文档内容
2025 年中考第一次模拟考试数学试题卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列四个实数中，最小的数是（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于
零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对
值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝
对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴最小的数是： ．
故选：C．
2. 2024年，某市全年地区生产总值约为14000亿元，比上年增长 ．其中数据14000亿用科学记数法
表示为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数．据此解答即可．
【详解】解：14000亿 ．
故选：A．
3. 如图为某几何体的三种视图，这个几何体可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，
俯视图是从上面看到的图形，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、该几何体的俯视图是一个“L”型，不符合题意；
B、该几何体的主视图是一个长方形，中间有两条竖直的实线，不符合题意；
C、该几何体的主视图是一个长方形，不符合题意；
D、该几何体的三视图符合题干中所给三视图，符合题意；
故选：D．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用完全平方公式、整式的乘法、合并同类项和幂的乘方等运算公式依次判断即可．
【详解】A选项展开后少了积的两倍这一项，即应加上2ab；
B选项应为 ；
C选项不是同类项，不能合并，故错误；D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式、整式的乘法、合并同类项和幂的乘方等运算，解题关键是牢记公式．
5. 如图，一博物馆由圆形主馆A和三个圆形副馆 ， ， 组成．一游客从入口进入准备参观主馆和一
个副馆后离开，已知他参观副馆后随机从每个副馆的两个出口中的一个离开，则他从中间出口（即出口 ，
）离开的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，画树状图，共有6种等可能的结果，其中从中间出口（即
出口 ， ）离开的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：由题意，画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中从中间出口（即出口 ， ）离开的次数有4种，
∴他从中间出口（即出口 ， ）离开的概率是 ，故选：B．
6. 如图，在矩形 中，对角线 的垂直平分线交直线 于点 ，交直线 于点 ．若
， ，则 的长为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】连接 ，设 ，由勾股定理求出 ，证明 ，根据 证明
得 ，再证明 ，然后利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接 ，设 ，
∵在 中， ， ，由勾股定理得：
又∵ 是线段 的中垂线，
∴ ，
∴ ，又∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，三角形全等的判定与性质，三
角形相似的判定与性质，勾股定理等相关知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与
性质是解答本题的关键．
7. 已知不等式 的解集是 ，则一次函数 的图象大致是（ ）A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数
的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当 函数图象位于x轴的下方的图象即
可．
【详解】解∶∵不等式 的解集是 ，
∴当 时， ，
观察各个选项，只有选项B符合题意，
故选：B．
8. 如图，把 以点A为中心逆时针旋转得到 ，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在
的延长线上，连接 ，则下列结论一定正确的是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据旋转的性质即可解答．
【详解】根据题意，由旋转的性质，
可得 ， ， ，
无法证明 ， ，故B选项和D选项不符合题意，
，故C选项不符合题意，
，故A选项符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键．
9. 已知 且满足 ， ，设 ，则 的取值范围是（ ）
.
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，由 ，
确定 ，再建立不等式组解题即可．【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ；
故选：C
10. 已知正方形 边长为 ， ， 为正方形对角线 上的动点， ，则 周长的最
小值为（ ）
A. 6 B. 8 C. D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】如图所示，连接 ，过点F作 ，过点D作 交于点G，连接 ，证明出
四边形 是平行四边形，得到 ， ，然后推出当点B，F，G三点共线时，
周长取得最小值，即 的长度，然后求出 ，利用勾股定理
求出 ， ，进而求解即可．
【详解】如图所示，连接 ，过点F作 ，过点D作 交于点G，连接∴四边形 是平行四边形
∴ ，
∵四边形 是正方形， ， 为正方形对角线 上的动点
∴
∴
∴ 的周长
∴当点B，F，G三点共线时， 周长取得最小值，即 的长度
∵四边形 是正方形，
∴
∵
∴
∴
∵正方形 边长为 ，
∴ ，
∴
∴
∴
∴ 周长的最小值为8．故选：B．
【点睛】此题考查了正方形的性质，平行四边形的性质和判定，轴对称最值问题，勾股定理等知识，解题
的关键是得到当点B，F，G三点共线时， 周长取得最小值．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 因式分解： _________
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式
法，完全平方公式法，十字相乘法等．
先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：
．
故答案为： ．
12. 如图， 是 的直径， 是弦， ，则 ______ ．
【答案】38
【解析】
【分析】连接 ，根据直径所对的圆周角是直角知 ，由直角三角形两锐角互余得
的度数，再根据圆周角定理即可解答．
本题考查了圆周角定理．
【详解】解:连接 ，∵ 是 的直径， ，
∴ ，
∴ ，
∵圆周角 、 所对的弧是 ，
∴ ．
故答案为：38．
13. 反比例函数 的图象与直线 交于点 ，点 在线段 上，过点 作直线
轴，直线 与 交于点 ， ，则 点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求出反比例函数解析式 ；
设点 ，那么点 ，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可．【详解】解：将 代入 得 ，
解得 ，
∴反比例函数表达式为 ；
∵点 在 上，
∴设点 ，那么点 ，
由 可得 ，所以 ，
解得 （舍去），
∴ ．
故答案为： ．
14. 已知抛物线 的对称轴与 轴正半轴相交．
（1）不论 取何值时，该抛物线过一定点，则该点坐标为______；
（2）若点 ， 在该抛物线上，且 ， ，则 的取值范围是_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的特征，确定m的范围是本题的难点．
（1）将抛物线的解析式化为两根式，求得抛物线与 轴的交点，其中一个是定点，不随 的变化而变化；
（2）根据题意得 ，即 ，求得 在抛物线上，且 ，判断出 ，
得 ，求出 的取值范围．
【详解】解：① ，∴抛物线与 轴的交点坐标为 ，
∴无论 取何值，抛物线总与 轴交于 ，
故答案为： ；
②∵抛物线与 轴的交点坐标为 ，且对称轴与 轴正半轴相交．
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴抛物线开口向下，
∵ 在该抛物线上，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 在抛物线上，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解分式方程,掌握解分式方程的步骤和方法，将分式方程化为整式方程求解，即可解题．【详解】解： ，
方程两边都乘 ，得 ．
去括号得： ，
解得 ．
经检验， 是原方程的根．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的 网格中， 的顶点均为格点（网格线的交
点）．
（1）将 向右平移1个格，再向下平移3格，画出对应的 ；
（2）仅用无刻度直尺作出 的高 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质求解即可；
（2）根据网格线的特点取格点G，连接 交 于点P， 即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示， 为所求；
【小问2详解】
解：如图所示， 为所求．取格点D，连接 交 于点P， 即为所求；
取格点M，N， 与 相交于点G，
∵ ， ，
∴
∴
∵ ，
∴
∴ ，点P即为所求
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 因生产技术落后等因素，某工厂2024年的利润比2023年减少 ．
（1）设该工厂2023年的利润为 万元，则该工厂2024年的利润为________万元（用含 的代数式表示）；
（2）该工厂2025年年初开展了技术革新，计划2025年的利润比2024年增长 ．求该工厂按计划完成
任务后，2023年到2025年这两年年利润的平均增长率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查列代数式和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．．（1）根据题意列出代数式即可；
（2）设这两年 的年利润平均增长率为x，根据2023年初及2025年初的利润，即可得出关于x的一元
二次方程，此题得解．
【小问1详解】
解：根据题意得， ，
故答案 为： ；
【小问2详解】
解：设2023年到2025年这两年年利润的平均增长率为 ，由题意得
假设2023年年利润为 万元，
，
解得 ， （舍去），
答：该工厂2023年到2025年这两年年利润 的平均增长率为 ．
18. 观察下列等式：
①
②
③
④
……
（1）请根据你发现的规律填空： ________=________；
（2）用含 的等式表示上面的规律：_________；
（3）用你发现的规律解决下列问题：
计算 ．
【答案】（1） ，（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律进
行计算是解题的关键．
（1）通过观察所给的等式，直接写出即可；
（2）通过观察所给的等式，总结出一般规律即可；
（3）将每个小括号进行通分为 ，再根据（2）的规律，
将所求的式子变形为 ，再求解即可．
【小问1详解】
解： ，
故答案为：49， ．
【小问2详解】
解：∵① ，
② ，
③ ，
④ ，
……
∴ ，
故答案为： ．
【小问3详解】解：原式
，
故答案为： ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高 ．如图
所示，当小明爸爸站在点 处时，他在该景观灯照射下的影子长为 ，测得 ；当小明站在
爸爸影子的顶端 处时，测得点 的仰角 为 ．已知爸爸的身高 ，小明眼睛到地面的
距离 ，点 、 、 在同一条直线上， ， ， ．求该景观灯的高
．（参考数据： ， ，
【答案】
【解析】
【分析】过点 作 ，垂足为 ，根据题意可得： ， ，然后设
，在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而求出 的长，再根据
垂直定义可得 ，从而证明 字模型相似三角形 ，最后利用相似
三角形的性质可得 ，从而列出关于 的方程，进行计算即可解答．【详解】解：过点 作 ，垂足为 ，
由题意得： ， ，
设 ，
在 中， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
解得： ，
，该景观灯的高 约为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已
知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20. 如图， 为 的直径， 为 上一点， ， 交 于点 ，且 ，连接
．
（1）求证： 是 的切线；
（2） 为 上一点，连接 ，若 ， ， ，求 的半径．
【答案】（1）见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质和判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质
和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连 ，证明 ，可得 ，证明 ，可得 ，则
，结论得证；
（2）延长 交 于 点，由（1）知 ，求出 ，可求出 ，设半径为 ，
则 ，解方程即可得解．
【小问1详解】
证明：如图，连 ，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为 的半径，
为 的切线；
【小问2详解】
解：如图，延长 交 于 点，由（1）知 ，
，
，
，
，
，在 中，根据勾股定理得： ，
设半径为 ，则 ，
，
．
的半径为 ．
六、（本题满分12分）
21. 某校组织开展主题为“节约用水，共建绿色校园”的社会实践活动．对全校七年级和八年级学生开展
节约用水知识测试，随机在两个年级中分别抽取20人的测试成绩进行统计分析（满分为100分）．测试成
绩为 ，并绘制相关统计图（不完整），请你根据相关信息完成下列任务：
信息1
七年级成绩：84，78，98，92，98，92，69，92，89，89，85，84，83，79，92，79，83，78，92，58．
信息2
八年级成绩在 之间的数据为：89，88，85，81．
信息3
七年级抽取同学的成绩频数分布直方图和八年级抽取同学的成绩频数分布扇形统计图如下：
（1）填空： _____，并补全七年级抽取同学的成绩频数分布直方图；
（2）请你补全七年级和八年级抽取同学的成绩数据的特征表：
平均
众数 中位数 方差
数
七年 ①_______
84.7 84.5 67.21
级 _
八年 83 96 ②_______ 183.6.
级 7 _ 8
（3）若该校七年级和八年级分别有学生680人，测试成绩90分以上（含90分）为优秀，则两个年级达到
优秀的人数一共大约有多少人？
【答案】（1）45，图见解析
（2）①92；②88.5
（3） 人
【解析】
【分析】（1）先期初 和 的百分比，进而可求出n的值；找出 的人数即可
补全频数分布直方图；
（2）根据众数、中位数的定义求解即可；
（3）用680乘以成绩90分以上（含90分）所占的比例即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
七年级成绩在 的有：84，89，89，85，84，83，83，共7人，
【小问2详解】
解：∵92出现了5次，出现的次数最多，
∴七年级的众数是92．
∵ ，
∴八年级成绩的中位数在 之间，
∵ 之间的数据从小到大排列为：81，85，88，89，∴八年级的中位数为 ．
故答案为：92，88.5；
【小问3详解】
解： （人），
答：两个年级达到优秀的人数一共大约544人
【点睛】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，中位数，众数，以及方差等知识，熟练掌握各知识点
是解答本题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 如图，抛物线过点 ， ，矩形 的边 在线段 上（点 在点 的左侧），
点 ， 在抛物线上．设 ，当 时， ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当 为何值时，矩形 的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持 时的矩形 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 ，
，且直线 平分矩形 的面积时，求平移后的抛物线的解析式．
【答案】（1）
（2）当 时，矩形 周长有最大值且最大值为
（3） 或【解析】
【分析】（1）由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点C的坐标代入计算可得；
（2）由抛物线的对称性得 ，据此知 ，再由 时， ，根据矩
形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得；
（3）①根据 ，结合四边形 是矩形，可得A、C坐标，连接 ， 相交于点P，连接 ，
取 的中点Q，连接 ，根据直线 平分矩形 的面积，得到直线 过点P，由平移的性质
可知，四边形 是平行四边形，根据矩形的性质得到点P是 的中点，求出P、Q坐标，进而证明
四边形 是平行四边形，得到 ，于是得到结论．
【小问1详解】
解：设抛物线解析式为 ，
∵当 时， ，
∴点B的坐标为 ，
∵四边形 是矩形，
∴点C的坐标为 ，
∴将点C坐标代入解析式得 ，
解得： ，
∴抛物线的函数表达式为 ；
【小问2详解】
解：由抛物线的对称性得 ，∴ ，
当 时，点C的纵坐标为 ，
∴矩形 的周长
，
∵
∴当 时，矩形 的周长有最大值，最大值为 ；
【小问3详解】
解：∵当 时， ，
∴点B的坐标为 ，
∴点C的坐标为 ，点A的坐标为 ，
连接 ， 相交于点P，连接 ，取 的中点Q，连接 ，如图：
∵直线 平分矩形 的面积，∴直线 过点P，
由平移的性质可知， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴点P是 的中点，Q是 的中点，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴抛物线向右平移的距离是4个单位，
∵原抛物线
∴平移后的抛物线的解析式 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，矩形的性质，勾股定理，平移的性质等等，解题的关键是掌
握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点．
八、（本题满分14分）
23. 在 中， 于点 ， 为 上的点，连接 ， ，且 ，
为 上另一点，且 ．
（1）如图1，求证： ；（2）如图1，连接 ，求证： ；
（3）如图2， 为 的中点，连接 交 于点 ，且 ．若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）先证明 ，再根据 证明 ，进而可证 ；
（2）分别证明 ， ，进而可证 ；
（ 3 ） 作 交 于 点 ， 设 ， 证 明 可 求 出 ， 证 明
得 ，由勾股定理求出 ，由 得 ，由
勾股定理求出 ，然后由 列比例式求解即可．
【小问1详解】
证明： ，
又 ，
【小问2详解】
证明：∵ ，
由（1）知又 ，
【小问3详解】
解：作 交 于点 ，设
为 中点，
∴ ，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴又
，
解得
【点睛】本题考查了等角对等边，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，
熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
