文档内容
2025 届九年级教学质量检测
数学试题卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，其中“试题卷”共 4页，“答题卷”共6页．
请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出 、 、 、 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 以下四个数： ，最小的数是（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小
解题即可．
【详解】解：∵ ，
∴最小的数为 ，
故选：B．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除运算法则计算即可作答．
【详解】A项， 和 不是同类项，不能合并，故原计算错误，本项不符合题意；
B项， 和 不是同类项，不能合并，故原计算错误，本项不符合题意；C项， ，计算正确，本项符合题意；
D项， ，故原计算错误，本项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除运算，掌握相应的运算法则，是解答本题的关键．
3. 如图是六个相同的小立方体组成的一个几何体，该几何体的三视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是理解主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，
左面，上面看到的平面图形，并能准确判断出相应视图的形状和小正方形的排列情况．
分别从正面，左面，上面观察该几何体，确定每个视图中小正方形的个数和排列方式，再与各个选项进行
对比．
【详解】主视图：从正面看，第一层有3个小正方形，第二层左边有1个小正方形，所以主视图是左边一
列2个小正方形，右边两列各1个小正方形；
左视图：从左面看，第一层有2个小正方形，第二层左边有1个小正方形，即左边一列2个小正方形，右
边一列1个小正方形；
俯视图：从上面看，第一行有1个小正方形，第二行有3个小正方形，即左边一列1个小正方形，右边三
列各1个小正方形．
综合以上分析，选项A符合该几何体的三视图．
故选：A．
4. 截至2025年2月，我省耕地面积约8393万亩，其中8393万用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为
整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：8393万 ，
故选：B．
5. 如图， ，直线 分别截 ， 于 ， ，已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设 的对顶角为 ，则 ，根据两直线平行，同旁内角互补列式解答即可．
本题考查了对顶角相等，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：设 的对顶角为 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．6. 某中学九年级共有 四个班级，现从这四个班级中随机抽取两个进行学业负担调查，则恰
好抽到 两个班级的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽到 两个班级的结果数，然后根据概率公
式求解．本题考查了列表法或树状图法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：依题意把 四个班级分别记为 ，画树状图为：
∴共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到 两个班级的结果数为2，
即恰好抽到 两个班级的概率= ．
故选：B．
7. 生物兴趣小组观察一株植物的生长情况，得到植物的高度 （单位： ）与观察时间 （单位：天）
的函数关系如图所示，设该植物第 天和第 天的高度分别为 和 ，则 （ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查函数的图象，一次函数的应用，先确定 与 的函数表达式，再分别求出 、 ，然
后相减即可．仔细观察图象，准确获取信息并利用待定系数法确定函数表达式是解题的关键．
【详解】解：当 时，
设 与 的函数表达式为 ，过点 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴此时 与 的函数表达式为 ；
当 时，
设 与 的函数表达式为 ，过点 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴此时 与 的函数表达式为 ；综上所述， 与 的函数表达式为： ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ；
∴ ．
故选：C．
8. 如图，折叠矩形纸片 ，使得顶点 ， 重合，点 落在 处，然后还原，得到折痕 ．已知：
， ，则折痕 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题
的关键．
分别连接 与 相交于 ，由折叠知 ， ，所以
共线，可以证明四边形 为菱形，则 ，作 ，证明四边形
是矩形，所以 ，设 ，则 ， ，然后由勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，分别连接 与 相交于 ，由折叠知 ，
∴ ，
∴ 共线，
由折叠知 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 为菱形，
∴ ，
作 ，则 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在直角 中， ，
解得： ，即 ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴ ，故选： ．
9. 已知 为实数，关于 的两个方程 ， 公共的实数根的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求根公式法解一元二次方程等知识点，设两个方程的
公共根为 ，可得： ，当 时，两个方程均为 ，此时方程有两个不相
等的实数根，当 时，两个方程有公共根 ，所以两个方程有 个公共根．
【详解】解：设两个方程的公共根为 ，
则 ，
得： ，
分解因式得： ，
即 或 ．
当 时，两个方程均为 ，
，
解方程得： ， ，
方程有两个不相等的实数根，
当 时，两个方程有公共根 ，
综上，两个方程有 个公共根．
故选：C ．
10. 如 图 ， 在 中 ， 为 边 上 一 动 点 ，，连接 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】要想找到 的最小值，需要先找到E的运动轨迹是一条射线，过程为先作 平分 ，作
，由题意易得 ，根据相似的性质可证 ，进而得到点E的运动轨
迹是射线，根据点到线的距离中，垂线段最短即可求解；
【详解】如图，作 平分 ，作 ，连接 交 于 ，
∵
∴
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
，
，，
又P为 边上一动点，即点 在与 成 夹角的射线 上运动， 的最小值为 到 的垂线段
的长度，即 的最小值为 的长．
，
，
即 的最小值为 ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的相似的判定和性质，含 直角三角形的性质，解直角三角形，垂线段
最短等知识点，解决此题的关键是作出合理的辅助线．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂和有理数的乘方，掌握零指数幂和有理数的乘方法则是解题的关键．
根据零指数幂和有理数的乘方法则直接计算即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12. 已知 ，则代数式 的值为___________．【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，先通分化简，再把 代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴
．
故答案为： ．
13. 我国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近
似计算圆的面积．如图， 为 的内接正八边形的一边， ，设劣弧 所在的扇形 的面
积为 ， 的面积为 ，比较大小： ___________ （填“ ”或“ ”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆形与正多边形、实数的大小比较、锐角三角函数，首先过点 作 于 ，利用特殊角的三角函数求出 的长度，根据扇形的面积公式可得 ，根据三角形的面积公式可得：
，所以可得 ，再用作差法比较 与 的大小关系．
【详解】解：如下图所示， 为 的内接正八边形的一边，
则 ，
，
过点 作 于 ，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．14. 如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点， 两点均在反比例函数 的图象上，
轴交 轴的正半轴于 ，与反比例函数 的图象交于 ，三点 ， 在同一条
直线上，连接 ．已知： 的面积为 ， 的面积为4．
（1） 的值为___________；
（2）连接 ，则 的面积为___________．
【答案】 ①. ## ②. 8
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，关键是设出点的坐标，再根据三角形面积公式或相似
三角形的对应边的比相等求解．
（1）作 于 ，求得 的面积等于 ，证明 ，求得 ，即可求得
；
（2）分别过 作 轴的正半轴的垂线，求得 ，设 ，求得 ，，再求得 ， 到 的距离等于 ，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：（1）作 于 ，
∵ 两点均在反比例函数 的图象上，
∴ 的面积等于 的面积，
∵ 的面积为 ， 的面积为4，
∴ 的面积等于 ，则 的面积等于 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）分别过 作 轴的正半轴的垂线，垂足为 ．∵ 的面积为 ， 的面积为4，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， 到 的距离等于 ，
∴ ．
故答案为：8．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式，利用移项，合并同类项，系数化为 解题即可．
【详解】解： ,
．
16. 小张返乡创业，销售家乡某土特产，二月份该土特产平均每吨售价比一月份降低了 400元，销售量比
一月份增加10%，二月份与一月份的销售总额相同．求该土特产一月份每吨的售价．
【答案】4400元
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该土特产一月份的售价为 元 吨，根据二月份与一月份的
销售总额相同列方程求解即可．【详解】解：设该土特产一月份的售价为 元 吨，把一月份销售量看作单位“1”，由题意得，
解得
答：该土特产一月份每吨 的售价为4400元．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）将 边先向上平移1个单位，再向右平移4个单位，得到线段 ，画出线段 （其中 的对
应点为 ）；
（2）以点 为旋转中心，将 逆时针旋转 得到 ，画出 ；
（3）设线段 与 相交于 ，则 的值为___________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）2
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变换，勾股定理的逆定理，求正切值，熟练掌握平移的性质和旋转的性质，
是解题的关键．
（1）根据平移的性质，作点A，B的对应点，然后连接解题即可；
（2）根据旋转的性质，作点A，B，C的对应点，然后连接解题即可；（3）过点C作 ，交格点于点E，F，连接 ，则 ，然后根据勾股定理的逆
定理得到 ，再根据正切的定义计算解题．
【小问1详解】
解：线段 即为所作；
【小问2详解】
解： 即为所作；
小问3详解】
【
如图,过点C作 ，交格点于点E，F，连接 ，则 ，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
18. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了一个正整数的平方数问题．
的
（1）先研究偶数 平方数问题，过程如下：
，
，
，
，
按照以上规律，完成下列问题：
（ ） ___________ ___________；
（ ）猜想： ___________ ___________（n为正整数），并证明你的猜想；
（2）兴趣小组继续研究奇数的平方数问题，一个奇数的平方数可以写成 ，结合第（1）题的研究结果，请你猜想： ___________ ___________（ 为正整数）．
【答案】（1）（ ） ， ；（ ） ， ，理由见解析
（2） ，
【解析】
【分析】本题主要考查了数字类规律探索，完全平方公式，掌握数字类规律探索是解题的关键．
（1）（ ）根据规律即可求解；（ ）根据规律即可得到结果，根据完全平方公式计算，即可证明；
（2）根据题干中推理方法，即可得出结果．
【小问1详解】
解：（ ）根据规律可得 ；
故答案为： ， ；
（ ）根据规律可得 （ 为正整数）；
证明：
，
（ 为正整数）．；
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解： （ 为正整数）．
理由： ，
，，
，
（ 为正整数）．
故答案为： ， ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 综合与实践
【活动主题】支持乡村振兴，班级同学在老师的带领下前往某养鱼场开展综合实践活动．
【项目背景】其中一个项目是测算养鱼场长度 （如图所示）．
【工具准备】皮尺、测角仪、计算器等．
【测量过程】在 点测得 ，在 点测得
．
【数据信息】用计算器算得如下参考数据： ， ， ，
， ， ．
【完成任务】请你根据以上数据信息，求养鱼场长度 ．
【答案】养鱼场长度 约为 ．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用．作 于 ， 于 ，求得 ，
在 中，利用三角函数的定义求得 ， ，在 中，利用三角函数
的定义求得 ，据此求解即可．【详解】解：作 于 ， 于 ，则四边形 为矩形，
∴ ，
在 中， ， ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
在 中， ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即养鱼场长度 约为 ．
20. 如图， 内接于 ，点 为 弧的中点， 交 于 ， 于 ， ，
连接 ．（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理及推论、等腰三角形性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅
助线是解此题的关键．
（1）设 ，则 ，求出 ，进而求出
，得出结论；
（2）在 上截取 ，分别连接 ，证明 ，进而得出 ，求出
即可求出结论．
【小问1详解】
证明：设 ，
为 的中点，
，
，
，，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：在 上截取 ，分别连接 ，
点 为弧 的中点，
，
，
．
点 为弧 的中点，
，
，
．
，
．，
，
．
六、（本题满分12分）
21. 某县开展数学学科青年教师基本功比赛，随机抽样调查了部分教师获奖情况（评奖等级按成绩从高到
低共分为 五个等级），并制作了频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：
请根据图中信息解答下列问题：
（1）填空：频数分布直方图中， 的值 ___________，扇形统计图中 等级的百分比 _________．
（2）这次随机抽样调查的样本的中位数所在的等级为___________；
（3）已知该县这次数学学科青年教师基本功比赛获得 等级的教师共有48人，请你根据样本数据估计
等级各有多少人．
【答案】（1）16，
（2）
（3）估计 等级分别有96人，120人
【解析】
【分析】此题主要考查统计调查，解题的关键是理解图意，能从直方图和扇形统计图中得到有用信息．
（1）根据等级 的人数与占比即可求出样本容量，样本容量减去 等级的人数既是 等级的人
数，根据样本容量和 等级的人数即可求出其百分比；
（2）根据样本容量和中位数的定义即可求解；
（3）根据 等级的教师的人数和占比，即可求出教师总人数，在根据 等级的占比求解即可．【小问1详解】
解：∵由图可知， 等级的人数是8人，占总人数的 ，
∴总人数为 （人），
∴ ， ，
故答案为：16， ．
【小问2详解】
解：∵由（1）知样本数据为50，
∴中位数为第25，26名成绩的平均数，即在 等级；
故答案为： ．
【小问3详解】
解：从样本数据可获得 等级的百分比为 ，则教师共有 （人），
∴ 等级分别有 （人）， （人），
∴根据样本数据估计 等级分别有96人，120人．
七、（本题满分12分）
22. 在四边形 中， 与 相交于 点， ．
（1）如图1，点 在四边形 外， 为等边三角形，连接 ，已知 ．
（i）求证：四边形 为平行四边形；
（ii）若 ，求 的度数；
（2）如图2，点 在 边上，分别连接 交 于 ，过 作 交 的延长线于 ．已知： ．求证： ．
【答案】（1）（i）见解析；（ii）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）（i）根据等边三角形的性质得到 ，得到 ，
可证明 ，即可得到结论；
（ ii ） 根 据 四 边 形 为 平 行 四 边 形 得 到 因 为
，得到 ；
（2）分别作 于 ， 于 ，可证明 ，得到 ，证
明 ，得到 ，得出 平分 ，
可得 ，继而得到 ，即可得到结论．
【小问1详解】
证明：（i） 为等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形 为平行四边形；
（ii）解： 四边形 为平行四边形，
．
在四边形 中， ，
，；
【小问2详解】
证明：如图，分别作 于 ， 于 ．
， ，
，
．
，
．
，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，四边形的内角和，等边三角形的性质，全等三角形的判定
和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线 为常数，且 ）与
轴交于 两点（其中点 在 轴的负半轴上，点 在 轴的正半轴上），与 轴交于 点，
（1）若 ，且 ．
（i）求抛物线 的函数表达式；
（ii）平移抛物线 ，使平移后的抛物线 的顶点 在线段 上，且经过 点，求 点的横坐标；
（2）若 ，求 的最小值．
【答案】（1）（1）（i） ；（ii）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数综合题，涉及到待定系数法求一次函数解析式及二次函数解析式、二次函
数的最值问题．
（1）（i）根据抛物线与坐标轴交点坐标可以确定抛物线 的函数表达式为 ，如何将 代入
求出 即可，
（ii）设 的坐标为（t，h），抛物线 为 ，求出直线 的函数表达式为 ，
进而可得即 ，在由抛物线 经过 点，可得 ，进而求解．
（2）根据已知可知：点 ，代入解析式 ，化简可得 ，进而可得
，从而求解．
【小问1详解】
解：（i） ，抛物线 与 轴交于 两点（其中点 在 轴的负半轴上，点 在 轴的正半轴上）， ，
，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
，即抛物线 的函数表达式为 ，
，
∴二次函数 的函数表达式为 ；
（ii）设 的坐标为（t，h），则抛物线 为 ，
∵点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴直线 的函数表达式为 ，
∵顶点 在线段 上
∴
，即 ，
∵抛物线 经过 点，
，解得 （不合题意，舍去），
即 点的横坐标为 ；
【小问2详解】
设 ， ，
，即 ，
将 代入 ，得 ．
由题意得 ，，即 ，
， ，
当 时， 的最小值为 ．
