文档内容
宁国市 2025 届九年级二模质量检测
数学卷
注意事项：
1．满分150分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求）
1. 下列四个数中，最小的数是（ ）
A. 3 B. C. 0 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于
0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴最小的数是 ．
故选D．
2. 自 年 月 日启动枯水期补水调度以来，截至今年 月 日，三峡水库已累计为长江中下游补水
超 亿立方米．将数据“ 亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为
整数．确定 的值时，看将原数变为 时小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．小数点向左移动时， 是正整数；小数点向右移动时， 是负整数，据此求解即可．
【详解】解： 亿 ，
故选：C．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查合并同类项，单项式乘以单项式，同底数幂 的除法以及积的乘方和幂的乘方，
运用相关知识求出各选项结果再进行判断即可．
【详解】解：A. 与 不是同类项，不能计算，故选项A计算错误，不符合题意；
B. ，计算正确，符合题意；
C. ，原选项计算错误，不符合题意；
D. ，原选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
4. 榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“ 中华民族千年非遗瑰宝 ”． 如下
右图是其中一种卯，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握组合体的三视图是解题的关键．根据从上面看得到的
图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有2条纵向的实线和2条纵向的虚线．2条实线在2条虚线之间，即
故选：D．
5. 若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据
一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，且 ，
解得： 且 ，
故选：C．
6. 一圆锥的高为1，母线长为2，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算．首先根据勾股定理求得圆锥的底面半径，从而得到底面周长，然后利用
扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：圆锥的底面半径是： ，
圆锥的底面周长为 ，则这个圆锥的侧面积是 ．
故选：C
7. 已知 ，则下列判断一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边加减同一个数（或式），不等号方向不变；不等式两边同
乘除同一个正数，不等号方向不变；同乘除同一个负数，不等号方向变反. 据此即可求解；
【详解】解：∵ ，
∴ ，故A错误；
∵ ，
∴ ，
∴ 不一定成立，故B错误；
若 ，
∵
∴ ，即 ，与已知不符合，故C错误；
若 ，
∵ ，
∴ ，即 ，与已知符合，故D正确；
故选：D
8. 两个一次函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键；
观察题中所给选项，根据图象逐项判断m、n的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的m、n的正负一
致，即为正确选项；
【详解】解：当 ， 时， 经过一、三、四象限， 经过一、二、四象限，
故选项B符合题意；
当 ， 时， 经过一、二、四象限， 经过一、三、四象限，没有选项符
合题意；
故选：B．
9. 如图，菱形 的对角线 交于点 ， ，过点O作 于点E．若
，则菱形 的面积为（ ）
A. 4 B. C. 8 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形、菱形的性质等知识，确定 的值是解题关键．首先根据菱形的性质可得 ， ，在 和 中，利用三角函数解得
的值，易得 ， ，然后计算菱形 的面积即可．
【详解】解：∵四边形 为菱形，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴在 中， ，
∴在 中， ，
∴ ， ，
∴菱形 的面积 ．
故选：D．
10. 如图，二次函数 的图象的顶点与 的点C重合，且经过点A，与 交于点
D，点B与点C的横坐标相同．若 ，则点D的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，一次函数与二次函数的交点问题，先求出二次函数的顶点坐标，得到 ，再根据平行四边形的面积求出 ，代入二次函数解析式即可求
出 ，再求出直线 的解析式为 ，联立 ，求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴二次函数 的图象的顶点为 ，即 ，
∵点 在x轴上，
∴ ，即 ，
∵点B与点C的横坐标相同，四边形 是平行四边形，且 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵二次函数 的图象的顶点经过点A，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，
∴ ，则 ，
∴ ，二次函数的解析式为 ，∴ ，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，则 ，
解得： 或 （舍去），
∴ ，则 ，
∴ ，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 不等式 的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】该题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤求解即可．
【详解】解： ，
去分母得 ，
解得： ，
故答案为： ．
12. 在一块稻田上插秧．若10个人插秧，则要用m天完成；若用一台插秧机工作，则要比10个人插秧提
前3天完成．一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的________倍．（用含m的式子表示）
【答案】
【解析】【分析】本题主要考查分式除法运算的应用．由题意易得一个人每天插秧的工作效率为 ，一台插秧机
每天的工作效率为 ，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：一个人每天插秧的工作效率为 ，则一台插秧机每天的工作效率为 ，
∴ ；
答：一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的 倍．
故答案为： ．
13. 徽菜是中国八大菜系之一，起源于南宋时期，具有深厚的文化底蕴和独特的风味特点．其代表菜品有
“臭鳜鱼”“李鸿章大杂烩”“问政山笋”“徽州毛豆腐”．若从这四道菜中随机选取两道，则恰好选中
“臭鳜鱼”“徽州毛豆腐”的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】本体主要考查了利用树状图或列表法求概率，根据题意，列出表格是解题的关键．
设“臭鳜鱼”“李鸿章大杂烩”“问政山笋”“徽州毛豆腐”分别用A，B，C，D表示，根据题意，列出
表格，可得共有12种等可能的结果，其中恰好选中“臭鳜鱼”“徽州毛豆腐”的结果有2种，咋根据概率
公式解答即可．
【详解】解：设“臭鳜鱼”“李鸿章大杂烩”“问政山笋”“徽州毛豆腐”分别用A，B，C，D表示，
根据题意，列出表格如下：
A B C D
A B，A C，A D，A
B A，B C，B D，BC A，C B，C D，C
D A，D B，D C，D
共有12种等可能的结果，其中恰好选中“臭鳜鱼”“徽州毛豆腐”的结果有2种，
所以恰好选中“臭鳜鱼”“徽州毛豆腐”的概率为 ．
故答案为：
14. 如图，在正方形 中，E是边 上的一点（不与点 重合），将线段 绕点E顺时针旋
转一定的角度 后，得到线段 ，连接 ，将线段 绕点C逆时针旋转 后，得到
线段 ，连接 ．
（1）当 时， 的度数为________．
（2）若 ，则线段 的长的最小值为________．
【答案】 ①. ## 度 ②.
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系
等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）根据旋转的性质可得 ， 在 上，将线段 绕点C逆时针旋转 后，
得 到 线 段 ， 则 ， 根 据 ， 即 可 得 出
；（2）连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得 ，连接 ， ，作 于 ，证明
， 得出 ， ，求得 ，进而根据
，即可求解．
【详解】解：（1）如图，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
当 时，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 在 上，
∵将线段 绕点C逆时针旋转 后，得到线段 ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵
∴ ；
（2）解：连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得 ，连接 ， ，作 于 ，由旋转可得： ， ， ，
， ，
， ，
，
，
， ， ，
，
， ，
，
，
，
的最小值为4，
故答案为： ， ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程： ．
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分
解法等．利用因式分解法求解即可．
【详解】解： ，
因式分解得 ，
∴ 或 ，
∴ ， ．16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 ，格点（网格线的
交点） 的坐标分别为 ， ， ．
（1）画出 关于x轴对称的 （点 的对应点分别为 ）．
（2）连接 ，直接写出 的面积．
（3）在（1）的条件下，在线段 上找出点D，使得 的面积是 的面积的 ．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的性质，网格中求三角形的面积．
（1）分别作出 关于 轴对称的对应点 ， ， ，再顺次连结得到 ；
（2）利用割补法求解即可；
（3）根据三角形中线的意义，找出点D即可．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求作；【小问2详解】
解： 的面积 ；
【小问3详解】
解：如图，点D即为所求作．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某文具店计划购进 ， 两种文具，已知购进2件A文具和1件B文具共需50元；购进3件A文具和
2件B文具共需85元．求 ， 这两种文具每件的进价．
【答案】A种文具每本的进价是15元，B种文具每本的进价是20元．
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用．根据“购进2件A文具和1件B文具共需50元；购进3件A文
具和2件B文具共需85元”列出方程组进行计算即可．
【详解】解：设A种文具每本的进价是a元，B种文具每本的进价是b元．根据题意得：
，解得 ，
答：A种文具每本的进价是15元，B种文具每本的进价是20元．
18. 观察以下等式．
第1个等式： ．
第2个等式： ．
第3个等式： ．第4个等式： ．
……
按照以上规律，解答下列问题．
（1）写出第5个等式：________________．
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】（1）
（2） ，见解析
【解析】
【分析】本题考查数字规律探究、列代数式，整式的运算；
（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；
（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等即可证明猜想．
【小问1详解】
解：第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
……
第5个等式是 ；
故答案为： ；
【小问2详解】
解：猜想：第 个等式： ，
证明：∵左边右边．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图1，光线从空气射人水中会发生折射现象，发生折射时，满足折射定律：折射率 （其中
代表入射角， 代表折射角）．为了探究光线的折射现象，数学兴趣小组设计了如图2所示的实验：先
将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿点A处投射到底部B处；再向水槽注水，水面上
升到 处时，停止注水．其中点 在同一平面内，直线 为法线， 为入射
光线． 为入射光线的延长线， 为折射光线．查阅资料，得知光线从空气射入水中的折射率 ，
测得 ．求 之间的距离．（参考数据：
）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，三角函数的应用，折射问题，熟练掌握相关知识是解
题的关键．
根据题意可得 ，四边形 是矩形，得出 ，根据折射率 ， ，求出 ，在 中，求出 ，在 中，求
出 ，即可求解．
【详解】解：根据题意可得 ，四边形 是矩形，
∴ ，
∵折射率 ， ，
∴ ，
解得： ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
答： 之间的距离 ．
20. 如图，在 中，以 为直径的 经过 的中点 ，且与 的延长线交于点 ，连接．
（1）若 ，求 的长．
（2）过点E作 ，交 于点 ，连接 ，交 于点 ．求证： ．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，圆内接四边形对角互补，等腰三角形的性
质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据题意得出 ，进而勾股定理求得 ，根据 ，即可求解；
（2）先根据圆内接四边形对角互补证明 ，根据平行线的性质可得 ，同
（1）得 ，可得 ，进而根据等角对等边，即可得证．
【小问1详解】
解：∵ 为 的直径，
∴ ，
又∵ 是 的中点，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
,
∵∴ ，
∴ ,
在 中， ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
【小问2详解】
证明：∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
又∵ 是 的中点，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
六、（本题满分12分）
21. 综合与实践
为了增强学生的安全意识，某校开展了主题为“科学防护·珍爱生命”的安全知识竞赛．现从该校七、八年
级中各随机抽取相同数量学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成
四组：A． ，B． ，C． ，D． ），下面给出了部分信息：
七年级学生C组的竞赛成绩数据： ．
八年级被抽取学生的竞赛成绩数据： ．
抽取的七、八年级学生的竞赛成绩数据统计表
七年 八年
年级
级 级
平均
80 80
数
中位
a 83
数
众数 79 b
（1）填空： ________， ________， ________．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由．
（3）若该校七年级有1200人，八年级有900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校七、八年级学生中竞
赛成绩不低于90分的总人数．
【答案】（1）（2）八年级学生的安全知识竞赛成绩较好
（3）675人
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是
解题的关键．
（1）由题意可得七年级、八年级学生总人数都是20人，根据七年级C组的人数求出百分比，从而得出 ，
再根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据平均数、中位数及众数分析即可得出结果；
（3）由题意可得出此次七、八年级学生中竞赛成绩不低于90分的百分比，然后可进行求解．
【小问1详解】
解：由题意可得七年级、八年级学生总人数都是20人，
∴七年级C组的百分比 ，
∴ ，
∴ ；
∵七年级学生中位数是第10名和第11名成绩的平均成绩，
七年级学生A、B组的人数共 ，七年级学生C组的竞赛成绩数据：
，
∴第10名和第11名成绩分别是 ，故 ；
∵八年级成绩84出现了4次，出现的次数最多，
∴ ；
故答案为： ；
【小问2详解】
解：八年级学生的安全知识竞赛成绩较好，
理由：虽然七、八年级的平均分都是80分，但是八年级的中位数和众数均高于七年级；
【小问3详解】解：参加此次竞赛活动，竞赛成绩不低于90分的学生人数为
（人）；
答：参加此次竞赛活动成绩不低于90分的学生人数是675人．
七、（本题满分12分）
22. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点 ，与y轴交于点 ．
（1）求该抛物线的函数表达式．
的
（2）过y轴正半轴上 一点D，作平行于x轴的直线，交抛物线于点 （点E位于点F的左侧），
交直线 于点H．
①若点D的坐标为 ，求 的值．
②过点F作 于点G，若 ，求点F的坐标．
【答案】（1）
（2）① ②
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的性质等知识，正确求出函数表达式，并
会利用二次函数性质解决问题是解答关键．
(1)利用待定系数法求解函数表达式求解即可；
(2) ①先求出 及直线 表达式为 ，进而求出 ，即可求出结论；②
设 ，求出 及 ，解直角三角形求
出 ，根据题意列方程即可求解．【小问1详解】
解：设该抛物线的函数表达式 ，
把 ， 代入，
，
解得： ，
该抛物线的函数表达式 ；
【小问2详解】
解：① 点D的坐标为 ，
当 时， ，
解得： ，
，
设直线 表达式为 ，
把 代入，
，
解得： ，
直线 表达式为 ，
当 时， ，
解得： ，，
轴，
，
；
② ， ，
在 中， ，
，
，
设 ，
点H的纵坐标为 ，
当 时， ，
解得： ，
，
，
轴，
，，
，
解得： （不合题意舍去），
．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在 中， ， ，过点B作 ，连接 ， 是 的
中点，连接 并延长，交 于点F，连接 ．
（1）如图1，求证： ．
（2）如图2，连接 ，若 ，猜想 与 之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，过点C作 平分 ，交 于点M，过点E作 ，交 于点N．求证：．
【答案】（1）见解析 （2） ，理由见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据中点的定义得到 ，再利用平行线的性质和全等三角形的判定推出
，得到 ，进而推出四边形 是平行四边形，即可证明；
（2）利用平行四边形的性质得到 ， ，通过证明 得到 ，
利用直角三角形斜边中线定理推出 ，得到 ，再利用平行线
的性质即可得出结论；
（3）延长 交 于点 ，交 的延长线于点 ，连接 ，作 交 于点 ，利用等
腰直角三角形的性质推出 ，利用三角形内角和定理推出 ，利用三角形中位线定理
得到 ， ，进而证出 是等腰直角三角形，得到 ， ，
再利用全等三角形的判定得出 和 ，得到 ，最后利用线段的和
差即可证明．
【小问1详解】
证明： 点 是 中点，
，
，
， ，
，
，
又 ，四边形 是平行四边形，
．
【小问2详解】
解： ，理由如下：
由（1）得，四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
又 ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
．
【小问3详解】
证明：如图，延长 交 于点 ，交 的延长线于点 ，连接 ，作 交 于点 ，， ， 平分 ，
， ， ，
， ，
，
，
，
又 ，
，
由（2）得， ， ，
又 ，
， ，
，
，
，
是等腰直角三角形， ， ，
，
，
，
， ，
又 ， ，
，，
，即 ，
，
．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定、平行四边形的性质与判定、相似三角形的性质与
判定、全等三角形的性质与判定、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理，熟练掌握相关知识点，
学会添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的辅助线构造能力
和几何推理能力，适合有能力解决几何难题的学生．
