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2024-2025 学年第二学期初中教联体教学质量监测试卷
初三 数 学
考试时间： 120分钟 试卷分值： 150分
一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. 2025 D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键．
只有符号不同的两个数互为相反数，由此即可求解．
【详解】解： 的相反数是 ，
故选：C ．
2. 某芯片每秒可执行100亿次运算，它工作2025秒可执行的运算次数用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n
为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．
【详解】解： 亿，
亿 ，
故选：C．
3. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三视图的定义逐个判断即可．
【详解】解：根据主视图 可排除选项A、B，
根据左视图 可排除选项D，
再根据俯视图可判断选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查由三视图还原几何体，解答的关键是理解三视图的定义：从正面看到的视图是主视图；
从左面看到的视图是左视图；从上面看到的视图是俯视图．注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. ＝±2 B. a3÷a2＝a C. m2•m3＝m6 D. （2x2）3＝6x6
【答案】B
【解析】
【分析】分别根据算术平方根的定义，同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则以及积的乘方运算法则
逐一判断即可．
【详解】解：A、 ，故本选项不合题意；
B、a3÷a2＝a，运算正确；
C、m2•m3＝m5，故本选项不合题意；D、（2x2）3＝8x6，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是
解答本题的关键．
5. 如图，在半径为6的 中，弦 于点 ，若 ，则 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接 ， ，先求出 ，再求出 ，然后根据 得出答案．
【详解】连接 ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键．即 ．
6. 已知一次函数y＝﹣2x﹣2与x轴交于A点，与反比例函数y＝ 的图象交于第二象限的B点，过B作y
轴的垂线，垂足为C，若OC＝2OA，则k的值为（ ）
A. 2 B. ﹣2 C. 4 D. ﹣4
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件确定点B的坐标即可解决问题．
【详解】解：如图；
∵一次函数y＝-2x-2与x轴交于A点，
∴A（-1，0），
∴OA＝1，
∵BC⊥y轴，OC＝2OA，
∴OC＝2，
∴C（0，2），
∴B（-2，2），
∵点B在y＝ 上，
∴k＝-4，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中
考常考题型．
7. 如图 中， ， ，垂足为D， 平分 ，分别交 ， 于点F，E．若 ，则 为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌
握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设 ， ，利用勾股定理求
得 ， ，再证明 得到 ，再利用角平分
线的性质和三角形的面积得到 即可求解．
【详解】解：∵ ，
设 ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ 平分 ，
∴点F到 、 的距离相等，又点A到 、 的距离相等，
∴ ，即 ，
故选：A．
8. 已知实数a，b，c，其中 且满足 ， ，则下列结论不正确 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键；由题意易得 ，然
后代入 可进行求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故B正确；
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ；故A正确；
∴ ；故C正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，故D错误；
故选D．
9. 在 中， ， ，垂足为H，D是线段 上的动点（不与
点H，C重合），将线段 绕点D顺时针旋转 得到线段 ．两位同学经过深入研究，小明发现：
当点E落在边 上时，点D为 的中点；小丽发现：连接 ，当 的长最小时， ．
请对两位同学的发现作出评判（ ）
A. 小明正确，小丽错误 B. 小明错误，小丽正确
C. 小明、小丽都正确 D. 小明、小丽都错误
【答案】C
【解析】
【分析】旋转得到 ，当点E落在边 上时，利用三角形的外角推出
，进而得到 ，推出 ，判断小明的说法，连接 ，等边对等
角，求出 ，进而求出 ，推出
点 在射线 上运动，根据垂线段最短，得到 时， 的长最小，进而推出 ，
判断小丽的说法即可．
【详解】解：∵将线段 绕点D顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ，
当点E落在边 上时，如图：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为 的中点，故小明的说法是正确的；
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在射线 上运动，
∴当 时， 的长最小，
∴当 的长最小时， ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；故小丽的说法正确；
故选C．
【点睛】本题考查旋转的性质，三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，相似三角形的判
定和性质，熟练掌握旋转的性质，根据题意，正确的作图，确定点 的轨迹，是解题的关键．
10. 如图，在 中， ， ，点 分别为 的中点，点P从A点
向D点运动，点Q在 上，且 ，连接 ，过点Q作 交AB与点F，设点P运动的
路程为x， 的面积为 ，则能反映y与x之间关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点 作 于点 ，延长 交 的延长线于点 ，利用矩形的判定与性质可得
；设 ，利用相似三角形的判定与性质求得 ，进而求得 ， 的长，
利用 求得 与 之间关系，再利用二次函数的性质和 的取值范
围解答即可得出结论．【详解】解：过点 作 于点 ，延长 交 的延长线于点 ，如图，
点 、 分别为 ， 的中点，
， ，
，
，
，
四边形 为矩形，
．
， ，
．
，
，
．
为等腰直角三角形，
．
设 ，
由题意得： ，则 ，
，，
．
，
，
，
．
，
，
，
，
解得： ，
．
．
，，
，
抛物线的开口方向向上，顶点为
由题意： 的取值范围为： ，
当 时， ，当 时， ，
与 的函数图象是以点 和 为端点的抛物线 上的一部分，
故选： ．
【点睛】本题主要考查了动点问题函数的图象，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位
线定理，二次函数的图象与性质，求得 与 之间函数关系式是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 不等式 的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，通过移项，未知数系数化为1，求解即可解．
【详解】解： ，
，
，
故答案为： ．
12. 计算： ________．
【答案】 ##
【解析】【分析】本题考查分式的加减，根据同分母分式的加减法则解题即可．
【详解】
．
故答案为： ．
13. 新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科
目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．某同学从4门再选科目中随
机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意列出表格如下：
思想政治 地理 化学 生物
思想政治 思想政治，地理 思想政治，化学 思想政治，生物
地理 地理，思想政治 地理，化学 地理，生物
化学 化学，思想政治 化学，地理 化学，生物
生物 生物，思想政治 生物，地理 生物，化学
由表格可得，共有12种等可能的结果，其中该同学恰好选择地理和化学两科的有2种结果，
某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为： ，故答案 为： ．
【点睛】本题主要考查 的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结
果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求
情况数与总情况数之比．
14. 如图，在正方形 中，G为 边上一点，将 沿 翻折到 处，延长 交
边于点E，过点F作 分别交 ， ， 于点H，P，Q，请完成下列问题：
（1） ______．
（2）若 ，则 ______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1） ， ，由折叠的性质可得
， ， ，证明 ，
得出 ，最后再由 计算即可得解；
（2）过点 作 于 ，证明 ，得出 ， ，证明，得出 ，由题意可得 ，设 ，则
，求出 ， ，得出 ，求出 ，即可得解．
【详解】解：（1）∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
由折叠的性质可得： ， ， ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）过点 作 于 ，如图：
∵ ，
∴ ，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质，
熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算，特殊的三角函数值，零次幂及负指数幂计算，正确掌握各计算法则
是解题的关键．
【详解】解：原式 ．
16. 如图，在网格纸中，有一个格点 （顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形）．
（1）将 先向右平移6个单位长度，再向下平移4个单位长度得到 ，请直接画出平移后的
；
（2）仅使用无刻度直尺画出 的角平分线，交 于E点，标出点E（保留作图痕迹，无需写作
法）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平移作图，等腰三角形的性质与判定，勾股定理：
（1）根据平移方式找到A、B、C对应点 的位置，然后顺次连接 即可得到答案；（2）如图所示，取格点F，连接 ，取格点G，连接 交 于E，线段 即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示， 即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，取格点F，连接 ，取格点G，连接 交 于E，线段 即为所求．
证明 且G为 的中点，由三线合一定理即可知 即为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 《九章算术》方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰
好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？”
【答案】每只雀、燕的重量各为 两和 两
【解析】
【分析】设每只雀、燕的重量各为 两， 两，根据题意列二元一次方程组，解方程组即可解决问题．
【详解】解：设每只雀、燕的重量各为 两， 两，由题意得：
解方程组得：答：每只雀、燕的重量各为 两和 两．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
18. 【经历】
（1）如图1所示的正方形网格中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B都是格点，线段 交网格
线于C，则 ；
（2）如图2，将边长为1的 的正方形网格如图所示放置在直角坐标系 中，一段圆弧经过格点
A、B、C，该圆弧所在圆的圆心D的坐标为 ；
【探索】
（3）在如图3所示的正方形网格中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都是格点， 与
交于E，则 ；
（4）如图4，是由5个边长为1的小正方形组成的图形，将其放置在 中， 恰好经过格点A、B、
C， 的半径为 ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可知 ，计算即可．
（2）根据圆的性质，勾股定理，计算即可．
（3）根据平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，计算即可．
（4）根据圆的性质，垂径定理，勾股定理，计算即可．【详解】解：（1）如图1，连接 ， ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵线段 与 交于点C，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
（2）根据圆的性质，得圆心一定在线段 得垂直平分线上，
∵
∴ ，
设圆心的坐标为 ，
∵
∴ ，
解得 ，
故圆心的坐标为 ，故答案为： ．
（3）如图，∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
故
故答案为： ．
（4）设圆的圆心为点O，则点O一定在 的垂直平分线 上，与 的交点为D，
根据题意，得 ， ， ，
设圆的半径为r， ，
根据勾股定理，得 ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，圆的性质，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比
例定理，勾股定理，垂径定理，熟练掌握圆的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，光从空气斜射入水中，入射光线 射到水池的水面B点后折射光线 射到池底点D处，入
射角 ，折射角 ；入射光线 射到水池的水面C点后折射光线 射到池底
点E处，入射角 ，折射角 ． ， 、 为法线．入射光线
、 和折射光线 、 及法线 、 都在同一平面内，点A到直线 的距离为6米．（1）求 的长；（结果保留根号）
（2）如果 米，求水池的深．（参考数据： 取1.41， 取1.73， 取0.37，
取0.93， 取0.4， 取0.65， 取0.76， 取0.85）
【答案】（1） 米
（2）4米
【解析】
【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得 和 的值，然后即可计算出 的值；
（2）根据（1）中的结果和锐角三角函数，可以求得水池的深．
【小问1详解】
解：作 ，交 的延长线于点F，则 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 米，
∴ （米）， （米），
∴ （米），
即 的长为 米；
【小问2详解】
解：设水池的深为x米，则 米，
由题意可知： ， ， 米，
∴ （米）， （米），
∵ ，
∴ ，解得 ，
即水池的深约为4米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键
是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20. 如图， 是 的直径，点 是 上的一点，点 是 延长线上的一点，连接 ，
．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 于点 ， ， ，求 的长．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】 如图，连接 ,根据 是 的直径，可知 ,根据 ,可得
,再根据 ,可知 ,故 是 的切线；
设 , 在 中 ， , 可 得 , 易 证 , 故
, 在 中 ， 由 勾 股 定 理 得 , 即
),求解即可．
【小问1详解】证明：如图，连接 ,
是 的直径，
,
,
,
,
,
,
,
,
是 的切线；
【小问2详解】
设 ,在 中， ,
， ， ，
，
，,
,
,
,
,
在 中，由勾股定理得 ,
即 ,整理得 ,
解得 (舍去),
故 ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定等知识，熟练掌
握其性质并能灵活运用是解题的关键.
六、（本题满分12分）
21. 某超市计划在9月份按月订购西瓜，今天的进货量相同．根据往年的销售经验，每天需求量与当天最
高气温（单位： ）有关．为了确定今后九月份的西瓜订购计划，对前三年此地九月份的最高气温及西瓜
需求量数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．西瓜每天需求量与当天最高气温关系如表：
最高气温 （单位： ）
西瓜需求量（单位：个/天） 300 400 500 600
b．2017年9月最高气温数据的频数分布统计表如表：
分组 频数 频率
3
0.30
11
0.23.
合计 30 1 00
c．2018年9月最高气温数据的频数分布直方图如图：
d．2019年9月最高气温数据如下（未按日期排序）：
25 26 28 29 29 30 31 31 31 32 32 32 32 32 33
33 33 33 33 33 34 34 34 35 35 35 35 36 36 36
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m的值为_____ ，n的值为_____ （保留两位小数）；
（2）2018年9月最高气温数据的平均数可能是_____；
A． B． C．
（3）2019年9月最高气温数据的众数为_______ ，中位数为______；
（4）已知该西瓜进货成本每个10元，售价每个16元，未售出的西瓜降价处理，以每个6元的价格当天全
部处理完．假设每年九月每天的最高温度，均在 之间．按照需求量，超市每天的西瓜进货
量在 之间
① 2019年9月该西瓜每天的进货量为500个，则此月该西瓜的利润为____ 元；
②已知超市2019年9月西瓜的日进货量为552个．考虑到现实因素，超市决定今年少进一些西瓜．假设
2020年9月的最高气温数据与2019年9月完全相同，今年9月西瓜的利润可能和去年保持一样吗？如果可
能，直接写出今年的日进货量；如果不可能，说明理由．
【答案】（1）9，0.10；
（2）B （3）33，33
（4）①85000；②可能，今年9月份的日进货量为480个
【解析】
【分析】本题考查了频数分布表、平均数、中位数、众数、一元一次方程的应，熟练掌握以上知识点并灵
活运用是解此题的关键．（1）根据表格计算即可得解；
（2）根据平均数的计算公式求解即可；
（3）根据中位数和众数的定义求解即可；
（4）①根据题意列式计算即可；②设2020年9月每天购进西瓜 个，根据题意列出一元一次方程，解方
程即可得解．
【小问1详解】
解： ， ，
故答案为：9，0.10；
【小问2详解】
解： ，
故选：B；
【小问3详解】
解：将2019年9月30天的气温从小到大排列，处在中间位置的两个数都是33，
所以中位数是33，
气温出现次数最多的是33，共出现6次，因此众数是33，
故答案为：33，33；
【小问4详解】
解：①2019年9月气温、日销售量、相应的天数如下表：
最高气温 (单位： )
西瓜需求量(单位：个/天) 300 400 500 600
2019年9月气温天数 0 5 18 7
这个月的总利润为：
，
故答案为：85000；
②2019年9月份的利润为：
，
设2020年9月每天购进西瓜 个，由题意得： ，
解得， ，答：可能，今年9月份的日进货量为480个．
七、（本题满分12分）
22. 如图1， 是 的直径，点D为 下方 上一点，点C为弧 的中点，连结 ， ，
．
（1）求证： 平分 ．
（2）如图2，延长 ， 相交于点E．
①求证： ．
②若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）证明见解析
（2）5
【解析】
【分析】(1)由点C为 的中点，得 ，所以 ，由垂径定理得 ，即可根
据等腰三角形的三线合一证明结论；
(2)由直径所对的圆周角为直角得 ，则 ，再根据垂径定理得： ，得结论；
②连接 ，则 ，由 ， ，由平行线的性质再证 ，
得 ，由 ，得， ，求出 ，设 的半径为r，由勾股定理求出符合
题意的r值即可．
【小问1详解】
证明∵点C为弧 的中点，∴ ，
∴ ， ，
∴ 平分 ；
【小问2详解】
①证明：∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
②如图2，连接 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，设 的半径为r，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
整理得 ，
解得 ， （不符合题意，舍去），
∴ 的半径为5．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质、平行线的判定与性质、、勾股定
理、一元二次方程的解法，解题的关键是综合运用以上知识解决问题．
八、（本题满分14分）
23. 已知关于x的二次函数 （实数b，c为常数）.
（1）若二次函数的图象经过点 ，对称轴为 ，求此二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）若 ， ，则该抛物线的顶点随着k的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求
该抛物线的顶点坐标；
（3）记关于x的二次函数 ，若在（1）的条件下，当 时，总有 ，求实数
m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，化顶点式等知识．（1）将点 代入二次函数的解析式可得c的值，根据二次函数的对称轴可得b的值，由此即可得；
（2）由 ， 得出 ，从而得到顶点的横坐标为：
，顶点的纵坐标为： ，即 从而得到当 时，顶点移动到最高处，
此时抛物线的顶点坐标为 ；
（3）先根据 可得 令 ，再根据二次函数 的性质列出不
等式，求解即可得．
【小问1详解】
解：将点 代入 得： ，
∵二次函数的对称轴为 ，
∴ ，解得 ，
二次函数的表达式为 ；
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴顶点的横坐标为： ，
顶点的纵坐标为： ，即 ，
∴当 时，顶点移动到最高处，此时抛物线的顶点坐标为 ，
【小问3详解】解：由1可知， ，
由 得： ，即 ，
令 ，它的对称轴是直线 ，且开口向上，
∴在 内， 随x的增大而增大，
要使得当 时，总有 即 ，
则只需当 时， 即可，
因此有 ，
解得： ．
