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九年级数学
九年级全部内容
说明：共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 若反比例函数 的图象经过点 ，则 的值为（ ）
A. B. C. 8 D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题
意可把 代入进行求解即可．
【详解】解：把点 代入反比例函数 得： ；
故选C．
2. 在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴交点的坐标求法，解题的关键是掌握在平面直角坐标系中， 轴上的
点横坐标都为0．
要求抛物线与 轴交点的坐标，根据 轴上点的坐标特征，令抛物线方程中 ，求出对应的 值，即
可得到交点坐标．
【详解】将 代入抛物线方程 中，可得 ．
抛物线 与 轴交点的坐标为 ，
故选：A．3. 某物体如图所示，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看是一个六边形，故A符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形就是主视图，熟练掌握组合体图形的观察
方法是解题的关键．
4. 如图， 是 的切线， 为切点，连接 交 于点 ， 的延长线交 于点 ，连接
．若 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了切线 的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识，数形结合分
析是关键．
如图所示，连接 ，由圆周角定理得到 ，根据切线的性质得到 ，
根据直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，∴ ，
∵ 是 的切线， 为切点，
∴ ，即 ，
在 中， ，
故选：B ．
5. 如图1，用一个带有小孔的板遮挡在屏幕与物之间，屏幕上就会形成物的倒像，我们把这样的现象叫小
孔成像．图 2是小孔成像原理的示意图，已知 ，光线 交于点 ．若
，则 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的运用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据 ，得到 ，得到 ，由此即可求解．
【详解】解：∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，即相似为 ，
∴ ，
∴ ，
故选：B ．
6. 如图，在平面直角坐标系 中，将 绕点 逆时针旋转 到 的位置，若
，则点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理的运用，写出平面直角坐标系中点的坐标，掌握旋转的性质，
勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理得到 的值，根据旋转得到 ，由此即可求解．
【详解】解：在 中， ，
∵将 绕点 逆时针旋转 到 的位置，
∴ ，∴点 的坐标为 ，
故选：A ．
7. 若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的值可以是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查利用一元二次方程根的情况求参数，根据判别式及二次项系数不等于零即可求出答案
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ， ，
∴ ， ，
解得 且 ，
故选：D．
8. 如图，这是一次函数 的图象，则二次函数 的图象不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象特点是解题关键．先根据一次
函数的图象可得 ，从而可得二次函数 的图象的开口向上，对称轴为直线
，再结合二次函数 的图象经过原点即可得．【详解】解：由一次函数 的图象可知， ，
∴二次函数 的图象的开口向上，对称轴为直线 ，
又∵当 时， ，即二次函数 的图象经过原点，
∴二次函数 的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
9. 如图，在平面直角坐标系 中，已知点 都在 上，则 的半径为
（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作 、 的垂直平分线，
其交点即为点M，进而求得圆的半径．
【详解】解：如图所示，分别作 、 的垂直平分线，其交点即为点M，M点的坐标为 ，
∵点A的坐标为 ，
∴ 的半径为 ，
故选：C．10. 如图，边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B'C′，它们的边B′C′，BC位于同一条直线l上，开
始时，点C′与B重合，△ABC固定不动，然后把△A'B′C′自左向右沿直线l平移，移出△ABC外（点B′与
C重合）停止，设△A′B′C′平移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是（
）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过对小三角形移动过程进行分类讨论，求出每一个过程对应的函数解析式和相应函数值，再综
合分析对应函数图象即可．
【详解】解：①如图所示，在等边 A′B'C′运动至 过程中，即： ，
△
设 与 交于P点，作 于Q点，
∵ A′B′C′平移的距离为x，则 ，
△由题意， ，
∴ 中， ，
∴此过程两个三角形重合部分的面积为 ，
∴当 时， ；
在
②如图所示， 等边 A′B'C′从 运动至 过程中，即： ，
△
显然，在此过程中，两三角形的重叠部分面积即为 A′B'C′的面积，
∵等边 A′B'C′的边长为1， △
△
∴其面积为 ，
∴当 时，函数 ；
③如图所示，在等边 A′B'C′从 运动至 过程中，即： ，
△
在此过程中，两个三角形的重叠部分仍然为正三角形，其边长为： ，
∴此时重叠部分面积为 ，当 时， ；当 时， ；
综上，函数 ，B选项函数图象符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查图形平移面积与二次函数，理解题中平移过程，灵活分类讨论，并准确求解二次函数解
析式是解题关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 如图，添加一个条件：_____，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）
【答案】∠ADE=∠ACB（答案不唯一）
【解析】
【分析】相似三角形的判定有三种方法：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其
夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三
角形相似，由此可得出可添加的条件．
【详解】解：由题意得， （公共角），
则可添加： 或∠AED=∠ABC，利用两角法可判定△ADE∽△ACB；添加： ，利用两边及其夹角法可判定△ADE∽△ACB．
故答案可为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案不
唯一．
12. 如图所示的圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的．若向圆面投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概
率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率的计算，计算出阴影部分的面积占总面积的比例是解题的关键．
根据题意，运用割补法将不规则图形转换为规则图形，得到阴影部分的面积，再根据概率公式计算即可求
解．
【详解】解：将图形转换，如图所示，
类型1的有6块，类型2的有6块，
其中类型1的阴影部分占类型1的 ，类型2的阴影部分占类型2的 ，
∴阴影部分的面积占整个圆的面积的 ，
∴飞镖落在阴影区域的概率为 ，故答案为： ．
13. 如图，在 中， ， ， ，则 的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目 的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是
解题的关键，过点 作 ，垂足为 ，在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，
然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而利用勾股定理求出 的长，即可解
答．
【详解】解：如图，过点 作 ，垂足为 ，
在 中， ，
，
在 中， ，，
，
故答案为： ．
14. 如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 在 轴正半轴上（点 在点 的右侧）， ，分别
以 ， 为直角边作等腰直角三角形 ，等腰直角三角形 ，反比例函数 的图象
与斜边 交于点 ，与斜边 交于点 ．
（1）若 是 的中点，且点 的坐标为 ，则点 的坐标为_____．
（2）过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ．若 是 的中点，阴影部分（四边
形 的面积等于 ，则 的值为_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图像上点的特征，等腰直角三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由点 的坐标为 可得 ， ，设点 的纵坐标为 ，则点 的横坐标为 ，得
到 ，求出 值即可求解；
（2）设 ，得以得到点 的坐标为 ，然后可以得到点 的坐标为 ，然后得到点的坐标 ，根据阴影部分的面积求出 值即可解题．
【详解】解：（1） 点 的坐标为 ，
，
是 的中点，
，
设点 的纵坐标为 ，则点 的横坐标为 ，
，
解得： ， （舍去），
，
点 的坐标为 ，
故答案为： ；
（2）设 ，
，
，
， 都是等腰直角三角形，
点 的坐标为 ，
是 的中点，
点 的坐标为 ，
，
阴影部分的面积等于 ，，
，
点 的坐标为 ，
，
，
，
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查零次幂，绝对值化简，特殊角的三角函数的计算，掌握以上知识的计算法则是解题
的关键．
根据任何非零数的零次幂为1，绝对值的化简， ，进行计算即可．
【详解】解：
．
16. 解方程： ．【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，选择适当解法是解题的关键．化简后，选择因式分解法求方程
的根即可．
【详解】解：
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ， ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某商场举办抽奖活动：在一个不透明 的箱子中放入100个大小、材质均相同的小球，其中有4个球
上分别写有“最”“美”“安”“徽”，其余球上都无字．顾客随机从箱中摸出一个球，若有字，则能获
得一份小礼品．
（1）某顾客随机从箱中摸出一个球，他获得小礼品的概率是_____．
（2）取出分别写有“最”“美”“安”“微”，四个字的小球，放入一个不透明的袋子里，从中取出一
个球，不放回，再从中取出一个球，请用列表或画树状图的方法求两次取出的球能组成“安徽”的概率．
【答案】（1）
（2） （两次取出的球能组成“安徽”）
【解析】
【分析】本题主要考查运用列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握运用列表法或画树状图法是解题
的关键．
（1）运用概率公式计算即可；
（2）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再运用概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：放入100个大小、材质均相同的小球，其中有4个球上分别写有“最”“美”“安”“徽”，若有字，则能获得一份小礼品，
∴顾客随机从箱中摸出一个球，他获得小礼品的概率是 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：运用画树状图把所有等可能结果表示如下，
∴共有12种等可能结果，其中是“安徽”的有2种结果，
∴两次取出的球能组成“安徽”的概率为 ，
∴ （两次取出的球能组成“安徽”） ．
18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的 网格中，线段 的端点均为格点（网格线的
交点）．
（1）在网格图中画一四边形 ，使得四边形 是中心对称图形但不是轴对称图形， 与 都
为格点．
（2）在网格图中确定一点 ，使得 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的性质以及三角函数正切值的应用，解题的关键是理解中心对称图形和轴对称图形的区别，掌握正切函数的定义来确定点的位置．
（1）根据中心对称图形和轴对称图形的特点，构造出满足条件的四边形；
（2）利用正切函数 的性质，在网格中找到合适的点E．
【小问1详解】
画图如下所示：
四边形 即所求；（画法不唯一）
【小问2详解】
画图如下所示：
在 中
， ， ，
，
是直角三角形， ，
在 中， ， ，
，
如图， 即所求．（画法不唯一）五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在 中， ，以点 为圆心， 的长为半径的圆与 交于点 ，与
交于点 ，连接 ， ．
（1）求 的度数．
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）
（2） 的长为 ．
【解析】
【分析】本题主要考查等边对等角，同弧所对圆周角相等，相似三角形的判定和性质，掌握圆的基础知识，
相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）如图，连接 ，根据题意得到 ， ，根据等腰三角形的定义得到
，则 ，即可求解；
（2）根据题意可证 ，得到 ，即 ，由此解方程即可求解．
【小问1详解】
解：如图，连接 ，
，
，又 ，
，
，
，
．
【小问2详解】
解： ，
，
，
，
整理得 ，
解得 或 （舍去），
的长为 ．
20. 山西某地充分利用地理优势，大力推动乡村风电建设．如图，与斜坡 的坡顶 在同一水平面上建
一台高为 的风力发电机，某综合实践活动小组在坡顶 处测得该风力发电机的顶端 的仰角为 ，
在斜坡底部 处测得该风力发电机的顶端 的仰角为 ，测得坡长 为 ，已知斜坡 的坡度为
， ， ．求风力发电机 的高度．（结果精确到 ，参考数据：
， ， ）【答案】风力发电机BC的高度约为28
【解析】
【分析】过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，首先利用坡度的定义可知 ，
可设 ，则 ，由勾股定理可得 ，进而可得 ，
，再证明四边形 是矩形，由矩形的性质可得 ， ，然后证明
的等腰直角三角形，可设 ，则 ，在 中，利用三角形函数即可
获得答案．
【详解】解：过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，
∵斜坡 的坡度为 ，
∴ ，
设 ，则 ，由勾股定理得 ，
∴ ，解得 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
答：风力发电机 的高度约为 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、坡度、三角函数的应用、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性
质等知识，理解题意，熟练运用相关知识是解题关键．
六、（本题满分12分）综合与实践
21. 如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一
个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（ 最长为 ），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数 y（单位：N）与 的长度x（单位： ）的五组对应值如
表所示．
1 2 3 4 5
x
0 0 0 0 0
2 1 4.
y 8 6
4 2 8
（1）由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式．
（2）当 的长度为 时，求弹簧秤的示数．
（3）嘉嘉在做实验时记录一个数据为 ，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由．
【答案】（1）反比例函数，
（2）弹簧秤的示数为
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的应用：
（1）根据表格数轴可知 为定值，得出y与x之间 反比例函数，再将一组数据代入 即可求解；
是
（2）将 代入（1）中解析式即可求解；
（3）将 代入（1）中解析式，求出对应的x的值，即可判断．
【小问1详解】
解：反比例函数．
设函数表达式为 ，将 代入上式，得 ，
解得 ，
∴y关于x的函数表达式为 ；
【小问2详解】
解：当 时， ．
答：弹簧秤的示数为4N．
【小问3详解】
解：将 代入 中，得 ，
解得 ．
∵ ，
∴y不可能等于2．
七、（本题满分12分）
22. 王老师带领同学们以“直角三角形的旋转”为主题开展探究活动：如图 1，在 Rt 中，
，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，点 与点 对应，点
与点 对应．
（1）当 时， 的长为_____．
（2）如图2， 是 的中点，连接 ，过点 作 且交直线 于点 ．①求证： ．
②在旋转的过程中，当四边形 是菱形时，请直接写出此时 的长度．
【答案】（1）6 （2）①见解析；②2或18
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得到 是等边三角形，即可求解；
（2）①如图所示，延长 交于点 ，则 ，连接 ，可得
， ，则 ，证明 ，得
到 ， ， 再 证 ， 得 到 ，
，最后证明 ，得到 ，即可求解；
②在 中，运用勾股定理得到 ，第一种情况，如图所示，四边形 是菱形，则
；第二种情况，如图所示，四边形 是菱形，则 ，
可证 共线，点 共线，则 ；由此即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ 是等边三角形，
∴ ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：∵旋转，
∴ ，
∴ ，
①证明：如图所示，延长 交于点 ，则 ，连接 ，
∵点 是 中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
②在 中， ，
∴ ，
第一种情况，如图所示，四边形 是菱形，
∵旋转，∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ；
第二种情况，如图所示，四边形 是菱形，则 ，
∵ ，
∴ 共线，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴点 共线，
∴ ；
综上所述， 的值为 或 ．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，全等三角
形的判定和性质等知识的综合，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，数形结
合分析思想是解题的关键．八、（本题满分14分）
23. 已知抛物线 与 轴交于点 （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，对称
轴是直线 是第一象限内抛物线上一个动点，过点 作 轴于点 ，与线段 交于点 ．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当 是以 为底边的等腰三角形时．
（i）求线段 的长；
（ii）已知 是直线 上一点，直线 上是否存在一点 ，使得以 为顶点的四边形是矩形？
若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）存在，点 的坐标为
【解析】
【分析】（1）根据对称轴直线得到 ，把点 代入，运用待定系数法即可求解；
（ 2 ） （ i ） 根 据 题 意 ， 运 用 待 定 系 数 法 可 得 直 线 的 解 析 式 为 ， 设
，则 ， ，根据等腰三角形的定义得
到 ，如图，过点 作 ，则 ，在 中，由勾股定理得
，由此即可求解；（ii）由（i）可知， ，可得
直 线 的 解 析 式 ， 设 ， 若 四 边 形 为 矩 形 ，，根据点 先向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，得
到点 ，将点 先向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，得到点 ，由此即可求解．
【小问1详解】
解： 抛物线的对称轴为直线 ，
，
解得 ，
，
，
，
抛物线的解析式为 ．
【小问2详解】
解：（i）设直线 的解析式为 ，将点 代入，得 ，
直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
，
由题意知 ，
如图，过点 作 ，则 ，，
在 中，由勾股定理得 ，
解得 （舍去）， ，
；
（ii）由（i）可知， ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入得 ，
，
设 ，
若以 为顶点的四边形是矩形，如图所示，∴四边形 为矩形，
，
点 先向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，得到点 ，
将点 先向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，得到点 ，
，
，
，
，
，
，
，
，则四边形 为矩形，满足题意，
点 的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，等腰三角形的定义，勾
股定理，矩形的判定方法和性质，平移的规律等知识，数形结合分析是解题的关键．
