文档内容
江淮名卷·2025 年省城名校中考大联考（二）
数学（试题卷）
注意事项：
1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共 10小题．每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个
选项，其中只有一个是正确的）
1. 两千多年前．中国人就开始使用负数．若收入100元记作 元，则 元表示（ ）
A. 支出50元 B. 支出150元 C. 收入50元 D. 收入150元
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了正数、负数 的意义，掌握正数和负数表示相反的意义是解题的关键．
利用正数和负数表示相反的意义即可解答．
【详解】解：∵收入100元记作 元，
∴ 元表示支出50元．
故选：A．
2. 2025年1月24日下午，2024年安徽全省经济运行情况新闻发布会举行．根据地区生产总值统一核算结
果．2024年安徽省地区生产总值为50625亿元．其中数据“50625亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为 的形式，其中 ，n为整数，
正确确定a、n的值是解题的关键．
将“50625亿”写成 其中 ，n为整数的形式即可．【详解】解：“50625亿” ．
故选D．
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是
站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形，掌握三视图
的定义是解题关键，根据三视图的定义即可解题．
【详解】解：根据三视图的位置判断，只有A选项符合题意，
故选：A．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，积的乘方，合并同类项等知识，根据以上运算法则进行计算
即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、 ，故选项不符合题意；
B、 ，故选项不符合题意；
C、 与 不能合并，故选项不符合题意；
D、 ，计算正确，故选项符合题意；
故选：D．5. 不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、在数轴上表示解集等知识点，掌握一元一次不等式的求解方
法成为解题的关键．
先解一元一次不等式，然后在数轴上表示解集即可．
【详解】解： ，
，
，
，
，
；
不等式组的解集在数轴上表示如下：
故选A．
6. 下列函数中，当 时， 随 增大而减小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数、反比例函数的性质等知识点，掌握相关函数的增减性成为
解题的关键．
运用一次函数、二次函数、反比例函数的性质逐项判断即可．【详解】解：A． 在 中 ，y随x的增大而增大，故该选项错误；
B． 中 ，函数图象在二、四象限，且每个象限y随x的增大而增大，故该选项错误；
C． 由 的对称轴为 且抛物线开口方向向上，则 时，y随x的增大而增大，故该选项
错误；
D． 的对称轴为 且抛物线开口方向向向下，则 时，y随x的增大而减小，故
该选项正确．
故选D．
7. 如图，五边形 是正五边形， 是 的中点，连接 ， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了正五边形的性质、等腰三角形的性质、三角形的全等与性质等知识点，熟练掌握
等腰三角形的性质是解题的关键．
如图：连接 ，根据正五边形的性质和内角和定理、等腰三角形的性质可得 、
，利用等腰三角形三线合一，得到 即可解答．
【详解】解：如图：连接 ，
∵五边形 是正五边形，∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ．
故选B．
8. 若从 四个数中任意选择一个数记作 ，再从该四个数中任意选择一个数记作 ，则
成立的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了列表法求概率，正确列表成为解题的关键．
先根据题意列表确定所有等可能结果数以及满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意列表如下：
a
2 4
b
， ，2 ， ，4
2 2， 2，2 2， 2，4
， ，2 ， ，4
4 4， 4，2 4， 4，4
由列表可得共有16中等可能结果，其中满足 有8种，则概率为 ．
故选C．
9. 如图，在四边形 中，已知 ， ，则 的长为（ ）A. B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，过点C作 于点E，设 ，则
，由勾股定理得 ， ，再证明 得 ，即可
得关于x的方程，解方程即可．
【详解】解：如图，过点C作 于点E，
设 ，则 ，
∴在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴解得 或 （不合题意舍去），
∴ ，
故选：B．
10. 如图，在 中， ， ， ， ， 分别是 ， 的中点， ，
同时以1个单位长度/秒的速度分别从点 出发，沿着 运动，当点 运动到点 时，两点同
时停止运动．设 的面积为S，运动时间为t，则 与t之间的函数图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意可分当
时，当 时，当 时，进而分类求解即可
【详解】解：连接 ，
分别是 的中点，
是 的中位线，
，
，
，
，
即 ，
是 的中点， 同时以1个单位长度/秒的速度分别从点 出发，
．
①当 时，如图1，点 ， 都在边 上， ，
则 ；
②当 时，如图2，过点 作 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
，
此时点 在 上，点 在 上， ，
；
③当 时，如图3， ．
故选项C符合题意；
故选C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. “如果 ， 互为倒数，那么 ”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）．
【答案】真
【解析】
【分析】本题考查的是命题的逆命题，真假命题的判定，先写出命题的逆命题，再判断即可.
【详解】解：命题“如果 ， 互为倒数，那么 ”的逆命题是
“如果 ，那么 ， 互为倒数”，
逆命题是真命题；
故答案为：真
12. 因式分解： ___________．【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，
先提出公因式x，再根据平方差公式分解即可．
【详解】解：原式 ．
故答案为： ．
13. 《数书九章》中的“遥度圆城”问题如下：在一座圆形城堡中，有正东、正南、正西和正北四个门，
出南门A向东走一段路程到达点 后 相切圆形城堡于点 ，刚好看到北门的正北方向的一棵大树 ，
即 相切圆形城堡于点 ．若 ，圆形城堡的直径为 ，且 经过圆形城
堡的圆心，则北门到大树的距离为___________ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了圆的概念、全等三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握圆
的概念以及切线的性质成为解题的关键。
如图：连接 ，则 , , ，先证明
可得 ，则 、，再根据线段的和差即可解答．
【详解】解：如图：连接 ，则 , , ，
∵ 相切圆形城堡于点A， 相切圆形城堡于点D．
∴ ,
∵ , ,
∴ ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为： ．
14. 如图，在菱形 中， ，对角线 ， 交于点 ， 是 上的一个动点，将线
段 绕点 逆时针旋转到 ，且 ，连接 ， ．（1） 的度数为___________；
（2）若 是直角三角形，则 的长为___________．
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质．
（1）由菱形 的性质可得 ， ，证明 为等边三角形，得出
，从而可得 ，求出 ，由旋转的性质可得 ，证明
，得出 ，从而得出 ；
（2）由（1）知 ，若 是直角三角形，分两种情况：当 时，当
时，分别求解即可．
【详解】解：（1） 四边形 是菱形，
，
，
，
即 是等边三角形，
，
，
，
，，
，
将线段 绕点 逆时针旋转到 ，
．
，
，
又 ，
，
，
，
故答案为： ．
（2）由（1）知 ，若 是直角三角形，可分以下两种情况：
①当 时， ，
则 ，
；
②当 时， ，
则 ，
．
综上所述， 的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．【答案】
【解析】
【分析】此题考查了实数 混合运算．利用特殊角的三角函数值、立方根、零指数幂、有理数的除法计算即
可．
【详解】解：原式
．
16. 某文具店购进 、 两种型号的马克笔共100盒．其进价与售价如下表：
进价 售价
型号
（元/盒） （元/盒）
型 25 35
型 45 65
（1）若进货金额为3300元，求 ， 型马克笔分别进货多少盒；
（2）在（1）的条件下，售完这批马克笔共获利多少元？在
【答案】（1） ， 型马克笔分别进货60盒和40盒
（2）销售完这批马克笔共获利1400元
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程解应用题，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键．
（1）设 型马克笔进货 盒，则 型马克笔进货 盒，由题意列方程求解即可得到答案；
（2）由题中进价与售价表信息列式求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：设 型马克笔进货 盒，则 型马克笔进货 盒．
根据题意，得 ，
解得 ．
，
答： 型马克笔分别进货60盒和40盒；
【小问2详解】
（元）．答：销售完这批马克笔共获利1400元．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图．在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ．
（1）请画出 关于 轴对称的 ；
（2）通过平移，使点 移动到点 的位置，画出平移后的 ；
（3）若在 内有一点 ，则经过（2）中平移变换后点 的对应点的坐标为___________．
（用含 的式子表示）
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形以及平移作图，平移后的点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）分别找出点 关于 轴对称的点 的坐标，再依次连接，即可作答．
（2）得出平移规律：先向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，再分别找出点 的坐
标，再依次连接，即可作答．
（3）结合平移规律，即可作答．
【小问1详解】
解：∵点 移动到点 的位置
∴平移规律：先向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，则 如图所示：
【小问2详解】
解： 如图所示．
【小问3详解】
解：由（2）得平移规律：先向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，
∴在 内有一点 ，则经过（2）中平移变换后点 的对应点的坐标为 ，
故答案为： ．
18. 观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；．．．
按照以上规律，解答下列问题：
（1）写出第5个等式：___________；
（2）写出你猜想的第 个等式：___________（用含 的等式表示），并证明．
【答案】（1）
（2） ，见解析
【解析】
【分析】此题考查的是归纳总结能力，分式混合运算，抓住题目中的相似点找到其中的规律是解题的关键．
（1）观察前几个式子，然后进行仿写，即可得到答案；
（2）对题目中给的等式进行比较、归纳，可以发现规律为，第n个等式，左边第一项的分母为 ，
分子是 ，第二项是 ，等式右边为 ．根据分式加减运算法则和分式混合运
算法则进行验证即可．
【小问1详解】
解：第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
则第5个等式为： ；
【小问2详解】解： ，
证明： 左边 ，
右边 ，
左边 右边，即等式成立．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，已知四边形 是某公园中的小池塘，点 和点 分别在点 的正东与正南方向，点 位于
点 北偏西 方向，点 位于点 北偏东 方向，经测量得 米， 米，求小池塘
的边 的长．（参考数据： ， ， ， ，结果
精确到0.1米）
【答案】小池塘的边 的长约为42.1米
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，数形结合、正确计算是解题的关键．
过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，得到 ， ，然后解
直角三角形求出 ，然后求出 ， ，然后在 中，利用 求出 ，进
而求解即可．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
则四边形 是矩形，米， ．
由题意知 ， ，
是等腰直角三角形，
，
（米），
米， （米）．
在 中， ，
（米），
（米）．
答：小池塘的边 的长约为42.1米．
20. 如图，已知 是 的外接圆， 是直径， 的切线 与弦 的延长线交于点 为
上一点，连接 交 于点 ．（1）求证： ；
（2）过点 作 于点 ，若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）直径所对的圆周角是直角得到 ，则 ，由切线的性质推出
，则 ，再由同弧所对的圆周角相等和等边对等角得到 ，
，即可得证；
（2）根据勾股定理求出 ，根据等面积法求出 ，根据勾股定理求出 ，根
据等面积法求出 ，根据勾股定理求出 ，证明 ，根据相似三角形的性
质求解即可．
【小问1详解】
证明： 是 的直径，
，
，
．
是 的切线，
，
，
．
，
，
．，
，
．
【小问2详解】
解：如图，过点 作 于点 ．
，
．
在Rt 中， ．
．
同理可得 ，
．
，
．
，．
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，直
径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的
关键．
六、（本题满分12分）
21. 为了了解同学们对传统节日——清明节的认识．某中学开展了“清明知识我了解”的知识竞赛．现从
该校七、八年级参赛学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩为百分制．学生得分均为整数且用 表
示 ） 进 行 整 理 、 描 述 和 分 析 ， 并 将 其 分 成 四 组 ，
．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩：84，85，86，87，88，92，95，97，97，99；
八年级10名学生的竞赛成绩在 组中的数据：91，93，94．七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
平 均 中 位 众
年级
数 数 数
七 年
91 90
级
八 年
91 100
级
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ___________， ， ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对清明节知识掌握得更好？并说明理由；
（3）若该校七年级有800名学生、八年级有600名学生参加了此次知识竞赛，请你估计参加此次竞赛成绩
不低于95分的学生一共有多少人．
【答案】（1）40，93.5，97
（2）八年级学生对清明节知识掌握得更好．见解析
（3）560人
【解析】
【分析】本题考查用样本估计总体、扇形统计图、中位数、众数的意义和计算方法，从统计图表中获取数
量之间的关系是解决问题的关键．
（1）先利用扇形统计图求出八年级D组的人数，进而求出a的值；再利用中位数和众数的定义，求出b、
c的值；
（2）根据中位数和众数进行分析即可；
（3）用七、八年级 的学生人数分别乘以比赛成绩不低于95分的学生人数的占比，即相加即可得出答
案．
【小问1详解】
解：八年级D组的人数为： (人)，
∴ ，
∴ ，
∵八年级抽取的学生的比赛成绩中，排在第五、六名的成绩为93、94，∴ ，
∵七年级抽取的学生的比赛成绩中，97出现的次数最多，
:∴ ，
故答案为：40，93.5，97；
【小问2详解】
八年级学生对清明节知识掌握得更好．
理由：从竞赛成绩的平均数看，两个年级的平均数相同，但八年级学生竞赛成绩的中位数和众数均大于
七年级，所以八年级学生对清明节知识掌握得更好．
【小问3详解】
（人）．
答：估计参加此次竞赛成绩不低于95分的学生一共有560人．
七、（本题满分12分）
22. 在正方形 中， ， 分别是 ， 上的点，且 ， 的垂直平分线 分别交
于点 ．
（1）如图 ，求证： ；
（2）如图 ，设 与 交于点 ，连接 交 于点 ，连接 ， ．
求证： 是等腰直角三角形；若 ，求 的值．
【答案】（1）见解析；
（2） 见解析； ．
【解析】
【分析】（ ）由四边形 是正方形，则 ， ， ，然
后证明 ，故有 ，又可以证明四边形 是平行四边形，得到
，从而求证；
（ ） 过点 作 于点 ， 于点 ，则 ， ，
根 据 是 的 垂 直 平 分 线 ， 得 出 ， 从 而 可 证 ， 所 以
，最后通过性质和角度和差即可求证；
设 ，由 可知 是等腰直角三角形，再证明 ，由相似三角形性质
可得 ．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 垂直平分 ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
证明：如图，过点 作 于点 ， 于点 ，
∴ ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形；
解：设 ，由 可知 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角
形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 已知抛物线 与 轴交于点 ．
（1）求证：抛物线 与 轴有两个交点．
（2）设抛物线 与 轴交于点 ， ，且点 在点 的左侧，点 的坐标为 ．
①若 ，求 的取值范围．
②抛物线 与 关于点 中心对称， 与 轴的另一个交点为点 ，问是否存在 ，使 为直角
三角形？若存在，请求出所有可能的 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析 （2）① 或 ；②存在 ，使 为直角三角形，
的值为2或 或6
【解析】
【分析】（1）令 ，求得 值，利用 即可得出结论；
（2）①令 ，解方程即可得到点A，B的坐标，由 ，利用勾股定理求得点A的大致位置，列出
关于a的不等式求得a的取值范围即可；
②利用分类讨论的思想方法，依据勾股定理列出a的方程解答即可得出结论．
【小问1详解】
证明：令 ，则 ，
，
抛物线 与 轴有两个交点；
【小问2详解】
解：①令 ，
则 ，
整理，得 ，
解得 ， ，
与 轴交于 ， ，且点 在点 的左侧，
， ，
即 ， ，
，
点 的坐标为 ，，
当 时， ，
此时点 的坐标为 或 ，
，
点 在点 和它的右侧或在 和它的左侧，
或 ，
或 ，
或 ，
，
，
即 或 ；
②存在 ，使 为直角三角形， 的值为2或 或6，
由①知 ， ， ，
抛物线 与 关于点 中心对称， 与 轴的另一个交点为点 ，
点 与点 关于点 对称，
，
，
点 的坐标为 ，
，
， ，分以下三种情况：
当 时，则 ，
，
，
；
当 时，则点 与原点重合，
，
；
当 时，则点 与原点重合，
，
，
综上，存在 ，使 为直角三角形， 的值为2或 或6．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的联系，抛物线与x轴的交点，
一元二次方程的根的判别式，轴对称的性质，直角三角形的性质，勾股定理，抛物线上点的坐标的特征，
熟练掌握二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键．
