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2025 年安徽省池州市中考三模数学试题
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分．考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的倒数是（ ）
A. 2025 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了倒数的定义，解题关键是根据倒数的意义找出乘积互为1的两个数．
根据乘积互为1的两个数互为倒数．
【详解】解：∵
∴ 的倒数是 ，
故选：C
2. 电影《哪吒2》凭借精彩剧情和精良制作收获高票房．截至2025年3月6日《哪吒2》票房达143亿元，
其中143亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了
多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解： 亿 ，
故选：B．3. 如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，则它的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查简单几何体的三视图，掌握俯视图是从上往下看到的图形是解题的关键．根据俯视图的
定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图），即可得出答案．
【详解】解：根据主视图可以发现，俯视图的形状应该是一个长方形中含有一个圆形，即：
故选：C．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，涉及的知识点有：合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法，
熟知同底数幂的除法及合并同类项的法则是解答此题的关键．
【详解】解：A． ，该选项错误；
B． 和 不是同类项，不能合并，该选项错误；
C． ，该选项正确；D． ，该选项错误；
故选：C．
5. 如图， 中， 为圆 的弦， ， 分别交圆 于D，E两点， ，
连接 ．则 的度数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
连接 ，根据等腰三角形的性质得 ，最后由圆周角定理即可求解；
【详解】解：如图，连接 ，
，
，
，
∴ ，
故选：A．
6. 在一不透明的袋中装有标记数字1，2，3，4的小球各一个，随机一次取出2个小球，则取出2个小球
上的数字之差的绝对值等于2的概率是（ ）.
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．直接根据题意画出树状图，再利用概率公式求出答
案．
【详解】解：列表如下：
1 2 3 4
1 1 2 3
2 1 1 2
3 2 1 1
4 3 2 1
一共有12种等可能出现的结果，取出2个小球上的数字之差的绝对值等于2的情况有4种，
故取出2个小球上的数字之差的绝对值等于2的概率为 ，
故选：C．
7. 如图，在 中 平分 交 于 点， ，则 的长度为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质、勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理和合理使用等面积法和角平分
线的性质是解题的关键．过 作 交于点 ，由角平分线的性质得 ，进一步利用得出 ，即可结合勾股定理得出答案．
【详解】解：过 作 交于点 ，
平分 ， ， ，
，
，
，
，
，
中，由勾股定理可得：
，
．
故选：C．
8. 已知实数 满足 ，则以下判断正确的是（ ）
A.
B.C. 的取值范围是
D. 的取值范围是
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查不等式的性质．根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，选项A错误，不符合题意；
同理： ，即 ，
∴ ，选项B错误，不符合题意；
∴ ， ， ，
∴ ， ，选项C错误，不符合题意；选项D正确，符合题意；
故选：D．
9. 已知四边形 ，延长 至点 ，延长 至点 ，连接 ．
连接 并延长交 于点 ．下列条件中，不能推出 与 一定垂直的是（ ）A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，解题
的关键是熟练掌握相关的判定和性质．根据 ，得出 ，证明 ，
根据等腰三角形的三线合一得出 ，即可判断A选项；证明 ，得出 ，
从而得出 ，根据等腰三角形的性质即可判断B选项；根据 无法证明 ，即可
判断C选项；延长 ，取 ，连接 、 ，证明 ，得出 ，
，证明四边形 为平行四边形，再证明四边形 为菱形，即可判断D选项．
【详解】解：A．∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，故A不符合题意；B．∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
根据A选项解析可知，此时 ，故B不符合题意；
C．当 时，无法证明 ，故C符合题意；
D．延长 ，取 ，连接 、 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
根据A选项解析可知： ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为菱形，∴ ，即 ，故D不符合题意．
故选：C．
10. 如图，四边形 是边长为1的正方形，点 是射线 上的动点（点 不与点 ，点 重合），
点 在线段 的延长线上，且 ，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接
、 、 ．设 ，四边形 的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象的应用，全等三角形的判定与性质，结合图形分析题意并解答是
解题关键．
当点 在 上时，作 于 ，证明 与 全等，得出 ，根据
四边形面积公式计算即可；当点 在 延长线上时，作 于 ，证明 与 全等，得出 ，根据四边形面积公式计算即可．
【详解】解：如图，当点 在 上时，作 于 ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
四边形 的面积为 ；
如图，当点 在 延长线上时，作 于 ，同理可证： ， ，
，
四边形 的面积为 ；
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若式子 有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】 且
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开
方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可．
【详解】解：∵式子 有意义，
∴ ，
∴ 且 ，
故答案为： 且 ．
12. 因式分解： ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了利用提公因式法和公式法因式分解，解题的关键是找出公因式，熟悉完全平方公式．
先提公因式m，再利用完全平方公式即可分解因式．
【详解】解： ．
故答案为： ．13. 如图，平行四边形 的顶点 在反比例函数 图象上，点 在 轴上，点C，D在
轴上， 与 轴交于 点，连接 ，若 ，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数k 的几何意义，正确表示平行四边形的面积是求解本题的关键．先求平行四
边形面积，再求 ．
【详解】解：如图：作 轴于 ，则四边形 是矩形，
由反比例函数性质知， ，
∵ ，
，
∴ ．
故答案为： ．
14. 如图，菱形 中， 是 边上一点， 是 边上一点， ，连接
交 于点 ．（1）若 ，则 ______（用 表示）；
（2）若 ，则 的最大值是______．
【答案】 ①. ②. 3
【解析】
【分析】（1）先证明 是等边三角形；得出 ，再利用三角形的内角和定理
进一步可得答案；
（2）设 ， ，根据 ，根据二次函数性质，
说明 有最大值，求出最大值为3即可．
【详解】解：（1）∵四边形 是菱形， ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ， ，
∴
，
∴当 时， 取最大值 ，
∴此时 ，∴此时 ，
∵ 为等边三角形，
∴此时 ， ，
∴此时 ，
∴ 平分 ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的最大值为3．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，二次函数的最值，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和
性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了实数的混合运算．先计算零指数幂、负整数幂、算术平方根、代入特殊角的三角
函数值，再计算加减即可．
【详解】解：．
16. 在边长为1的正方形的网格中， 的顶点均为格点（网格线的交点）
（1）以C点为位似中心，在网格区域内将 放大2倍得到 ；（A的对应点是 ， 的对应
点是 ）
（2）求出 的面积；
（3）请用无刻度的直尺画出 的高 （保留作图痕迹）
【答案】（1）见解析 （2）14
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据位似比，利用勾股定理计算长度，后画图即可．
（2）分割法计算 的面积即可．
（3）构造直角长分别为1和3的两个全等直角三角形，利用平行线的性质，直角三角形的性质，画图．
【小问1详解】
解：以C点为位似中心，在网格区域内将 放大2倍得到 ，画图如下：则 即为所求．
【小问2详解】
解：根据题意，得 面积为：
．
【小问3详解】
解：构造直角长分别为1和3的两个全等直角三角形，利用平行线的性质，直角三角形的性质，画图如下：
则 即为所求．
【点睛】本题考查了位似基本作图，网格图形面积计算，勾股定理与网格，三角形的全等，熟练掌握基本
作图是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某地区在 年的经济活动中表现出色，其进出口总额达到了 亿元．随着经济的持续发展，
年的进出口总额相比 年增加了 亿元．其中，进口额增长了 ，出口额则增长了 ，
求 年进口额和出口额分别是多少亿元？注：进出口总额 进口额 出口额
【答案】 年进口额为 亿元，出口额为 亿元【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设 年进口额为 亿元，出口额为 亿元，根据题意列出
方程组求出 的值即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设 年进口额为 亿元，出口额为 亿元，
由题意得， ，
解得 ，
∴ 年进口额为 亿元，
年出口额为 亿元，
为
答： 年进口额 亿元，出口额为 亿元．
18. 【观察思考】
【规律发现】
请用含 的式子填空：
（1）第 个图案中，“ ”的个数为 ；
（2）第 个图案中，“ ”的个数可表示为 ；
【规律应用】
（3）结合图案中的排列方式及上述规律，是否存在正整数 ，使得“ ”的个数是“ ”的个数
2倍？若存在，求出 的值，若不存在，请说出理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）不存在，见解析
【解析】
【分析】本题主要考查图形规律，理解图示中数量关系的增加情况，找出规律是解题的关键．
（1）根据图形中数量的增加情况，找出规律即可求解；（2）根据图形中数量的增加情况，找出规律即可求解；
（3）根据题意，假设“ ”的个数是“ ”的个数 倍，由题意得： ，由
此即可求解．
【详解】[规律发现]
（1）第 一个图案中：“ ”有 个，
第 一个图案中：“ ”有 个，
第 一个图案中：“ ”有 个，
第 一个图案中：“ ”有 个，
∴第 一个图案中：“ ”有 个，
故答案为： ；
（2）第 一个图案中：“ ”有 个，
第 一个图案中：“ ”有 个，
第 一个图案中：“ ”有 个，
第 一个图案中：“ ”有 个，
∴第 一个图案中：“ ”有 个，
故答案为： ；
[规律应用
（3）不存在，
理由如下：假设“ ”的个数是“ ”的个数 倍，由题意得： ，整理得： ，
解得 ，
不是正整数，与题意中的 是正整数不符，
∴不存在正整数 ，使得“ ”的个数是“ ”的个数 倍．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 学完了三角函数知识后，我校“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量某塔的高度他们把“测
量塔高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表
活动目的 测量塔的高度
测量工具 皮尺、测角仪
B、F、D三点在同一条直线
上， 是高为 米的测角
测量示意图及说明 仪，在点 处测得塔顶 的仰
角 ，点E处测得此时塔顶
A的仰角 ．
测量过程及数据 米
参考数据 参考数据
备注 测量过程注意安全
请你根据该兴趣小组的测量结果求出该塔高 ．（结果保留整数）
【答案】塔的高度 约为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．如
图，过 点作 于 点，推出 ，在 中，解直角三角形求出 ， ，在
中，得出 ，即可得 ，在 中，解直角三角形求出 ，
即可求出 ．
【详解】解：如图，过 点作 于 点，，
，
在 中，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
，
，
即塔的高度 约为 ．
20. 如图所示：已知 是 的直径， 点是 的中点，过 作 交 于 点，交 于
点，连接 ．（1）求证： ；
（2）若 ，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】（1）证明 即可证明 ．
（2）连接 ，设 ，则 ， ，利用勾股定理解答即
可．
【小问1详解】
证明：∵ 点是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：连接 ，，
，
设 ，则 ，
，
由题意得：
解得： （舍去）
的半径 ．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定，解方程，熟练掌握性质和定
理是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 【项目背景】
为响应国家“全民健身”号召，学校鼓励学生积极参与体育活动．现针对初三年级学生的体育锻炼情况展
开调查，了解学生每周参与体育锻炼的时长和喜爱的体育项目，为学校后续开展体育活动、优化体育课程
提供参考依据．
【数据收集与整理】
从初三年级的 名学生中，随机调查了部分学生作为样本，调查他们每周参与体育锻炼的时长（单位：
小时）．将收集到的数据进行如下分组：
A组： ；B组： ；C组： ；D组： ；E组： ．
整理样本数据，并绘制如下统计图【数据分析与运用】
【任务1】：本次随机调查的学生人数是 人；扇形统计图中， ： ；
并补全条形统计图．
【任务2】：下列结论一定正确的是 （填正确结论的序号）．
①样本数据的中位数在C组；②样本数据的众数在D组；③扇形统计图中，B组所对的圆心角的度数为
．
【任务3】：学校规定，每周体育锻炼时长不少于 小时的学生，体育成绩可获得额外加分鼓励．请估计
初三年级 名学生中，能获得体育成绩加分的学生人数．
【答案】任务1： ； ； ．条形统计图见详解．
任务2：①③．
任务 ： 人．
【解析】
的
【分析】任务1：根据E组有 人，占总人数 百分比是 ，即可求得本次随机调查的学生人数，
进而得到B组人数，D组人数即可补全条形统计图，再由A组有 人，可得 ， ．
任务2：根据 ， ，可判断①正确；再根据C
组和D组均占总人数的百分比的 最多，可判断②错误；由B组所占百分比为 ，可得B组所对的
圆心角的度数为 ，可判断③正确．
任务 ：根据D组和E组的学生占总人数的 ，即可估计 名学生中，能获得体育成绩加分的学生人数．
【详解】解：任务1：∵E组有 人，占总人数的百分比是 ，
∴本次随机调查的学生人数是 （人），
∴B组人数为 （人），D组人数为 （人），
故补全条形统计图如下：
∵A组有 人，
∴A组占总人数的百分比是 ，即 ，
∴C组占总人数的百分比是 ，即 ，
故答案为： ； ； ．
任务2：∵ ， ，
∴样本数据的中位数在C组，即①正确；
∵C组占总人数的百分比是 ，D组占总人数的百分比是 ，
∴样本数据的众数在C组和D组，即②错误；
∵B组所占百分比为 ，
∴扇形统计图中，B组所对的圆心角的度数为 ，即③正确；
故答案为：①③．
任务 ：根据题意可得D组和E组的学生每周体育锻炼时长不少于 小时，∵D组和E组的学生占总人数的 ，
∴ 名学生中，能获得体育成绩加分的学生人数为： （人）．
【点睛】本题考查了条形统计图基础及应用，中位数，众数，用样本估计总体，熟练掌握以上知识是解题
的关键．
七、（本题满分12分）
22. 如图，已知在矩形 中，点F，G分别在边 上， 是 的中点，连接 ，
与 交于点 ，且 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，求证： 是等腰三角形；
（3）连接 ，当 ，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质可得 ， ，根据 ，
易证 ，即可证明结论；
（2）延长 交于点 ，利用矩形的性质证明 ，推出 ，进而得到
即 是 的中点，再根据直角三角形的性质得到 ，即可得出结论；（3）先证明 ，推出 ，求出 ，设 ，则
， 进 而 求 出 ， 证 明 ， 推 出
，即可求解．
【小问1详解】
证明： 四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
证明：延长 交于点 ，
是 中点，
，
，
，，
又 ，
即 是 的中点，
即 ，
在 中， ，
是等腰三角形；
【小问3详解】
解： 是 的中点，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，，
．
【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，
等腰三角形的判定与性质，综合运用以上知识点是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ： 与直线l： 交于点 ，交x轴
正半轴于点B．
（1）求抛物线 的函数表达式和点B的坐标；
（2）将抛物线 先向右平移3个单位，再向下平移3个单位，得到平移后的抛物线 ，直线l与抛物线
交于点D．若点P是抛物线上A，B之间（包含端点）的一点，作 轴交抛物线于点Q，设点P的
横坐标为m．
①用含有m的代数式表示线段 的长；
②连接 ， ，当m为何值时， 的面积最大，并求出最大值．
【答案】（1） ，
（2）① ；② 时，三角形面积的最大值为6【解析】
【分析】（1）先根据点A的坐标求出a的值，再把a的值和点A的坐标代入二次函数中即可求出b的值，
然后由二次函数的解析式可以求点B；
（2）①先根据平移的性质求出 的解析式，设点P的横坐标为m，表示出点P、点Q的坐标，再让这两
点的纵坐标相减即可表示出 的长；
②先由 的解析式和直线AB的解析式求出点D的坐标，再以 为底，点D到 的距离为高表示出
的面积，建立关于m的函数模型，求出函数的最大值就是三角形面积的最大值．
【
小问1详解】
解：把点A代入 中解得 ，
把 和点A的坐标代入二次函数中解得 ，
的解析式为 ，点B的坐标为 ；
【小问2详解】
① 的解析式为 ，
根据平移的性质可得 的解析式为 ，
点P的横坐标为m，则点P的坐标为 ，点Q的坐标为（ ，
；
②由 的解析式和直线 的解析式求出点D的坐标为 ，
点D到直线 的距离为 ，
，
，时，S有最大值为6．
∴三角形面积的最大值为6．
【点睛】本题是二次函数的综合性问题，主要考查二次函数的性质，建立函数模型是解题的关键．
