文档内容
2025 年九年级冲刺卷
数学
注意事项：
1．满分150分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题都给出A，B，C，D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1. 下列四个数中，最小的数是（ ）
A. 0 B. C. D.
2. 据文化和旅游部消息，2024年国内游客出游总花费 万亿元，其中城镇居民出游花费 万亿元，
同比增长 ；农村居民出游花费 万亿元，同比增长 ．将数据“ 万亿”用科学记数法表
示为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，这是用5个相同的小正方体搭成的立体图形，其三视图是（ ）
A. B.
C. D.4. 下列计算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知 为任意实数，在实数范围内一定有意义的二次根式是（ ）
A. B. C. D.
6. 衣橱中挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同．若从衣橱中各任取一件上衣和
一条裤子，它们取自同一套的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 在平行四边形 中， 为对角线，下列条件中，不能推出 平分 的是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象经过等边 一边 的中点 ．若等
边 的面积为16，则 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
9. 已知抛物线 （ ， ， 为常数，且 的顶点坐标为 ，则一次函数
与反比例函数 的图象在同一平面直角坐标系中可能是（ ）A. B.
C. D.
10. 如图，在 中，设 ， ， ，且 ， 平分 ， ，
交 的延长线于点 ， 平分 ， ，连接 并延长，交 于点 ，则下列结论
错误的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 不等式 的解集为______．
12. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为______．
13. 如图，平行四边形 的顶点 是坐标原点，点 在 轴上， ， 均在第一象限，且反比例函数
的图象经过点 ，反比例函数 的图象经过点 ．若平行四边形 的面积等于 ，则
的值为______．14. 如图，有 3 个完全相同的 ， ， ，其中 ，
．将 与 的边 重合，且点 落在边 上， 经过点
， 交 于点 ，交 于点 ．
（1）若 ，则 ______．（用含 的式子表示）
（2）若 ，则线段 的长的最小值为______。
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
的
16. 如图，在每个小正方形 边长都为1个单位长度的网格中， 的顶点均在格点（网格线的交
点）上．
（1）将 先向下平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到 ，画出 （点， ， 的对应点分别为点 ， ， ）．
（2）以（1）中的点 为旋转中心，将线段 顺时针旋转 ，得到线段 ，请画出线段 ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某超市本周开展促销活动，将某种农产品降价 出售，李叔叔本周用120元购买这种农产品，比上
周用相同的钱购买这种农产品多买了6千克，设上周这种农产品的单价为 元．
（1）根据上面提供的信息，请完成下列表格．
时间 单价（元/千克） 购买农产品的数量/千克
上周
本周
（2）与上周相比，这种农产品每千克便宜了多少元？
18. 【观察思考】
如图，学校的围墙由三种图案围成，一种是正方形，另外两种是大小不等的等腰直角三角形．将围墙的图
案放在平面直角坐标系中，已知正方形图案的边长与小等腰直角三角形图案的直角边长都为 ，设大等
腰直角三角形图案在 轴上的直角顶点分别为 ， ， ，…， ．
【规律发现】
（1）填空：点 的横坐标为______，点 的横坐标为______．
（2）直接写出点 的横坐标（用含 的式子表示）．
【规律应用】
的
（3）已知学校 围墙总共有201个正方形图案（最右边以正方形结束），结合图案中的排列方式及上
述规律（不考虑其他因素），求围墙的总长．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，一束光沿 方向，先后经过平面镜 ， 反射后，沿 方向射出， ， ．（1）求 的度数．
（2）若 ，求 ， 两点间的距离．（结果精确到0.1m，参考数据： ，
， ， ， ， ）
20. 如图， 的两条弦 ， 互相平行，点 在 的延长线上，连接 ，且 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形．
（2）若 平分 ， 平分 ， ， ，求 的长．
六、（本题满分12分）
21. 为了解某校九年级学生每天的睡眠时间（单位：小时），学校随机调查了该校九年级部分学生每天的
睡眠时间作为样本，根据样本数据的统计结果，绘制出了如下的统计图1和图2．
解答下列问题．
（1）图1中 的值为______，图2中 的值为______．
的
（2）随机调查 样本数据的众数和中位数分别为______和______．（3）若该校九年级共有学生600人，根据样本数据，估计该校九年级学生每天的睡眠时间不少于9小时的
人数．
七、（本题满分12分）
22. 在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的右侧），顶点为
．
（1）若顶点 的坐标为 ．
①求 ， 的值．
的
②点 在线段 上， 轴于点 ，求 面积的最大值．
（2）若点 的坐标为 ，设点 到 轴的距离为 ，当 时，求 的值．
八、（本题满分14分）
23. 如图 1，在 中， ， ， 平分 ，交 于点 ， 平分
，交 于点 ．
（1）求证： ．
（2）求 的值．
（3）如图2，在边 上截取 ，作 ， ，连接 ，交 于点 ．求证：
．
