文档内容
2025 年安徽省池州市中考一模
数学试题
注意事项：
1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个
选项，其中只有一个是正确的）
1. 的倒数是（ ）
A. 2025 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据乘积为1的两个数互为倒数，进行求解即可
【详解】解： 的倒数是 ，
故选：C．
2. 据中新网报道：国新办1月17日就2024年国民经济运行情况举行发布会．国家统计局局长康义在会上
表示，2024年我国的经济总量超过了130万亿，这是一个了不起的成绩．其中数据“130万亿”用科学记
数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示方法，确定 的值是关键．
科学记数法的表示形式为 ，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数
变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值；由此即可求解．
【详解】解： 万亿 ，
故选：A ．
3. 如图所示的立体图形的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了判断几何体的三视图（判断简单组合体的三视图），熟练掌握简单组合体的三视图是
解题的关键．
画出题中立体图形的俯视图，与各选项中的视图进行对比即可得出答案．
【详解】解：根据如图所示的立体图形，可知其俯视图为 ，
故选： ．
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方运算，掌握整数的混合运算法则是解题的关
键．
根据整式的混合运算法则计算即可求解．【详解】解：A、 ，故原选项计算错误，不符合题意；
B、 与 不是同类项，不能合并，故原选项错误，不符合题意；
C、 ，计算正确，符合题意；
D、 ，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：C ．
5. 如图，直线 ， 相交于点O， 平分 ．若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了几何图形中角度计算问题，利用邻补角互补求角度，角平分线的有关计算，对顶
角相等等知识点，熟练掌握几何图形中角度计算问题是解题的关键．
由邻补角互补可得 ，由角平分线的定义可得 ，由对
顶角相等可得 ，然后根据 即可求出 的度数．
【详解】解： ，
，
平分 ，
，又 ，
，
故选： ．
6. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展
史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若
的半径为2，则这个圆内接正八边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关
键．如图，过 作 于 ，得到圆的内接正八边形的圆心角为 ，根据三角形的面积公
式即可得到结论．
【详解】解：如图，过 作 于 ，
圆 内接正八边形的圆心角为 ， ，
的
，，
这个圆的内接正八边形的面积为 ，
故选： ．
7. 如图，点A，B分别在反比例函数 （ ）， （ ）的图象上，且 轴，点C
在x轴的负半轴上，连接 ，则 的面积为（ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，根据 点坐标求出 点坐标（或反之）是解题的关键．
设 点坐标为 ，由 轴可得 点的纵坐标为 ，则 ，于是可得 ，即
点坐标为 ，则 ，进而可得 ，由此即可求出 的面积．
【详解】解：设 点坐标为 ，
轴，
点的纵坐标为 ，则：，
，
点坐标为 ，
，
，
故选： ．
8. 已知实数m，n满足 ， ，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查不等式的性质，根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果，熟练掌握不等式
的性质是解题关键
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，选项A错误，不符合题意；
同理： ，即 ，
∴ ，选项B错误，不符合题意；
∴ ， ， ，∴ ， ，选项C错误，不符合题意；选项D正确，符合题意；
故选：D．
9. 如图，在半圆 中， 为直径，点 为半圆 的三等分点，连接 ，相交于点 ，连接
交 于点 ．若 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图所示，连接 ，根据 是直径，点 为半圆 的三等分点，可得 是等边三角
形， ， ， ，在 中，
， ，由勾股定理得到 ，解方程即可求
解．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ 是直径，
∴ ，
∵点 为半圆 的三等分点，
∴ ，∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，即 ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得， ，
∴ ，
故选：B ．
【点睛】本题考查了半圆或直径所对圆周角的直角，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，含30度角的
直角三角形的性质，勾股定理等知识的运用，理解三等分点的含义，圆周角定理，含30度角的直角三角形
的性质是解题的关键．
10. 如图，在正方形 中， ，动点M，N分别从点A，B同时出发，以相同的速度匀速运动到
点B，C停止，连接 ， ， ．设点M运动的路程为x， 的面积为y，则y关于x的函数
图象大致为（ ）A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了实际问题与二次函数（图形运动问题），依据题意正确列出函数解析式并熟练掌握二
次函数的图象与性质是解题的关键．
由题意知，点M在 上，点N在 上，设 ，则 ，进而可
得 ，然后根据二次函数的图象与系数的关
系及 的图象与性质即可得出答案．
【详解】解：由题意知，点M在 上，点N在 上，
设 ，则 ，，
，
该二次函数的图象开口向上，
当 时， 取得最小值，最小值为 ，
观察各选项可知，选项 符合题意，
故选： ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： __________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则计算即可求解．
【详解】解： ．
故答案为：3．
12. 某校举办书法比赛，获得一等奖的有甲、乙、丙、丁四位同学，其中甲、乙来自九年级（1）班，丙、
丁来自九年级（2）班，现从中推荐两名同学代表学校去参加县级比赛．若随机推荐，则两名同学均来自
相同班级的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
根据题意，根据画树状图法求概率即可求解．
【详解】解：画树状图，如图所示，共有12种等可能结果，其中符合题意的有4种，
∴两名同学均来自相同班级的概率是 ，
故答案为： ．
13. 如图，在 中， ， 平分 ，点N为线段 上一点，连接 ，过
点 N 作 交 于点 D，连接 ．若 ， ， ，则
__________．
【答案】
【解析】
的
【分析】本题考查全等三角形 判定与性质，勾股定理，过 作 交 延长线于 ，先证
明 ，得到 ，再证明 ，
，即可证明 ，得到 ， ，
求出 ，最后根据 求解即可．
【详解】解：如图，过 作 交 延长线于 ，∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故答案为： ．
14. 如图，在矩形 中， ， ，动点P从点B出发，以 的速度沿 方向
运动到点C停止，同时动点Q从点C出发，以 的速度沿C-B-C方向运动到点C停止，设点P的运
动时间为 ．
（1）当点P和点Q相遇时，t的值为__________；
（2）连接 ，在点P和点Q不重合的情况下，连接 ．若以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是
矩形 的面积的 ，且 ，则t的值为__________．
【答案】 ①. 或4 ②. 或
【解析】
【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用．
（1）由题意知 ， ，当点P和点Q第一次相遇时， ，列方程计算
即可；当点P和点Q第二次相遇时，点P运动到点C，点Q也运动到点C，列式计算即可；
（2）先求出以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是 ，再分两种情况讨论：当 ，
即点P，Q相遇前；当 ，即点P，Q相遇后，点Q到达点B前，分别求出结果即可．
【详解】解：（1）由题意知 ， ，
①当点P和点Q第一次相遇时， ，即 ，解得 ；
②当点P和点Q第二次相遇时，点P运动到点C，点Q也运动到点C，
此时 ，
即当点P和点Q相遇时，t的值为 或4；
故答案为： 或4；
（2）如图，
矩形 的面积为 ，
∴以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是 ，
当 ，即点P，Q相遇前，
，
则 ，
解得 ；
当 ，即点P，Q相遇后，点Q到达点B前，
，则 ，
解得 ．
综上，当 或 时，以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是矩形 的面积的 ．
故答案为： 或 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程： ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解： ，
整理，得： ，
分解因式，得： ，
或 ，
解得： ， ．
16. 某校准备组织七年级400名学生参观公园，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运学生105人；用1
辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
【答案】每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生.
【解析】
【分析】设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生，根据“用3辆小客车和1辆大客车每次可
运学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，
解之即可得出结论．【详解】解：设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生，
依题意，得： ，
解得： .
答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生.
【点睛】本题考查了二元一次方程组 的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知 ．
（1）将 向下平移5个单位长度得到 ，画出 ；
（2）将 绕点 逆时针旋转 后得到 ，画出 ；
（3）求四边形 的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）22
【解析】
【分析】本题主要考查作图 旋转变换与平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义与
性质及勾股定理．
（1）将三个顶点分别向下平移5个单位长度得到对应点，再顺次连接即可得；（2）将点 、 绕点 逆时针旋转 得到对应点，再首尾顺次连接即可得；
（3）利用四边形 的面积 ，计算得出答案．
【小问1详解】
解：如图所示， 即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示， 即为所求．
；
【小问3详解】
解：由题意，可知 ， ，
∴四边形 的面积为 ．
18. 观察下列各式：
第1个等式： ；第2个等式：－ ；
第3个等式： ；…
（1）根据上述规律写出第5个等式： ；
（2）第n个等式： ；（用含n的式子表示）（3）计算： ．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索：
（1）观察可知两个连续的正整数的负倒数的乘积等于较小数的负倒数加上较大数的倒数，又等于两个正
整数乘积的负倒数，据此规律求解即可；
（2）根据（1）所求即可得到答案；
（3）根据所得规律把所求式子裂项求解即可．
【小问1详解】
解：第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
……，
以此类推，可知，第n个等式： （n为正整数），
∴第5个等式： ；
【小问2详解】
解：由（1）可得第n个等式： ；【小问3详解】
解：
．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 兴趣小组同学为测量学校实验楼 的高度，在实验楼 正对面点C处，用高度为1.2m的测角仪观
测 的最高处点A的仰角为 ，再向前走了 到点E处，观测最高处点A的仰角为 ，且A，B，
C，D，E，F 在同一平面内，B，E，C 在同一条直线上．求实验楼 的高度．（参考数据：
， ， ， ， ， ．结果保
留整数）
【答案】实验楼 的高度约为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点F作 于点G，利用解直角三角形列方程，即可
解答，熟练运用三角函数是解题的关键．
【详解】解：如图，过点F作 于点G．根据题意，得D，F，G三点共线， ， ， ，
， ．
设 ，在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
经检验 是原方程的解
∴ ．
答：实验楼AB的高度约为16m．
20. 如图，在 中， ，点O为斜边 上一点，以O为圆心的 与 相切于点E，与
交于点F．（1）求证： 平分 ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线 的性质，平分线的判定及性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．
（1）连接 ，则 ，根据切线的性质得 ，进而可得 ，再由平行线的
性质得 ，再由 可得结论；
（2）设 的半径为r，由勾股定理得 ，即 ，进而得 ，
，再根据相似三角形的判定和性质得 ，即 ，得 ，再由勾股定理得
，最后由 可得答案．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ，由 可得 ，
∵ 为 的切线，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 平分 ；
【小问2详解】
解：设 的半径为r．
如图，在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ．
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ．
六、（本题满分12分）
21. 为了解学生对安全知识的掌握情况，某校举办了安全知识竞赛活动．参与竞赛的学生的成绩分为优秀、
良好、及格、不及格四个等级（优秀、良好、及格、不及格分别记为20分，16分，12分和8分）．现分
别从八、九年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行分析统计，根据分析统计结果绘制成如下两幅统计图．八、九年级学生得分情况综合统计表
年 平均 中位 众 优秀
级 数 数 数 率
八 a 14 12 30%
九 14.4 16 b 20%
根据以上信息，解决下列问题：
（1）填空： ， ；
（2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩更好？并说明理由；
（3）若该校九年级共有学生140人，请你估计该校九年级学生的安全知识竞赛成绩为优秀和良好的学生共
有多少人．
【答案】（1）14.4；16
（2）九年级学生的安全知识竞赛成绩更好，见解析
（3）估计该校九年级学生的安全知识竞赛成绩为优秀和良好的学生共有77人
【解析】
【分析】本题考查了平均数、众数以及用样本估计总体．
（1）根据平均数、众数的意义，分别求出八年级的平均数和九年级的众数；
（2）比较两个年级的平均数、中位数、众数即可；
（3）利用样本估计总体求解即可．
【小问1详解】
解：八年级学生得分的平均数 ；
九年级学生得分频数最多的是16分，
九年级学生得分的众数 ；
故答案为：14.4；16；
【小问2详解】
解：因为八、九年级学生得分的平均数相同，但九年级学生竞赛成绩的中位数、众数均高于八年级，所以九年级安全知识竞赛成绩更好；
【小问3详解】
解： （人），
答：估计该校九年级学生的安全知识竞赛成绩为优秀和良好的学生共有77人．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在矩形 中，点 在 边上，连接 ，交对角线 于点 ，且 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ， ，求 的长；
（3）若 ，求 的值．
【答案】（1）
（2） 的长为
（3）
【解析】
【分析】（1）如图，连接 ，交对角线 于点 ，根据矩形的性质得到 ， ，
则 ，由等边对等角得到 ，由三角形外角的性质得到
，根据直角三角形两锐角互余即可求解；
（ 2 ） 根 据 矩 形 的 性 质 得 到 ， ， 则 ， 设 ， 则， ，所以 ，由此列式求解即可；
（ 3 ） 设 ， ， 由 矩 形 的 性 质 ， 结 合 题 意 得 到
， ，
，在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，整理得 ，所以 ，
即 ， 由 （ 2 ） 知 ， 可 得
，由此即可求解．
【小问1详解】
解：如图，连接 ，交对角线 于点 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【
小问2详解】
解：∵四边形 是矩形，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴ 的长为 ．
【小问3详解】
解：设 ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，即 ，
整理得 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
由（2）知 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，相似三角形的判定和性质，勾股
定理等知识的综合，掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等边对等角，数形结合分析是解题的关
键．
八、（本题满分14分）
23. 已知抛物线 （ ）与 轴交于 ， 两点，与y轴交于点 ，
连接 ，点 是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图 ，当点 在第二象限时，连接 ，交 轴于点 ．当 平分 时，求点 的坐标；
（3）如图 ，当点 在第三象限时，过点 作 于点 ，作 交抛物线于点 ，当
时，求点 的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）把 ， ， 代入 ，待定系数法即可求出 、 、
的值，进而得出该抛物线的函数表达式；
（2）过点 作 于点 ，则 ，由角平分线的性质定理可得 ，由
， 可得 ， ，进而可得 ，由等边对等角及三角形的内角和定理
可得 ，即 ，由直角三角形的两个锐角互余可得
， 进 而 可 得 ， 由 等 角 对 等 边 可 得 ， 则
， 设 ， 由 勾 股 定 理 可 得 ， 由
可得 ，解方程即可求出 的值，进而可得点 的坐标；
（3）连接 ，过点 作 轴，交直线 于点 ，由 可得 ，由两直线
平行内错角相等可得 ，由等边对等角及三角形的内角和定理可得
，设直线 的函数表达式为 ，将 ， 代入，直线的函数表达式为 ，设 ，由 可得直线 的函数表达式为 ，
设 ， ，则 ，由直线 与抛物线交于点 ， 可得
，由一元二次方程的根与系数的关系可得 ， ，
由（2）得 ，由两直线平行内错角相等可得 ，由直角三角形的两个
锐角互余可得 ，过点 作 于点 ，则 ，由直角
三 角 形 的 两 个 锐 角 互 余 可 得 ， 进 而 可 得
，由等角对等边可得 ， ，由内错角相
等两直线平行可得 ，由勾股定理可得 ，即 ，进而可得
，再结合 ， ，可得 即可得出点 的坐标．
【小问1详解】
解：把 ， ， 代入 ，得：
，
解得： ，
该抛物线的函数表达式为 ；
【小问2详解】
解：如图 ，过点 作 于点 ，则 ，
平分 ，
，
， ，
， ，
，
，
，
即： ，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，
，解得： ，
点 的坐标为 ；
【小问3详解】
解：如图 ，连接 ，过点 作 轴，交直线 于点 ，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设直线 的函数表达式为 ，
将 ， 代入，得：
，
解得： ，直线 的函数表达式为 ，
设 ，
，
直线 的函数表达式为 ，
设 ， ，则 ，
直线 与抛物线交于点 ， ，
，
整理，得： ，
， ，
由（2）得： ，
轴，
，
，
如图，过点 作 于点 ，
则 ，
，
，
， ， ，
，
，即： ，
，
， ，
，
整理，得： ，
解得： ， （不符合题意，故舍去），
，
即： ，
解得： ， ，
或 ，
点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，求一次函数解析式，一次函数图象平
移问题，一元二次方程的根与系数的关系，角平分线的性质定理，因式分解法解一元二次方程，等边对等
角，等角对等边，三角形的内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，两直线平行内错角相等，内错角相
等两直线平行，完全平方公式，代数式求值，解三元一次方程组，解二元一次方程组，解一元一次方程等
知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
