文档内容
来安县 2025 届九年级一模试卷
数学试题
注意事项：
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个
选项，其中只有一个是正确的．
1. 的倒数是（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义即可求解，掌握倒数的定义是解题的关键．
【详解】解： 的倒数是 ，
故选：D．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项的法则，逐一进行判断即
可．
【详解】解：A、 和 不能合并，原选项计算错误，不符合题意；
B、 ，原选项计算错误，不符合题意；C、 ，原选项计算正确，符合题意；
D、 ，原选项计算错误，不符合题意；
故选C．
3. 2024年，安徽汽车产量首次突破300万辆，300万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数即可求解，解题的关键要正确确定 的值以及 的值．
【详解】解：300万
，
故选： ．
4. 由两个长方体组成的几何体如图水平放置，其三视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图，根据三视图的定义即可得出答案，掌握三视图的定义是解题的关键．
【详解】解：由题图可得：几何体从前面看为 ，从左面看为 ，从上面看为 ，
故选：C．5. 若双曲线 与直线 一定有交点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，涉及直接开平法解一元二次方程，熟练掌握一次函数
与反比例函数交点问题是解题的关键．联立 与 得 ，利用双曲线
与直线 一定有交点，则方程 有解，即可求解．
【详解】解：由题意得 ，
化简为： ，
∵双曲线 与直线 一定有交点，
∴方程 有解，
又∵双曲线 中 ，
∴ ，
解得： ，
故选：A．
6. 如图，点C在半圆O的直径 的延长线上， 与半圆O相切于点D， ， ，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，弧长公式等知识，由切线的性质得到 ，从
而得到 ，根据解直角三角形得到 ，再利用弧长公式即可求解，掌握相关知识是解题
的关键．
【详解】解：连接 ，如图：
∵ 与半圆 相切，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ 的长度 ，
故选：A．
7. 如图，有四张写有数字1，2，4，6的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，洗匀后摸卡片，
下列判断错误的是（ ）A. 从中任意摸出1张，卡片上的数字是偶数的概率为
B. 从中任意摸出2张，卡片上的数字都是偶数的概率为
C. 从中任意摸出2张，用卡片上的数字组成两位数是奇数的概率为
D. 从中先任意摸出1张后放回，洗匀后再摸出1张，用两次摸出的卡片上的数字组成两位数是奇数的概率
为
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查列表法求概率，根据概率公式，以及列表法，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、从中任意摸出1张，卡片上的数字是偶数的概率为 ，原说法正确，不符合题意；
B、列表如下：
1 2 4 6
1 1，2 1，4 1，6
2 2，1 2，4 2，6
4 4，1 4，2 4，6
6 6，1 6，2 6，4
共12种等可能得结果，其中卡片上的数字都是偶数的结果有6种；
∴ ；原说法正确，不符合题意；
C、列表如下：
1 2 4 61 12 14 16
2 21 24 26
4 41 42 46
6 61 62 64
共12种等可能得结果，其中用卡片上的数字组成两位数是奇数的结果有3种；
∴ ；原说法正确，不符合题意；
D、列表如下：
1 2 4 6
1 11 12 14 16
2 21 22 24 26
4 41 42 44 46
6 61 62 64 66
共16种等可能得结果，其中用卡片上的数字组成两位数是奇数的结果有4种；
∴ ；原说法错误，符合题意；
故选D．
8. 如图，E为菱形 对角线 上一点， ．已知 ， ，则 的长为（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，连接 交 于点 ，勾股定理求出 的
长，锐角三角函数求出 的长，进而求出 的长即可．
【详解】解：连接 交 于点 ，则 ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
9. 若 ， ，则 的值满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式等，根据题意，将 ， 联立，解
得 与 的关系，然后代入 ，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∴
，
∵ ，
∴ ，
故选：D．
10. 点D，E分别在 的边 上， ， 相交于点O，连接 ．则下列结论错
误的是（）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，
【答案】D
【解析】
【分析】若 ，则 ，得到 ，根据 ，得到 ，再
得到 ，即可判断 A；若 ，则 ，证明 ，得到
，再得到 ，得出 ，即可判断 B；若 ，则
， 得 到 ， 得 出 ， 进 一 步 得 到，即可判断 C；若 ，则 ，得
到 ，进一步得出 ，即可判断D．
【详解】解：A、若 ，则 ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故选项不符合题意；
B、若 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故选项不符合题意；
C、若 ，则 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
， ，
，
∵
，
，
，故选项不符合题意；
D、若 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，，
，
，故选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定
理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查负整数指数幂，利用负整数指数幂的法则进行计算即可．
【详解】解： ；
故答案为： ．
12. 计算： ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的加减运算，化成同分母，分母不变，分子相减，再进行约分化简即可．
【详解】解：原式 ；
故答案为： ．
13. 如图是某座抛物线型拱桥的示意图，已知水面宽 为20米，抛物线最高点C到水面 的距离为5
米，景观灯D，E在该抛物线上， ，若两盏灯之间的距离 为 米，则直线 与 的距
离为________米．【答案】4
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，以点 为原点， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，待
定系数法求出函数解析式，进而求出 点坐标，即可得出结果．
【详解】解：以点 为原点， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，如图：
由题意，得： ，
∵ ，两盏灯之间的距离 为 米，
∴ 点的横坐标为： ，
设抛物线的解析式为： ，把 代入解析式，得：
，
解得： ，
∴ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴直线 与 的距离为4；
故答案为：4．14. 如图，点D是等边 的边 上（不与A，C点重合）的动点，以 为边作等边 ，
与 交于点F．已知 的边长为a，在点D运动过程中，
（1）始终都相似的三角形有________对；
（2） 的最大值为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，掌握相关知识
是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质即可得出答案；
（2）由题意可得，当 时， 最短，则 取最大值，由等边三角形性质得到
， ， ，求出 ，得到 ，即 ，又由
，得到 ，再利用含 角的直角三角形即可求解．
【详解】解：（1）∵ 和 是正三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
综上，相似的三角形有 对，
故答案为： ；
（2）由题意可得，当 时， 最短，则 取最大值，如图：
∵ 和 为正三角形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴ 的最大值为 ，故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式： ．
【答案】 ．
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据一元一次不等式的解法求解即可，掌握解一元一次不等式的
方法是解题的关键．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴不等式的解集为 ．
16. 在由小正方形组成的 网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点 （顶点为网
格线的交点）．
（1）将 向右平移 个单位长度得到 ，画出 ；
（2）画出 关于 轴对称的 ；
（3）若点 的坐标为 ，则经过上述两种图形变换后的对应点 的坐标是________．
【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查作图 平移变换、作图 轴对称变换，熟练掌握关于坐标轴对称的性质、平移的性质是
解答本题的关键．
（1）根据平移的性质找到对应点作图，即可得出答案．
（2）根据关于坐标轴对称的性质找到对应点作图，即可得出答案；
（3）利用向右平移 个单位长度即横坐标加 ，关于 轴对称即横坐标不变，纵坐标变为相反数即可解答．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求作；
【小问2详解】
解：如图， 即为所求作；
【小问3详解】
解：由平移得点 的对应点为 ，
由轴对称得 的对应点为 ，
故答案为： ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数 ， 的平方差，且 ，则称这个正整数为“三方
数”．例如： ， 就是一个“三方数”．将“三方数”从小到大排列．（1）第 个“三方数”是________；第 个“三方数”是________；
（2）请判断 是“三方数”吗？并说明理由．
【答案】（1） ； ；
（2）是“三方数”，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，代数式的规律探索，解题关键是利用平方差公式和已知条件
得到第 （ 是正整数）个“三方数”的代数式．
（1）根据题意依次列出前面几个“三方数”，并得到规律，即可求解；
（2）利用规律列出第 （ 是正整数）个“三方数”，代入 并求解 ，即可判断．
【小问1详解】
解：∵ ， ，
∴第 个“三方数”是 ；
第 个“三方数”是 ；
第 个“三方数”是 ；
第 个“三方数”是 ；
故答案为： ； ；
【小问2详解】
解： 是“三方数”，理由如下：
由（1）可知第 （ 是正整数）个“三方数”是 ，
当 时，
解得： ，
故 是“三方数”．
18. 小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率 （ 为入射角， 为折射角），现有一块折射率 、
横截面为矩形的玻璃块，如图，若光线经 边的中点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出，已知
， ，求截面 的面积．（精确到 ， ， ，
）
【答案】截面 的面积为 ．
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，由题意可知，四边形
为矩形，由折射率 ，得到 ，进一步得到 ，设 ，
则 ，由勾股定理得到 ，解出 ，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图，由题意可知，四边形 为矩形，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，点 是 的中点，
∴ ， ，
∵ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： （舍去），
∴ ，
∴ ，
∴截面 的面积 ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 茶叶是我省西南地区特产，某村部分青年返乡创业生产销售 ， 两种茶叶，去年年初制订的计划是
完成总销售利润 万元．经过努力，其中生产销售 种茶叶的利润比原计划增加 ，生产销售 种茶
叶的利润比原计划增加 ，实际生产销售的总利润为 万元，他们去年生产销售 ， 两种茶叶实际
完成的销售利润各多少万元？
【答案】 ， 实际完成的销售利润分别为 万元， 万元【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，熟练根据题意正确列出等式是解题的关键．设去年生产销
售 种茶叶计划完成的销售利润为 万元，去年生产销售 种茶叶计划完成的销售利润为 万元，分别利
用“去年年初制订的计划是完成总销售利润 万元”和“生产销售 种茶叶的利润比原计划增加 ，
生产销售 种茶叶的利润比原计划增加 ，实际生产销售的总利润为 万元”进行列式即可．
【详解】解：设去年生产销售 种茶叶计划完成的销售利润为 万元，去年生产销售 种茶叶计划完成的
销售利润为 万元，
根据题意得： ，
解得： ，
∴ （万元）， （万元），
答：他们去年生产销售 ， 两种茶叶实际完成的销售利润分别为 万元， 万元．
20. 如图， 是半 的直径，弦 ，点E，F分别在半径 和弦 上，且 ，连接
．
（1）求证： ；
（2）若 ， ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2） ．【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理等知识，掌握相关知
识是解题的关键．
（1）根据平行线的性质得到 ，由 ，得到 即 ，
证明 ，即可得出结论；
（2）过点 作 于点 ，由垂径定理得到 ，再根据勾股定理求出
，证明 ，得到 ，进一步求出 ，即可求解．
【小问1详解】
证明：连接 ，如图：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：过点 作 于点 ，如图：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
六、（本题满分12分）
21. 某校开展八、九年级家务劳动专项测试，测试成绩满分为 分． 分及 分以上为优秀，从八、九两
个年级各随机抽取 名学生的测试成绩作为样本，并绘制了两幅统计图，部分信息如下：
八、九年级学生测试成绩 的平均数、众数、中位数如下表所示：
年 平均 众 中位
级 数 数 数
八
九
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上表中 ， 的值；
（2）根据上述样本数据，你认为哪个年级学生家务劳动专项测试成绩较好？请说明理由（写出 条理由
即可）；
（3）该校八、九年级各有 名学生参加了此项测试，根据样本估计八、九年级参加此项测试成绩获得
优秀的学生人数一共有多少人？【答案】（1） ；
（2）九年级学生家务劳动专项测试成绩较好，理由见解析
（3） 人
【解析】
【分析】本题考查数据的分析与统计图结合，样本估计总体，熟练根据统计图得出相应的数据，并熟练掌
握相关定义是解题的关键．
（1）根据众数和中位数的定义，结合统计图即可求解；
（2）利用平均数、众数和中位数进行决策即可；
（3）利用样本估计总体进行解答即可．
【小问1详解】
解：八年级 名学生成绩扇形统计图可知出现次数最多的是 分，
故 ；
九年级 名学生成绩从小到大排列后中间的两个数是第 和 的平均数，分别是 分和 分，
故 ，
为
故答案 ： ； ；
【小问2详解】
解：九年级学生家务劳动专项测试成绩较好，理由如下：
∵八年级和九年级学生成绩的平均数相同，但九年级学生成绩的众数大于八年级学生成绩的众数，九年级
学生成绩的中位数大于八年级学生成绩的中位数，
∴九年级学生家务劳动专项测试成绩较好；
【小问3详解】
解：八年级参加此项测试成绩获得优秀的学生人数约有 （人），
九年级参加此项测试成绩获得优秀的学生人数约有 （人），
∴估计八、九年级参加此项测试成绩获得优秀的学生人数一共有 人（人）．
七、（本题满分12分）22. 点O在凸四边形 内， ， ， ， ．
（1）如图1，若 交于点E．
①求证： ；
②求证： ；
（2）如图2，M为 的中点，连接 并延长交 于点N，求 的值．
【答案】（1）①证明见解析，②证明见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，垂直的定义等知识，掌握相关
知识是解题的关键．
（1）①由 ， ，得到 ，再得到 ，证明
，即可得出结论；
②设 与 交于点 ，由 ，得到 ，进一步得到 ，即可
得出结论；
（2）在 的延长线上取 ， 证明四边形 为平行四边形，得到 ，再得到
，证明 ，得到 ，即可求解．
【小问1详解】
解：①∵ ， ，∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
②设 与 交于点 ，如图：
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【
小问2详解】
解：在 的延长线上取 ，如图：∵M为 的中点，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
八、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系 中，抛物线 （a，b，c为常数，且 ）与x轴交于A，B两点（其中点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上），与y轴交于点C， ．
（1）若 ，求a的值；
（2）若 ， ．
①求抛物线的函数表达式；
②P，D两点均在该抛物线第二象限的部分上， 轴，过点P作 轴于点E，射线DE交y轴于
点F，若 ，求点P的横坐标．
【答案】（1） ；
（2）① ，②点P的横坐标为 ．
【解析】
【分析】（1）由 ，得到 ， ，得到 ，即 ，再
代入得 ，求解即可；
（2）①由 ， ，得到 ， ，代入 得 ，设
a=−k(k>0)，则 ，得到点 ，当 时， ，
，得到 ，根据 ，得到 ，求出
，即可求解；
②求出抛物线对称轴为 ，令 ，则 ，得到 ，设点 ，则点
， ，得出 ， ，， ， ，再证明 ，得到
，即 ，求解即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
【小问2详解】
解：① ， ，
∴ ， ，
将 ， 代入 得： ，
∵ ，
∴设a=−k(k>0)，
∴ ， ，
∴ ，
∴点 ，当 时， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
整理得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
②如图：∵ ，
∴抛物线对称轴 ： ，
为
令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
设点 ，则点 ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴，
∵ ， 轴， 轴，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
整理得： ，
解得： ， （不合题意，舍去），
∴点P的横坐标为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，求函数解析式，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程
等知识，掌握相关知识是解题的关键．
