文档内容
宿州市萧县 2024-2025 学年度第二学期九年级第二次模考
数学
注意事项：
1．满分150分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题都给出A，B，C，D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义“相乘等于1的两数互为倒数”直接进行解答即可．
【详解】解： 的倒数是 ，
故选：C．
2. 茶产业是我省传统特色优势产业，记者从省农业农村厅获悉，2024年，我省茶叶绿色食品产业全产业
链产值超过900亿元．将数据“900亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法 的表示方法： 为整数，进行表
示即可．
【详解】解：900亿 ；
故选D．
3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，完全平方公式，合并同类项，积的乘方，幂的乘方等运算，解
题的关键是熟练掌握各运算法则．
利用同底数幂的除法，完全平方公式，合并同类项，积的乘方，幂的乘方等运算法则逐项进行判断即可．
【详解】解：A. ，该选项正确，符合题意；
B. ，该选项错误，不符合题意；
C. ，不是同类项无法合并，该选项错误，不符合题意；
D. ，该选项错误，不符合题意；
故选：A．
4. 如图，这是某建筑的示意图，则该示意图的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，明确俯视图是从物体的上面看到的图形是关键；
根据俯视图是从物体的上面看到的图形判断即可，注意看到的棱用实线，看不到的棱用虚线.
【详解】解：该建筑示意图的俯视图是：故选：C.
5. 如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，且 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了弧与圆周角之间的关系，根据题意可得 ，则 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： C．
6. 如图，下列条件不能判定 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【分析】本题考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解题的关键：内错角相等，两直线平行，同
位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行．
【详解】解：A、由 ，可以根据内错角相等，两直线平行，证明 ，故此选项
不符合题意；
B、由 ，不可以证明 ，故此选项符合题意；
C、由 ，可以根据内错角相等，两直线平行，证明 ，故此选项不符合题意；
D、由 ，可以根据同旁内角互补，两直线平行，证明 ，故此选项不符合题
意；
故选： B．
7. 反比例函数 的图象与一次函数 的图象相交于点A ， ，则
的值为（ ）
.
A 4 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，求一次函数与反比例函数的解析式；把点 A，B的
坐标分别代入反比例函数式中求得k与a的值，再把A，B两点的坐标代入一次函数解析式中，求得 m，n
的值，即可求得结果．
【详解】解：把点A的坐标代入 中，得 ，即 ，
∴ ；
把点B的坐标代入 中，得 ，即 ，
∴ ；
把点A，B的坐标分别代入 中，得 ，解得： ，
∴ ；
故选：D．
8. 如图，在 中， 于点D， ，则 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，设 ，利用 是两个直角三角形的公共边，结合勾股定理，列出方
程进行求解即可．
【详解】解：设 ，则： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
∴ ；
故选：A．
9. 已知a，b，c为实数，且 ， ，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是非负数的性质，不等式的性质，二次函数的性质，先把两式相加可得：
，再消去 可得 ，再计算 ，从而可得
答案.
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，故A正确．
故选：A．
10. 如图，在 中， ，点D在折线 上运动，过点D作的垂线，垂足为E．设 ， ，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了动点与面积的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的性质，掌握动点
运用的规律，相似三角形的判定和性质得到 的值，正确计算三角形的面积，确定函数关系式，结合图
形分析是解题的关键．运用勾股定理，等面积法得到 边上的高，根据点 在折线 上运动，
分类讨论：当点 在 上时， ，即 ；当点 在 上时， ，即
；运用相似三角形的判定和性质可得 的值，由三角形面积的公式可得 关于 的函数解析式，
结合二次函数图象的性质判定即可求解．
【详解】解：在 中， ，
∴ ，
如图所示，过点 作 于点 ，∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当点 在 上时， ，即 ，
，
∴ ，
∴图形是二次函数图象的一部分，开口向下，故B、D选项符合题意，A、C选项不符合题意；
当点 在 上时，如图所示， ，即 ，
∵ ，
∴ ，且 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴图形是二次函数图象的一部分，开口向上，故D选项符合题意，B选项不符合题意．
故选：D ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 要使得式子 有意义，则x的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．根据二次根式被开方数必须是非负数和
分式的分母不为0的条件可得关于x的不等式，解不等式即可得．
【详解】解：由题意得：
，
解得：
故答案为： ．
12. 因式分解： ________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．【详解】
．
故答案为： ．
13. 如图，在 中，点A在x轴上， ，经过点B的反比例函数 的图象经
过 的中点C，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，勾股定理，中点坐标公式；设点B的坐标为 ，由题
意得 ，由中点坐标得 ，把点C坐标代入反比例函数式中求得a的值，即可得点B的
坐标，再由 ，即可求得k的值．
【详解】解：∵点B在反比例函数 的图象上，
∴设点B的坐标为 ，
∵ ，
∴ ；
∵点C是 的中点，∴ ；
∵点C在反比例函数 的图象上，
∴把点C坐标代入反比例函数 中，得 ，
解得： ；
∴点B的坐标 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
14. 如图，在矩形纸片 中，点 ， 分别在 ， 上．将矩形纸片 沿 折叠，使点
落在边 上的点 处，点 的对应点为 ， 与 交于点 ．
（1）若 ，则 ________．（用含 的式子表示）
（2）若 ， ，则 的长为________．【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）由四边形 是矩形，得 ，由折叠可得 ，
，从而得 ，进而即可得解；
（2）由 ，设 （ ），则 ．由折叠性质得，
，
， 证 明 ， 得
， 即 ， 解 得 ， ，
，证明 ，得 ， 即 ， 解得
， 在 中 ， 利 用 勾 股 定 理 得 ， 解 得 ， 进 而
．
【详解】解：（1）∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
由折叠可得 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
故答案为： ；
（ ）过点 作 于 ，则 ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
在 中，∵ ，
∴设 ， （ ），则 ．
由折叠性质得， ， ， ， ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ − ，∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
， 即 ，
解得 ， ，
，
， ，
，
， 即 ，
解得 ，
，
，
在 中， ，
， 解得 ，；
故答案为： .
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，同角的余角相等．
熟练掌握折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可得出结果．
【详解】解： ，
由①，得： ；
由②，得： ；
∴不等式组的解集为： ．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点 均在格点（网格线的交点）上．
（1）将线段 绕点 按逆时针方向旋转 ，得到线段 ，请作出线段 ．
（2）用无刻度的直尺作出 的中点 （不写作法，保留作图痕迹）．
（3）在上述条件下，连接 ，请直接写出 的长．
【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解（3）
【解析】
【分析】本题主要考查网格与勾股定理，平行四边形的性质，旋转的性质，掌握以上知识，数形结合分析
是关键．
（1）根据旋转的性质作图即可；
（2）根据平行四边形的对角线相互平分作图即可；
（3）运用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：根据旋转的性质，作图如下，
小问2详解】
【
解：如图所示，取格点 ，得到四边形 是平行四边形，
∴对角线 的交点即为 中点；
【小问3详解】
解：∵ ， ， ，
∴ ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某网店销售A，B两种款式的商品，第一个月A，B两种款式的销售量为400件．第二个月卖出A款商
品的数量比第一个月多 ，卖出B款商品的数量比第一个月少 ，这两种款式的商品的总销量增加
了25件．问第一个月A，B两种款式的商品各卖了多少件？
【答案】第一个月A种款式的商品卖了300件，第一个月B种款式的商品卖了100件．
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设第一个月A种款式的商品卖了x件，第一个月B种款式的商品卖了y件，则第二个月A种款式的商品卖了 件，第二个月B种款式的商品卖了
件，再根据第一个月一共卖了400件，第二个月比第一个月多卖25件建立方程组求解即可．
【详解】解：设第一个月A种款式的商品卖了x件，第一个月B种款式的商品卖了y件，
由题意得， ，
解得 ，
答：第一个月A种款式的商品卖了300件，第一个月B种款式的商品卖了100件．
18. 数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果 表示大于1的整数，
则 ， ， 为勾股数．例如：当 时， ， ， ．
∵ ，∴数据3，4，5是勾股数．
对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明：
∵ ，
∴ ，
∴ ① ．（填“>”或“<”）
∵ ，
∴ ．
∵ = ② = ③ ， = ④ ，
∴ ，
∴ ， ， 为勾股数．
（1）请补全横线上所缺的内容．
（2）若数据8， 为勾股数，且 ，求 的值．【答案】（1） ， ， ，
（2） 或
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股数，完全平方公式，不等式的性质，一元二次方程等知识点，解题的关键是
读懂题意掌握勾股数公式的推导过程．
（1）利用不等式的性质和完全平方公式逐步进行计算即可；
（2）根据三个数的大小关系分三种情况进行讨论，然后利用勾股数公式列出方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：∵
∴
∴①处填 ；
∵
∴②处填 ，③处填 ；
∵ ，
∴④处填 ，
故答案为： ， ， ， ．
【小问2详解】
解：根据勾股数的定义可得，
当 时， ，
解得 ，
则 ；
当 时， ，
解得 ，（负值舍去）则 ；
当 时， ，
解得 ，不符合题意，该种情况不成立；
所以， 或 ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，A，B是两个海岛，海岛B在海岛A的正东方向，一艘渔船从海岛A出发，沿北偏东 的方向
航行80海里，到达点C处捕鱼，捕完之后沿南偏东 的方向驶向海岛B，求两海岛A，B之间的距离．
（结果精确到0.1海里，参考数据：
）
【答案】海岛 ， 之间的距离约为97.6海里．
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，正确作出辅助线，把航海中的实际问题转化为解直角三角形
的问题是解题的关键．过点 作 于 ，在 中， 海里，得
， ，求出 海里， 海里，在 中， ，得出
，即 ，解得 海里，根据线段的和差即可求出 ．
【详解】解：过点 作 于 ，由题意得：
在 中， 海里，
即 ， ，
海里， 海里，
在 中， ，
，即 ，
解得 海里，
（海里），
答：海岛 ， 之间的距离约为97.6海里．
20. 如图1，四边形 内接于 ， 平分 ，交 于点E，过点D作 的切线 ，
交 的延长线于点F．
（1）求证： ．
（2）如图2，若 经过圆心O，且 ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】【分析】（1）连接 ，由切线的性质可得 ，再由等边对等角
和三角形内角和定理推出 ，则可证明 ，再由圆周角定理得
到 ，则 ，根据角平分线的定义和同弧所对圆周角相等可推出
，则可证明 ；
（2）求出 ，设 ，则 ；过点E作 于G， 于
H，则 ，根据等面积法可证明 ，则 ；证明 是等腰直角三角形，
∴ ，设 ，则 ，由勾股定理得 ，
解得 或 ，可证明 ，得到 ，则 ，据此可得
；同理可证明 等腰直角三角形，则可求出 ，过点C作
是
于T，则 是等腰直角三角形，可得 ，则 ，
，证明 ，即可得到 ．【小问1详解】
证明：如图所示，连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】解：∵ 经过圆心O，即 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴可设 ，
∴ ；
如图所示，过点E作 于G， 于H，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 或 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
同理可得 ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
如图所示，过点C作 于T，则 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角
形的性质与判定，角平分线的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 某校准备从八年级学生中选拔部分学生参加市中学生辩论赛，八（1）班共有10名学生报名参加，报
名的学生需进行自我介绍、即兴演讲、回答问题三项测试，每项测试均由5位评委打分（满分100分），
取平均分作为该项的测试成绩，再将自我介绍、即兴演讲、回答问题三项的测试成绩按如下扇形统计图
（图1）的比例计算出每人的综合成绩．小涵即兴演讲和回答问题两项的测试成绩分别为84分和82分，
这10名学生的综合成绩频数分布直方图（图2）（每组含最小值，不含最大值）如下．
（1）在自我介绍测试中，五位评委给小涵打出的分数分别为83，84，79，80，89．这组数据的中位数是
________，平均数是________．
（2）在（1）的条件下，请计算小涵的综合成绩．班主任根据综合成绩择优选取5名学生推到学校里进行选拔，试分析小涵能否入选，并说明理由．
（3）若5位评委中有2位评委来自第三方机构，其余3位评委为本校老师，小涵在即兴演讲环节中，有2
位评委给了满分，求给满分的2位评委中只有1位是来自第三方机构的概率．
【答案】（1）83，83；
（2）83.1分，小涵能入选，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查求中位数，平均数，直方图和利用列表法求概率，从统计图中有效的获取信息，掌握中
位数，平均数和列表法求概率的方法，是解题的关键：
（1）根据中位数和平均数的计算公式进行计算即可；
（2）求出小涵的综合成绩，结合直方图进行判断即可；
（3）列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：将5个数据排序后，中间一位是83，
故中位数为：83；
平均数为： ；
故答案为：83；83
【小问2详解】
小涵能入选，理由如下：
小涵的综合成绩为： （分）；
由直方图可知： 分的学生人数为5人，
故小涵能入选．
【小问3详解】
用 表示本校老师，用 表示第三方机构老师，列表如下：
， ， ， ，
， ， ， ，， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
共20种等可能的结果，其中给满分的2位评委中只有1位是来自第三方机构的结果有12种结果，
∴ ．
七、（本题满分12分）
22. 已知抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）已知点 在抛物线上，设点 的横坐标为 ．
若点 在第二象限，连接 ，交 轴于点 ，求点 的坐标（用含 的式子表示）；
若点 在第四象限，求 的面积的最大值．
【答案】（1）抛物线的函数表达式 ；
（2） 点 的坐标 ； 的面积的最大值为 ．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象和性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是
解题的关键．
（ ）利用待定系数法求函数解析式即可；
（ ） 过 作 轴于点 ，证明 ，则 ，由点 在第二象限，所以
，故 ， ，代入得 ，然后求出 的值即可求解；
连接 ， ，过 作 轴于点 ，交 于点 ，求出 解析式为 ，则，然后由 ，所以
，最后由二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的函数表达式 ；
【小问2详解】
解：∵点 在抛物线上，点 的横坐标为 ，
∴ ，
如图，过 作 轴于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 在第二象限，
∴ ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标 ；
如图，连接 ， ，过 作 轴于点 ，交 于点 ，
设 解析式为 ，
把 ， 代入得，
∴ ，解得： ，
∴ 解析式为 ，
∴ ，
∵点 在第四象限，
∴ ，∴ ，
∴ ，
当 时， 的面积有最大值，为 ．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，在四边形 中， ，E是 上的一点，连接 ，且 ，
，点F在 的延长线上，且 ，连接 ．
（1）求证： ．
（2）如图2，连接 ，交 于点G．
①求证： ．
②若 ，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，平行四边形的性质与判定，全等三角形
的性质与判定等等，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键。
（ 1 ） 由 等 边 对 等 角 结 合 已 知 条 件 可 证 明 ， 则 可 证 明，由平行线的性质得到 ，再证明 ，进而可证明四边形
是平行四边形，则 ；证明 ，得到 ，则 ；
（2）①证明 ，即可得到 ；②证明 ，得到 ，
进而推出 ，则可得到 ，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ；
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，∴ ；
【小问2详解】
解：①由（1）可得 ，
∴ ，
∴ ；
②∵ ，
，
，
∴ ，
，
，
，即 ，
两边除以 得： ，
解得： ，或 （舍去），
∴ ．
