： ，解得： ， ，
∵ 时，始终有 ，
∴ 的值不会随 的变化而变化，
∴ ．
