文档内容
霍邱县 2024-2025 学年度九年级第一次模拟考试
数学试卷
温馨提示：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试卷”和“答题卷”两部分．
“试卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“答题卷”交回．
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 4分，满分40分）每小题都给出 四个
选项，其中只有一个是正确的．
1. 的倒数是（ ）
A. 2025 B. C. D.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 太阳的半径约为696000千米，用科学记数法表示696000为( )
A. 69.6×104 B. 6.96×105 C. 6.96×106 D. 0.696×107
4. 篆刻是中华传统艺术之一．如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，将一直角三角形放于一对平行线上，若 ，则 （ ）A. B. C. D.
6. 如图， 为 的直径，点 是圆上两点，且分别在 两侧，若 ，则
的度数是（ ）
A. B. C. D.
7. 某班级计划举办手抄报展览，确定了“ 时代”“ ”“豆包”三个主题，若小红随机选择
其中一个主题，则她恰好选中“ ”的概率是（ ）
.
A B. C. D.
8. 如图，在等腰直角 中， ， 平分 ，交 于 ，且 于点 ，
边上的中线 交 于 ，连接 ．则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
的
9. 已知 为实数，且 ，则 之间 大小关系是（ ）
.
A B. C. D.
10. 在凸四边形 中，若对角线 ，且 ，则 的最小值为（
）
A. 5 B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： ___________．
12. 因式分解： ___________．
13. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求
积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论： 是锐角
的 高 ， 则 ． 当 时 ， 的 长 为
___________．
14. 若一个点的横坐标和纵坐标相等，则称该点为不动点．已知抛物线 上有且只有
一个不动点 ，且当 时，函数 的最小值为 ，最大值为1，请
探究下列问题：
（1） 的值是___________；
的
（2） 取值范围是___________．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程： ．
16. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为A ，B ，C ．（1）画出 关于x轴对称的 ；
（2）以M点为位似中心，在第一象限中画出将 按照1：2放大后的位似图形 ；
（3）利用网格和无刻度的直尺作出 的中线 （保留作图痕迹）．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 阅读材料：小学阶段我们学习过被3整除的数的规律，初中阶段可以论证结论的正确性．以三位数为
例，设 是一个三位数，若 可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下：
，显然 能被3整除，因此，如果 可以被
3整除，那么 就能被3整除．设 是一个四位数，应用上述材料解答下列问题：
（1）直接写出 满足什么条件时，它可以被5整除；
（2）猜想 满足什么条件时，它可以被4整除，并说明理由．
18. 为充实班级图书角，班主任王老师倡导班级学生积极捐书，该班45名同学共捐书298本，捐书情况如
下表：
捐书（本） 3 5 8 10
人数（人） 4 9
表中捐书5本和8本的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，请你帮忙确定表中的数据，并说明理由．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地 、B、C、 四个位置安装四个自动喷洒装置（如图1所示），A、B、C、 四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管将四个自动喷洒装置
相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）．
方案一：如图2所示，沿正方形 的三边铺设水管；
方案二：如图3所示，沿正方形 的两条对角线铺设水管．
（1）请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短；
（2）小明看了爸妈的方案后，根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示），
满足 ， ， 、请将小明的方案与爸妈的方案比较，
判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由．（参考数据： ， ）
20. 如图，在 中， ，点O在边 上， 经过点B并且与 相切于点D，连接
．
（1）尺规作图：过点D作 ，垂足为点E； (保留作图痕迹，不写作法)
（2）在 (1)所作的图形中，
①求证： 平分 ；
②若四边形 的周长与面积均为18，求 的长．
六、（本题满分12分）21. 为了解初中生的课外阅读情况，某校通过问卷调查，收集了七、八年级学生平均每周阅读时长数据，
现从两个年级段分别随机抽取10名学生的平均每周阅读时长（单位：小时）进行统计：
七 年 级 ： 7 ， 6 ， 8 ， 7 ， 4 ， 7 ， 6 ， 1 0 ， 7 ， 8
八 年 级 ： 6 ， 8 ， 8 ， 5 ， 5 ， 8 ， 8 ， 8 ， 7 ， 7
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
.
2
七年级 7 7 7
2
八年级 7 a b C
（1）填空： ， ， ；
（2）甲同学说“我平均每周阅读7.2小时，位于年级中上水平”，你认为甲的说法对吗？请说明理由；
（3）结合以上数据你认为那个年级的阅读情况较好，请说明理由．
七、（本题满分12分）
22. 如图，等边三角形 中，点 是边 上任意一点（不与 点重合），连接 ，将
绕点 顺时针旋转至 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，延长 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的值．
八、（本题满分14分）23. 若抛物线 （ 为常数）的顶点横坐标比抛物线 的顶点横坐标大
1．
（1）求 的值．
（2）若点 在抛物线 上，点 在抛物线 上．
①若 ，求 的最大值．
②若 ，且 时，始终有 ，直接写出 的值．
