文档内容
2025 年安徽省初中学业水平考试
数学
（试题卷）
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. ﹣3的绝对值是（ ）
A. ﹣3 B. 3 C. - D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案．
【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3．
故选B．
【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
2. 某地区2024年前三个季度的新能源汽车产量达606000辆，同比增长 ．将数据606000用科学记
数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为
，其中 ， 为正整数，确定a与n的值是解题的关键．【详解】解：将数据606000用科学记数法表示为 ，
故选：A．
3. 一个正方体截去一部分后得到的几何体按如图所示的方式水平放置，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的图形即
可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：该几何体的俯视图为：
，
故选：C．
4. 计算 ，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方，熟知积的乘方运算法则是解题的关键；
根据积的乘方法则求解即可.
【详解】解： ；
故选：D
5. 不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解不等式，用数轴表示不等式的解集，正确求解不等式的解集是解题的关键．先求出不
等式的解集，再用数轴表示这个解集即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴
∴
得 ，
在数轴上表示为：
故选：A．
6. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放在一组平行线 和 上， ， ．若 ，
则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质和三角板中的角度计算，弄清图形中各角之间的关
系是解题的关键；
先根据三角板的特点和邻补角的定义求出 ，然后根据三角形的外角性质求出 ，再根据平行线的性
质即可求出答案.
【详解】解：如图，∵ ， ，∴根据三角板的特点可得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故选：A.
7. 如图， 为 的直径， ， 为 上一点，过点 作 交 于点 ， ，连接
， ， ．若 ，则 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，求弧长，等边对等角等等，先由等边对等角得到
， 再 由 圆 周 角 定 理 得 到 ， 则 由 垂 径 定 理 可 得
，据此根据弧长公式求解即可．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的直径， ，
∴ ，
∴ 的长为 ，
故选：C．
8. 如图， 的面积为 ， 为 的中点，点 在 上，且 ， ，
， 于点 ．若 ，则 的长是（ ）
A. 3 B. 4 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关
键．
过点 作 交 于点 ，证明 得 ，解得 ，由三角形的面积得 ，解出 的值即可．
【详解】解：过点 作 交 于点 ，
，
，
，
，
又 ，
，
的面积为 ，
，
，
为 的中点，
，
故选：A．
9. 已知二次函数 的部分函数图象如图所示，则一次函数 与反比例函数
在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A B.
.
C. D.
E.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数、一次函数和反比例函数的图象的综合判断，熟练掌握各函数图象的特征是
解题的关键；
先由二次函数的图象得出抛物线的开口向下，对称轴是直线 ，与x轴交于点 ，得到 ，
，当 时，对应的函数 ，即 ，进一步即可作出判断.
【详解】解：由函数的图象可得：抛物线的开口向下，对称轴是直线 ，与x轴交于点 ，
∴ ，抛物线与x轴的另外一个交点为 ，
∴ ，当 时，对应的函数 ，即 ，
∴一次函数 的图象过第一、二、四象限，反比例函数 的图象在第二、四象限；
观察各选项，只有B选项符合；故选：B.
10. 如图，在等腰三角形 中， ， ， 是 上的动点，连接 ，以 为
斜边在右侧作 ，且点 在 下方， ， ， 为 的中点，连接
，则 的最小值为（ ）
A. B. 4 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形
的判定和性质．作 于点 ，连接 ，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得 ，
，求得 ， ，证得 ，求得 ，
推出点 在射线 上，延长 交 于点 ，作点 关于直线 的对称点 ，当点 共线
时， 有最小值，最小值为 的长，再利用三角形中位线定理求解即可．
【详解】解：作 于点 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在射线 上，延长 交 于点 ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴点 在 上，
∴ ， ，
此时点 是 的中点，
∵ ，
∴当点 共线时， 有最小值，最小值为 的长，
∵ 为 的中点，点 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： _____．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根、零次幂，先化简算术平方根、零次幂，再运算加法，即可作答．【详解】解： ，
故答案为：6
12. 已知方程 的一个根为1，则方程的另一个根为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，代入求值，解题的关键是掌握如果一元二次方程
的两根为 ， ，则 + ．
根据一元二次方程根与系数的关系得到 ，再代入求解即可．
【详解】解：由题意得 ，
∵一个根为1，
∴另一个根为 ，
故答案为： ．
13. 某科技节新增了机器人编程、无人机操控、 打印、虚拟现实设计四个竞赛项目．学校为普及相关知
识，在四个实验室分别开展对应项目的体验活动，要求每名学生选择其中一项参与．九（1）班准备了四
枚外观相同的电子芯片，分别编号为1，2，3，4（对应上述四个项目），放在不透明的芯片盒中．若一次
性从芯片盒中随机抽取两枚芯片，则两枚芯片编号的差值超过2的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了列举法求解概率，根据题意列举出所有的等可能性的结果数，再找到两枚芯片编
号的差值超过2的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
【详解】解：由题意得，一共有1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4这6种情况，其中两枚芯片编号的
差值超过2的只有1、4这种情况，
∴两枚芯片编号的差值超过2的概率是 ，故答案为： ．
14. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 分别交 轴、 轴于点 、点 ，交反比例函数
的图象于点 、点 ， ，过点 作 轴于点 ，射线 交 轴于点 ，
连接 ．完成下列探究：
（1）若点 的坐标为 ，则点 的坐标为_____（用含 ， 的代数式表示）；
（2）若 的面积是4，则 的值为_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，
（1）作 ，证明 ，得到 ，进而得到 ，根据点 的坐标为
，得到 ， ，进而得到 ，求出 点坐标即可；
（2）根据同高三角形的面积比等于底边比，得到 ，利用分割法列出方程进行求解即
可．
【详解】解：（1）作 ，∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 的坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即： ，
故答案为： ；（2）由（1）设点 的坐标为 ，则： ， ，
∴ ，
∵ ， 的面积是4，
∴ ，
∴
，
∴ ；
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题主要考查分式的化简求值，把分式化到最简并准确计算是解答的关键．首先把括号里因式通分，然后进行约分化简，最后代值计算．
【详解】解：原式
．
当 时，原式 ．
16. 如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 ，格点（网格线的交
点）A，B，C的坐标分别为 ， ， ．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）请画出 先向左平移7个单位再向下平移2个单位后得到的 ，并写出点 的坐标；
（2）求 的面积；
（3）在所给的网格中确定一个格点 ，使得射线 平分 的面积，写出点 的坐标．
【答案】（1）图见解析，点 的坐标为
（2）
（3）图见解析，点 的坐标为
【解析】【分析】（1）根据平移的性质确定点 ，再依次连接，得 ，则点 的坐标为 ，即
可作答．
（2）运用割补法进行列式计算，即可作答．
（3）根据网格特征， ，即四边形 是平
行四边形，连接 ，则射线 平分 的面积，即可作答．
【小问1详解】
解：如图， 即为所作，
点 的坐标为 ．
【小问2详解】
解： ，
的面积为 ．
【小问3详解】
解：如图，点 即为所求，点 的坐标为 ．
【点睛】本题考查了勾股定理，点的坐标、平移作图，运用网格求面积，平行四边形的性质，中线平分面
积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. “寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与
文化底蕴．某茶馆的店主计划购买三种不同类型的茶叶来丰富茶馆的饮品选择，其中包括龙井茶、普洱茶
和茉莉花茶．龙井茶的采购价为每千克700元，普洱茶的采购价为每千克300元，茉莉花茶的采购价为每千克200元．店主计划采购这三种茶叶总共50千克，以满足不同顾客的口味需求．
（1）设采购龙井茶 千克、普洱茶 千克，请用含 ， 的代数式填表：
质量/千克 采购总价/元
龙井茶
普洱茶
茉莉花茶 _____ _____
（2）若店主总共花了15000元，其中采购的普洱茶的质量比龙井茶的2倍多1千克，求店主采购的龙井茶、
普洱茶以及茉莉花茶各有多少千克．
【答案】（1）填表见解析
（2）店主采购的龙井茶有7千克，普洱茶有15千克，茉莉花茶有28千克
【解析】
【分析】本题考查列代数式、二元一次方程组解应用题，设采购龙井茶 千克、普洱茶 千克，根据茶叶
总量、茶叶单价即可列出代数式，再由等量关系列方程组求解即可得到答案．读懂题意，理解相关关系是
解决问题的关键．
（1）由题意，直接列表达式即可得到答案；
（2）由（1）中表格数据，列二元一次方程组求解即可得到答案．
【小问1详解】
解： 店主计划采购这三种茶叶总共50千克，
茉莉花茶质量为 千克，
茉莉花茶的采购价为每千克200元，
茉莉花茶采购总价 为元，
填表如下：
质量/千克 采购总价/元
龙井茶
普洱茶
茉莉花茶
【小问2详解】解：由（1）知，设采购龙井茶 千克、普洱茶 千克、茉莉花茶 千克，
龙井茶的采购价为每千克700元，普洱茶的采购价为每千克300元，茉莉花茶的采购价为每千克200元，
店主总共花了15000元购茶，
，
等式两边同时除以 得 ，
等式两边同时除以 得 ，
采购的普洱茶的质量比龙井茶的2倍多1千克，
，
由题意得 ，
，解得 ，
即龙井茶有7千克，普洱茶有15千克，
茉莉花茶为 ．
答：店主采购的龙井茶有7千克，普洱茶有15千克，茉莉花茶有28千克．
18. 如图，学校 在体育中心 的正南方向 处，商场 在学校 的正东方向．在大剧院 处测得体
育中心 在北偏西 方向，商场 在南偏东 方向 处（点A，B，C，P在同一平面内），求
学校 与商场 的距离．（结果精确到 ，参考数据： ， ， ，
， ， ）【答案】学校 与商场 的距离约为
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用．过点 作 于点 ，作 于点 ，证明
， ．求出 ， ，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，作 于点 ，
∴四边形 为矩形，
， ．
在 中， ， ，
， ，
．
，
．
在 中， ，
，
，．
答：学校 与商场 的距离约为 ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 数学活动课上，老师设计了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每组相邻的两个数字之
间插入这两个数字的和，形成一列新的有序数字．老师列出的初始数字为2，5，第1次构造后得到2，7，
5，第2次构造后得到2，9，7，12，5……依次类推．设第 次构造后得到 ，并定义 为
所有数字的和，即 ．
（1）老师将部分信息整理如下表，请根据表中规律回答下列问题：
构造次数 构造后的有序数字
的值
0 2，5 7
1 2，7，5 14
2 2，9，7，12，5 35
3 2，_____，9，_____，7，_____，12，_____，5 98
（ⅰ）第3次构造后的有序数字为2，_____，9，_____，7，_____，12，_____，5；
（ⅱ）第4次构造后的 的值为_____．
（2）兴趣小组猜测当 时， 与 存在等量关系 （ ， 为常数）．老师给出部分分
析过程，请你阅读内容，完成未完成的解答，并求出 ， 的值．
假 设 第 次 构 造 后 的 数 字 为 “ ” （ 其 中 ， ） ，
，
则 ，
即……
【答案】（1）（ⅰ）11，16，19，17 ；（ⅱ）287
（2）过程见解析， ，
【解析】
【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的加法计算，整式的加法计算等知识点，正确理解题意是解
题的关键．
（1）（i）根据题干即可求解；
（ii）按照同样分式构造，那么第四次构造后的数，再相加即可；
（2）仔细观察，整体代入，替换求解即可．
【小问1详解】
解：（i） ，
故答案为：11，16，19，17 ；
（ii）第三次构造后的数为：2，11，9，16，7，19，12，17，5，
按照同样分式构造，那么第四次构造后的数为：2，13，11，20，9，25，16，23，7，26，19，31，12，
29，17，22，5，
∴第四次构造后 ，
故答案为：287；
【小问2详解】
解 ： 假 设 第 次 构 造 后 的 数 字 为 “ ” （ 其 中 ， ） ，
，
则 ，
即，
∴ ．
20. 已知四边形 内接于 ， 与直径 交于点 ， 平分 ．
（1）如图1，若 ，求证： ；
的
（2）如图2，点 在 延长线上，连接 ， ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 先 由 圆 周 角 定 理 可 得 ， 再 由 平 分 ， 可 得
． 再 由 ， ， 可 得
， 再 由 圆 周 角 定 理 可 得 ， 得 出
，即可得出 ，再由等腰三角形的判定即可求证；
（2）先由勾股定理可得 ，求出 ．再由 平分 ，可得 出 ， 得 出 ， 即 ． 再 由 圆 内 接 四 边 形 的 性 质 可 得
．再求得 ．再证明 ，可得 ，
，再证明 为等腰直角三角形，可得 ，即 ，再求解即
可．
．
【小问1详解】
证明： 为 的直径，
．
平分 ，
．
， ，
．
和 是 所对的圆周角，
，
，
，
；
【小问2详解】
解： 在 中， ， ， ，
，
．平分 ，
，
，
．
四边形 内接于 ，
．
，
．
在 和 中，
， ， ，
，
， ．
为 的直径，
，
，
为等腰直角三角形，
，
即 ，
解得 ．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定
与性质及勾股定理等知识，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定与性质及勾股定理是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 综合与实践
【项目背景】在数字化农业快速发展的时代，大数据分析与智能决策在水果产业中的作用愈发关键．芒果
作为深受消费者喜爱的热带水果，其市场需求持续增长．为提升芒果产业的整体效益，实现精准化种植与
科学化管理，某农业科技研究小组针对2024年 个芒果主产区的产量数据展开深入研究．通过对这些数据
的专业分析，为芒果种植园的规划布局、采摘时间安排、仓储保鲜策略及市场销售渠道拓展提供有力的数
据支撑，借助科技力量优化芒果产业的全流程发展．
【数据收集与整理】将收集的 个芒果主产区的产量数据（产量： ，单位：万吨）进行如下分组：
组别
/万吨
整理数据后得到部分信息如下：
① 组的数据（单位：万吨）为51，56，56，54，55，58．
②2024年芒果产量的频数分布直方图和扇形统计图如图所示：
任务1： _____， _____．
【数据分析与运用】任务2：C组数据的众数是_____；收集的这 个芒果主产区2024年芒果产量的中位
数是_____．
任务3：2024年各组芒果的平均产量如下表：
组别
平均产量/万
35 43 55 68 74
吨
求这 个芒果主产区2024年芒果的平均产量．
任务4：下列结论正确的是_____（填正确结论的序号）．
①如果收集的 个芒果主产区的产量数据都增加 万吨，那么这些地区芒果产量的总数会增加 万吨；
②如果 组的所有数据都增加5万吨，那么这 个芒果主产区芒果产量的平均数会增加0.5万吨；
③如果各地区芒果产量数据的最大值与最小值相差40万吨，且最低产量在 组，那么最高产量一定在组．
【答案】任务1：20，4；任务2：56万吨，56万吨；任务3：这20个芒果主产区2024年芒果 的平均
产量是56.4万吨；任务4：②③
【解析】
【分析】任务1：根据 的区域个数和所占的百分比，求出总个数n即可；用总个数减去其他各
项的数据得出a的值即可；
任务2：根据众数和中位数定义进行求解即可；
任务3：根据平均数计算公式求出这 个芒果主产区2024年芒果的平均产量即可；
任务4：根据统计数据逐项进行判断即可．
【详解】解：任务1： ，
；
任务2：C组数据中56出现的次数最多，因此众数是56万吨；
将收集的这 个芒果主产区2024年芒果产量从小到大进行排序，排在第10和第11的都是56，因此中位数
是 （万吨）．
任务3：这 个芒果主产区2024年芒果的平均产量为：
（万吨）；
任务4：①如果收集的 个芒果主产区的产量数据都增加 万吨，那么这些地区芒果产量的总数会增加
万吨，故此说法错误；
②如果 组的所有数据都增加5万吨，那么这 个芒果主产区芒果产量的平均数会增加 万
吨，故此说法正确；
③如果各地区芒果产量数据的最大值与最小值相差40万吨，且最低产量在 组，那么最高产量一定在
组，故此说法正确．
综上分析可知：正确的是②③．
【点睛】本题主要考查了求一组数据的中位数，众数和平均数，根据统计信息回答问题，解题的关键是理
解题意，熟练掌握统计图的特点．
七、（本题满分12分）22. 如图，抛物线 与直线 交于A，B两点，且点 的坐标为 ，点 的横坐标
为1．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2） 为直线 上方的抛物线上一动点，过点 作 轴交直线 于点 ．
（ⅰ）当线段 取最大值时，求点 的坐标；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，过点 作 交直线 于点 ，若抛物线 与线
段 只有一个交点，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）先求出直线 的表达式为 ，然后求出点 的坐标为 ，将点
代入 ，求出 ，即可得出答案；
（2）（ⅰ）过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ．设点 的横坐标为 ，则点
的 横 坐 标 也 为 ， 得 出 ， ， 求 出
， 根据二次函数的最值，得出当时， 取得最大值，求出结果即可；
（ⅱ）先求出当抛物线 经过点 时， ，当抛物线 经过
点 时， ，得出答案即可．
【小问1详解】
解： 点 在直线 上，
，
解得 ，
直线 的表达式为 ，
当 时， ，
点 的坐标为 ，
，
，
将点 代入 ，得 ，
解得 ，
抛物线的表达式为 ．
【小问2详解】
解：（ⅰ）如图，过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ．设直线 与 轴交于点 ，则点 的坐标为 ．
，
．
， ，
，
，
设点 的横坐标为 ，则点 的横坐标也为 ，
， ，
，
当 时， 取得最大值，
，
点 的纵坐标也为 ．
令 ，解得 ，
点 的坐标为 ．
（ⅱ）由题意，得点 的坐标为 ．
如图，当抛物线 经过点 时，
，
解得 ，
当 时， ，
此时抛物线与线段 有两个交点，
当抛物线 经过点 时，
，解得 ，
当 时， ，
此时抛物线与线段 有一个交点，
综上所述，若抛物线 与线段 只有一个交点，则 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的最值，求一次函数解析式，解题的关键是数
形结合，熟练掌握二次函数的特点．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在 中， ， 为 上一点， ， 为 内一点，
．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长；
（3）如图2，若点 在线段 上，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得 ，再由 ，可得
， 即
， 得 出 ， 再 由 ， 可 得
，可得出 ，即可证得结论；
（2）在 上取一点 ，使得 ，连接 ，先证明 ， 可得出
， ．再由 ，可得 ，得
出 ，从而得出 ，再证明
，可得 ，得出 ，再求解即可；
（3）设 ， ．先证明 ，可得 ．再由 ，可得
，可得 ．由（2）同理可证 ，可得出 ，再求解即
可．
【小问1详解】
证明： ，
．
，
，
，
．
，，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，在 上取一点 ，使得 ，连接 ．
， ， ，
，
， ．
，
，
，
．
， ，
，
，
，
；【小问3详解】
解：设 ， ．
， ，
，
．
由（2）易知 ，
，
，
．
由（2）同理可证 ，
，
，
即 ，
解得 （负值已舍去），
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形
的性质与判定，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
