文档内容
2025 年九年级冲刺卷
数学
注意事项：
1．满分150分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题都给出A，B，C，D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1. 下列四个数中，最小的数是（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了有理数 的大小比较．根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，
绝对值大的反而小比较即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故选：C．
2. 据文化和旅游部消息，2024年国内游客出游总花费 万亿元，其中城镇居民出游花费 万亿元，
同比增长 ；农村居民出游花费 万亿元，同比增长 ．将数据“ 万亿”用科学记数法表
示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了用科学记数法的表示较大的数，解题的关键是熟练掌握科学记数法．
利用科学记数法的表示方法进行表示即可，利用小数点移动的位数确定 的值．【详解】解： 万亿 ，
故选：B．
3. 如图，这是用5个相同的小正方体搭成的立体图形，其三视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看所得到的图形，主视图是从正面看所得
到的图形，左视图是从左面看所得到的图形，熟练掌握知识点是解题的关键．根据三视图的概念，再根据
小正方体的个数和排列进行作答即可．
【详解】解：这个立体图形的三视图为：
故选：A．
4. 下列计算错误的是（ ）
A. B.C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、立方根的定义、同底数幂的除法及幂的乘方的逆
运算分别计算即可判断求解，掌握以上运算法则是解题的关键．
【详解】解： 、 ，该选项正确，不合题意；
、 ，该选项正确，不合题意；
、 ，该选项错误，符合题意；
、 ，该选项正确，不合题意；
故选： ．
5. 已知 为任意实数，在实数范围内一定有意义的二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，及分母不为0，熟练掌握二次根式有意义时被开方数大于或
等于零、分式有意义时，分母不等于零是解答本题的关键．
【详解】解：A.当 时， 没有意义，不符合题意；
B.当 ，即 时， 有意义，即当 时， 无意义，不符合题意；
C.当 ，即 时， 有意义，即当 时， 无意义，不符合题意；
D.当 ，即 取全体实数时， 有意义，符合题意．
故选D．
6. 衣橱中挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同．若从衣橱中各任取一件上衣和
一条裤子，它们取自同一套的概率是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，概率公式等知识点，解题的关键是掌握树状图的画法．
画树状图，共有9种等可能结果，其中它们取自同一套的有3种可能，再由概率公式求解即可．
【详解】解：令3件上衣分别为 ，对应的裤子分别为 ，画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中取自同一套的有3种可能，
∴它们取自同一套 的概率为 ，
故选：A．
7. 在平行四边形 中， 为对角线，下列条件中，不能推出 平分 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，掌握理解知识点是解题的关键．根据菱形的判
定方法进行判断即可．
【详解】解：A. ，根据邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定平行四边形是菱形，能推出
平分 ，不符合题意；
B. ，根据邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定平行四边形是菱形，能推出 平分 ，
不符合题意；
C. ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定平行四边形是菱形，能推出 平分，不符合题意；
D. ，平行四边形的对角线相等，无法判断平行四边形是菱形，故无法推出 平分 ，符
合题意．
故选D．
8. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象经过等边 一边 的中点 ．若等
边 的面积为16，则 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】过点A作 轴，垂足为C，点M作 轴，垂足为D，根据k的几何意义，确定
，证明 ，得到 ，根据 的面积是16，计算
，，根据图象的分布确定k值即可；
【详解】解：过点A作 轴，垂足为C，点M作 轴，垂足为D，连接，
∵反比例函数 图象经过点M，
的∴ ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵等边 的面积为16，
∴ ，
∴ ，
∴ ，得
故选：C.
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，熟
练掌握反比例函数k的几何意义，灵活运用相似三角形的判定和性质定理，平行线分线段成比例定理是解
题的关键．
9. 已知抛物线 （ ， ， 为常数，且 的顶点坐标为 ，则一次函数
与反比例函数 的图象在同一平面直角坐标系中可能是（ ）
A. B.C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了抛物线的解析式及图象的性质，反比例函数和一次函数图象的性质，解题的关键
是根据图象确定系数的取值范围．
由抛物线的顶点坐标为 ，可知 同号， ，得到反比例函数的解析式为 ，然
后逐项进行判断即可．
【详解】解：由抛物线的顶点坐标为 ，可知 同号，当 时，代入 得，
，
所以，反比例函数的解析式为 ，
所以，双曲线位于第三、第四象限，故选项B，D不符合题意；
A.该选项 ， 同号，符合题意；
D. ， 异号，故不符合题意．
故选：A．
10. 如图，在 中，设 ， ， ，且 ， 平分 ， ，
交 的延长线于点 ， 平分 ， ，连接 并延长，交 于点 ，则下列结论
错误的是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题
的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
利用角平分线的性质，三角形中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质逐项进行判断即可．
【详解】解：A、 ∵ 平分 ，
∵ ，
，
又∵ ，
,
，
∴ ，
∴该选项正确，不符合题意；
B、如图，延长 ，交 的延长线于点
同理选项A可得， ，，
由选项A可得， ,
∴点 分别是线段 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴该选项正确，不符合题意；
C、可通过特殊图形进行验证，当 时， ，
是 的中位线，
∴
∴该选项错误，符合题意；
D、由以上选项可知， 是 的中位线， ， ，
，
∴该选项正确，不符合题意；
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 不等式 的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求不等式的解集，移项，合并，系数化1，进行求解即可．
【详解】解：
，，
∴ ；
故答案为： ．
12. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次方程根与判别式的关系，解题的关键是列出方程求解即可．根据方程有两个相
等的实数根时列出方程，解之可得答案．
【详解】解：由 得 ，
∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，且 ，
解得 ．
故答案为 ．
13. 如图，平行四边形 的顶点 是坐标原点，点 在 轴上， ， 均在第一象限，且反比例函数
的图象经过点 ，反比例函数 的图象经过点 ．若平行四边形 的面积等于 ，则
的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数 的几何意义，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据题意得 ，设 （ ），则 ，得到 ，求出
，即可得到答案．
【详解】解： 平行四边形 ，
，
反比例函数 的图象经过点 ，反比例函数 的图象经过点 ，
设 （ ），则 ，
，
平行四边形 的面积等于 ，
，
，
，
故答案为： ．
14. 如图，有 3 个完全相同的 ， ， ，其中 ，
．将 与 的边 重合，且点 落在边 上， 经过点
， 交 于点 ，交 于点 ．
（1）若 ，则 ______．（用含 的式子表示）
（2）若 ，则线段 的长的最小值为______。【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了含有 角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，
垂线段最短以及线段最值问题，解题的关键是掌握直角三角形的性质．
（1）利用角的和差以及三角形内角和定理即可求解；
（2）过点 作 于点 ，证明 ，利用垂线段最短确定点 的位置，然后利用
勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）由图可知， ，
，
∴ ；
（2）如图，过点 作 于点 ，
，
∴ ，∴ ，
∴ ．
∵ 为定值，
∴当 最小时， 的长最小， 的最小值为 的长，
∵ ， ，
∴ ， ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
由勾股定理得 ，
∴线段 长的最小值为 ，
的
故答案为： ， ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算，利用负整数指数幂、绝对值、乘方进行计算即可．
【详解】解：．
16. 如图，在每个小正方形的边长都为1个单位长度的网格中， 的顶点均在格点（网格线的交点）
上．
（1）将 先向下平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到 ，画出 （点
， ， 的对应点分别为点 ， ， ）．
（2）以（1）中的点 为旋转中心，将线段 顺时针旋转 ，得到线段 ，请画出线段 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平移变换和旋转变换作图，熟练掌握旋转和平移的性质是解决问题的关键．
（1）根据平移的性质可将点 ， ， 向下平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度，再把平移后得
到的点 ， ， 连接，即可得出结果；
（2）根据旋转的性质将点 ， 分别绕点 顺时针旋转 ，把旋转后所得到的点 连接，即可得
到所求线段．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求；小问2详解】
【
解：如图，线段 即为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某超市本周开展促销活动，将某种农产品降价 出售，李叔叔本周用120元购买这种农产品，比上
周用相同的钱购买这种农产品多买了6千克，设上周这种农产品的单价为 元．
（1）根据上面提供的信息，请完成下列表格．
时间 单价（元/千克） 购买农产品的数量/千克
上周
本周
（2）与上周相比，这种农产品每千克便宜了多少元？
【答案】（1）见解析 （2）每千克便宜了1元
【解析】
【分析】（1）由本周与上周该农产品单价间的关系可得出本周这种农产品的单价为 元//千克，
利用数量=总价÷单价，可得出上周和本周购买这种农产品的数量；
（2）由(1)的结论结合本周比上周多买了6千克，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的
值，即可求出结论．
【小问1详解】
解：补充表格如下．时间 单价（元/千克） 购买农产品的数量/千克
上周
本周
【小问2详解】由题意，得 ，
解得 ．
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，
∴ ， （元），
∴与上周相比，这种农产品每千克便宜了1元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数
量及找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18. 【观察思考】
如图，学校的围墙由三种图案围成，一种是正方形，另外两种是大小不等的等腰直角三角形．将围墙的图
案放在平面直角坐标系中，已知正方形图案的边长与小等腰直角三角形图案的直角边长都为 ，设大等
腰直角三角形图案在 轴上的直角顶点分别为 ， ， ，…， ．
【规律发现】
（1）填空：点 的横坐标为______，点 的横坐标为______．
（2）直接写出点 的横坐标（用含 的式子表示）．
【规律应用】
（3）已知学校的围墙总共有201个正方形图案（最右边以正方形结束），结合图案中的排列方式及上述规
律（不考虑其他因素），求围墙的总长．【答案】（1）11；16（2） （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了关于图形的规律问题，点的坐标，代数式的表示，图形的周期性等，解题的关键
是找到图形排列的规律．
（1）先根据条件求出 ，再确定两个在 轴上的大等腰直角三角形顶点间的长度，即可求解；
（2）利用规律推出公式即可；
（3）按照图形规律，求出两个正方形之间的长度，根据周期性即可求出答案．
【详解】解：（1）根据题意可知，正方形图案的边长与小等腰直角三角形图案的直角边长都为 ，
, , , ,
∴点 的横坐标为11，点 的横坐标为16，
故答案为：11，16；
（2）点 的横坐标为 ；
（3）按照图形规律，可得第1个正方形出现的围墙长度为3m，后面则每5m长的围墙为1组，不断循环，
每组只有1个正方形图案，
∴
故围墙的总长为1003m．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，一束光沿 方向，先后经过平面镜 ， 反射后，沿 方向射出， ， ．
（1）求 的度数．
（2）若 ，求 ， 两点间的距离．（结果精确到0.1m，参考数据： ，
， ， ， ， ）【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
（1）先求出 ， ，然后根据三角形内角和定理求解；
（2）在 中，由 ， 求出 ， ．在
中，由 求出 ，然后根据 即可求解．
【小问1详解】
∵入射角等于反射角，
∴ ， ，
∴ ．
【小问2详解】
如图，过点 作 于点 ．
在 中， ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ， ．
在 中， ，∴ ，
∴ ，
故 ， 两点间的距离约为 ．
20. 如图， 的两条弦 ， 互相平行，点 在 的延长线上，连接 ，且 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形．
（2）若 平分 ， 平分 ， ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）9
【解析】
【分析】（1）利用圆周角定理，平行线性质，等腰三角形性质证明 ，再结合平行四边形判定
定理，即可证明四边形 是平行四边形；
（2）连接 ， ，利用角平分线性质和等腰三角形性质得到 ，证明 ，
结合相似三角形性质推出 ，再利用题干所给数据求解，即可解题．
【小问1详解】
解：证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
【小问2详解】
解：如图，连接 ， ．
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，即 平分 ．
∵ 平分 ，
∴ 平分 （三角形三条角平分线相交于同一点）．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线性质和判定，等腰三角形性质，平行四边形判定定理，角平分线
性质，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关性质．
六、（本题满分12分）
21. 为了解某校九年级学生每天的睡眠时间（单位：小时），学校随机调查了该校九年级部分学生每天的
睡眠时间作为样本，根据样本数据的统计结果，绘制出了如下的统计图1和图2．
解答下列问题．
（1）图1中 的值为______，图2中 的值为______．
（2）随机调查的样本数据的众数和中位数分别为______和______．
（3）若该校九年级共有学生600人，根据样本数据，估计该校九年级学生每天的睡眠时间不少于9小时的
人数．
【答案】（1）15；34
（2） ；
（3）276人
【解析】
【分析】本题考查条形图，扇形图，众数，中位数和用样本估计总体．
（1）根据6小时的人数和所占的百分比，可以计算出本次共调查的学生人数，然后即可计算出 和 的
值；（2）根据众数和中位数的定义求解即可；
（3）用600乘以每天的睡眠时间不少于9小时的人数占的百分比即可．
【小问1详解】
解：本次接受调查的学生人数为： （人），
∴ ，
，
∴ ，
故答案为：15；34；
【小问2详解】
解：由条形图可知，随机调查的样本数据的众数是8，中位数为 ；
故答案为：8，8；
【小问3详解】
解： （人），
即估计该校九年级学生每天的睡眠时间不少于9小时的人数为276人．
七、（本题满分12分）
22. 在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的右侧），顶点为
．
（1）若顶点 的坐标为 ．
①求 ， 的值．
②点 在线段 上， 轴于点 ，求 的面积的最大值．
（2）若点 的坐标为 ，设点 到 轴的距离为 ，当 时，求 的值．
【答案】（1）① ， ；②4
（2）4
【解析】【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）①根据顶点坐标可得对称轴，利用对称轴计算公式可得 b的值，再利用待定系数法求出c的值即可；
②先求出 A、B 的坐标，再求出直线 的解析式，设出点 P 的坐标，得到点 D 的坐标，进而得到
的长，再根据三角形面积计算公式表示出 的面积，进而利用二次函数的性质求解即可；
（2）把解析式化为顶点式得到对称轴和顶点纵坐标，进而得到 ，再求出 ，据
此建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：①∵顶点 的坐标为 ，
∴对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 中得： ，
∴ ；
②②由（1）①，可得抛物线解析式为 ，
令 ，即 ，解得 ， ，
∴点 ， ．
设直线 的函数表达式为 ，
∴ 解得
∴直线 的函数表达式为 ．设点 ，
∵ 轴于点 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
∵点 在线段 上，
∴ ，
∴当 时， 的面积有最大值，最大值为4；
【小问2详解】
解：∵抛物线 与 轴交于点 ，
∴ ，即 ，
∴抛物线解析式为 ，
∴顶点C的纵坐标为 ，对称轴为直线 ，
∵函数开口向下，点 到 轴的距离为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 或 ，当 时，点 与点 重合，不符合题意，舍去，
当 时， 的值为4．
八、（本题满分14分）
23. 如图 1，在 中， ， ， 平分 ，交 于点 ， 平分
，交 于点 ．
（1）求证： ．
（2）求 的值．
（3）如图2，在边 上截取 ，作 ， ，连接 ，交 于点 ．求证：
．
【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析
【解析】
【分析】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形及相似三角形的判定和性质，理解题意，综
合运用这些知识点，作出相应辅助线是解题关键．
（1）根据等腰三角形的性质得出 ，再由角平分线确定 ， ．
利用三角形外角的定义得出 ，再由等角对等边即可证明；
（2）过点 作 ，交 的延长线于点 ，根据等腰直角三角形的性质得出 ，再由相似三角形的判定和性质得出 ， ，即可求解；
（3）过点 作 ，交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ．根据全等三角形的判定
得出 ， ，结合图形及其性质得出 ，最后利
用相似三角形的判定和性质即可求解．
【小问1详解】
证明：∵ ， ，
∴ ．
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
如图1，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．
∵ ，∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【小问3详解】
证明：如图2，过点 作 ，交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
