文档内容
2024-2025 学年度第二学期教学质量检测（三）
九年级数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出ABCD四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 下列各数中，与 互为倒数的是（ ）
A. 2025 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，解题的关键是掌握倒数的定义．
利用倒数的定义进行求解即可．
【详解】解： 的倒数为2025，
故选：A．
2. 在全球对清洁能源需求日益迫切的当下，太阳能作为一种取之不尽、用之不竭的可再生能源，其开发与
利用备受关注．某实验室研发的高效太阳能电池的超薄纳米涂层，其厚度仅为 米．其中数据
用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的知识点是用科学记数法表示较小的数，解题关键是熟练掌握科学记数法表示方法．
根据科学记数法表示方法即可得解．
【详解】解：根据科学记数法可得， ．
故选： ．
3. 下列计算正确的是（ ）A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的运算，单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方等运算，解题的关键是熟
练掌握各运算法则．
运用单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方等运算法则逐项进行判断即可．
【详解】解：A. ，该选项错误，故不符合题意；
B. ，该选项错误，故不符合题意；
C. 该选项正确，故符合题意；
D. ，该选项错误，故不符合题意；
故选：C．
4. 如图，是由两个同样大小的正方体和一个四棱锥搭建的几何体，则它的左视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，从几何体的左面看所得到的视图叫做左视图．
根据左视图的定义即可得到答案．
【详解】解： 的左视图是 ．
故选：C．5. 如图，正五边形 的顶点B、D分别在一把直尺的两边上（直尺为长方形），若 ，则图
中 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题重点考查正多边形的性质、矩形的性质、三角形内角和定理及多边形内角和定理等知识，正
确地求出 的度数是解题的关键．
设矩形的边 交 于点H， 交 于点F，由多边形内角和定理求得 ，由 ，
得 ，则 ，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图，设 交 于点H， 交 于点F，
∵五边形 是正五边形，
∴ ，
∵四边形 是矩形， 经过顶点D， 经过顶点B，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
故选：B．
6. 某地理考察队在研究全球气候类型时，随机选取了五个气候区的 75份环境数据样本．已知样本分布如
下：热带雨林气候20份；沙漠气候15份；温带海洋性气候25份；极地气候5份；地中海气候10份；若从这75份样本中随机抽取一份，抽到的样本不是温带海洋性气候的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了简单概率的计算，解题的关键是熟练掌握简单概率计算的公式．
利用简单概率计算公式进行计算即可．
【详解】解：抽到温带海洋性气候的概率为 ，
∴抽到的样本不是温带海洋气候的概率为 ，
故选：D．
7. 徽派建筑是中国传统建筑中的瑰宝，其以精巧的布局、典雅的形制和深厚的文化意蕴，成为江南地域文
化的鲜明符号．如图是扇形花窗造型，若 ， ，则该阴影部分的面积为（
） ．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形面积计算，根据 列式求解即可．
【详解】解：由题意得， ，
故选：C．8. 已知点 是一次函数 的图象一点，若 是该直线上另一点，且 ，
则关于 的取值范围在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，在数轴上表示不等式的解集，先利用待定系数法
求出一次函数解析式，再求出函数值为2时自变量的值即可得到 的取值范围，据此可得答案．
【详解】解：∵点 是一次函数 的图象一点，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数解析式为 ，
在 中，当 时， ，
∵ ，
∴ 随 增大而增大，
∴当 时， ，
故选：A．
9. 已知两个非负实数a、b满足 ，则下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减、不等式的性质，熟练掌握整式的加减运算法则以及不等式的性质是解题
的关键．
利用整式的加法法则以及不等式的性质进行求解即可．【详解】解：由 得 ，故A选项错误；
， ， ，∴ ，故B选项错误；
，故C选项错误；
，∴ ，
又∵ ，∴ ，故D选项正确，
故选D．
10. 如图，菱形 中， ，P 点从 B 点出发，以 的速度沿
运动，过P点作 ，交折线 于点E，设P点运动的时间 ， 的
面积为 ．则S与t的函数关系大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据t的取值范围分别求出函数的表达式，再根据函数的图象求解．
【详解】解：过A作 于H，
在菱形 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
当 时， ，为二次函数，图象为开口向上的抛物线，
当 时， ，为一次函数，图象为线段，呈上升趋势；
当 时，如图2所示：延长 交 的延长线于F，
则： ，
∴ ，
此时S为二次函数，图象为开口向下的抛物线，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 比较大小： ________2.5（填>，<或=）．
【答案】<
【解析】
【分析】此题主要考查了的是实数的大小比较，注意这里可以把原数化为根式形式，比较被开方数的大小．先根据算术平方根的性质把2.5化为 的形式，再比较被开方数的大小即可．
【详解】解：∵ ，又 ，
∴
∴
故答案为：<．
12. 命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为________．
【答案】两角互余的三角形为直角三角形
【解析】
【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一
个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆
命题．
先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题．
【详解】解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互
余”，
所以逆命题是：“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．即两角互余的三角形为
直角三角形．
故答案为：两角互余的三角形为直角三角形．
13. 如图，在平面直角坐标系 中，A、B为反比例函数 图象上的两点，直线 与x轴交
于点C，与y轴交于点D，已知 ，则k的值为________．
【答案】4
【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，求反比例函数k的值，过B点作 轴于点E，由
可得 ，证明 ，得到 ，即可得到k的值．
【详解】如图，过B点作 轴于点E，
，
．
∵ ，
∴
，
．
k的值为4．
故答案为：4．
14. 如图， 中， ， ， 为 边的中点，将线段 以 点中心逆时针旋转
得到线段 ，连接 ．（1）若 ，则 长为________；
（2） 长最大为________．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，借助于圆求线段的最值问题，解题的关键是构造出圆来解决最值问题．
（1）利用勾股定理和线段的中点即可求解；
（2）过点 作 ，使 ，以线段 的中点 为圆心， 长为半径画 ，连接
并延长，交 于点 ，此时 长最大，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）由勾股定理得 ，
的
∵ 为 边 中点，
∴ ,
故答案为：2；
（2）如图，以 为直径画 ，则点 在 上，
过点 作 ，使 ，
的
以线段 中点 为圆心， 长为半径画 ，连接 并延长，交 于点 ，此时 长最大，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得 ，
∴ ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 化简： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的乘法运算．根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】解：
．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段 的端点分别在格点上，O为格点．
（1）将线段 向右平移3个单位，再向上平移2个单位，请在网格内画出平移后的线段 ；
（2）以点O为中心，在网格画出线段 的中心对称线段 ，并直接写出 的度数．【答案】（1）图见解析
（2）图见解析，
【解析】
【分析】本题考查了网格作图、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握平移作图、
中心对称图形的作法，是解题的关键．
（1）根据平移性质得到对应点 、 ，再连接即可；
（2）根据中心对称图形的性质得到对应点 、 ，再连接即可；然后利用勾股定理及其逆定理判断出
是等腰直角三角形，进而可得结论．
【小问1详解】
解：如图，线段 即为所求作：
【小问2详解】
解：如图，线段 即为所求作：
由图得： ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某文具店用6000元购进A、B两种文具，其中B种文具的数量比A种文具数量的一半多30件．
A、B两种文具的进价和售价如下表：（注：获利=售价-进价）
文具 A B
进价（元/件） 30 40
售价（元/件） 38 50
（1）该文具店购进A、B两种文具各多少件？
（2）该文具店将购进的A、B两种文具全部卖完后一共可获得多少利润？
【答案】（1）该文具店购进A种文具96件，购进B种文具78件
（2）该文具店全部卖完一共可获得1548元的利润
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解题意，正确列出方程是解答
的关键．
（1）设文具店购进A种文具x件，则购进B种文具为 件，根据“用6000元购进A、B两种文
具”列方程求解即可；
（2）根据总利润等于单件利润乘以销售量列式计算即可．
【小问1详解】
解：设文具店购进A种文具x件，则购进B种文具为 件，
根据题意得： ，
解得： ，
∴ （件），
答：该文具店购进A种文具96件，购进B种文具78件；
【小问2详解】
解： （元），
答：该文具店全部卖完一共可获得1548元的利润．18. 如图，航航和朋友们计划在商场A集合后，先去位于西南方向的咖啡厅B，然后沿南偏西 方向步行
到书店C，最后前往电影院D．已知电影院D位于书店C的正东方向，且电影院D在商场A的正南方向．
若从咖啡厅B到书店C的距离为400米，从书店C到电影院D的距离为700米，求商场A到电影院D的距
离．（参考数据： ， ， ）
【答案】商场 到电影院 距离约为780米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
过 点作 于点 于点 ，解 可得 （米），
（米），从而求得 米， 米．再
解在 ，求得 米，再根据 可求解．
【详解】解：过 点作 于点 于点 ．
由题意得 米 米
在 中
（米）
（米）（米）
（米）
在 中
（米）
（米）
答：商场 到电影院 距离约为780米．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 【问题提出】
因式分解：
【问题探究】
为了便于发现规律，从简单的情形入手，逐步分解：
①
②由①知 ，继续添加下一项得：
（1）仿照②，把代数式 进行因式分解．
【发现规律】
（2）推广到一般形式： ________；
【问题解决】
（3）化简： ________．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的运算、数字规律、有理数的混合运算等知识点，发现解答的规律是解题的关键．
（1）仿照②进行解答即可；
（2）归纳①、②得到规律即可；
（3）直接运用（2）的规律对原式进行变形，然后再计算即可．
【详解】解：（1）
．
（2） ，
故答案为：
（3）
故答案为：20. 如图，已知 是 的直径，C为 上一点，连接 ，D为 上一点，连接 并延长
交过C点 的切线于点E，已知 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、勾股定理、相似三
角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
（1）连接 ，先根据切线的性质和圆周角定理推导出 ，再利用等腰三角形的性质得到
， ，再利用三角形的外角性质可得结论；
（2）先利用勾股定理求得 ，再证明 ，利用相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：连接 ．
为 的切线，
，
，为 的直径，
，
，
，又 ，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：设 ，
在 中， ， ，
由 解得
由（1）知 ， ，
，
，即
解得 ．
六、（本题满分12分）
21. 为了解某校学生本学期阅读的书籍数量，随机调查了该校a名学生，根据统计结果，绘制出如下的统
计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：
a的值为________，图①中m的值为________，这些学生本学期阅读书籍数量的中位数为________；
（2）补全图②，并求出这些学生本学期阅读书籍数量的平均数；
（3）根据样本数据，若该校共有学生900人，学校为本学期阅读书籍不少于7本的学生颁发“阅读之星”
勋章，估计该校获“阅读之星”勋章的学生人数．
【答案】（1）40，25，7
（2）见解析，这些学生本学期阅读书籍数量的平均数为7本
（3）该校获得“阅读之星”勋章的演大约有630人
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，算术平均数，中位数，正确掌握上述
知识点是解题的关键．
（1）由阅读量为7本的人数除以所占百分比可得抽查人数；求出阅读量为5本，9本所占百分比，再用1
减去阅读量为5本、6本、7本、9本所占百分比即可；求出阅读书籍为6本、8本的人数，然后按中位数
的定义即可得出结论；
（2）补全条形图，按平均数的定义求平均数；
（3）用总人数乘以阅读量为7本、8本、9本所占百分比即可．
【小问1详解】
解：（1）由条件可知 ，
∵ ，
∴ ，
学生本学期阅读书籍6本的有 （人），
学生本学期阅读书籍8本的有 （人），为
学生本学期阅读书籍数量从小到大排列第20位数和第21位数均别 7，
∴这些学生本学期阅读书籍数量的中位数为7，
故答案为：40，25，7；
【小问2详解】
解：补全统计图②，如图所示．
答：这些学生本学期阅读书籍数量的平均数为7本．
【
小问3详解】
解：由题意得： （人）
答：该校获得“阅读之星”勋章的演大约有630人．
七、（本题满分12分）
22. 已知抛物线 的对称轴为直线 ，且与x轴交于点 、B两点，与y轴交于点
C．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）已知点P抛物线对称轴上一点，若 ，求P点的坐标；
（3）若抛物线 上仅存在一个点 ，使得 ，若 ，
求n的最大值．
【答案】（1） ，顶点坐标为
（2）P点的坐标为 或（3）
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、面积问题、二次函数的最值等知识，熟练掌握二次函数的图
象和性质是关键．
（1）根据对称轴求出 ，利用 求出 ，得到 ，即可得到函数解析式；
（2）设 与y轴交于点D，利用面积得到 或 ，求出一次函数解析式，求出与对称轴的
交点即可；
（3）由题意得： ，仅存在一个点 ，使得 ，即抛物线
与直线 仅有一个交点，得到 ，根据二次函数的性
质求出最值即可．
【小问1详解】
解：由题意得 即 ，
把 代入 得 ，
解得 ，
，
，
∴顶点坐标为
【小问2详解】
设 与y轴交于点D，
，
又 ，对称轴为直线 ，，
或 ，
设直线 ，由 得
解得
∴ ，
当 时，
∴ ，
由 同理可得得 ，得到
综上P点的坐标为 或 ．
【小问3详解】
由题意得： ，
仅存在一个点 ，使得 ，
抛物线 与直线 仅有一个交点，
，
整理得 ，
，，
又 ，当 时， 随着 的增大而减小，
∴ 时，n最大为 ．
八、（本题满分14分）
23. 已知正方形 中，E为 边上一点，E点关于直线 的对称点为F点，射线 交 的延长
线于点G，连接 交延长交 于点H，连接 交 于点M．
（1）若 ，
①求证： ；
②求 的值；
（2）求证：M为 的中点．
【答案】（1）①见解析；②
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）①利用正方形的性质进一步证明 ，由全等三角形的性质得出
，最后利用轴对称的性质即可得出 .
②证明 ，由相似三角形的性质得出 ，即 ，设即 ，解得 ，再根据正切的定义求解即可.
（2）延长 、 交于点P．由平行线的性质得出 ，根据等腰三角形
的判定和性质即可得出 ，再根据相似三角形的性质可得出 进而可得出M为
的中点.
【小问1详解】
①证明：∵ 是正方形，
∴ ，
，
，
又 ，
，
在 和 中
，
，
.
又E点与F点关于 对称，
；
② ，
，
，又∵ ，
，
，
即 ，
设 ，
则 ，
解得 ，
；
【小问2详解】
证明：如图，延长 、 交于点P．
，
， ，
∵ ，，
，
又 ，
D为 的中点，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
即M为 的中点．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，求角的正切值，正方形的性质，全等三角形的判定和
性质，平行线截线段成比例，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，掌握这些判定定理和性质
是解题的关键.
