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2025 年安徽省宿州九中中考数学一模试卷
一、选择题：本题共 10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1. 用两块完全相同的长方体搭成如图所示的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据主视图的定义，找到从正面看所得到的图形即可.
【详解】从物体正面看，左边1列、右边1列上下各一个正方形，且左右正方形中间是虚线，
故选C.
2. 如图，是由边长为 个单位长度的小正方形组成的 的网格，其中有一“心形”图案．数学小组为
了探究“心形”图案的面积，进行了计算机模拟试验，得到如下数据：
试验总次数
落在“心形线”内部的次数
落在“心形线”内部的频率
根据表中的数据，估计“心形”图案的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生
的概率，然后求出面积即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在 附近，
∴估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为 ，
∴估计“心形”图案的面积为 ，
故选： ．
3. 已知反比例函数 ，则下列结论不正确的是（ ）
A. 反比例函数的图象分别位于第二、四象限
B. 图象关于原点 成中心对称
C. 若 、 为函数图象上两点，且 则
D. 图象关于直线 成轴对称
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可，掌握反比
例函数的性质是解题的关键．
【详解】解： 、∵反比例函数 ，
∴反比例函数的图象分别位于第二、四象限，原选项正确，不符合题意；
、图象关于原点 成中心对称，原选项正确，不符合题意；
、若 、 为函数图象上两点，当 ，则 ，当 ，则
；当 ，则 ，原选项不正确，符合题意；
、图象关于直线 成轴对称，原选项正确，不符合题意；
故选： ．
4. 如图，格点 的顶点放置在 正方形网格的格点上，则 的值为（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理以及求一个角的正切值的知识，利用网格构造直角
三角形是解题的关键．
根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求 ， ， 的长，再根据三角函数的意义可得 的
值．
【详解】解：如图，连接 ，
由网格可知 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
5. 如图， 是 的直径，C，D是 上的两点，若 ，则 的度数是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图所示，连接 ，由圆周角定理得到 ，由平角的定义可得
，则由圆周角定理可得 ．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ 是 的直径， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟知同圆或等圆中，同弧所对的
圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键．
6. 关于x的一元二次方程x2﹣ x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（ ）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
【答案】B【解析】
【分析】根据判别式的意义得到Δ= ，从而可求出α的正弦值，然后根据特殊角的三
角函数值确定α的度数．
的
【详解】解：∵关于x 一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴△= ，
解得：sinα= ，
∵α为锐角，
∴α=30°．
故选B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0
时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也
考查了特殊角的三角函数值．
7. 如图，在平行四边形 中，点 E 在边 上， ，连接 交 于点 F，则
的面积与 的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相
似比的平方．
可证明 ，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解∽】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
故选：D．
8. 如图，在菱形 中， ， ，点 从 点出发，沿 运动，过点
作直线 的垂线，垂足为点 ，设点 运动的路程为 ， 的面积为 ，则下列图象能正确反映
与 之间的函数关系的是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了函数的图象，菱形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，掌握知识点的应用和
分类讨论的数学思想是解题的关键．根据点 的运动位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用锐角三角函数求出 和 ，即可求出 与
的函数关系式，即可判断出各种情况下的图象．
【详解】解：∵四边形 是菱形， ， ，
∴ ， ，
∴当点 到点 时， ；当 到点 时， ；当 到点 时， ，
在
当点 上，即 时，如下图所示
此时 ，
∴ ， ，
∴ ，此时图象为开口上的抛物线的一部分；
当点 在 上，即 时，如下图所示，过点 作 于 ，
此时 ， ，
∴四边形 为矩形，
在 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，此时图象为逐渐上升的一条线段；
当点 在 上，即 时，如下图所示，
此时 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，此时图象为开口上的抛物线的一部分；
综上：符合题意的图象为 ，
故选： ．
9. 二次函数 的图象如图所示，则下列结论中： ； ；
当 时， ； 对于任意实数m，则有 ，正确的个数是（ ）A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 与 的关系，以及
二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用，由抛物线的开口方向判断 与 的关系，由抛物线
与 轴的交点判断 与 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进
行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
【详解】解： ∵抛物线开口方向向上，
∴ ，
∵抛物线对称轴位于 轴右侧，
∴ 、 异号，即 ，
∵抛物线与 轴交于负半轴，
∴ ，
∴ ，故 正确；
∵抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，即 ，故 正确；
由 得抛物线对称轴为直线 ，根据图象可知：抛物线与 轴的一个交点为 ，
∴抛物线与 轴的一个交点为 ，
∴当 时， ，故 正确；
∵抛物线对称轴为直线 ，
∴函数的最小值为 ，
∴当 为任意实数时，有 ，故 正确；
综上所述，正确的有 ，共 个，
故选： ．
10. 如图，矩形 中， ， ， 为 的中点， 为 上一动点， 为 中点，
连接 ，则 的最小值是（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段PP ，再根据垂线段最短可得当BP⊥PP 时，PB取
1 2 1 2
得最小值;由矩形的性质以及已知的数据即可知BP⊥PP ，故BP的最小值为BP 的长，由勾股定理求解即
1 1 2 1
可.
【详解】解：点P为DF的中点，
当F运动过程中，点P的运动轨迹是线段PP
1 2
因此可得当C点和F点重合时，BP⊥PP 时使PB最小为BP.
1 1 2 1
当C和F重合时，P 点是CD的中点
1故选D.
【点睛】本题主要考查矩形中的动点问题，关键在于问题的转化，要使PB最小，就必须使得DF最长.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
11. 若 ，则 =______
【答案】 ．
【解析】
【分析】利用 适当变形后即可求得 ．
【详解】解： ，
即 ，
即 ，
即 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查比例的性质．能对原式进行正确变形是解题关键．
12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 在坐标原点，边 在 轴的负半轴上，
，顶点 的坐标为 ．反比例数 的图象与菱形对角线 交于点 ，连结 ，当 轴时， 的值是_________
【答案】
【解析】
【分析】首先过点C作CE⊥x轴于点E，由∠BOC=60 ，顶点C的坐标为 ，可求得OC的长，进而
°
根据菱形的性质，可求得OB的长，且∠BOD=30 ，继而求得DB的长，则可求得点D的坐标，代入反比
°
例函数 即可求得答案．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵点 的坐标为 ，
∴ ，
在 中， ，则 ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ 轴，
∴ ，则 为直角三角形，
则 ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
∵点 在反比例数 的图象上，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了菱形的性质以及反比例函数与几何综合．注意准确作出辅助线，求出OC是解本题的
关键．
13. 如图， 是 的直径， 垂直于弦 于点 ， 的延长线交 于点 ．若 ，
，则 的长是_______．【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等等，由垂径定理得到
，设 ，则 ，在 中，由勾股定理得
，解得 ，由 是 的直径得到 ， ，则
．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∵ 是 的直径，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：2．14. 已知 与 是抛物线 上的两点，且 ．
（1）若 ，则 与 的大小关系是 _____________ ；
（2）当 与 恰好是直线 与抛物线两个交点时，若 ，则a的取值范
围是_____________．
【答案】 ①. ②. 且
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与x轴的交点问题：
（1）先求出抛物线对称轴为直线 ，再由 得到点A离对称轴的距离小于点B离对称轴
的距离，结合抛物线开口向下，可得离对称轴越远函数值越小，据此可得答案；
（2）联立两函数解析式可得 ，进而可得不等式 ，解之即可得到答案．
【详解】解：（1）∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∵ ，
∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离，
∵ ，
∴抛物线开口向下，
∴离对称轴越远函数值越小，
∴ ，
故答案为： ；
（2）联立 得 ，
解得 或 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ 且 ，
故答案为： 且 ．
三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 计算： ．
【答案】 ．
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，特殊三角函数值，绝对值等知识，熟练掌握相关知识的运
算法则是解题的关键．
根据零指数幂，负整数指数幂，特殊三角函数值计算化简，然后合并即可．
【详解】解：
．
16. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ， ， ．（1）画出 关于 轴对称的图形 ；
（2）以 点为位似中心，在原点 的异侧画出与 位似，且位似比为 的位似图形 ，并
写出点 的坐标；
（3）若点 为 边上的一点，写出经过第（ ），（ ）两题的变换后对应点 的坐标．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析， ；
（3） ．
【解析】
【分析】本题考查了作图——位似变换、作图——轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质、位似的性质是解
题的关键．
（ ）根据轴对称的性质作图即可；
（ ）根据位似的性质作图，即可得出答案；
（ ）结合轴对称的性质、位似的性质可得答案．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求；【小问2详解】
解：如图， 即 为所求， ；
【小问3详解】
解：经过（ ）题变换后点 的对应点 的坐标为 ，经过（ ）题变换后 的对应点
坐标为 ．
17. 如图，在 中，延长 至点 ，使 ，连接 ， ， ．若 平分 ，
求证：四边形 为菱形．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握知识点的应用是解
题的关键．
由四边形 是平行四边形，则 ， ，则 ，然后根据平行四边形
的判定方法证明四边形 是平行四边形，又 平分 ，则有 ，所以，最后由菱形的判定方法即可求证．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为菱形．
18. 如图为某地下停车库的出入口坡道示意图，其中 ， ， ．为张贴限高
标志以确保车辆安全驶入，请你根据该图提供的数据计算 ．（参考数据： ，
， ，答案精确到 ）
【答案】 的长为 ．
【解析】
【分析】根据AB∥MN，求出∠ADB的度数，求出BD的长，得到CD的长，根据CE⊥AM，求出∠DCE
的度数，根据余弦求出答案．
【详解】∵ ， ，∴ ， ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ 的长为 ．
【点睛】考查了解直角三角形的应用，理解锐角三角函数的概念是解题的关键.
19. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力
驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至 处，水沿射线 方向泻至水渠 ，水渠 所在直线与
水面 平行；设筒车为 ， 与直线 交于 ， 两点，与直线 交于 ， 两点，恰有
，连接 ， ．求证：
（1） ；
（2） 为 的切线．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关
键．
（ ）根据相似三角形的判定方法证明 ，再由相似三角形的性质即可求证；
（ ）连接 ，延长 交 于点 ，连接 ，则 ，再结合圆周角定理得
，所以 ，然后通过切线的判定方法即可求证．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
证明：如图，连接 ，延长 交 于点 ，连接 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，∵ 为 的半径，
∴ 为 的切线．
20. 年春节联欢晚会吉祥物“已升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的
“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红．
（1）据统计某“已升升”电商平台 年 月份的销售量是 万件， 年 月份的销售量是 万
件，若月平均增长率相同，求月平均增长率；
（2）某实体店“已升升”的进价为每件 元，若售价定为每件 元，则每天能销售 件．经市场调
查发现，售价每降价 元，每天可多售出 件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，
若使每天销售后获利 元，则售价应降低多少元？
【答案】（1）月平均增长率为 ；
（2）售价应降低 元．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（ ）设月平均增长率为 ，由题意列出方程 ，然后解方程并检验即可；
（ ）设售价应降低 元，由题意列出方程 ，然后解方程并检验即可．
【小问1详解】
解：设月平均增长率为 ，
由题意得， ，
解得： ， （不合题意，舍去），
答：月平均增长率为 ；
【小问2详解】
解：设售价应降低 元，
由题意得， ，整理得： ，
解得： ， ，
∵尽量减少库存，
∴ ，
答：售价应降低 元．
21. 为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排球；
D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有100名男同学选择了A项目，
为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成
绩 （个/分钟）绘制成频数分布直方图．
（1）若抽取的同学的测试成绩落在 这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该
组数据的中位数是______，众数是______；
（2）根据题中信息，估计选择B项目的男生共有______人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为
______度；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算
出甲和乙同学同时被选中的概率．
【答案】（1）162；162
（2）175；108 （3）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、频数（率 分布直方图、扇形统计图、中位数、众数，能够读懂统
计图，掌握列表法与树状图法、中位数和众数的定义是解答本题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义可得答案．（2）先用选择 项目的男生人数除以扇形统计图中 的百分比可得全校的男生人数，再用全校的男生人
数乘以扇形统计图中 的百分比可得选择 项目的男生人数；用 乘以扇形统计图中 得百分比即可．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答
案．
【小问1详解】
将这组数据按照从小到大的顺序排列，排在第3和第4的为162和162，
该组数据的中位数是 ．
该组数据中出现次数最多的为162，
该组数据的众数为162．
故答案为：162；162．
【小问2详解】
全校的男生人数为 （人 ，
选择 项目的男生共有 （人 ．
扇形统计图中 项目所占圆的圆心角为 ．
故答案为：175；108．
【小问3详解】
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
甲和乙同学同时被选中的概率为 ．
22. 如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数 的图像相交于C、D两点，点D的横坐标为3． 轴，垂足为 E ．
（1）写出点A、B、D的坐标，并求反比例函数 的解析式：
（2）M是反比例函数 图像上的一个动点且在点D右侧，过点M作 轴，垂足为F、
是否存在这样的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与 相似？如果存在，请求出所有满足条
件的点M坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1） ， ， ，反比例函数的解析式为 ；
（2） 或
【解析】
【分析】（1）由一次函数 的 ， ， ，分别求解对应的 ， ，从而可得点A、
B、D的坐标，再代入D的坐标可得反比例函数解析式；
（2）如图， 于 ，证明 ，由 在 的右侧，分两种情况：当
时，设 ，当 时，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可．
【小问1详解】解： 一次函数 ，
当 ，则 ，当 ，则 ，
∴ ， ，
当 时， ，
∴ ，
在反比例函数 上，
，
，
反比例函数的解析式为 ；
【小问2详解】
解：如图， 于 ，
∴ ，
∵点M、E、F为顶点的三角形与 相似， 在 的右侧，
当 时，
∴ ，设 ，
∴ ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
∴ ，
当 时，
∴ ，
∴ ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
∴ ，
∴ ．
综上： 或 ．
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，一次函数与坐标轴的交点坐标，相似三角形的
性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键．
23. 如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A与点B，抛物线 经过点A、B，在
线段 上有一动点 ，点D不与点O，A重合，过点D作x轴的垂线分别交直线 于点C，交抛物线于点
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当点C是 的中点时，求m的值；
（3）过点E作 ，垂足为点F，当点E坐标为多少时，线段 的长最大，最大值为多少？
【答案】（1） ；
（2） ；
（3）当点E的坐标为 时，线段 的长最大，最大值为 ；
【解析】
【分析】（ ）先由 求出 ， ，然后代入 求出 的值即可；
（ ）先求出 ， ，根据中点坐标可得 ，则
有 ，然后求出 的值即可；
（ ）先证明 ，则 ，再求出 ，
， ，再由勾股定理得出
，再代入 ，得到，然后通过二次函数的性质即可求出最大值及 点坐标．
【小问1详解】
解：由 得，当 时， ，当 时， ，
∴ ， ，
∵抛物线 经过点 ，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的函数表达式为 ；
【小问2详解】
解：∵ ，
当 时， ， ，
∴ ， ，
∵点 是 的中点时，
∴ ，
∴ ，整理得： ，
解得： ， ，
∵点 不与点 ， 重合，
∴ ；
【小问3详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由（ ）知 ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值 ，
此时 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形解决问题，学会利用参数表示线段的长解决问题，属于中考压轴题．
