文档内容
2025 年中考模拟考试九年级数学试卷
注意事项：
1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟、
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷
上的答案无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列各实数中，属于负数的是（ ）
A. B. 1 C. 0 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是负数的定义，根据负数的定义进行判断，并且正数都大于0，负数都小于0，即可得
到正确的选项．
【详解】解：A、 ，是正数，故不符合题意；
B、 ，是正数，故不符合题意；
C、0既不是正数也不是负数，故不符合题意；
D、 ，是负数，故符合题意．
故选：D．
2. 在过去的 年，我省交通投资持续发力，累计完成 亿元，再创历史新高，提前完成“十四
五”规划的目标任务．其中数据 亿可用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，先把 亿转化为 ，再根据科学记数法： （， 为整数），先确定 的值，再根据小数点移动的数位确定 的值即可，根据科学记数法
确定 和 的值是解题的关键．
【详解】解： 亿 ，
故选： ．
3. 如图，下面是由六个同样大小的正方体搭建的几何体，那么它的左视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了三视图，根据从左边看到的平面图形进行解答即可．
【详解】解：左视图是指从左向右看得到平面图，从左向右看到小正方体有三列，从左到右分别有2个，1
个，2个小正方体，图形如图所示：
故选：C．
的
4. 下列计算正确 是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
根据合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，逐项进行计算判断即可解答．
【详解】解：A． ，故A不符合题意；
B． ，故B不符合题意；
C． ，故C不符合题意；
D． ，故D符合题意．
故选D．
5. 如图，一副三角板按如图方式摆放，已知 ， ， 且
，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据 可得 ，再根据直角三角形两个锐角互余求出 ，最后根据
三角形的外角定理，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形两个锐角互余，三角形的外角定理，解题的关键是掌
握两直线平行，同位角相等；直角三角形两个锐角互余；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之
和．
6. 如果 ，且 ，那么直线 不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，先根据 ，且 ，得出 ， ，再结合
一次函数的性质进行作答即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴m与n异号，m与 同号；或 ， ．
又∵ ，
∴ ， ，
∴ 经过第一、二、四象限或经过第二、四象限，即不经过第三象限，
故选：C．
7. 电脑上随机推送难、中、易三道数学题（三题不同时呈现），要求做题人选其中的一题解答．明明直接
做电脑推荐的第一道题，不再点击第二、三题；慧慧不做电脑推送的第一道题，简单思考后点击第二题，
发现第二题比第一题容易，就做第二题，否则点击第三题并做第三题．则下列判断正确的是（ ）
A. 明明做到容易题的概率大 B. 慧慧做到容易题的概率大C. 他俩做到容易题的概率一样大 D. 他俩至少有1人做到容易题的概率为
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了列举法求概率，先列举出三道题的推送顺序的结果，再根据概率计算公式分别求
出两人做容易题的概率，以及他俩至少有1人做容易题的概率，据此可得答案．
【详解】解：∵三道题的推送顺序的结果为：（难、中、易），（难、易、中），（中、难、易），（中、
易、难），（易、难、中），（易、中、难），
∴明明做到容易题有2种结果，慧慧做到容易题的结果有3种
∴明明做到容易题的概率 ，慧慧做到容易题的概率 ；
∵明明和慧慧两人中，至少有一人做到容易题的结果有5种，
∴他俩至少有1人做到容易题的概率 ．
故选B．
8. 如图，在矩形 中，过点C作对角线 的垂线，垂足为E，连接 并延长交 于点F，若
， ，则 的长为（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理、平行线性质和判定、全等三角形的
性质和判定，熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题．
本题根据题意证明 ，得到 ，得到 ，设 ，代入即可解
答．
【详解】解：在矩形 中， ， ，∴ ， ∥ ，
∴ ,
又∵ ,
∴ ,
∴ ．
又∵ ，
∴
∵
∴ ，
∴ ,
∴ ．
设 ，则 ，
∴ ，解得
∴ ．
故选B．
9. 已知非零实数a，b满足 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. 若 ，则
C. 若 ，则 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，整式的运算等，熟练掌握相关的运算是解题的关键．
由 得到 ，代入A选项的左边化简后的式子，即可判断A选项．由 得到，根据a的取值范围即可判断b的范围，从而判断B选项．由 推出 ，即
，根据 求出a，b的值，从而判断C选项．根据题意计算 ， ，
即可判断D选项．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．故A选项错误，
，
∵
，
∴
∵
当 时， ，当 时 ．故B选项不一定正确．
∴
∵ ， ，
又 且a，b为非零实数．
，
∴
，
∴
．
∴
，解得 ，
∵
，故C选项错误．
∴∵ ，
，
∴ ，故D选项正确．
故选：D
10. 如图，在等边三角形 中， ，P为 边上一动点，连接 ，M为 的中点，连接
，将线段 以M点为中心逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ．则线段 的长最小为（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，等边三角形的判定与
性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
取 的中点D，以 为边作等边三角形 ，连接 ， ， ，证明
，而可得 ，则当 时， 最小，过点 作 于点 ，
记 与 交于点 ，根据平行线间的距离处处相等可得 ，再解 ，求出
即可．
【详解】解析：如图，取 的中点D，以 为边作等边三角形 ，连接 ， ， ．∵等边 ，
∴ ，
∵M为 的中点，D为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵等边 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点 三点共线，
∵ 绕点M旋转 ，
∴ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，当 时， 最小，
过点 作 于点 ，记 与 交于点 ，
∴ ，在等边 中， ，
∵点 为 中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
同理可求 ，
∴此时 ，
∴ 最小为 ，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： ______
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简，零次幂的计算，掌握其运算法则是关键．
根据二次根式的化简，零次幂的计算方法计算，再根据实数的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：2 ．
12. 如图，在正多边形 中，若 ，则该多边形的内角和为______【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正多边形与中心角，正多边形内角和问题，根据 ，得出该正多边形的中
心角为 ，从而求出该多边形为十边形，然后通过内角和公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关
键．
【详解】解：∵ ，
的
∴该正多边形 中心角为 ，
∴该多边形为十边形，
由 得其内角和为 ，
故答案为： ．
13. 已知A为第一象限内一点，B，C为y轴上两点，且 为等边三角形，经过点A的反比例函数
的图象与边 相交于点D，若D为 的中点，C点的坐标为 ，则k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数和几何综合题，过点A作 于点E，过点D作 于点F ． 则 ， ， 得 到 ． 在 中 ，
，即可求出 ．
【详解】解：如图，过点A作 于点E，过点D作 于点F．
∵ 为等边三角形，
∴
又∵D为 的中点，
∴F为 的中点， ．
∵ ， ，
∴ ．
在 中，
∴
故答案为：
14. 已知抛物线 与x轴负半轴交于点A，且经过 ， ．
（1）n的值为_____．
（2）若P为第一象限内抛物线上的一点，且 ，则点P的坐标为_____
【答案】 ①. 4 ②. 或
【解析】【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
（1）把把 代入求出抛物线解析式为 ，然后把 代入得 ；
（2）先求出 ．再根据①当 时， ，根据直线 与抛物线解
析式求出交点坐标，或 ②当直线 经过 的中点M时， ，求出直线
抛物线解析式求出交点坐标．
【详解】解：（1）把 代入 得 ，
∴抛物线解析式为 ，把 代入得 ；
（2）令 ，得 ，解得 ， ．
∵点A位于x负半轴上，∴ ．
由 ， 得直线 ．
①当 时， ，
设 ， ，得 ，即 ，
由 得 ， ，
把 代入 得 ，∴ ．
②当直线 经过 的中点M时， ，
由 ， 得 ，
由 ， ，得直线
由 解得 ， ，
把 代入 得∴
故答案为：（1）4；（2） 或 .
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式组 ，并把解集在数轴上表示．
【答案】 ，数轴见解析
【解析】
【分析】本题考查的是求解不等式组的解集，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分
即可．
【详解】解： ，
由①得： ：
由②得： ，
其解集在数轴上表示如图所示：
不等式组的解集为 ．
16. 某农机施工队计划承接某乡镇水稻收割，若收割时每天的工作效率能比原计划提高 ，这样就可提
前 天完成此乡镇的全部水稻的收割，但实际收割时的工作效率只比计划提高了 ，那么仍可比计划
提前几天完此乡镇的水稻收割任务？
【答案】仍可比计划提前13天完成此项工程
【解析】
【分析】本题主要考查了运用分式方程解决实际问题，设原计划 天完成该项任务，则一天完成的任务是，因为每天的工作效率能比原计划提高 ，所以每天的实际工作效率是 ，可以列出分式方
程： ，解方程求出原计划用 天完成工作，再根据实际工作效率只比计划提高了 ，
计算出实际少用的天数．
【详解】解：设原计划 天完成该项任务，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验： 是分式方程的解，
（天），
答：仍可比计划提前 天完成此项工程．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的顶点分别在格点上，
（1）将 向右平移2个单位，再向下平移4个单位，请在网格内画出平移后的 ；
（2）将 以点B为中心，顺时针旋转90°，请在网格图中画出旋转后的 ；
（3）请仅用无刻度直尺在线段 上确定一点P，使 （保留作图痕迹，不需要证明）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析【解析】
【分析】本题主要考查了平移变换、旋转变换、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解
题关键．
（1）根据平移的性质确定点 的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平移的性质确定点 的位置，然后顺次连接即可；
（3）连接 ，由旋转的性质可得 ， ，易得 ，即可获得答案．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求；
【小问2详解】
如图， 即为所求；
【
小问3详解】
如图，点P即为所求．
18. 【观察猜想】（1）观察下列等式：
第 个等式： ；
第 个等式： ；
第 个等式： ；
第 个等式： ；根据以上规律，直接写出第 个等式为_________；猜想：第 个等式为________
【论证猜想】（2）请你证明猜想的第 个等式的正确性．
【拓展运用】（3）若连续两个自然数的平方和等于另外两个连续自然数的平方差，这四个自然数中，最
大的是 ，则最小的自然数为多少？
【答案】（1） ，
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了数字类规律变化，根据已知等式得出变化规律是解答本题的关键．
（1）根据前 个等式的规律写出第 个等式和第 个等式即可；
（2）根据前 个等式可得规律：两个连续自然数的平方和加上它们积的平方，等于比它们的积大 的数的
平方，即可得出第 个等式，然后证明等式的左边 右边即可；
（3）由 得，
，化简解出 的值即可得解．
【详解】解：（1） ，
，
故答案为： ，
；
（2）左边 ，
，
右边 ，
左边 右边，
原等式成立；（3）由 得，
，
，解得 ， （舍去），
最小的自然数为 ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图， 是 的直径，C为 上一点，D为 的中点，连接 ， 相交于点E，过点A作
的切线交 的延长线于点F．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据切线的性质、直径所对的圆周角为 以及余角的性质得出 ，
然后根据同弧所对的圆周角相等得出 ，则 ，根据余角的性质得出
，根据等角对等边得出 ，最后根据三线合一的性质即可得证；
（2）连接 ，证明 ，可得出 ．设 ，则
，解得 ， （舍），则 ， ，根据直角三角形斜边中线的性质得出 ，根据勾股定理求出 ，则可得 为等边三角形，
得出 ，根据等边对等角和三角形外角的性质可求出 ，根据圆周角定理
求出 ，最根据弧长公式求解即可．
【小问1详解】
证明：连接 ，
∵ 为 的切线，
．
又∵ 是 的直径，
，
．
∵D为 的中点，
，
，
，
又 ，
，
，
又 ，
．
【小问2详解】
解：连接 ，∵ ， ，
，
，
．
设 ，则
解得 ， （舍），
， ，
，
在 中， ，
，
为等边三角形，
，
，
，
又 ，
．
，
长为 ．
的
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的定义，等腰三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，
解题的关键是综合运用上述知识点．
20. 今年春运期间，安徽高速低空无人机巡查服务平台正式启用，该平台建立在先进的可视化数字底座之上，集成了地图展示、飞行管控、作业监控、任务管理等多种功能．如图，一架高速交警无人机C在巡查
时，观察汽车B的俯角α为37°，而此时观察汽车A的俯角 为72°，已知A，B两车的被观测点距离地面
（ ），无人机C的高度为 （ ），若此路段两车之间的安全距离
为不低于 ，请通过计算判断A，B两车的距离是否为安全距离．
（参考数据： ， ， ， ， ，
）
【答案】A，B两车的距离是为安全距离，见解析
【解析】
【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，锐角三角函数等知识点，熟练掌握锐角三角函数的定义
是解题的关键．
延长 交 于点E，在 中根据三角函数求出 ，在 中根据三角函数求出 的值，
即可解答
【详解】解：延长 交 于点E．
由题意得 ， ， ，
在 中，在 中，
．
答：A，B两车的距离是为安全距离．
六、（本题满分12分）
21. 书是灯，读书照亮了前面的路；书是桥，读书接通了彼此的岸；书是帆，读书推动了人生的船．读书
是一门人生的艺术，因为读书，人生才更精彩！课外阅读已成为学生们丰富知识、拓宽视野的重要途径．
某校为了了解七年级学生课外阅读情况，从七年级三个班级中各随机抽取了 的学生，调查了他们平
均每周课外阅读时长，并对这些数据进行整理、描述和分析，下面给出部分信息．
（ ）
班级 （ ）班 （ ）班
班
平均数
中位数
众数
根据以上信息解答下面问题：
（1）表格中 _____， _____， ______．
（2）七（ ）班的小辉每周阅读时长为 小时．
小雪认为，小辉的阅读时长可能超过了七年级一半学生的阅读时长；小曼认为，在七（ ）班只有 人的阅读时长超过了小辉．
你认为小雪和小曼的说法正确吗？请说明理由．
（3）请估计七年级所有学生中，每周阅读时间不少于 小时的人数．
【答案】（1） ， ， ；
（2）小雪的说法是正确的，小曼的说法是错误的，见解析；
（3） 人．
【解析】
【分析】本题主要考查了折线统计图、频数直方图、中位数、众数，解决本题的关键是统计图中的数据分
别求出三个班的中位数、众数、平均数．
根据频数分布直方图中的数据求出 的平均数，根据折线统计图中的数据分别求出 班的中位数、
班的众数；因为七（ ）班所抽取的 人中，超过 小时的仅有 人，但这无法说明七（ ）班所有学
生中没有其他人的阅读时长大于 小时，所以小曼的说法是错误的；
七 班学生阅读时间的中位数是 ，所以小辉每周阅读时长为 小时，所以小辉的阅读时长可能超
过了七年级一半学生的阅读时长；
利用样本估计总体，求出七所级所有学生中每周阅读时间不少于 小时的人数即可．
【小问1详解】
解： ，
班学生的阅读时长分别为： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，
按照从小到大的顺序排列可得： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，
其中第 名和第 名的平均数是 ，
班学生的中位数是 ，班学生的阅读时长分别为： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，
其中 出现了 次，
班成绩的众数是 ，
故答案为： ， ， ；
【小问2详解】
解：小雪的说法是正确的，因为小辉的阅读时长为 小时，而抽取的 个班的 名学生的中位数是 小时，
又因为这 名学生是随机抽取的，由此可估计七年级所有学生中，阅读时长的中位数为 小时，所以小明
的阅读时长可能超过了七年级一半学生的阅读时长．
小曼的说法是错误的，因为七（ ）班所抽取的 人中，超过 小时的仅有 人，但这无法说明七（ ）班
所有学生中没有其他人的阅读时长大于 小时，所以小曼的说法是错误的；
【小问3详解】
解：由题意得： ．
答：七年级所有学生中，每周阅读时间不少于 小时的人数约为 ．
七、（本题满分12分）
22. 在四边形 中， ， ，对角线 平分 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，连接 交 于点P，设 ．①若 ，求证： ；
②若 ，求k的值．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）过点B作 ， 的垂线，垂足为分别为E，F，如图1，利用角平分线的性质证明
，再证明 ，可得 ，证明四边形 为矩形，可
得 ，进一步可得结论；
（2）①当 时， ，证明 ，可得 ，即 在
中， ，可得 ，从而可得结论；
②延长 至点Q，使 ，连接 ，如图2．证明 ，可得 为等腰直角三
角形，设 ，则 ，可得 ， ， ， ，结
合 ，可得 ，进一步可得答案．
【小问1详解】
证明：过点B作 ， 的垂线，垂足为分别为E，F，如图1．平分 ，
．
又 ，
，
．
，
四边形 为矩形，
，
，
即 ．
【小问2详解】
证明：①当 时， ．
， ，
．
又 ， 平分 ，
，
∵ ，
，
，
．
又 ，在 中，
．
②解：延长 至点Q，使 ，连接 ，如图2．
，
∴ ，
，
，
，
， ，
，
为等腰直角三角形，
，
设 ，则 ，
， ， ， ，
由①得 ，即 ，解得： ，
，
，即 ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，角平分线的性质，相似三角形的判
定与性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点B的横坐标等于
点C的纵坐标．
（1）求该抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）设 为直线 上一点．
①当 为直角三角形时，求n的值；
②当 时，已知点A关于y轴的对称点为 ，射线 交抛物线于点P．若 ，求
点P的横坐标．
【答案】（1） ，
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）令 ，则 ，得到 ，从而 ，代入抛物线解析式，即可求出a的值，从而得到解析式，令 时，则 ，解方程即可得到点A坐标；
（2）①分两种情况：当点M在线段 上， ， 为直角三角形；或当点M在射线
上， ， 为直角三角形，分别求解即可；
②延长 至点Q，使 ，证明 ，得到 ，进而得到点Q的
坐标为 ，根据 ， 得直线 的解析式为 ，解方程 即
可解答．
【小问1详解】
解：对于函数 ，
令 ，则 ，
∴ ，
∵点B的横坐标等于点C的纵坐标，
∴
将点 代入抛物线 ，得
解得： ， （不合题意，舍去），
∴抛物线解析式为 ．
当 时， ，
解得 ，
点A坐标为 ；
【小问2详解】解：①由（1）可得 ， ，
直线 的解析式为 ．
为
当点M在线段 上时，如图1， 直角三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
为等腰直角三角形，
过点M作 ，垂足为点N．
点N为 的中点，
．
将 代入 得 ，
．
当点M在射线 上时，如图2， 时， 为直角三角形，
∵ ，．
∵ ，
∴
∴ ，
过点 M作 轴于点N，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
，
又 ，
综上，n的值为 ；
②由题意得 ， ，延长 至点Q，使 ，
，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
，， ，
点Q的坐标为 ，
由 ， 得直线 的解析式为 ，
由 解得 ， （舍），
点P的横坐标为 ．
【点睛】本题考查待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定及性质等，
综合运用相关知识是解题的关键．
